高二数学月考答题卡.doc
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年度第一学期高二10月考试卷
2023-2024学年度第一学期高二10月考试卷数学考试范围：选择性必修一；考试时间：100分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）1．已知平面α的法向量为()1,2,2a =- ，平面β的法向量为()2,4,b k =--，若αβ⊥，则k＝（）A ．4B ．4-C ．5D ．5-2．如果0,0AB BC <<，那么直线0Ax By C --=不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列选项中，也可以作为空间基底的是（）A ．a b + ，a b - ，cB ．a，a b + ，a b- C ．b c + ，b ，--b cD ．a b +，a b c ++r r r，c4．若θ∈R ，则直线cos 1y x θ=-的倾斜角α的取值范围为（）A ．π3π[,]44B ．]πππ(3[0,),224 C ．π3π[0,][,π)44⋃D ．]πππ(3[0,],4245．已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=有公共点，则r 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,5C ．[]5,9D ．[]1,96．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，且112PF F F ⊥，直线2PF 与C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，若222MF F Q =，则C 的离心率为（）A ．337B ．217C ．73D ．47二、多选题7．已知空间四点()()()()0,0,0,4,3,0,3,0,4,5,6,4O A B C -，则下列说法正确的是（）A ．12OA OB ⋅= B ．12cos ,25OA OB =- C ．点O 到直线BC 的距离为5D ．,,,O A B C 四点共面8．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,3,AA AB AD ===E 是侧面11AA D D 的中心，F 是底面ABCD 的中心，点M 在线段AD 上运动．以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则（）A ．()1,0,3n = 是平面1A BC 的一个法向量B ．直线EF ∥平面11CD DC C ．异面直线EF 与1AC 垂直D ．存在点M ，使得直线1A M 与平面1A BC 所成的角为π49．已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A ．直线l 与圆O 可能相切B ．直线l 与圆O 一定相交C ．当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D ．直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为210．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，P 为C 上一动点，()0,3M ，则下列结论中正确的是（）A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．PM PF +的最小值为4D ．PM 的最小值为3第II 卷（非选择题）三、填空题11．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是11A B 和11A C 的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于．2023-2024学年度第一学期高二10月考试卷数学参考答案：1．D【详解】∵αβ⊥，∴a b ⊥ ，∴2820⋅=---=a b k ，解得5k =-.故选：D2．C【详解】由0Ax By C --=可得，A C y x B B =-,所以直线的斜率0,A B <纵截距0CB->，所以直线经过一、二、四象限，故选:C.3．A【详解】对于A 选项，假设()()c a b a b λμ=++- ，即()()c a b λμλμ=++-，这与题设矛盾，假设不成立，故a b + ，a b - ，c可以构成基底，A 选项正确.对于B 选项，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，因此a，a b + ，a b - 共面，故不能构成基底，B 选项错误.对于C 选项，()--=-+ b c b c ，则b c + ，b ，-- b c 共面，所以b c + ，b ，-- b c 不能构成基底，故C 选项错误.对于D 选项，()++=++ a b c a b c ，因此向量a b + ，a b c ++r r r ，c共面，故不能构成基底，D 选项错误.故选：C.4．C【详解】直线cos 1y x θ=-的斜率cos [1,1]k θ=∈-，显然此直线倾斜角π2α≠，因此0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，解得π04≤≤α或3ππ4α≤<，所以直线cos 1y x θ=-的倾斜角α的取值范围为π3π[0,][,π)44⋃.故选：C5．D【详解】由题知：()11,2C -，1r r =，()24,2C ，24r =，()()221214225C C =-+--=.因为1C 和2C 有公共点，所以1244r C C r -≤≤+，解得19r ≤≤.故选：D 6．B【详解】如图，因为1//OM PF ，所以点M 是2PF 的中点，连接1FQ ，由222MF F Q =，得224PF F Q =，2201(1)8224x -+≥，故选：BC设点(),0Q m ，则11QA QB y k k x m +=-()()(122112y x m y x m y ty ∴-+-=+()226314022t m t t t -=-=++，。
河北省鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 (含答案)
2024~2025学年度高二上学期10月月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设直线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）A.B.C.1D.23.已知直线与平行，且过点，则（ ）A.B.3C.D.24.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）A. B.:80l x +=αα=30 60 120 150α()4,2,n m =- l ()1,3,2u =--l ∥αm =2-1-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=2l ()3,1-ab=3-2-P ABC -G ABC V M PG 3PM MG =,,PA a PB b PC c === AM =311444a b c -++ 311434a b c-++C. D.5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）7.已知实数满足，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（）D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）111444a b c-++111434a b c-++()1,5-220x y-+=()2,72110x y+-=410x y--=4150x y+-=90x y+-=111ABC A B C-ABCV1AA=2AB=C1AB ,x y21y x=-12x-……63yx--[)9,3,4∞∞⎛⎤--⋃+⎥⎝⎦93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)9,3,4∞∞⎛⎤-⋃+⎥⎝⎦9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦P ABC-3PA AB==M()2PM xPA yPB x y PC=++--AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,4,a abc m=+=-=a ∥cA.B.C. D.10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为__________.13.