三角函数的周期性
三角函数的周期性
.
4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
.
7
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】 (1)
2 sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期与
2 2
sinx的最小正周期相同，都是2π.
.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
高考数学复习点拨 理解三角函数的周期性
高考数学复习点拨理解三角函数的周期性高考数学复习点拨理解三角函数的周期性高考数学复习点拨理解三角函数的周期性认知三角函数的周期性(+2kπ)=sin，x(k∈z及)cos(x+2kπ)=cosx(k∈z)成立，y=sinx，x∈r和等式sinxy=cosx，x∈r的图象内要2π重复．函数周期性定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+t)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．1．认知定义时，必须把握住定义域内任一个x都满足用户f(x+t)=f(x)设立才行及π5ππ⎛ππ⎛⎛5ππ⎛⎛ππ⎛例如：sin+⎛=sin，sin+⎛=sin，但sin+⎛≠sin，446⎛42⎛⎛42⎛⎛62⎛π不是y=sinx的周期．2周期并不惟一，若t就是y=f(x)的周期，那么2t也就是y=f(x)的周期．这是因为f(2t+x)=f[t+(t+x)]=f(t+x)=f(x)；若t就是y=f(x)的周期，k∈z且k≠0，则kt也就是f(x)的周期．2π就是函数y=sinx和y=cosx的周期，那么2kπ(k∈z且k≠0)也就是y=sinx和y=cosx∴的周期．2．最小正周期的概念如果在周期函数f(x)的所有周期中存有一个最轻的正数，那么这个最轻正数就叫作f(x)的最轻正周期．-2π，4π，-4π，…中，存在最小正数2π，那么2π就是例如：函数y=sinx的周期2π，y=sinx的最轻正周期．函数y=cosx的最轻正周期也就是2π．基准1谋以下函数的最轻正周期t．（1）f(x)=3sinx；（2）f(x)=sin2x；π⎛⎛1（3）f(x)=2sinx+⎛．4⎛⎛2求解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π)，最轻正周期t=2π．（2）f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π)，最小正周期t=π；π⎛π⎛1⎛1⎛⎛1（3）f(x)=2sinx+⎛=2sinx++2π⎛=2sin⎛(x+4π)+4⎛4⎛2⎛2⎛⎛2最小正周期t=4π．π⎛=f(x+4π)，4⎛⎛2π总结通常规律：y=asin(ωx+ϕ)，y=acos(ωx+ϕ)的最轻正周期就是y=atan(ωx+ϕ)的最小正周期是ω；π．ωπ⎛⎛1基准2澄清：y=2sinx+⎛的周期为2π．3⎛⎛2π⎛2π⎛1=4π，证明：y=2sinx+⎛的周期为123⎛⎛2根据函数的图象特征，所述函数的周期增加一倍，故其周期为2π．注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。
三角函数的周期性
2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f (x) 如果在它所
有的周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小的正数就叫做 f (x)的
最小正周期。
说明： （1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别
说明，一般都是指的最小正周期；
（2）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？
例1．求下列函数周期：
（1） y 3cos x x R
（2） y sin 2x x R
（3） y 2sin(1 x )
26
xR
说明： 一般结论：函数 y Asin(x ) 及 函数 y Acos(x ) x R
（ 其中 A,, 为常数，且 A 0， 0 ） 的周期 T 2 ；
那么函数 f (x)就叫做周期函数，
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
