代数式
代数式的概念及分类
代数式的概念及分类代数式的概念及分类________________________________________代数式是数学中的一种表达方式，它是由数字、字母和符号组成的，表示数学关系的算术表达式。
代数式用于简化复杂的数学问题，帮助我们更容易理解。
代数式可以分为三类，即一元代数式、二元代数式和多元代数式。
一、一元代数式一元代数式是一个变量的函数表达式，即只有一个未知量的代数式。
它包括一元一次方程式、一元二次方程式、一元三次方程式、一元四次方程式等。
例如：2x+3=5，这是一个一元一次方程式，其中x是未知量，可以用来求解x的值。
二、二元代数式二元代数式是两个变量的函数表达式，即有两个未知量的代数式。
它包括二元一次方程式、二元二次方程式、二元三次方程式、二元四次方程式等。
例如：2x+3y=5，这是一个二元一次方程式，其中x和y是未知量，可以用来求解x和y的值。
三、多元代数式多元代数式是三个或以上变量的函数表达式，即有三个或以上未知量的代数式。
它包括多元一次方程式、多元二次方程式、多元三次方程式、多元四次方程式等。
例如：2x+3y+z=5，这是一个多元一次方程式，其中x、y和z是未知量，可以用来求解x、y和z的值。
四、复合代数式复合代数式是包含多个未知量的复杂代数式，它由一个或多个子项组成，可以由多个未知量联合而成。
例如：2x+3y+z-5xy=7，这是一个复合代数式，它包含有x、y和z三个未知量，可以用来求解x、y和z的值。
总之，代数式是由数字、字母和符号组成的表达式，可以分为一元代数式、二元代数式、多元代数式和复合代数式四类。
它们都可以用来帮助我们解决复杂的数学问题。
代数式知识点
第二章：代数式基础知识点：一、代数式1、代数式：用运算符号把数或表示数得字母连结而成得式子，叫代数式。
单独一个数或者一个字母也就是代数式。
2、代数式得值：用数值代替代数里得字母，计算后得到得结果叫做代数式得值。
3、代数式得分类：二、整式得有关概念及运算1、概念（1)单项式:像ｘ、７、，这种数与字母得积叫做单项式。
单独一个数或字母也就是单项式。
单项式得次数:一个单项式中,所有字母得指数叫做这个单项式得次数.单项式得系数:单项式中得数字因数叫单项式得系数。
（2)多项式：几个单项式得与叫做多项式.多项式得项：多项式中每一个单项式都叫多项式得项。
一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式得次数:多项式里,次数最高得项得次数,就就是这个多项式得次数。
不含字母得项叫常数项。
升（降）幂排列:把一个多项式按某一个字母得指数从小（大)到大(小）得顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列.（３）同类项：所含字母相同，并且相同字母得指数也分别相同得项叫做同类项。
2、运算（1）整式得加减：合并同类项：把同类项得系数相加，所得结果作为系数，字母及字母得指数不变。
去括号法则：括号前面就是“＋”号,把括号与它前面得“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面就是“–”号，把括号与它前面得“–"号去掉,括号里得各项都变号。
添括号法则:括号前面就是“+”号,括到括号里得各项都不变;括号前面就是“–”号，括到括号里得各项都变号。
整式得加减实际上就就是合并同类项，在运算时,如果遇到括号,先去括号，再合并同类项。
（2)整式得乘除:幂得运算法则:其中ｍ、n都就是正整数同底数幂相乘:；同底数幂相除:；幂得乘方：积得乘方：。
单项式乘以单项式：用它们系数得积作为积得系数,对于相同得字母，用它们得指数得与作为这个字母得指数；对于只在一个单项式里含有得字母,则连同它得指数作为积得一个因式。
单项式乘以多项式：就就是用单项式去乘多项式得每一项,再把所得得积相加。
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代数式代数式是数学中一个重要的概念，它是由符号、数字和运算符组成的表达式。
在数学中，代数式被广泛用于解决各种数学问题，特别是代数问题。
在本文中，我们将探讨代数式的基本概念、性质和应用。
首先，让我们来了解代数式的基本结构。
代数式是由各种运算符（如加、减、乘、除）连接数字、字母和符号组成的数学表达式。
代数式可以包含常数、未知量和运算符。
常数是已知的数字，而未知量是用字母表示的数。
例如，以下是一些代数式的例子：1. 2x + 32. 4y - 73. 5a + 2b - c4. x^2 + 3x + 4代数式可以有不同的形式和类型。
例如，一次代数式是只包含一次幂的代数式，如2x + 3y。
二次代数式是包含二次幂的代数式，如x^2 + 3x + 4。
代数式还可以是线性的或非线性的，取决于未知量的幂次。
线性代数式只包含一次幂，非线性代数式包含高于一次幂的幂。
接下来，让我们讨论代数式的性质。
代数式有许多重要的性质，其中一些包括：1. 代数式可以通过合并类似项来简化。
例如，在代数式2x + 3x中，x是一个类似项，我们可以将其合并为5x。
2. 代数式可以通过展开来扩展。
例如，在代数式(x + 2)(x + 3)中，我们可以将其展开为x^2 + 5x + 6。
3. 代数式可以通过因式分解来分解成较简单的形式。
例如，在代数式x^2 + 5x + 6中，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3)。
4. 代数式可以通过代入特定的值来求解未知量。