已知向量，若共面，则__________.14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为b = 6m =()2b c a +⊥cos ,b c <>= 1:0l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭1l ∥2l 1a =3-12l l ⊥0a =0a >1l 1111ABCD A B C D -,P M 1111A B C D AP BM AC =⊥P πM 1A BD CP ABCD PM 1()3,1P l x y l ()()()3,2,3,1,3,2,7,0,a b c λ=-=--= ,,a b cλ=111ABC A B C -12,AB AA M ==11B C N的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.AM CN 11ABB A ABC V ()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB 111ABC A B C -1,AB AC AB AC AA ⊥==,E F 11,AB A B AF ∥1B CE 1C E AF 1111ABCD A B C D -ABCD 11,2AC DB AA ⊥==P 1DD 12DP PD =（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知直线过定点.（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上存在一点，使直线与平面，求的长.ABCD 1AD PAC ()1:340l kx y k k ---=∈R P P 2l 1l x A y ,B ABO V S O S 1l P ABCD -ABCD 90,1,2,60,30ADC BCD BC CD PD PDA PAD ∠∠∠∠======= PAD ⊥ABCD ABCD B BO AD ⊥AD O PO PO ⊥ABCD A PB C --PA M BM PAD PM2024~2025学年度高二上学期10月月考·数学参考答案、提示及评分细则1.A 因为直线的斜率为，又，.故选A.2.B 因为，所以，所以，解得.故选B.3.D 因为直线与直线平行，，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.4.A 因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以.故选A.5.C 点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即，故选C.6.C 取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，:80l x +=k =tan α=0180α< …30α= l ∥αn u ⊥ 4620n u m ⋅=-++= 1m =-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=12121313,,22k k k k a a=-=-=⇒-=-6a =2:l ()3,1-960b -++=3b =1l 2l 2ab∴=G ABC V ()()()1112333AG AB AC PB PA PC PA b c a =+=-+-=+-M PG 3PM MG =()()1131311132444443444AM AG GM AG GA AP PA AG a b c a b c a =+=++=-+=-+⨯+-=+-()1,5-220x y -+=(),x y ()51312351202y x x y y x -⎧=-⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=+⎩⎪--+=⎪⎩()()733,3,2,7,423k -==--()433y x =--+4150x y +-=AC O ,BO AC BO ⊥=O xyz -()()10,1,0,,0,1,0A B C -()1,0,2,0AB CA ==-CA 1AB11CA AB AB ⋅==故点到直线的距离为.故选C.7.D 由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且，，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选D.8.B 延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值为点到平面的距离，又点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又，易得点到平面的距离为，所以.故选B.9.ABD ，故A 正确；，设，故B 正确；，故C 错误；，故D正确.故选ABD.10.ACD11.BCD 因为，所以，即点在底面C 1AB d ==(),x y 21y x =-12x -……(),x y AB ()1,3A --()2,3B ()3,6Q ()()63963,331432QA QB k k ---====---(),x y AB 63y x --9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,PA PB PC ,,D E F 2,2,2PD PA PE PB PF PC ===()()22222x y x y PM xPA yPB x y PC PD PE PF --=++--=++ ()21222x y x y --++=,,,M D E F AM A DEF A PD A DEF P DEF 6PD PE PF DE DF EF ======P DEF AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,1,1,a a b b b =+=-∴=--∴== ()2,4,,c m a = ∥c 121,24263a c m m λλλλλ=⎧⎧=⎪⎪=∴=⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()()22,2,8,2212283260b c a b c +=-⋅+=-⨯+⨯+⨯=≠cos ,b c b c b c⋅<>===⋅AP ===11A P =E内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A 错误；在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B 正确；因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切，故C 正确；到直线的距离为落在上时，，故D 正确.故选BCD.12.答案见错题集13.5 因为共面，所以存在实数，使得，即，即14. 取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，1111A B C D 1A 14P π21111ABCD A B C D -AC BD ⊥,,,AC BM BD BM B BD BM ⊥⋂=⊂DBM AC ⊥DBM M 11B D 11B D ∥1A BD M 1A BD P ABCD P ABCD P 'P C 'CP ABCD min 1P C ='CP ABCD 1A 11B D d =,P M 11A C min 1PM =-,,a b c ,x y c xa yb =+ ()()()7,0,3,2,31,3,2x y λ=-+--73023,3,2, 5.32x yx y x y x y λλ=-⎧⎪=-+===⎨⎪=-⎩解得AB O O ()0,1,0A )CM a a ⎛- ⎝a ⎡∈⎣N AM 2a N ⎛ ⎝2a CN a ⎛= ⎝ 11ABB A )OC =cos ,OC CN OC CN OC CN⋅<>==⋅设，则，，故.15.