说明： (1)T必须是常数，且不为零；
(2)对周期函数来说 f (x T ) f (x) 必须对定义域内的任意 x都成立。
思考：
（1）对于函数y sin x, x R,有sin( 2 ) sin ,
– –
y
正弦曲线 1 y sinx , x R
x
-2
-
o
2 3
4
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
-
o
2
3
x
-1
1、周期的定义
对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常
数 T，使得当 x 取定义域内的每一
个值时，都有 f (x T ) f (x)，
63
6
能否说 2 是y sin x的周期。
3
三角函数的周期性与对称性
三角函数的周期性与对称性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在研究三角函数时，我们不可避免地会接触到它们的周期性与对称性。
本文将从周期性和对称性两个方面来探讨三角函数的特点。
一、周期性周期性是三角函数的显著特点之一。
所谓周期性，指的是函数在一定的区间内具有相同的性质，即在该区间内函数的值以一定规律重复出现。
在三角函数中，我们主要关注正弦函数和余弦函数的周期性。
1. 正弦函数的周期性正弦函数以y = sin(x)的形式表示，其周期为2π。
也就是说，当x的取值范围为[0, 2π)时，sin(x)函数的图像会在这个区间内重复出现。
具体来说，sin(x)在[0, π/2]区间上递增，在[π/2, π]区间上递减，在[π,3π/2]区间上再次递增，而在[3π/2, 2π)区间上再次递减。
因此，从0开始，每增加2π，sin(x)函数的图像就会重新回到原点。
2. 余弦函数的周期性余弦函数以y = cos(x)的形式表示，其周期也是2π。
与正弦函数类似，当x的取值范围为[0, 2π)时，cos(x)函数的图像也会在这个区间内重复出现。
不同的是，cos(x)在[0, π/2]区间上递减，在[π/2, π]区间上递增，在[π, 3π/2]区间上再次递减，而在[3π/2, 2π)区间上再次递增。
同样地，从0开始，每增加2π，cos(x)函数的图像也会重新回到原点。
二、对称性除了周期性，三角函数还具有对称性。
所谓对称性，指的是函数具有某种镜像对称的性质。
在三角函数中，我们主要关注关于y轴对称和关于x轴对称这两种对称性。
1. 关于y轴对称正弦函数和余弦函数都是关于y轴对称的，即将函数图像绕y轴旋转180度后，图像与原图完全重合。
这意味着在y轴左侧的函数值与y 轴右侧的函数值是相等的。
以正弦函数为例，当sin(x) = y时，sin(-x)也等于y。
2. 关于x轴对称与y轴对称类似，正弦函数和余弦函数也是关于x轴对称的，即将函数图像绕x轴旋转180度后，图像与原图完全重合。
人教高一数学三角函数的周期性
及函数y=Acos(ωx+Ψ),x∈R
(其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T=2π/ω.
练习：
１．求下列函数的周期：
(1) y sin 3 x, x R ; (2 ) y co s x ; 3
(3) y 3sin x , x R;(4) y sin(x );
2、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用 的是相同的对应法则f.
3、 函数y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R(其中A,ω,Ψ为常数，且 A≠0,ω>0)的周期T=2π/ω.
作业：
１．教材Ｐ５８３． ２．利用定义证明 y=Asin(ωx+Ψ),x∈R及函数 y=Acos(ωx+Ψ),x∈R (其中A,ω,Ψ为常数,且A≠0,ω>0) 的周期T=2π/ω.
2
6
26
2sin1(x11)2sin(1x) 2.
23
26
(1)对x,x+4π作用的法则是
2sin
1 2
6
(2)对x,x+11π/3作用的法则分别是
6,2sin12 .
(1)式两端对x及x+4π作用相同的对应法则， 而(2)式两端对x及x+11π／３作用不相同 的对应法则．而等式f(x+T)=f(x)的两两端 是同一个法则，所以两种解法中，第二种 是错误的． 结论：由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x) 的两端作用的是相同的对应法则f.