例如，在代数式2x + 3中，若给定x的值为2，则可计算出代数式的值为7。
代数式在数学中具有广泛的应用。
它们可以用于解决线性方程组、研究函数的性质、推导数学公式等。
通过使用代数式，我们能够表达和处理复杂的数学问题。
解方程是代数式应用的一个重要领域。
代数式可用于求解线性方程、二次方程和高阶方程。
通过使用代数式，我们可以在未知量的值域中找到方程的解集。
例如，考虑下面的方程：2x + 3 = 9我们可以通过移项和合并项的方法来求解x的值。
什么叫代数式
什么叫代数式
代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
例如：ax+2b，-2/3，b^2/26，√a+√2等。
注意：
1、不包括等于号（=、≡）、不等号（≠、≤、≥、<、>、≮、≯）、约等号≈。
2、可以有绝对值。
例如：|x|，|-2.25|等。
用运算符导（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
数的一切运算规律也适用于代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式。
带有“<（≤）”“>（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式。
代数式是一种常见的解析式，对变数字母仅限于有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）的解析式称为代数式。
代数式
整式的概念
都是数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一 都是数与字母的积的代数式叫做单项式 单独的一 个数或字母也是单项式. 个数或字母也是单项式 单项式中数字因数叫做单项式的系数. 单项式中数字因数叫做单项式的系数 一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式 一个单项式中 所有字母的指数和叫做这个单项式 的次数,单独一个非 数的次数是0. 单独一个非0数的次数是 的次数 单独一个非 数的次数是 几个单项式的和叫做多项式. 几个单项式的和叫做多项式 一个多项式中,次数最高的项的次数 叫做这个多 一个多项式中 次数最高的项的次数,叫做这个多 次数最高的项的次数 项式的次数. 项式的次数 单项式和多项式统称整式. 单项式和多项式统称整式
例4
• 已知a b c 是三角形三边，且满足 (a + b + c) 2 = 3ab + 3bc + 3ac, • 试判断三角形的形状 • 解：a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac (
2 2 2 2
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ac = 0
单项式与多项式相乘
•ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ ｍ ａ＋ｂ＋ｃ ａ＋ｂ＋ｃ)
提公因式法
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ
(2)运用公式法: (2)运用公式法: 运用公式法 • ①平方差公式:a2-b2＝(a+b)(a-b). 平方差公式: (a+b)(a-b). 代数式: 叫做完全平方式: 代数式 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式:
b d bd (1 ). × = ; a c ac
初中数学知识点总结：代数式的相关概念
初中数学知识点总结：代数式的相关概念知识点总结一、代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
注意：(1)单个数字与字母也是代数式;(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号;(3)代数式可按运算关系和运算结果两种情形明白得。
三、整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
专门地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式里，次数最高项的次数确实是那个多项式的次数。
四、升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多项式按那个字母升(降)幂排列。
五、代数式书写要求：1.代数式中显现的乘号通常用“·”表示或者省略不写;数与字母相乘时，数应写在字母前面;数与数相乘时，仍用“×”号;2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一样按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序.如式子(a+b)·2·a应写成2a(a+b);3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘;4.在代数式中显现除法运算时，按分数的写法来写;5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，假如代数式是积或商的形式，则单位直截了当写在式子后面;假如代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，(2a-b)kg。