（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.（1）证明：由于三棱柱是直三棱柱，所以，因为点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面（2）解：因为直三棱柱，所以以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则2a t t ⎡=∈⎢⎣cos ,OC CN <>==1t ⎡∈⎢⎣cos ,OC CN <>∈ D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD ()10139y x +=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=111ABC A B C -11AB A B ∥,E F 11,AB A B 1AE B F ∥1AEB F AF ∥1B E AF ⊄11,B CE B E ⊂1B CE AF ∥1;B CE 111,ABC A B C AB AC -⊥A 1,,AB AC AA x y z 12AA =()()()10,2,2,1,0,0,1,0,2C E F ()()11,2,2,1,0,2C E AF =--=1C E AF θ11cos C E AF C E AFθ⋅==⋅所以直线与直线17.（1）证明：连接，如图所示，在直四棱柱中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，1C E AF DB 1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥111111,,,AC DB BB DB B BB DB ⊥⋂=⊂1BDB AC ⊥1BDB BD ⊂1BDB AC BD ⊥ABCDABCD D 1,,DA DCDD x y z )()()14,,0,0,2,0,0,3AC D P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()144,,233PA PC AD ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎭⎝⎭PAC (),,n xy z =403403n EA z n EC z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩3z =x y ==PAC ()n =1AD PAC θ所以，即直线与平面.18.答案见错题集19.答案见错题集111sin cos ,||n AD n AD n AD θ⋅==== 1AD PAC。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线24y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为2p x =-2．双曲线29x －24y ＝1的渐近线方程是 ．【答案】 230x y ±=．【解析】由29x －24y ＝0得230x y ±=．3．若()xf x e x =-，则=)0('f ____________． 【答案】0【解析】由于'()()'()'11x x xf x e x e e =-=-=-，所以=)0('f 1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 【答案】－e【解析】由于y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e ＝－1，所以a ＝－e.5．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.6.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则2z x y =+的最小值 ．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙＡＢｘ目标函数：y x z +=2，则 z x y +-=2当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z 有最小值32min =+=y x Z .7．已知p ：0322≤-+x x ，q ：a x ≥．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__________．【答案】3-【解析】由0322≤-+x x 知13≤≤-x ，当3-≤a 时p 是q 的充分不必要条件，所以实数a 的最大值为3-．8．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________．【答案】215【解析】由题102=a ，由于点P 到左焦点的距离为4，所以点P 到右焦点的距离为6．设点P 到右准线的距离为d ，则有546==e d，即215=d ． 9.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上一点，则M 到直线l ：3420x y +-=的距离的最大值为 ．【答案】8【解析】圆心到直线距离为2555d ==，最大距离为538d r +=+=.10.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．11.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】作出可行域如图:22x y +表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y ≤+≤.12．如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ．【答案】33【解析】设m AF =1，则m AF 22=，a m 23=，即m a 23=，又c m F F 2321==，即mc 23=，所以33==a c e ．13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为 ． 【答案】6【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . 若PQ ＝λAP ，则实数λ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】 解法1 λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQAP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k (x ＋2)得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[](2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)＝0，所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2(2k 2＋1)2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1.由于k 2>0，所以0<λ<1. 解法2 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x ＋2)消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由于k 2>0，所以0<λ<1。
高二数学月考试卷(含答案)-图文
高二数学月考试卷（含答案）-图文宁夏育才中学2022～2022学年第一学期高二年级月考试卷数学考试答题卷(试卷满分150分，考试时间为120分钟)命题人：王红霞答题说明：1.考生应把学校、考场、考号、姓名写在密封线以内，密封线以外的无效。
2.请用钢笔、中型笔或圆珠笔把答案写在答题卡的横线上。
