刚塑性广义变分不等原理及其在平面应变分析中的应用

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第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法

❖ 由于刚塑性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静水压力与体积应变率无关，如要计算应力张量，还必须进行应力计算的处理。
塑性成形过程计算机数值模拟
第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日
乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。
塑性成形过程计算机数值模拟
第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸载和计算残余应力与变形。
在满足： (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j
，

塑性理论第五章应变分析

u y x
dx
u y y
dy
u y z
dz
x
uz
'
uz
(x
dx,
y
dy,
z
dz)
uz (x,
y, z)
uz x
dx
uz y
dy
uz z
dz
z
ui
M
' 1
ui ui
M1
uz
M(xi)
uy
ux
0
u
' z
u'
M (x dxi )
y
u
' x
y
变形体内无限接近两点的位移分量
——M’点位移到M’1点
z
第五章应变分析
radius 3/8 in.
diameter, 0.5 in.
diameter, 0.75 in.
gauge length, 2 in.
reduced section, 2.25 in.
主要内容
5.1 应变的基本概念 5.2 几何方程 5.3 一点附近的应变分析 5.4 主应变、应变张量不变量 5.5 主剪应变，最大剪应变５.6 应变速率 5.7 变形表示法 5.8 应力一应变曲线 5·9 变形体模型 5.10 变形协调方程 5.11 平面变形问题和轴对称问题
crack propagation
(in shear)
单元体均匀变形：直线—→直线，平行—→平行
小变形：
大变形：
103 ~ 102
102 ~ 101
例：将矩形六面体在千锤下进行撤粗，其塑性变形前后物体的形状：
图矩形件塑性变形前后形状
第一类变形：诸棱边的相对变化，其下标表示伸长的方向或与棱边平行的轴向。

弹塑性力学问题的变分原理与变分法

若选取梁的挠度函数 w 为
w
n1
an
sin
n
l
x
所取挠度函数满足问题的位移边界条件，因此，w为几何可能的。
一阶变分
虚位移
w
n1
an
sin
n
l
x
总虚功
W
P w
xa
P
an sin
n1
n a
l
2020/10/30
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第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
基于位移的变分原理——虚位移原理
3）在位移变分方程中，外力是实际的体力 X i 和面力 X i，而应力则可以是真实的应力，也可以是静力可能的应力。因为在上述证明中，对应力 ij，只要求它满足平衡微分方程和静力边界条件。
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第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
V
V
( Xi ij, j ) uidV ij ui, jdV
V
V
散度定理
ij, j X i 0 （平衡状态）
以及有
ij ui, j
ij
(
1 2
ui,
j
1 2
u
j ,i
)
ijij
W ijijdV U V
原理得证。
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第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法
(v x
u ) y
yz
y
( w)
z
( v)
( w y
v
)
z
zx
x
(
w)
z

课程论文：弹塑性力学广义变分原理

《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文题目：广义变分原理在结构力学中的应用姓名：储迅易专业：工程力学学号：131310040008老师：邵国建河海大学力学与材料学院2014年4月1日摘要：把一个力学问题用变分法化为求泛函极值的问题，就称为该物理问题的变分原理。

如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。

本文在总结部分课程内容的基础上，运用广义变分原理探讨了结构力学中柱体扭转问题。

关键字：变分法弹性力学变分原理柱体的扭转问题1 概述变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。

关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。

1872年Betti 提出了功的互等定理。

1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。

德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。

我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。

我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。

1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。

1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义分原理的方法。

1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。

1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，-位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。

金属塑性成型原理第一篇塑性变形力学基础

3 I1 2 I2 I3 0
－－求主应力的特征方程
（1.10）
I1、I2、I3称作应力
应力张量三个不变量：
张量的第一、二、三不变量。
I1 x y z
I2

(
x
y

y
z

z
x)