六、系数与次数单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：(1)单项式的系数包括它前面的符号;(2)若单项式的系数是"1”或-1“时，"1"通常省略不写，但“-”号不能省略。
代数式的计算
如不等式 2x - 3 > 5，通过移 项可以得到 2x > 8，再除以2
可以得到 x > 4。
03
函数与图像
一次函数与图像
01
02
03
定义与性质
一次函数形如y=kx+b（ k≠0），其中k和b为常数 ，k表示斜率，b表示y轴 截距。一次函数图像是一 条直线。
斜率与方向
当k>0时，直线从左向右 上升；当k<0时，直线从 左向右下降。
交换律
结合律
在加法与乘法运算中，任意交换两个数的 位置，结果不变。
在加法与乘法运算中，任意改变运算顺序 ，结果不变。
分配律
零律与单位元
乘法对加法满足分配律，即a * (b + c) = a * b + a * c。
在加法中，零是加法零元，任何数与零相 加结果仍为该数；在乘法中，1是乘法单位 元，任何数与1相乘结果仍为该数。
代数式化简技巧
合并同类项
在代数式中，将相同字母且相同字母 的指数也分别相同的项合并成一个项 ，使式子更为简洁。
提取公因式
当多个项具有相同因式时，可以将公 因式提取出来，简化代数式的表达。
利用分配律展开与合并
运用分配律可以将复杂表达式展开， 或者将多个项合并为更简单的形式。
分解因式
对于某些多项式，可以通过分解因式 的方法将其化为若干个简单多项式的 乘积，达到化简的目的。
分式的乘法与除法
两个分式相乘时，分子乘分子，分母乘分母；两个分式相除时，分 子的分母乘除数的分子，分母的分母乘除数的分母。
根与指数的计算与应用
01
02
03
04
平方根的计算
通过逆运算求解一个数的平方 根，即找到一个数使其平方等
代数式的定义和运算法则
代数式减法的注意事项：在进行加减运算时，要注意运算符号和运算次序，避免出现计算错误。
代数式的乘法
分配律：a(b+c) = ab+ac
05
代数式在数学中的应用
在方程中的应用
代数式在方程中表示 未知数的关系
通过代入法、消元法 等解方程的方法，利 用代数式求解未知数
代数式在解方程中起 到关键作用
代数式在方程中的应 用广泛，是数学中重
要的基础概念之一
在不等式中的应用
代数式可以用于表示不等式
代数式可以用于解不等式
代数式可以用于证明不等式
单独的一个数或一个字母也称为代数式。
代数式的值是代数式里字母取给定的值后得到的数。
代数式的表示方法
代数式是由数和表示数的字母 经有限次加、减、乘、除、乘 方和开方等代数运算所得的式 子，或含有字母的数学表达式
称为代数式。
代数式的值是代数式中字母取 给定值时代数式的值。
单独的一个数或一个字母也称 为代数式。
应用：结合律是代数式运算的基本性质之一，是代数式运算中非常重要的性质，对于代数式的化简和计算非常重 要。
分配律
定义：代数式中， 加法和乘法满足 分配律，即 a(b+c)=ab+ac。
证明：根据代数 式的运算法则， 我们可以证明分 配律的正确性。
应用：分配律在 代数式中有着广 泛的应用，可以 帮助我们简化复
运算顺序的规则：先进行乘除 法运算，再进行加减法运算
运算顺序的依据：乘除法是基 本的四则运算之一，加减法是 乘除法的简化形式
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代数式在生活中的应用题
安徽省蒙城县板桥中学 张飞轮 邮政编码 233529
小朋友们，我们前面学习了列代数式的有关知识，我相信你们都掌握的很好了。
下面有
几道实际生活中的题目，你能用代数式帮助解决吗？如果能把所学的代数式的知识用到解决
实际问题中，那你就能真正地体会学习代数式的价值了。
1．传说上帝的女儿看中了尼罗河岸边的土地，于是她向上帝请求赐给她大片的土地，上帝
就给她一根绳子，要求她用这根绳子围出尽可能大的面积。
现有两种设计方案：一种是围成
正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，请你帮助她选用哪一种方法，并说明理由．
解：设1S ，2S 分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则2
21416
a a S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，222π2π4πa a S ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，因为π4<，所以11π4>，22164πa a <． 所以21S S >，故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大． 2．为鼓励节约用电,某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如
果不超过100度,那么每度电价按a 元收费;如果超过100度,那么超过部分．．．．
每度电价按b 元收费.某户居民在一个月内用电160度,他这个月应缴纳电费是 ______元（用含a 、b 的代数式表示）
分析: 因为160度超过了100度,所以电费应分两部分计算,不超过100度的收费为
100a 元,超过部分的电费为(160-100)b=60b 元,所以他这个月应缴纳电费是
(100a+60b)元.