：线一．选择题号位座题123456789101112号选项题二．填空题答1314.：场15.，16.考得三．解答题17题封不内：名线姓封密18题：密号考：级班共页第1页19题20题共页第2页共页第1页22题表1：生产能力100,110110,120120,130130,140140,150分组人数48某53表2：生产能力分110,120120,130130,140140,150组人数6y3618共页第2页密封线内不得答题21题宁夏育才中学2022～2022学年第一学期高二年级数学月考试卷(试卷满分150分，考试时间为120分钟)命题人：王红霞一．选择题（每题5分，共60分）1.算法:S1输入nS2判断n是否是2，若n=2，则n满足条件，若n>2，则执行S3：号线S3依次从2到n一1检验能不能整除n，若不能整除n,则n 满足条件，满足上位述条件的n是()座A．质数B．奇数C．偶数D．约数2．右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）题A．c某B．某cC．cbD．bc开始3．将两个数a8,b17交换,使a17,b8,输入a，b，c：答下面语句正确一组是()场A.B.C.D.某a考得a=bc=bb=aa=c封不b=ab=aa=bc=bb某是a=cb=a否某b4．已知7163＝209某34+57，209＝57某3+38，57＝38某l+19，是内38＝19某2。
根据上述系列等式，确定7163和209的最大公：约数是()．某c名线A．57B．3C．19D．2否姓5.下列说法中，正确的是()．输出某封A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方结束密C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数6.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和：密频率分别是()号考组号12345678频数1013某141513129A.14和0.14B.0.14和14C.11114和0.14D.3和14：7.某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的级比为101，行政人员有24人，采取分层抽样容量为50的样本，那么行政人员应抽班取的数为()A.3B.4C.6D.8共页第1页8.从932人中抽取一个样本容量为100的样本，采用系统抽样的方法则必须从这932人中剔除（）人A、16B、24C、32D、489.将数300124转化为十进制数为（）开始A.524B.774C.256D.26010.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）=0,n=2a1b3否aabn<21bab是PRINTa，bA．1,3B．4,1C．0,0D．6,0=+1n11.从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语输出测验，其测验成绩的方差分别为S221=13.2，S2=26．26，n=n+2()．结束A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度12.如右图，右边的程序框图所进行的求和运算是（）A．11111112+4+6+…+20B．1+3+5+…+19C．1+1112+4+…+18D.11112+22+23+…+210二．填空题（每题5分，共20分）13.用秦九韶算法计算多项式f(某)1235某8某279某36某45某53某6在某4时的值时,V2的值为14.下面是一个算法的流程图，当输入的值为3时,输出的结果为15.随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1,a2,,an，则下图所示的程序框图输出的，表示的样本的数字特征是．16.已知样本9,10,11,某,y的平均数是10，标准差是2，则某y共页第2页开始输入某N某<5y=2某2Y+2y=某2-1输出S第14题结束第15题三．解答题（共70分，请写出必要的解题步骤）17（10分）用辗转相除法求156，126的最大公约数，并用更相减损术证明18（12分）对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/)的数据如下：甲273830373531乙332938342836试判断选谁参加某项重大比赛更合适19（12分）写出计算1+2+3+…+100的值的程序框图，并写出算法语句.(要求用循环结构)20（12分）从甲乙两班各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下：甲班76748296667678725268乙班86846276789282748885画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况。
高二数学月考试题及答案
潮阳实验学校2015－2016学年度第一学期第一次月考高 二 数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1。
答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对。
2。
答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0。
5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在．试题．．卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．。
4。
考试结束，务必将答题卡上交，试卷和草稿纸请自己带走。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝｛x ｜x 2－2x ＝0},B ＝｛0，1，2｝,则A ∩B ＝（ )A ．｛0}B ．{0，1｝C ．{0,2｝D ．｛0，1，2｝2．下列函数中,定义域是且为增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列推理错误的是（ )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α,A ∈β,B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α,A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α4。
已知圆的半径为,圆心角为所对的弧长是( ）A ．B ．C ．D ．5．根据如下样本数据：A ．a 〉0，b 〉0B ．a 〉0，b 〈0C ．a 〈0，b 〉0D ．a 〈0，b 〈06．的值为（ )A ．B ．C ．D ．7．执行如图2的程序框图，如果输入的的值是6,那么输出的的值是（ )A ．15B ．105C ．120D ．720高二数学第 2 页 共 5 页 8。
江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题含解析
