三个正数的均值不等式
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
高二数学人选修课件三个正数的算术几何平均数
几何平均数与均值不等式 的关系
均值不等式是几何平均数性质的一个推广， 它表明任意n个正数的算术平均数总是大于 等于它们的几何平均数。同时，几何平均数 也可以作为均值不等式取等条件的一个特例
。
04
算术几何平均不等式
不等式的形式与性质
形式
对于任意三个正数a, b, c，有 (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)，其中等号成 立当且仅当a=b=c。
算术平均数是指一组数的和除以 这组数的个数，而几何平均数是
指一组数的乘积的n次方根。
性质
对于任意一组正数，其算术平均数 总是大于等于几何平均数，当且仅 当这组数全部相等时取等号。
应用
在比较不同数据集的平均水平时， 算术平均数更常用，但在涉及增长 率、复利等问题时，几何平均数更 为合适。
算术几何平均不等式与均值不等式的联系
应用举例
例1
证明
例2
证明
已知a、b、c为三个正数， 且a+b+c=1，求证： (a+1)(b+1)(c+1)≥8(1a)(1-b)(1-c)。
由已知条件得a+b+c=1，则 (a+1)、(b+1)、(c+1)分别 为a、b、c与1的算术平均数 。根据算术几何平均不等式 ，有(a+1)、(b+1)、 (c+1)≥3³√(a+1)(b+1)(c+1 )。同理可得(1-a)、(1-b)、 (1-c)的算术平均数也大于等 于其几何平均数。将两不等 式相乘并化简即得所证不等 式。
三个正数的算术平均数满足均值不等 式，即(a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)。当且 仅当a=b=c时，等号成立。
(精品)三个正数的算数-几何平均不等式
(2) a b ab (a,b R ) 2
( 3 ) a b 2 ( a b 0 ) x 1 （2 x 0 ）
ba
x
(4)ab (a b )2 a2 b2 (a,b R )
2
2
(5)a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (a,b,c R )
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正 数，会有怎样的不等式成立呢？
x3 ⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 1
x2 2 x2 2
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b
的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以 aba1babbba1b3，
当且仅当(a-b)=b= b
1 a
b
时等号成立.
答案:3
类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x (0＜ x＜ 1 ) 的最大值.
(1)abc≤ ( a b c )3 . 3
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
3 3abcabc
111
3
a2b2c2 .
3
上式a中ab,bc,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
B．3
C.523 5
D．4
3 2
解析：y＝3x＋
1 2x2
＝
3x 2
＋
3x 2
＋
1 2x2
≥3
3
33 1 2x·2x·2x2
＝
3 3
98＝323 9.
当且仅当32x＝21x2，即x＝ 3 13时，等号成立． 答案：A
3．设x＞0，则y＝x＋x42的最小值为(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．2
B．2 2
C．3 2
D．3
解析：y＝x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3· 3 x2·x2·x42＝3， 当且仅当x2＝x42时取“＝”号． 答案：D
(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤
a＋b＋c 3
3
，当且
仅当a＝b＝c时，等号成立．( )
(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V， 则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14 （a－2x）＋（3 a－2x）＋4x3＝22a73， 当因且此仅V取当最a－大2值x＝22a473x，，即x＝a6时，等号成立． 故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16 时，盒子的容积最大．
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。
在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。
三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。
具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。
假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。
根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式
⑦向量形式的柯西不等式：,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k αβ=时，等号成⑧排序不等式（排序原理）：()22b c a b R ++≥∈，（当且仅当a b c ==...a ≤≤≤,...,c 是b知识点一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：(2)12,33y x x x =+>-。
变式练习：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++） 当,即t=时,4259y t t≥⨯+=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
变式练习(1) 231,(0)x x y x x++=>技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。
例：求函数2254x y x +=+的值域。
解：令24(2)x t t +=≥，则2254x y x +=+22114(2)4x t t t x =++=+≥+ 因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
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利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
图：
通过例题了解知识的简单运用。
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则
当且仅当即当时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值．即当切去的小正方形边长是原来正方形边
课题
§4.5.1三个正数的算术—几何平均不等式
授课时间
2008.05.29
授课班级
高二（4)班
课型
新课
授课人
张美莲
知识与技能
1掌握三个正数的算术—几何平均不等式及其推广
2会利用三个正数的算术—几何平均不等式求解最值
过程与方法
在学生已知的基础上，通过观察、猜想和师生共同探讨并证明三个正数的算术—几何平均不等式，并掌握一些利用不等式求最值的应用
情感态度与价值观
培养学生分析转化的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。
教材分析
教学重点
三个正数的算术—几何平均不等式
教学难点
三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用
学法
指导
在学习中学生采用“自主探索---合作交流---问题解决”的小组方式进行学习。
教学方法
教学中采用“问题情境----引导思考----解释、应用”的模式进行教学。
教具
电脑,多媒体课件等
三、教学设想
设计意图
师生活动
一、复习引入
基本不等式：如果 那么
当且仅当 时成立
复习旧知识，让学生容易进入新课的学习。
请学生作答。
二、讲授新课
思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？
使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。
学生回顾，并回答。
类比基本不等式的形式，我们猜想：
对于个正数 可能有：
如果 R+，那么有 ，
当且仅当 时，等号成立。
知识储备：和的立方公式：
立方和公式：
证明：
所以 当且仅当 时，等号成立。
引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线平行的判断
对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到
定理：如果 R+，那么有 ，
思考题：
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。
五、布置作业
巩固深化
学生课后独立完成。
六、板书设计
§4.5.1三个正数的算术—几何平均不等式
定理：
注意点：
例1
例2
练习：
教学反馈：学生在运用均值不等式解题时，不能很好地同时注意到“一正二定三相等”这三个缺一不可的条件，所以往往要出错，有时甚至没有思路，不懂得如何拆分，构造我们所需的三个条件，需——若求和式的最小值，其积必须为定值;若求积式的最大值，其和必须为定值
c)取等号条件——各项能否相等
引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线垂直的判断
学生思考，教师引导。
变式训练：
（）
A、6B、C、9D、12
引导学生观察、猜想，并证明，提高学生的探究能力
总结出： 的前提条件为：“两直线斜率都存在”。