解：填（100a+60b ）.
注意：当代数式是和的形式，且后面有单位，要把代数式用括号括起来.
3．某书店出售图书的同时,推出一项租书业务。
每租看1本书,租期不超过3天，每天租金a
元；租期超过3天，从第4天开始每天另加收b 元。
如果租看1本书7天归还，那么租金
为 。
解析：由题意知，该租金由两部分组成：3天以内的租金3a 元和3天以外的租金4(a+b)元，
从而租金共为3a+4(a+b)=7a+4b 元。
解：填（7a+4b ）元
4．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，，如图， ，其中a b c ，，是
三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b
+
如 请你在0到20 ．
解析：a b c ，，是三个连续偶数，可以设b=a+2,c=a+4;d,e 是连续的奇数，可以设e=d+2.
因为a b c d e ++=+，所以a+(a+2)+(a+4)=d+(d+2),整理得：3a+4=2d,从而得到：d=342
a +,a 是偶数，
b 是奇数，并且在0到20之间，因此a=2或10。
因此符合题意的另一组数是啊
a=10,b=12,c=14,d=17,e=19.
解：填10，12，14，17，19
5.本商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快出售，该商店采取了如下销售方案，先将价格提高到原来的2.5倍，再作三次降价处理；第一次降价30%标出了“亏本价”，第二次降价30%，标出“破产价”，第三次又降价30%,标出“跳楼价”，三次降价处理销售情况如下表。
问：（1）跳楼价占原价的百分比是多少？
（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案更盈利，请通过计算加以说明.
解析：设原价为1
（1）亏本价=1×2.5（1－30%）=1.75
破产价=1.75（1－30%）=1.225
跳楼价=1.225（1－30%）=0.8575
跳楼价占原价的百分比为85.75%
（2）原价销售额：100×1=100
实际销售额：10×1.75＋40×1.225＋50×0.8575=109.375
∴按新销售方案销售更盈利。
练习
1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤2
x y +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） A ．x ＜y B. x ＞y C. x ≤y D. x ≥y
2．小明在中考前到文具店买了2支2B 铅笔和一副三角板，2B 铅笔每支x 元，三角板每副2元，小明共花了 元。
3．某商店进了一批商品，每件商品的进价为a 元，若要获利20%，则每件商品的零售价应定为：( ).
(A)20%a (元) (B)(1-20%)a (元) (C)120%
a +（元） (D)(1＋20%)a (元) 4．如果a 个人
b 天做
c 个零件，那么b 个人用相同的速度做c 个零件所需要的天数是（ ）
（A ）2a c （B ）2c a
（C ）2c a （D ）2a c 5．一条山路长skm ，一个游人上山的速度是每小时akm ，下山的速度是每小时bkm ，则它的平均速度是（ ）
（A ）2a b +（B ）2s a b +（C ）s s s a b +（D ）2s s s a b
+ 答案：1。
B 2。
（2x+2） 3。
D 4。
A 5。
D。