【优质部编】2019-2020高三数学8月月考试题 理 人教-新目标版

2019高三8月月考 数学（理）试题本试卷共 2 页，共 23 题。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列函数的定义域与y = ）A ．2x y =B ．lg y x =C ．yD ．sin xy x=2. 已知集合{}{}ln(1),12A x y x B x x ==-=-<<，则()R C A B =（ ）A.()1,2B. ()1,2-C. ()1,1-D. (]1,1-3. 函数24()x f x x+=的最小值为（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 84. 下列函数中为偶函数又在),0(+∞上是增函数的是（ ）A ．x y )21(= B ．xx y 22+= C ．|ln |y x = D ．2xy -=5. 已知a =16125b =，4log 7c =，则下列不等关系正确的是（ ）A ．b a c <<B ．a b c << C.b c a << D ．c a b <<6. 下列说法正确的是（ ）A ．“()00=f ”是“函数()x f 是奇函数”的充要条件B ．若q p ∧为假命题，则q p ∨为假命题C. 已知角βα,的终边均在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的充分不必要条件 D ．“若21sin ≠α，则6πα≠”是真命题 7. 已知函数()sin 1f x x x =++，若()3f a =-，则()f a -的值为（ ） A ．0B ．3C ．4D ．58. 已知奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当01x <<时，()2x f x =，则2(log 9)f 的值为 A ．9B ．19-C ．169-D ．1699.函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是（ ）A B C D10．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,0对称 11．已知奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则（ ）A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数C ．函数()1f x +是奇函数D ．函数()2f x +是偶函数12. 已知偶函数4log ,04()(8),48x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，且(8)()f x f x-=，则函数1()()2x F x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（ ）A ． 2020B ．2016 C. 1010 D ．1008 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．若函数()()ln 1x f x e ax =++为偶函数，则实数a =__________．14．已知函数()22,01,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则不等式()2f x <的解集是______．15．若函数()ln e x y x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________． 16．设函数c bx x x x f ++=)(，给出四个命题：①0=c 时，有)()(x f x f -=-成立；②c b ,0=﹥0时，方程0)(=x f ，只有一个实数根； ③)(x f y =的图象关于点（0,c ）对称；④方程0)(=x f ，至多有两个实数根. 上述四个命题中所有正确的命题序号是__________．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知{}{}2|8200,|11.P x x x S x m x m =--≤=-≤≤+（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由；18．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且[]10x ∈-，时，()21xf x x =+． （2）求函数()f x 的表达式；（3）判断并证明函数在区间[]01，上的单调性．19．（本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，,,,AD BC AB CD AC BD =⊥，平面BDFE ⊥平面,,ABCD EF BD BE BD ⊥.（1）求证：平面AFC ⊥平面BDFE ；（2）若22AB CD BE EF ====，求BF 与平面DFC 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:x y C a b+=１（a>b>0），其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32满足122PF PF a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y ＝kx ＋m(k ，m∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G→＝－59，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2.（1）若f (x )为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （2）若g (x )＝e x＋x 2－f (x )，当a ≤2时，证明：g (x )>0. 选做题：请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多选，则按所做的第一题计分。

22．（本小题10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθθ=+，曲线3C 的极坐标方程为.6πθ=（1）把曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线3C 与曲线1C 交于点O 、A ，与曲线2C 交于点O 、B ，求AB23. （本小题10分）[选修4—5：不等式选讲]设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.荆门市一中2018届高三8月月考数学（理）试卷答案一、选择题：DDBB DDDC ACBA 二、填空题 13．12-14．()1,1- 15. (],1-∞- 16．①②③ 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17解：（1）不存在，由28200x x --≤得210,x -≤≤所以{}|210,P x x =-≤≤………………2分因为x P ∈是x S ∈的充要条件，所以,P S =所以12,{110,m m -=-+=所以3,{ 9,m m == m 不存在 （2）由题意x P ∈是x S ∈的必要条件，则S P ⊆当S ϕ=时， 11m m ->+即0m <………………7分.当S ϕ≠时，有1112 110m mm m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解之得03m ≤≤故3m ≤时， x P ∈是x S ∈的必要条件. （2）设[]01x ∈，，则[]10x -∈-，，()21xf x x --=+， 因为函数()f x 为偶函数，所以有()()f x f x -=，即()21xf x x -=+， 所以[](]22,1,01,0,11xx x f x x x x ⎧∈-⎪⎪+⎨-⎪∈⎪+⎩（）=． （3）设1201x x <<<，()()()()()()211221212222212111111x x x x x x f x f x x x x x -----=-=++++， ∵1201x x <<<，∴210x x ->，1210x x -<， ∴()()21f x f x <，∴()f x 在[]01，为单调减函数． 19.【解析】（1）证明：∵平面⊥平面，平面∩平面=，平面，，∴⊥平面. 又平面,∴平面⊥平面. （2）设，∵四边形为等腰梯形，⊥，=2=，∴，，∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，且，又∵⊥平面，∴⊥平面.以为原点，向量的方向分别为x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，设平面DFC 的一个法向量为，有，即，不妨设，得.取，于是. 设与平面所成角为，则．∴与平面所成角的正弦值为．20．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y 2a2＝1，点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k2①.7分设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.②由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k2，10分 则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k4.又由Δ>0可知k ≠0，令t ＝1k2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分21.【解析】(1)解法1：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，x ∈(－2，＋∞)，f ′(x )＝（2x ＋1）2x ＋2.当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增． 若a ＝－2，x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＝（2x －1）2x －2>0，f (x )单调递增．(ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )单调递增． 当a >2时，x 1>－a ，x 2>－a ，f ′(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点， 即f (x )在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分 解法2：很显然f ′(x )不可能有连续零点，若f (x )为定义域上的单调函数， 则f ′(x )≤0或f ′(x )≥0恒成立，又f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，因为x ＋a >0， 所以f ′(x )<0不可能恒成立，所以f (x )为定义域上的单调函数时，只可能f ′(x )≥0恒成立， 即1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(x ＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(x ＋a )，而1x ＋a＋2(x ＋a )≥22， 所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知x ∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a ≥0恒成立，即2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2≥0，所以2x 2＋2ax ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2<0，所以(2x 2＋2ax ＋1)min ＝－a 22＋1，所以－a 22＋1≥0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g (x )＝e x＋x 2－f (x )＝e x－ln(x ＋a )，当a ≤2，x ∈(－a ，＋∞)时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)，故只需证明当a ＝2时，g (x )>0. 当a ＝2时，函数g ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增， 又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1， 0)，当x ∈(－2，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．由g ′(x 0)＝0得0x e ＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故g (x 0)＝0x e－ln(x 0＋2)＝1x 0＋2＋x 0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g (x )≥g (x 0)>0.综上，当a ≤2时，g (x )>0.22．坐标系与参数方程.【解析】（1）曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=.由cos ,sin x y ρθρθ==，得24cos ρρθ=，∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）设点A 的极坐标为1(,)6πρ，点B 的极坐标为2(,)6πρ，则14c o s 36πρ==，2cos6622ππρ=+=+=12AB ρρ=-=23.解：（1）当时，可得的解集为．…………5分（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．………………10分。