2 xy

2 yz

2 zx
器 I3

x
y z
ijlil j ijli

n
S
2 n

2 n
截面应力分解
3
塑性成形时，变形体一般是多向受力，
显然不能只用一点某一切面上的应力来
求得该点其他方向切面的应力，也就是
说，仅仅用某一方向切面上的应力还不能足以全面地表示出一点的受力状况。
一般情况下变形体外力一定→内力一定
器
辑 →变形体内任一点的应力状态就一定
辑导和理解！！
PDF编捷
迅

8
S2

S
2 x

S
2 y

S
2 z
ABC Sx OBC x OCA yx OAB zx
Sx xl yxm zxn
sy xyl ym zyn sz xzl zym zn
13
主切应力、主切应力平面、最大主切应力的讨论，请看书中P14~16页。
DF编辑器 §1.2.3 八面体应力与等效应力 P 八面体应力
在主应力空间中，每一卦限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个卦限共有八组，构成正八面体面。八面
迅捷体表面上的应力为八面体应力。

塑性增量理论的变分原理和广义变分原理

ＡｂｔａｔＳｎｅｔｅｇｎｒｌｅａｉｔｎｌｒｎｉｌｏｌｓｏｐａｔｅｈｎｃｓｄｖｌｐｄ，ｉｈｓｂｅｓｒｃ：ｉｃｈｅｅａｉｄｖｒａｉａｉｃｐｅｆｅａｔ — ｌｓｉｍｃａｉｓｗａｅｅｏｅｚｏｐｃｔａｅｎａｐｏｌｍｏｃｅｔｓｓａｄｒｓａｃｅｓｔｎｏｐｒｔｈｓａｉｔｎｌｒｎｉｌｓｗｉｈｐａｔｃｆｏｔｅｒｆｒｂｅｆｒｓｉｎｉｔｎｅｅｒｈｒｏｉｃｒｏａｅｔｅｅｖｒａｉａｉｃｐｅｔｌｓｉｌｗｈｏｙｏｏｐ
Ｖａｉｔｏａｒｎｉｅｎｅｅａｉｅａｉｔｏｌｐｉｃｐｅｒａｉｎｌｐｉｃｐｌｓａｄｇｎｒｌｚｄｖｒａｉｎａｒｎｉｌｓｏｌｗｈｏｙｏｌｓｉｉｙｎｆｏｔｅｒｆｐａｔｃｔ
维普资讯
第２卷第４期９
２００８年４月
哈
尔
滨
工
程
大
学
学
报
Ｖｏ．９ № ．１２４Ａｐ．０８ｒ２０
ＪｕｎｌｆＨａｂｎＥｎｉｅｒｎｉｅｓｔｏｒａｒｉｇｎｅｉｇＵｎｖｒｉｏｙ
塑性增量理论的变分原理和广义变分原理
周健生，梁立孚，王丁伟
（尔滨工程大学建筑工程学院，龙江哈尔滨１００）哈黑５０１

变分不等原理的优化解法及应用

１摩擦约束形变理论的变分不等原理及优化解法
对于满足本构方程、方程、几何位移边界条件的摩擦约束形变理论，势能泛函如下其
仃ｆ（）— Ａ＋ＨｒｄＪ＝ＡｏＶＪＶ — Ｆｅｄｌ — ｄ
ｖｖｒｒ．ｒ．
维普资讯 http://www来自第２卷ｌ第１期
南昌水专学报
ＪｕａｆＮｎｈｎｏｌｇｆＷａｅｎｅｖｎｙａｄＨｙｒｅｅｔｃＰｗｒｏｒｌａｃａｇＣｌｅｏｔｒＣｏｓｒａｃｄｏｌｒｏｅｎｏｅｎｃｉ
对泛函式（）分，１变有
３／０，／＿＞
（）２
式中（）为应变能密度，
为体力密度在方向的分量，为接触边界位移的切向分量，为接触边界位移的法向分量，
收稿日期：０１２— １２０ —１０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（９６０２，昌水专科研基盎资助项目（Ｚ０１０）１７２０）南Ｓ２０ — １作者简介：辉（９９一）男．孙１５，江西瑚口人，教授，主要从事固体力学、材料加工工程及计算机应用研究
Ⅱ 』（ｄ』ｌ — ｄ，＝＾ｇｄＪＦ）ｒ
Ｖ
（）３
应力偏量、能量函数为０
２
一＝： — ＝
（）４
Ａ）（＝为了求问题的近似解，所给问题，针对设定近似速度场
＝；＝
变分不等原理指出，足实际情况的速度场必使式（）极小值．满３取