2023-2024学年第一学期高二年级10月学情调研测试数学试题（答案在最后）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过()0,4A ，)B两点的直线的倾斜角为（）A.60-︒ B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】根据两点坐标可得直线斜率，进而可得倾斜角.【详解】由()0,4A ，)B ，可知直线斜率k ==，所以直线倾斜角α满足tan α=，且[)0,180α∈︒，所以120α=︒，故选：C.2.直线(1)330a x y +++=与直线(1)10x a y +-+=平行，则实数a 的值为（）A.2-B.12C.2D.2或2-【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】因为直线(1)330a x y +++=与直线(1)10x a y +-+=平行，所以(1)(1)3a a +-=且(1)131a +⨯≠⨯，解得2a =-.故选：A.3.若双曲线2222x y a b-=1()0,0a b >>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.0x y ±= B.0x ±=C.y ±=D.y ±=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率求得ba，进而即得．【详解】由题意得2c e a ====，∴ba=又双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，∴双曲线的渐近线方程是y =，即0y ±=．故选：C ．4.《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则第1人比第3人多得钱数为（）A.16钱 B.13钱 C.12钱 D.23钱【答案】B 【解析】【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a ，则有12345a a a a a +=++，123455a a a a a ++++=，从而可求出1,a d ，进而即得.【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a ，则有12345a a a a a +=++，123455a a a a a ++++=，故11123954552a d a d a d +=+⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则13123a a d -=-=，故选：B.5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:8C y x =，P 为x 轴正半轴上一点，线段OP 的垂直平分线l 交C 于,A B 两点，若60OAP ︒∠=，则四边形OAPB 的周长为（）A.64B.C.6433D.643【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的对称性和几何关系得出四边形OAPB 为菱形，然后设()2,0P t ，从而得出()A t ，带入抛物线的方程求解即可.【详解】因为线段OP 的垂直平分线交交C 于,A B 两点,所以结合抛物线的对称性可得AB 与OP 互相平分,则四边形AOBP 为菱形.设点()2,0P t 且0t >,则线段OP 的垂直平分线l 方程为x t =,令l 与x 轴交于点H ,又60OAP ∠= ,则在直角三角形AOH 中30OAH ∠= ,所以()A t ，A 在抛物线2:8C y x =上，)288,3t t ==，1622,3AO OH t ===则四边形OAPB 的周长为644,3AO =故选：D6.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若(1,1)M -且2OA OB OM +=，则E 的方程为（）A.22163x y += B.22196x y +=C.221123x y += D.221189x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解．【详解】因为右焦点(3,0)F ，故229a b =+，设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ，由2OA OB OM +=可知M 是AB 的中点，122x x ∴+=，122y y +=-，且2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴22212122221212()2011()2312ABFMy y b x x b b k k x x a y y a a -++==-=-====-+--，22229a b b ∴==+，29b ∴=，218a =，故椭圆E 方程为221189x y +=，故选：D.7.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左焦点为1F ，焦距为4，点A 的坐标为(2,1)，P 为双曲线右支上一动点，则1PF PA -的最大值为（）A.B.C.1+D.【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的性质的得到a =，利用双曲线的定义将1PF PA -最大值转化为22a PF PA +-的最大值，然后根据几何知识求最大值即可.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦距为2c ，由题意得a b =，2c =，则2242c a ==，解得a =由双曲线的定义得122PF PA a PF PA -=+-，所以1PF PA -最大值即22a PF PA +-的最大值，如图，连接2AF 与双曲线交于E ，F 两点，由题意得当点P 在F 处时22a PF PA +-最大，()22max 221a PFPA a AF +-=+=.故选：C .8.已知双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为12,A A ，垂直于x 轴的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，且12180MA N MA N ︒∠+∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意画出图形，由题可得121MA MA k k ⋅=，设()00,Mxy ，利用两点连线斜率公式可化简得到221b a =，由e =可求得双曲线的离心率.【详解】如图，因为12180MA N MA N ︒∠+∠=，所以1290MA x MA x ︒∠+∠=，121MA MA k k ⋅=，由题意知()()12,0,,0A a A a -，设()00,M x y ，则2200221x y a b-=，所以1222022*********000011MA MA x b a y y y b x a x a x a a k a k x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅====+---⋅，∴双曲线C 的离心率2212b e a=+=.故选：A.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.关于直线l 320x y ++=，下列说法正确的有（）A.直线l 的斜率为33-B.经过点(3,1)-C.在y 轴上的截距为2 D.直线l 经过第二､三､四象限【答案】BD 【解析】【分析】根据直线方程可判断B ，由一般式化为斜截式可判断ACD.【详解】因为直线l 320x y ++=，令3x =-1y =，即直线经过点(3,1)，故B 正确；320x y ++=可得32y x =--，所以直线的斜率为，直线在y 轴上的截距为2-，直线l 经过第二､三､四象限，故AC 错误，D 正确.故选：BD.10.下列说法正确的有（）A.数列1,2,3和3,2,1是两个不同的数列；B.数列24{}23nn n ++1-；C.数列1{}n是递减数列；D.数列{}n a 的通项公式22n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，则4λ≥-.【答案】AC 【解析】【分析】利用数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】对于A ，因为数列1,2,3与数列3,2,1，两个数列的顺序不同，所以它们是两个不同的数列，故A 正确；对于B，因为24413232n n n n n =≤=++++，当且仅当3=n n，即n =*N n ∈，故等号不成立，故B 错误；对于C ，由反比例函数的性质可知数列1{}n是递减数列，故C 正确；对于D ，由题可知()()()2212112420n n a a n n n n n λλλ+-=+++-+=++>恒成立，即42n λ>--，*N n ∈恒成立，所以6λ>-，故D 错误.故选：AC11.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线22:221C x xy y ++=，点00(,)P x y 为曲线C 上一点，则（）A.曲线C 关于y 轴对称；B.曲线C 关于原点对称；C.点P 的横坐标0x的取值范围为[；D.直线1y x =+与曲线C 有且仅有两个公共点.