三个数的均值不等式
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
均值不等式公式四个
均值不等式公式如下：
不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。
公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
基本性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)。
三个正数的均值不等式
利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
均值不等式及其变形公式
均值不等式及其变形公式均值不等式是数学上的一种基本不等式，它用于比较一组数的均值和它们的中值。
设有n个非负实数a1, a2, ..., an，则有以下的均值不等式成立：1.算术平均值不等式（AM-GM不等式）：a1, a2, ..., an是非负实数，则有：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)这个不等式告诉我们，一组非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
当且仅当a1 = a2 = ... = an时等号成立。
2.几何平均值不等式：a1, a2, ..., an是正实数，则有：(a1 * a2 * ... * an)^(1/n) ≥ (a1 + a2 + ... + an) / n这个不等式告诉我们，一组正实数的几何平均值大于等于它们的算术平均值。
当且仅当a1 = a2 = ... = an时等号成立。
3.人均值不等式：a1, a2, ..., an是非负实数，则有：(n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)) ≥ √(a1 * a2 * ... * an)这个不等式告诉我们，一组非负实数的算术平均值不小于它们的调和平均值。
当且仅当a1 = a2 = ... = an时等号成立。
扩展部分：除了上述的均值不等式，还可以对其进行拓展，如：1.加权均值不等式：设a1, a2, ..., an是非负实数，w1, w2, ..., wn > 0为对应的非负权重，则有：(w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an) / (w1 + w2 + ... + wn) ≥ √(a1 * a2 * ... * an)这个不等式告诉我们，加权均值不小于非负实数的几何平均值。
当且仅当a1 = a2 = ... = an时等号成立。
2.广义均值不等式：设r ≠ 0是实数，a1, a2, ..., an是非负实数，则有：((a1^r + a2^r + ... + an^r) / n)^(1/r) ≥ ((a1 + a2 + ... + an) / n)在广义均值不等式中，不等式的两边都是非负实数，当r = 1时，广义均值不等式就是算术平均值不等式。
均值不等式四个式子
均值不等式四个式子均值不等式是初中数学中的基本不等式，它是由加权平均值的概念导出的。
具体来说，假设一组数据为 $a_1,a_2,...,a_n$，相应的权值为$w_1,w_2,...,w_n$，那么其加权平均值为：$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+...+w_na_n}{w_1+w_2+...+w_n}$$在任意非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和任意正实数 $w_1,w_2,...,w_n$ 的情况下，均值不等式总是成立的。
下面展示均值不等式的四个常见式子。
1. 算术平均数（AM）和几何平均数（GM）不等式对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，其算术平均数为$$AM=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$其几何平均数为$$GM=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$则有$$AM\geq GM$$即算术平均数不小于几何平均数。
2. 平均数不等式对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，则有$$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$即算术平均数不小于几何平均数。
3. Cauchy不等式对于两组实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和 $b_1,b_2,...,b_n$，则有$$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$$即平方和的乘积不小于乘积的平方。
4. Jensen不等式设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的凸函数，$x_1,x_2,...,x_n$ 是 $[a,b]$ 中的任意数字，$w_1,w_2,...,w_n$ 是任意正数且满足 $w_1+w_2+...+w_n=1$，则$$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+...+w_nf(x_n)\geqf(w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n)$$即加权平均数在凸函数下大于等于函数的加权平均数。
高考数学中的均值不等式及其他相关不等式
高考数学中的均值不等式及其他相关不等式在高考数学中，不等式是一个重要的考点，在不等式的部分中，最为经典和基础的当属均值不等式和柯西-施瓦茨不等式。
本文将分别探讨这两种不等式及其相关内容。
一、均值不等式均值不等式是指若a1,a2,\cdots,an>0,则有：\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{a_{1}\cdota_{2}\cdots a_{n}}其中，\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}表示这n个数的平均数。
均值不等式是一个非常基础的不等式，可以在不等式部分中起到不小的作用。
在解不等式的过程中，有时候我们会需要将不等式中多个数字进行化简，而使用均值不等式则可以使这个化简更加简便和顺利。
例如，如果我们有一个不等式：\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\leq\frac{3}{2}其中，x,y,z>0。
我们希望将这个不等式进行化简，于是我们可以使用均值不等式将分母中的三个数字变为它们的平均数，即：\frac{1}{1+\frac{x+y+z}{3}}+\frac{1}{1+\frac{x+y+z}{3}}+\frac {1}{1+\frac{x+y+z}{3}}≤\frac{3}{1+\sqrt[3]{\frac{(x+y+z)^2}{9}}}然后我们再把三个分数加起来，就得到了结果。
值得注意的是，在运用均值不等式的时候，我们不要把数字想的太复杂，同时也不要给均值不等式赋予过高的权重，只要在需要化简的时候顺手使用即可。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式可以说是均值不等式的进一步加强和拓展。
柯西-施瓦茨不等式是指，若a1,a2,\cdots,an和b1,b2,\cdots,bn是任意实数，则有：(a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots+b_ {n}^2)\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^2我们将这个不等式分解开，可以得到：(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^2\leq(a_{1}^2+a_ {2}^2+\cdots+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots+b_{n}^2)这个不等式非常有用，我们可以用这个不等式解决很多问题。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式
