高三数学毕业班第一次联考试题 理

天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,5,2,4A B ==，则为A ．B ．C ．D ．2. 设变量 满足约束条件，则目标函数2z x y =+的最大值为A ．0B ．3C ．6D ．12 3. 如图所示的程序框图输出的所有点都在函数 A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上4. 下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若 a b ∈R ，，则“0ab ≠”是“0a ≠”的充分不必要条件C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“q p 且”为假，则p ，q 全是假命题5. 已知双曲线C ：的离心率5e =，点是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点的距离与到直线1x =-的距离之和的最小值为6，则该双曲线的方程为A ．B ．C ．D ． 6. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆的面积为S ，且226c b a S -+=）（，则C tan 等于()U C A B {}0,2,4{}4{}1,2,4{}0,2,3,4,x y 2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩22221(0,0)y x a b a b-=>>P 1(0,)F c 22123y x -=2214y x -=2214x y -=22132y x -=A ．125 B ．125- C ．125 D ．125-7. 如图，PT 切O 于点T ，PA 交O 于,A B 两点，且与直径CT 交于点D ，3,CD =4,AD = 6BD =，则PB ＝A ．6B ．8C ．10D ．148.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24),(0)f x m x x m =-+->，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围A ．10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1550,,662⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1550,,442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. i 是虚数单位，复数21ii+=- ． 10. 在53⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为 ． 11. 已知曲线1-=x y 与直线1,3,x x x ==轴围成的封闭区域为A ，直线1,3,0,1x x y y ====围成的封闭区域为B ，在区域B 内任取一点P ，该点P 落在区域A的概率为 ．12. 一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内 切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为 ．13．直线l ：12x at y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C ：22cos()4πρθ=+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离恰为22，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-若集合BD OA}|{x x M ⋅==，221,,13()a b N x x a b ab a b ⎧⎫++⎪⎪==>=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭.则M N ⋂= ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数)6(cos cos )(22π-+=x x x f ，(Ⅰ)求最小正周期； (Ⅱ)求在区间]4,3[ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A 类题有4个不同的小题，B 类题有6个不同的小题, 某考生从中任抽取四道题解答. (Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B 类题的概率；(Ⅱ)设所抽取的四道题中B 类题的个数为X,求随机变量X 的分布列与期望. 17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面AEF ⊥平面，//EF BC ,4BC =，2EF a =，，为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；(Ⅲ) 若直线CA 与平面BEA 所成的角的正弦值为562,求实数的值． 18．（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为41.(Ⅰ)求椭圆E 的离心率e ；R x ∈()f x ()f x A EFCB -AEF △EFCB 60EBC FCB ∠=∠=︒O a B(Ⅱ)PQ 是圆C :215)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程． 19．（本小题满分14分）已知非单调数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且114a =-，2416a a =，记5.1n n na b a =- (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数n ，|1|3n m b -≥都成立，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)设数列2{}n b ，21{}n b -的前n 项和分别为,n n S T ，证明：对任意的正整数n ，都有 223n n S T <+．20．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (Ⅰ)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (Ⅲ)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.71.4）2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案二、填空题: 每小题5分，共30分. 9．1322i +； 10．90； 11．ln 32； 12．9278π+； 13．2,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 14．23⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数)6(cos cos )(22π-+=x x x f ，(I)求最小正周期；(II)求在区间]4,3[ππ-上的最大值和最小值.解：22()cos cos ()6f x x x π=+-1cos(2)1cos 2322x x π+-+=+ ……2分 32cos 2144x x =++ ……3分 )13x π=++ ……5分 1) 函数()f x 的最小正周期22T ππ== ……6分 2) 函数()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，在,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减。

……8分 1(),()1,()134124f f f πππ-==+=+ ……11分min max 1(),() 1.4f x f x ∴==+ ……13分16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A 类题有4个不同的小题，B 类题有6个不同的小题, 某考生从中任取四道题解答. (Ⅰ)求该考生至少取到2道B 类题的概率；(Ⅱ)设所取四道题中B 类题的个数为X,求随机变量X 的分布列与期望.R x ∈()f x ()f x解：(Ⅰ)设事件A: ” 该考生至少取到2道B 类题”.()P A =43144641037142C C C C +-= ……4分 （2）随机变量X 的取值分别为0，1，2，3，4， ……5分()4441010210C P X C ∴=== ()3146410241210C C P X C ===()2246410902210C C P X C ===， ()1346410803210C C P X C ===()46410154210C P X C === ……10分 ∴随机变量X 的分布列为： ……11分∴随机变量X 的期望为：12490801512012342102102102102105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……13分17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，,，，，为的中点． (Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求二面角的余弦值； (Ⅲ) 若直线CA 与平面BEA 所成的角的正弦值为562,求实数的值． 