４．函数y=cosx,x∈R+是不是周期函数？ -2π是不是它的一个周期？为什么？
三角函数的周期性和对称性
三角函数的周期性和对称性三角函数是数学中的重要概念，涉及到周期性和对称性等性质。
本文将介绍三角函数的周期性和对称性，并探讨它们在数学和物理中的应用。
一、周期性周期性是指函数在一定间隔内以相同的形态重复出现的性质。
对于三角函数而言，正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是周期函数，其周期为2π。
1. 正弦函数的周期性正弦函数的图像呈现周期性的波动，可以用来描述周期性的现象。
例如，我们可以用正弦函数来描述地球上的日照时间变化，昼夜交替的现象。
2. 余弦函数的周期性余弦函数也是周期函数，其图像与正弦函数呈现相似的周期性波动。
余弦函数常用来描述振动、波动等周期性现象，比如振动的电路和机械系统。
二、对称性对称性是指函数图像在某一特定条件下表现出镜像对称、中心对称等性质。
1. 奇函数的对称性奇函数具有关于原点的对称性，即满足f(-x)=-f(x)。
例如，正弦函数和正切函数都是奇函数，它们在原点处对称。
2. 偶函数的对称性偶函数具有关于y轴的对称性，即满足f(-x)=f(x)。
例如，余弦函数是偶函数，它在y轴上对称。
三、应用场景1. 数学应用三角函数的周期性和对称性在数学分析、几何图形等领域有广泛应用。
例如，对于周期性函数的积分计算、傅里叶级数展开等问题，周期性和对称性的性质能够简化计算，提高效率。
2. 物理应用三角函数的周期性和对称性在物理学中具有重要作用。
例如，在振动和波动的研究中，正弦函数和余弦函数可以描述物体的周期性运动和波动现象。
此外，在电路分析、信号处理等领域，三角函数的周期性和对称性也有广泛的应用。
结语三角函数的周期性和对称性是数学中的重要概念，在数学和物理学中有广泛应用。
正弦函数和余弦函数作为最基本的三角函数，具有明显的周期性和对称性，能够描述周期性现象和对称性图形。
在解决一系列数学和物理问题时，充分利用三角函数的周期性和对称性的性质，能够简化计算过程，提高问题求解的效率和准确性。
三角函数与周期性
三角函数与周期性三角函数是数学中一类重要的函数，它们在各个科学领域和实际应用中都具有重要的作用。
一个关于三角函数的重要性质就是它们的周期性。
本文将介绍三角函数的周期性及其应用。
一、正弦函数的周期性正弦函数是最常见的三角函数之一，它的图像呈现出一种周期性的形态。
正弦函数被定义为在单位圆上以角度为自变量的对应的纵坐标。
在单位圆上，我们可以看到当角度增加到360度（或2π弧度）时，对应的纵坐标重新回到了起点。
这表明正弦函数的周期为360度（或2π弧度）。
在实际应用中，我们经常会遇到周期性变化的现象，例如天气和季节变化。
正弦函数能够很好地描述这些周期性变化。
通过对正弦函数进行适当的参数调整，可以拟合各种周期性变化的曲线，从而进行预测和分析。
二、余弦函数的周期性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，它的图像也具有周期性。
余弦函数定义为在单位圆上以角度为自变量的对应的横坐标。
与正弦函数类似，当角度增加到360度（或2π弧度）时，余弦函数的横坐标重新回到了起点。
因此，余弦函数的周期也为360度（或2π弧度）。
与正弦函数一样，余弦函数也广泛应用于周期性变化的描述和分析中。
例如，电流的正弦波是一种典型的周期性变化，可以用余弦函数进行建模。
此外，在信号处理、图像处理等领域中，余弦函数也是常用的工具之一。
三、其他三角函数的周期性除了正弦函数和余弦函数之外，还存在其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
这些函数在定义上与正弦函数和余弦函数有所区别，但它们的周期性性质与正弦函数和余弦函数类似。
例如，正切函数的图像在每180度（或π弧度）时呈现出一种周期性的形态。
余切函数、正割函数和余割函数的周期也是180度（或π弧度）。
这些函数的周期性性质使得它们在解决实际问题时非常有用。
例如，正切函数在几何学和物理学中经常出现，用于描述角的比例关系。
正割函数在天文学和工程学中也有广泛应用。
总结：三角函数是数学中重要的函数家族之一，它们具有周期性的特点。
三角函数的周期性
5 【解答】 (sin x) 3 解答】
= 3 (sin x) 5
【例2】 求 】
2 y = (sin x) 5
的最小正周期. 的最小正周期 最小正周期为π. 最小正周期为
q p
12
2 解答】 【解答】 (sin x) 5 = 5 (sin x) 2
【说明】 正弦函数 说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 (sin x)
13
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
sin x 的最小正周期为 ，sin2x的最小正周期是 ，它们之间谁 的最小正周期为2π， 的最小正周期是π， 的最小正周期是 依赖谁，或依赖一个第三者？ 依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下. 列表如下
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是 的最小正周期是2π. 表上看到函数 的最小正周期是
的图象是将sinx的图象在 x 【说明】 图象法判定最简便，|sin x|的图象是将 说明】 图象法判定最简便， 的图象是将 的图象在 轴下方部分折到x轴上方去 轴上方去. 轴下方部分折到 轴上方去 倍角法判定最麻烦
2π
ω
7
的周期性， 而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定 的周期性 由具体问题确定.