在高中数学中，对均值不等式是非常重要的一个概念。
均值不等式可以用来分析各种数据的分布特征，包括平均、中位数和众数等。
它也可以被用来解决实际问题，比如优化经济问题，分析社会结构等。
均值不等式有两种形式，即加法型和乘法型。
加法型均值不等式是指一组若干数据（用x1,x2,…,xn表示）的和要大于或等于其各部分的算术平均数的平方的和的的一半，即：
∑(x)[(x1+x2+…+xn)^2/2n]
乘法型均值不等式是指一组若干数据（用x1,x2,…,xn表示）的乘积要大于或等于其各部分的算术平均数的乘积的的一半，即：∏(x)[(x1x2…xn)/2n]^n
均值不等式的应用非常广泛，它同时可以用于分析平均数、中位数和众数这三种不同的分布形式，可以准确地分析出数据集中最大值、最小值、众数和离散点，从而帮助我们有效地分析数据特征。
除此之外，均值不等式还可以用于解决实际问题，比如优化经济问题，分析社会结构等。
例如，如果我们想优化收入不均的问题，就可以通过分析多个社区的收入占比，通过均值不等式，来优化社会经济的不均状态。
均值不等式的本质是对多个变量间的最优平衡性进行比较，而无论是通过加法型均值不等式还是乘法型均值不等式，都可以有效
地分析出数据集中最细微的变化情况，从而得出最优解。
因此，均值不等式不仅是高中数学课程中的重要内容，而且在实际应用中也是十分有用的概念。
了解均值不等式的原理和应用，可以帮助我们分析和解决实际问题，解决社会问题。
总之，均值不等式是高中数学中一个重要的概念，它不仅在数据分析和解决实际问题中具有重要的意义，而且同时也可以帮助我们分析社会结构，优化社会经济状况，更好地支持社会发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平均值不等式导学案2
☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;
2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;
3.初步掌握不等式证明和应用
一、课前准备（请在上课之前自主完成）
1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥.
当且仅当a b =时, 等号成立.
2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 .
当且仅当 时, 等号成立.
利用基本不等式求最值的三个条件
推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ，
从小到大的排列是:
☆课前热身：
(1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*
∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
(2) 在算式“4130⨯∆+⨯O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12
22
=+y x ，求21y x +的最大值.
二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：
如果+
∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立.
☻建构新知：
问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-=
定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3
a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数
推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的
即 当且仅当a b c ==时, 等号成立.
语言表述：n 个数的 平均数不小于它们的 平均数
☆案例学习：
例1已知,,x y z R +
∈, 求证：
(1)3()27x y z xyz ++≥; (2)()()9x y z y z x y z x x y z ++++≥; (3)222()()9x y z x y z xyz ++++≥．
例2用一块边长为a 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖 的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？
例3 求函数)0(,322>+
=x x x y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. 解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=x
x x x x x x x y . ∴3min 43=y ． 解二:x x x x x y 623223222
=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 3242123221262==⋅=y ． 正解:
例4、已知0<x<4.5, 当x 取何值时，x ²(9-2x)的值最大？最大值是多少？
三、当堂检测
1、已知a 、b 、c 都是正数，求证：(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc
2、已知a 、b 、c 都是正数，且abc=1.求证：a ³+b ³+c ³≥3
3、已知x>0，当x 取什么值时？2
12x x +的值最小？最小值是多少？
四、课堂小结
2个数的均值不等式 等号成立的条件
3个数的均值不等式 等号成立的条件 n 个数的均值不等式 等号成立的条件
五课后作业 基本不等式2 姓名 日期 年 月 日
1.若1,0,0=+>>b a b a ，则)11)(11(22--b
a 的最小值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
2.若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（ ）
A ．3-1
B ．
3+1 C ． 23+2 D ． 23-2 3.若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）
A.2∈M ，0∈M ；
B.2∉M ，0∉M ；
C.2∈M ，0∉M ；
D.2∉M ，0∈M
4. 若14<<-x ，则2
2222-+-x x x 的最小值为（ ）
7 C.1- D.1
.5 函数)(,422+∈+=R x x
x y 的最小值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
.6已知1273,023++=-+y
x y x 则的最小值是 （ ） A. 393 B. 221+ C. 6 D. 7
7. 求下列函数的最值
1︒、0>x 时, 求x x y 362+=
的最小值．
2︒、设]27,91[∈x ，求)3(log 27
log 33
x x y ⋅=的最大值．
3︒、若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值．
4︒、若0>>b a ，求)(1b a b a -+
的最小值为.
8某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面
的长 度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶 和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
9制作一个容积为316m π的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最 省？（不计加工时的损耗及接缝用料）。