工程塑性理论应变分析2

由式可见, 当变形程度很小时, 由式可见当变形程度很小时工程应变的高次项可以忽略，对数应变近似地等于工程应变，可以忽略，对数应变近似地等于工程应变，即 Є ≈ε。 Є 。变形程度愈大，二者相差愈大。变形程度愈大，二者相差愈大。一般当变形程度<10%时，就可以认为：Є ≈ε 一般当变形程度时就可以认为：Є
工程应变＝工程应变＝
变形后的尺寸－变形后的尺寸－变形前的尺寸 ×100％变形前的尺寸
设l0为物体中两质点变形前的尺寸，ln为变形后为物体中两质点变形前的尺寸，尺寸，则工程应变可用下式表示，尺寸，则工程应变可用下式表示，即
l n − l0 ε= × 100% l0
◆工程应变一般适用于变形程度较小的情况。工程应变一般适用于变形程度较小的情况。当变形程度较大时， ◆当变形程度较大时，工程应变不足以反映实际的变形过程。只有采用对数应变才能得到合理的结果。变形过程。只有采用对数应变才能得到合理的结果。
为线应变或正应变，为线应变或正应变，线段伸长时的正应变为正，缩短时为负。应变为正，缩短时为负。
◆ 表示角度变化的量称为切应变。角度表示角度变化的量称为切应变。
减小时的切应变为正值，角度增大时减小时的切应变为正值，为负值。为负值。
在以下所分析的应变量都是小应变，在以下所分析的应变量都是小应变，一般不超过10 数量级，因此，一般不超过10-3∼10-2数量级，因此，对弹性应变和塑性应变不加区别。弹性应变和塑性应变不加区别。由于变形较小，可以忽略切应变对线由于变形较小，长度的影响。长度的影响。
A点沿x轴和y轴方向的位移分别为点沿x轴和y B点沿x轴和y轴方向的位移分别为点沿x轴和y D点沿x轴和y轴方向的位移分别为点沿x轴和y

刚(粘)塑性有限元法

§1 刚(粘)塑性变分理论
一、刚塑性材料变形的边值问题
刚塑性边值问题由塑性方程和边界条件定义:
ij, j 0 V ijij 0
ij
1 2
ui, j u j,i
SP
刚性区 z
塑性区
ij
3 2
ij
y
f Y o
x Su
ij n j pi S S p
ui ui S Su
Y
s
g
与马尔可夫变分原理相同，可以采用拉格朗日乘子法和罚函数法等方法引入体积不变条件
§2 刚塑性有限元的基本列式
以罚函数法为例
Π2
dV
V
V VV dV
Sp piuidS
0
形状函数矩阵
应变矩阵
位移 u~ N ue 应变 Bue
2 3
ijij
T D
ue T BT D Bue ue T Aue
造新的泛函式。
罚因子(如α＝106)
dV
V
2
V V2dV
Sp piuidS
塑性变形功率体积变形惩罚项外力功率
极值条件
Π
dV
V
V VV dV
Sp pi uidS
0
3、体积可压缩法
认为塑性变形过程有体积的变化，屈服应力也与平均应力有关。
*
3 2
ij
ij
g
2 m
*
第七章刚(粘)塑性有限元法
金属塑性成形
金属板料成形
金属体积成形
金属板料成形中弹性变形影响大，不能忽略，成形过程必须采用弹塑性有限元法分析。
金属体积变形中弹性变形影响小，可以忽略，成形过程可以采用刚(粘)塑性有限元法分析。