【答案】BCD【解析】【分析】A 选项，若曲线C 关于y 轴对称则()00,x y -满足曲线C 的方程，代入不一定成立，故曲线C 不关于y 轴对称；B 选项，若曲线C 关于原点对称则()00,x y --满足曲线C 的方程，代入成立，故曲线C 关于原点对称；C 选项，将曲线C 的方程可整理为22112122y x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，然后列不等式求解即可；D 选项，联立方程，根据根的判别式判断即可.【详解】由题意得220000221x x y y ++=，将()00,x y -代入曲线C 的方程中得2200000022141x x y y x y -+=-=，不一定成立，所以曲线C 不关于y 轴对称，故A 错；将()00,x y --代入曲线C 的方程中得220000221x x y y ++=，成立，所以曲线C 关于原点对称，故B 正确；曲线C 的方程可整理为22112122y x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为21202y x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以21102x -≥，解得x ≤≤，故C 正确；联立221221y x x xy y =+⎧⎨++=⎩得25610x x ++=，26451160∆=-⨯⨯=>，所以直线与曲线C 有且仅有两个公共点，故D 正确.故选：BCD.12.过抛物线C ：()220y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A ，B 在C 的准线l 上的射影分别为1A ，1B ，O 为坐标原点，则（）A.以AB 为直径的圆与准线l 相切B.OAF △可能为正三角形C.112||||AF BF p+=D.记1111,,AA F A FB FB B 的面积分别为123,,S S S ，则22134S S S =【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据抛物线的定义和梯形中位线的性质得到AB 到准线的距离为2AB ，即可说明相切；B 选项，假设OAF △为正三角形，根据正三角形的性质得到1A M MA =，即可得到,2p A p ⎛⎫-⎪⎝⎭，此时1OA AA ≠，即可说明不存在OAF △为正三角形；C 选项，直线AB ：2px my =+，联立直线和抛物线方程，然后利用韦达定理求11AF BF+；D 选项，根据三角形面积公式和韦达定理即可得到22134S S S =.【详解】如图，假设点A 位于第四象限，根据抛物线的定义可得11AB AF BF AA BB =+=+，设AB 中点为G ，点G 在准线l 上的射影为1G ，所以11122AA BB AB GG +==，所以以AB 为直径的圆与准线相切，故A 正确；设1AA 与y 轴交于点M ，若OAF △为正三角形，则1A M MA =，即2A p x =，此时,2p A p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12OA p AA p ==≠=，所以此时OAF △不是正三角形，故B 错；设直线AB ：2p x my =+，联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y pmx p --=，则2A B y y pm +=，2A B y y p =-，()22A B A B x x m y y p pm p +=++=+，()222244A B A B A B pm p p x x m y y y y =+++=，所以()2112224A B A B A B A B A B AF BF x x p x x p p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++++++===⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22222222222424pm p pm p pp p p p p pm p p m +++===++++，故C 正确；1122A A p S x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()212B A S p y y =⋅⋅-，3122B B p S x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()()()222222134A B A B A B A B A B S S my p my p y y m y y mp y y p y y p m p p ⎡⎤=-++=-+++=+⎣⎦，()()()222222222211444B A B A A B S p y y p y y y y p m p p ⎡⎤=-=+-=+⎣⎦，所以22134S S S =，故D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡中的横线上.）13.在数列{}n a 中，12211,2,3n n n a a a a a ++===+，则4a =___________.【答案】23【解析】【分析】根据递推关系赋值运算可得.【详解】∵12211,2,3n n n a a a a a ++===+，令1n =，可得32173a a a =+=，令2n =，可得342233a a a =+=.故答案为：23.14.点(1,2)关于直线2390x y --=对称的点的坐标为___________.【答案】()5,4-【解析】【分析】设点(1,2)关于直线2390x y --=对称的点的坐标是(,)a b ，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点(1,2)关于直线2390x y --=对称的点的坐标是(,)a b ，则2211312239022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-⨯-=⎪⎩，解得54a b =⎧⎨=-⎩，所以点(1,2)关于直线2390x y --=对称的点的坐标是()5,4-.故答案为：()5,4-.15.已知直线:440l kx y k -+-=与曲线22y x x =-+有一个公共点，则实数k 的取值范围为___________.【答案】12k <≤或664k -=【解析】【分析】直线l 过定点()4,4P ，曲线22y x x =-+表示以()1,0为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案.【详解】直线:440l kx y k -+-=，得()440k x y --+=，可知直线l 过定点()4,4P ，由22y x x =-+可得()()22110x y y -+=≥，曲线22y x x =-+表示以()1,0为圆心，1为半径的上半圆，当直线l 与半圆相切时，24311k k -=+，解得664k -=，或664k +=(舍去)，曲线22y x x =-+与x 轴交于点()()0,0,2,0O A ，1,2PO PA k k ==，因为直线:440l kx y k -+-=与曲线22y x x =-+有一个公共点，所以12k <≤或664k -=.故答案为：12k <≤或664k -=.16.已知直线l 与圆22:16O x y +=交于,A B 两点，点(5,0)P 满足PA PB ⊥，若AB 的中点为M ，则OM 的最大值为___________.【答案】52+【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,)M x y ，则122x x x +=，122y y y +=，由点在圆上可得2212212216x y y x x y -=++，再由向量垂直的坐标表示可得12121025x x x y y -=+，进而可得M 的轨迹为圆，即可求OM 的最大值.