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性： 例题】 研究以下函数的周期性： (1) 2 sinx ； (2) sin x
1 的定义域为R， 作图可知， 【解答】 (1) 2 sinx 的定义域为 ，值域为 , 2 ，作图可知， 解答】 2
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正弦函数的周期性
1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
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三角函数的周期性（一）
教学目标：
1.了解周期函数的概念；会判断一些常见的、简单的函数的周期性;
2. 会求一些简单三角函数的周期．
教学重点：周期函数的定义和正弦，余弦函数的周期性．
教学难点：周期函数的概念．
教学过程：
一、创设情境，引入新课：
今天是星期几？从今天起7天后的第一天是星期几？14天后呢？
思考：这个现象有何特点？能否再举一些实例？（特点：周而复始）
二、建构数学：
1. x x f sin )(=
由单位圆中的三角函数线可知，正弦值的变化呈现周期现象．可得)(s i n )2s i n (Z k x k x ∈=+π．
分析：)(sin )2sin(Z k x k x ∈=+π的意义
（1）x 取什么样的数呢？（x R ∈）→定义域内的每一个．．．x
（2）k 有限制么？（0≠k ）→πk 2一个非零的常数．．．．．．．
（3）等式有何要求？→ )()(x f T x f =+
2.周期函数的定义：
一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零的常数．．．．．．．T ，使得定义域内的每一个．．．x
值，都满足
)()(x f T x f =+，
那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 概念辨析 ： P25 1
3.周期和最小正周期
⑴正弦函数的周期个数（无数个）； ⑵最小正周期
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。
问题1：正弦函数的最小正周期是什么？
问题2：有没有没有最小正周期的周期函数？
问题3：余弦函数是不是周期函数？若是，给出它的最小正周期；若不是，给出理由．正切函数呢？
结论：正弦函数x x f sin )(=的周期为π2；
余弦函数x x f cos )(=的周期为π2；
正切函数x x f tan )(=的周期为π．
注意：今后我们所说的周期，如果不加说明，一般都是指函数的最小正周期．
三、数学应用：
例1：若钟摆的高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示．
⑴指出该函数的周期；
⑵求10t s =时钟摆的高度．
例2：求函数x x f 2cos )(=的周期．
说明：不论是周期还是最小正周期，它们都是对自变量x 而言的，是自变量x 的改变量．例2可以这样理解：因为对x 2而言，每增加π2，x 2cos 的值就重复出现，而x 2每增加π2就等同于x 增加π，即对自变量x 而言，每增加π，x 2cos 的值就重复出现，因此，x 2cos 的周期是π．
结论：一般地，函数sin()y A wx ϕ=+及cos()y A wx ϕ=+（其中,,A w ϕ为常数，且0,0A w ≠>）的周期ωπ
2=T ． 练习：求函数1
()2sin()26g x x π=-的周期．
引申：若函数()y f x =的周期为T ，则函数()y Af x ωϕ=+的周期为T
ω（其中
,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠≠）．
学生练习：P 25练习2，3，4
四、回顾小结：
1.理解周期的概念；
2.用公式求三角函数的周期．
五、课堂作业：课本P 44习题1。