《塑性成型原理》课件

塑性变形过程
1
传递应力
材料在外力作用下，分子间开始进行运动
变形
2
并传递应力，从行改变材料的形态。
分子在传递应力的过程中发行应变，导致
塑性变形产行。
3
强度恢复
塑性变形结束后，材料开始回弹，进而使应变减小，强度增加。
塑性成型的工艺与方法
挤压成型
通过挤出口产生的挤压力让高温软化的材料变形成所需截面形状。
吹塑成型
将加热的塑料片材放置在形状符合需要的具有微小孔的模具上，利用压缩空气把塑料片材吹卡进去，达到成型的目的。
热成型
根据成型温度、压力或成型方式不同，又可以分为真空吸塑成型、热压成型、热拉伸成型等。
塑性成型的应用领域
工业制造
塑性成型在工业制造领域的应用十分广泛，如汽车、电器、玩具等生产制造中都广泛使用。
塑性成型原理PPT课件
本PPT课件介绍了塑性成型的基本原理、分类、工艺、应用与优缺点，希望能够帮助您深入了解这一领域。
塑性成型的定义让热塑性材料变形成所需形状的过程。
2 分类
根据加热方式，塑性成型可分为热成型和冷成型；根据材料的状态，塑性成型可分为固态变形和热变形。
医疗器械
医疗器械需要塑性成型产生的材料具有优良的耐腐蚀性，生物安全性等特点。
塑料制品
如饮料瓶、打包盒、盆子、盘子等的生产都需要塑性成型。
塑性成型工艺的优缺点
优点
生产效率高，成本低；制造出来的产品质量稳定，重复性好。
缺点
生产过程对环境污染大；材料无法回收利用，热变性能不稳定。
结论与总结
塑性成型是一种将热塑性材料通过加热或其他方式变形成所需形状的过程，其在生产制造、医疗器械、塑料制品等领域都有广泛应用，但也存在污染、资源浪费等问题。因此在使用时需要注意环保措施和材料回收。