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,)M x y ，则122x x x +=，122y y y +=，又221116x y +=，222216x y +=，则222212121212112222(()2)322x y x y x x x x y y y y +--++=+=++，所以2212212216x y y x x y -=++，又PA PB ⊥，则0PA PB ⋅= ，而11(5,)PA x y =- ，22(5,)PB x y =- ，所以1212125()250x x x x y y -++=+，即12121025x x x y y -=+，综上，2222110256x y x +--=，整理得225()724x y +-=，即为M 的轨迹方程，所以M 在圆心为5(,0)2，半径为2的圆上，又225(0)0254427-=+>，所以点O 在圆225()724x y +-=外，则max 225OM =+=，即OM 的最大值为52+故答案为：572+.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于AB 中点(,)M x y 的轨迹方程.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知直线:230l x y --=（1）若直线1l 过点(2,1)M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线2//l l ，且直线2l 与直线l 52l 的方程.【答案】（1）230x y +-=；（2）220x y -+=或280x y --=.【解析】【分析】（1）根据直线位置关系可得直线1l 的斜率，然后利用直线的点斜式即得；（2）由题可设直线2:20l x y C -+=，然后根据平行线间距离公式即得.【小问1详解】由题可知直线l 的斜率12k =，因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为2-，所以直线1l 的方程是()122y x +=--，即230x y +-=；【小问2详解】设直线2:20l x y C -+=，则平行线2l 与l之间的距离d ==2C =或8C =-，所以直线2l 的方程是220x y -+=或280x y --=.18.已知两圆221:2610C x y x y ++-+=和222:6120C x y x y m +--+=，求：（1）当m 取何值时两圆外切？（2）当9m =-时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【答案】（1）41（2）4350x y ++=；【解析】【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【小问1详解】由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：()()222122::(1)(3)9,(3)64545C x y x C y m m ++-=-+-=-<，所以()()11221,3,3,3,6,C r C r -==，因为两圆外切，所以1212C C r r ==+，即35=，所以41m =；【小问2详解】当9m =-时，222212:2610,:61290C x y x y C x y x y ++-+=+---=，两圆相减得：86100x y ++=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4350x y ++=，圆心()11,3C -到直线4350x y ++=的距离为2d ==，所以公共弦长为==.19.已知圆C 经过(1,1),(2,0)A B 两点，且与y 轴的正半轴相切.（1）求圆C 的标准方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2210PB PA -=若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(5)(4)25x y -+-=；（2）这样的点P 有2个.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列方程组即得；（2）假设在圆C 上存在点(),P x y ，可得40x y -+=，然后根据直线与圆的位置关系即得.【小问1详解】设圆C 的标准方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，由条件可得：()()()()2222221120a b r a b r r a ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪=⎪⎩，解得545a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或101a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，又因为圆C 与y 轴正半轴相切，所以5,4,5a b r ===满足题意，圆C 的标准方程为22(5)(4)25x y -+-=；【小问2详解】存在这样的点P ，并且这样的点P 有2个.假设在圆C 上存在点(),P x y 使得22||||10PB PA -=，则2222(2)(1)(1)10x y x y ⎡⎤-+--+-=⎣⎦，化简，得40x y -+=，说明点P 为直线40x y -+=与圆C 的公共点，又圆C的圆心到直线的距离5d r ==，即直线40x y -+=与圆C 相交，所以在圆C 上存在点P 使得22||||10PB PA -=，并且这样的点P 有2个.20.已知O 为坐标原点，4(),Q m 位于抛物线2:2(0)C y px p =>上，且到抛物线的准线的距离为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点(1,3)A -，过抛物线焦点的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，求AM AN ⋅的最小值以及此时直线l 的方程.【答案】（1）28y x=（2）2340x y --=.【解析】【分析】（1）根据点Q 在抛物线上，到准线的距离为4列方程，解方程即可；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到()238162AM AN t t ⎛⎫⋅=--∈ ⎪⎝⎭R ，然后求最小值和直线方程即可.【小问1详解】根据题意可得42p m +=，所以42p m =-又24242p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得4p =，故所求抛物线C 方程28y x=.【小问2详解】设点()()1122,,,M x y N x y ，抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0.当直线l 的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l 的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l 的方程为：2x ty =+；联立抛物线方程可得282y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得：28160y ty --=，由韦达定理得128y y t +=，1216y y ⋅=-,易知()111,3AM x y =+- ,()221,3AN x y =+- ,故()()()()()()()()1212121211333333AM AN x x y y ty ty y y ⋅=+++--=+++-- ()()()()()()2212121331811633818t y y t y y t t t =++-++=+-+-⋅+()22382428162t t t t ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭R 所以当32t =时，AM AN ⋅ 取最小值16-，此时直线l 的方程为2340x y --=.21.已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，左､右顶点分别为1(1,0)A -，2(1,0)A .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l x =上任意一点，若直线12,A P A P 分别与双曲线C 交于点,M N ，求证：直线MN 恒过定点.