解： (Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，A EFCB -AEF △AEF ⊥EFCB EF BC ∥4BC =2EF a =60EBC FCB ∠=∠=︒O EF AO BE ⊥F AE B --a AEF ⊥EFCB AEF △O EF AO EF ⊥X 0 1 2 3 4 P12102421090210 80210 15210FBCzEF EFCB AEF =⋂平面平面,根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB ，又平面，则.…3分(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,则EF OD ⊥以O 为原点，分别以OD OA OE 、、为轴建立空间直角坐标系， …4分)0,0,0(O ，)0,0,(a E ，)0,0,(a F -，)0,3,0(a A ，))2(3,0,2(a B -，))2(3,0,2(a C --， ))2(3,0,2(--=a a BE设平面的法向量),.(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE m 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0)2(3)2(03z a x a ay ax 令1,3,1-===z x y)1,1,3(-=∴m ……6分平面的法向量为)1,0,0(=n ， ……7分二面角的余弦值55,cos -=<n m ， ……8分 由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为. ……9分 (Ⅲ) ))2(3,3,2(-=a a CA ……10分设直线CA 与平面BEA 所成角为θ，mCA m CA ⋅=θsin 562)2(33453422=-++=a a 10161262=+-∴a a ……12分 )2,0(1∈=∴a 满足题意 1=∴a ……13分18．（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为41. (Ⅰ)求椭圆E 的离心率e ；AO ⊥BE ⊂EFCB AO BE ⊥、、x y z AEB AEF F AE B --F AE B --F AE B --5-(Ⅱ)PQ 是圆C :215)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程． （I ） A ()0a ，B ()0b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =∴M)3,32(b a ……1分412==a b k OM21=∴a b ……2分 23)(12=-=∴a b a c ∴椭圆E 的离心率e 为23 ……4分(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b . (1) ……5分依题意，圆心)1,2(-C 是线段PQ 的中点，且30=PQ . ……6分 易知，PQ 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x ， ……7分代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k xk k x k b ……8分设),(,),(2211y x Q y x P 则22141)12(8k k k x x ++-=+, 22221414)12(4k b k x x +-+=……9分由124x x ，得28(21)4,14k k k 解得12k. ……10分 从而21282x x b .于是4254)(25)21(1221221212-=-+=-+=b x x x x x x PQ ……11分 由30=PQ ，得304252=-b ，6422=-b 解得52=b . ……12分故椭圆E 的方程为152022=+y x . ……13分 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b .(1) ……5分依题意点Q P 、关于圆)1,2(-C 对称且30=PQ ……6分),(,),(2211y x Q y x P 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221214444by x by x ……7分两式相减得0)(8)(42121=-+--y y x x易知PQ 不与x 轴垂直，则21x x ≠ ,212121=--x x y y ……8分∴PQ 的斜率为21，设其直线方程为2211)2(21+=++=x x y ，代入(1)得 028422=-++b x x ∴124x x21282x x b . ……10分于是4254)(25)21(1221221212-=-+=-+=b x x x x x x PQ……11分 由30=PQ ，得304252=-b ，6422=-b 解得52=b . ……12分故椭圆E 的方程为152022=+y x . ……13分 19．（本小题满分14分）已知非单调数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1241,164a a a =-=，记5;1n n na b a =- (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数n ，|1|3n m b -≥都成立，求实数m 的取值范围；(Ⅲ)设数列221{},{}n n b b -的前n 项和分别为,n n S T ，证明：对任意的正整数n ，都有223n n S T <+.解：2124111),16,416a a a q =-=∴={}n a 为非单调数列14q ∴=- 1,.4nn a n N *⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭……3分2) 555,11(4)11n n nnna b n N a a *∴===∈---- ……4分 当n 奇数， 5,0.41n n n b b =∴<-- ……5分当n 偶数，5,0.41n n n b b =∴>-且{}n b 为递减数列 ……6分()2max 13n b b ∴==，11,2m m ∴-≥∴≥或0m ≤ ……8分3）212221*********(44)4141(41)(41)n n n n n n n n b b ----+-=+=-+-+ ……9分212412215(44)4441n n n n n ---+=+--<212415(44)4n n n --+2254n ==2516n = ……11分 2143221()()...()n n n n S T b b b b b b -∴-=-+-++- ……12分2355111()25(...)155161616n <+++++ 451(1)34816n =+-45348<+=693482<.223n n S T ∴-<223n n S T ∴<+……14分20．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (Ⅰ)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；(Ⅲ)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，试比较12x x 与22e的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.71.4） 解：(Ⅰ) ()()()h x f x g x =- 1ln ,x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ……1分 ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥，……2分 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤， 故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ……4分(Ⅱ) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-，即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， ……5分令010t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---， …6分 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=， ……7分当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ……9分(Ⅲ)由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得第11页 共11页 21221112ln ()x x x a x x x x x --=-， ……10分 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-， 即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， ……11分 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+， ……12分 ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>，即1>， ……13分 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512e =+-≈<，∴1G =>>>，即2122x x e >． ……14分。