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ｌｍｂｆｉｔｏａｅｔｌｓｄ．ＢｙａｏｐｔｎｇＬａａｏｒｃｉｎｗｓｓａｂｉｈｅｄｉｇｒｎｇｉｍｕｔｐｌｅｎｄｃｎｓｒｔｎｇａｅｎａｉｅｅｇｙａｎｌｉｉｒａｏｔｕｃｉｇｅｒｌｚｄｅｎｒｆｎｃｉｎａｈｏｕｄｒｓｔｉａｉｔｏｌｉｅｑｕｌｔｕｔｏｌｔａｔｃｌｅｕｌｎｖｒａｉｎａｎａｉｙ，ｔｅｃｎｓｒｉｏｈｏｔａｎｔｃｎｄｉｉｎｓｗｅｅｃｖｅｔｄｔｏｃｎ— ｔｏｒｏｎｒｅｏｎｎ— ｏｄｔｏｌｒｓｒｃｉｓａｈｙｓｃｌｒｒｓｉｉｎａｅｔｉｔｏｎｎｄｔｅｐｈｉａｅｐｅｅｎｔｉａｔＯｎｓｏｇｒｎｇｉｎｍｕｌｉｉｒｅｒｅｔｒｉｅｄ．ＴｈｎｔｆＬａａａｔｐｌｅｓｗｅｄｅｍｎｅｈｅｐｌｓｉｏｃｓａａｔｃｐｒｅｓｎａｌｅｒｃｔｎｇａｒａｔｕｅｔｉｗｅｅｒｃｅｄｏｎｈｂｓｓｆｈｄｅｒｅｙｓｓｏｎｅａｕｌｐｌｅｐｓｔｎｇｒｐｏｅｄｅｔｅａｉｏｔｅｅｇｎｅａｔｄｇｅｒｉｅｄａｉｔｏｎｌｎｅａｌｚｖｒａｉａｐｒｎｃｐｌｉｉｅ，ｗｈｃｓｗｅｔｅｒｕｌｓａｅｃｎｓｓｅｎｔｗｉｈｈｓｆｌｓｉａｌｐｅｒｉｈｈｏｄｈｅｓｔｒｏｉｔｔｔｏｅｏｃａｓｃＵｐＢｏｄＭｅｈｏｕｎｔｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｉｔｏｎａｏｎｓｒｉ；ｒｇｉａｓｉｉｙ；ｇｅｒｉｅｄｖａｉｔｏｎｐｉｉｌｒｃｉｌｃｔａｎｔｉｄｐｌｔｃｔｎｅａｌｚｒａｉａｌｒｎｃｐｅ；ｐｌｎｅｓｒｎ；ｐｒｃｓａ — ｔａｉｏｅｓ
吴洪飞，名福，仲仁扶王
（．哈尔滨工业大学，尔滨１００；２１哈５０１．南昌大学，昌３０２）南３０９
摘要：先利用Ｌｇａｇａ首ａｒｎｉｎ乘子法，势能角度出发构造了考虑摩擦效应这一能导致变分不等形式的广义能量从泛函，一般的有条件的变分原理化为无条件的变分原理来唯一确定，出了各Ｌｇａｇａ把得ａｒｎｉｎ乘子所代表的物理意义，立了刚塑性理论中的Ｃｕｏ建ｏｌｍｂ摩擦约束的广义变分不等原理。而后基于退化的摩擦约束广义变分等式
ａｌｉｎａｙｓｓ
塑性和摩擦是金属压力加工中普遍存在的现象和行为，导致描述工程实际问题的能量泛函分析理是
论成为变分不等式方程理论的原因之一，表明变分不等式或广义变分不等式是求解金属塑性加工问题这
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第２３卷第３期
２００２年９月
力学季刊
ＣＨＩＮＥＳＥＱＵＡＲＴＥＲＬＹＯＦＥＣＨＡＮＩＭＣＳ
Ｖｏ．３Ｎｏ１２３Ｓｅ．２０ｐ０２
刚塑性广义变分不等原理及其在平面应变分析中的应用
Ａｓｒｃ：Ｉｈｓａｅ，ｈｅｅａｉｅａｉｔｎｌｎｑａｉｒｎｉｌｉｒｉｌｔｉｕｊｃｅｏＣｕｂｔｔｎｔｉｐｐｒｔｅｇｎｒｌｄｖｒｉａｉｅｕｌｙｐｉｃｅｎｉｄｐａｉｔｓｂｅｔｄｔｏ — ａｚａｏｔｐｇｓｃｙ
原理，长矩形板镦粗进行了塑性加工工步分析。所得结果与经典上限法结果相吻合。对
关键词：摩擦约束｜０性；义 பைடு நூலகம் 分不等原理；面应变；步分析冈塑广平工
中图分类号：３３５０４．
ＧｅｎａｌｅｄＶａｒａｔｏｎｎｅｒｉｚｉｉａｌＩｅｑｕｉｉｎＲｉｄＰｌｔｃｉａｌｅｓｉｇｉａｓｉｔｔｙ
ａｎｔｄＩｓＡｐｐｌｔｏｎＰｌｅＳｔａｉａｌｉｉｃａｉｎｉａｎｒｎＡｎｙｓｓ
ＵＨｏｇｆｉｎ－ｅ，ＦＵＭｉｇｕｎ－。ＷＡＮＧＺｏｇｒｎｆｈｎ－ｅ
（１．ＨａｂｎＩｓｉｕｅｏｃｎｌｇｒｉｎｔｔｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｈａｂｎ１００１，Ｃｈｎａ；２．ＮａｃａｇＵｎｖｒｉｙ，Ｎａｃａ０２ｒｉ５０ｉｎｈｎｉｅｓｔｎｈｎｇ３３０９，Ｃｈｎｉａ）