【答案】（1）2213y x -=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线C 的方程；（2）设1,2P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由直线1PA 、直线2PA 的方程分别与双曲线方程联立，求得,M N 两点的坐标，当32t =±时可得直线MN 经过双曲线的右焦点()2,0F ，然后可得32t ≠±时，直线MN 也经过点()2,0F ，进而即得.【小问1详解】不妨设双曲线的半焦距为c ，由条件，1,2c a a==，所以2c =，于是2223b c a =-=，所以，双曲线C 的方程为2213y x -=；【小问2详解】设1,2P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线12,A P A P 的方程分别为()()21,213y t x y t x =+=--，由222(1)313t y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()222227484270t x t x t ----=，记()11,M x y ，则1-和1x 是该方程的两个根，则2112242736,274274t t x y t t +==--，即22242736,274274t t M t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，由()222113y t x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，得()2222348430t x t x t -+--=，记()22,N x y ，则1和2x 是该方程的两个根，则222224312,4343t t x y t t +-==--，即2224312,4343t t N t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，当32t =±时，222227443227443t t t t ++==--，直线MN 垂直于x 轴，直线MN 经过双曲线的右焦点()2,0F ，下证当32t ≠±时，直线MN 也经过点()2,0F ，22222360362742742745482274MFt t t k t t t t --==++-+--223612122749t t t t ==--，222221201243434386243NF t t t k t t t t ----==++-+--2212129449t t t t -==--，所以MF NF k k =，即直线MN 也经过点()2,0F ，综上，直线MN 恒过双曲线的右焦点()2,0F .【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:(0)x y a b a b G +=>>的离心率为33，其短轴的一个端点与两焦点，构成的三角形周长为31)+.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知,,A B C 是椭圆Γ上的相异三点，并且,A C 关于原点对称，若ABC ，求||||AB BC ⋅的取值范围.【答案】（1）22132x y +=（2）⎡⎤⎣⎦.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率知3c a =，由题意知)2221a c c +=+，联立方程组即可求出a 和c ，根据222a b c =+，求得b ，即可求出椭圆方程.（2）首先需对直线AB 斜率是否存在分情况讨论，直线AB 斜率不存在时，ABC 为直角三角形，所以此时2AB BC S ×==；当直线AB 斜率存在时，设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，得到()()222236320k x km m +++-=，根据直线与椭圆相交弦长公式，点到直线距离公式，求出ABC 中底边AB 长，和底边AB 上的高，表示出ABC 面积，根据中位线的性质求出BC 的长，然后得出AB BC ⋅，求其范围即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c ，则由,3c a a ==，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形周长为)2221a c c +=+，所以))2121c =+，解得1c =，从而2222a b a c ==-=，所以椭圆的方程为22132x y +=.【小问2详解】当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由题意知0m ≠.将y kx m =+代入方程22132x y +=中，整理得()()222236320k x km m +++-=，此时必须有()()2222Δ36122320k m k m =-+->，即2232k m +>（*），设()()1122,,,A x y B x y ，则有()2121222326,2323m km x x x x k k-+=-=++，所以12AB x =-==，又,A C 关于原点的对称，则()11,C x y --，所以点C 到直线AB 的距离：h ===所以三角形ABC的面积S ==，整理得22322k m +=，符合（*）式，又122233322322x x km km k k m m +=-=-=-+，22121232312222y y x x k m k k m k m m m m ++-⎛⎫=+=-+== ⎪⎝⎭，所以弦AB 的中点为31,2k M m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，从而2BC OM====，12AB x =-===所以AB BC ⋅==，因为22322k m +=，所以21m ≥，所以2211256234m m ⎛⎫⎛⎫≤+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以5AB BC≤⋅≤，当直线AB 的斜率不存在时，三角形ABC 为直角三角形，2AB BC S ×==综上，||||AB BC ⋅的取值范围为⎡⎤⎣⎦.。
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2009~2010学年度上学期高二年级第一次质量测试 数学（理）试题答题卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共25分） 13._______________ 14.__________________ 15._______________ 16.___________________ 17._______________ 三、解答题（本大题共5小题，共65分） 18. （15分）. 已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称, 试判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性,并证明你的结论.
考
号
班
级
姓
名
19.（14分）在数列{a n }中，)(22,
111++∈+==N n a a a a n n n ，试猜想这个数列的通项
公式，并用数学归纳法证明.
20.（14分） 设复数()()
22lg 2232i z m m m m =--+++．
（Ⅰ）若z 是纯虚数，求实数m 的值；
（Ⅱ）若z 是实数，求实数m 的值；
（Ⅲ）若z 对应的点位于复平面的第二象限，求实数m 的取值范围．
21．（12分）已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两相等实根，且()22f x x '=+ (Ⅰ)求()f x 的解析式．
(Ⅱ）求函数()y f x =与函数2
41y x x =--+所围成的图形的面积。
22.（10分）已知函数()f x = 2
ax x b
+在x ＝1处取得极值2． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）实数k 满足什么条件时，函数()f x 在区间(2,41)k k +上单调递增？。