第五节事件讲义的独立性

2) 若 A1,A2, ,An相互,独 则其中立 任意 k 个事件
的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相
互独立.
例4 设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6 , 现有若干
门炮同时独立地对飞机进行一次射击， 问需要多少门
炮才能以 0.99 的把握击中一飞机。
解 设需要 n 门炮。 B “飞机被击落”
解: 设 A = “甲射击一次命中目标” B = “乙射击一次命中目标” C = “目标被命中”
则 A, B 相互独立, 且 CAB P(C) P(AB)P (A )P (B )P (A)B P(A)P(B)P(A)P(B) 0 .5 0 .4 0 .5 0 .4 0.7
例2. 甲, 乙两人的命中率为0.5 和 0.4, 现两人独立 地向目标射击一次, 已知目标被命中, 则它是乙命中
P(D) P(A BA)C P (A) BP (A)C P (AB ) C P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) 0.776
P(A|D) P ( AD ) P ( D ) 1
P(D ) P(D)
P(B|D) P ( BD ) P ( AB ) P(A)P(B) 0.9278
实质: 任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否 的影响
思考: 两两独立与相互独立的区别
对 n ( n >2 ) 个事件
相互独立 ?
两两独立
推论: 设 A 1 ,A 2 , ,A n 是 n 个 事 件 1) 若 A1,A2, ,An相互独立, 则其中任意 k 个事件
Ai1,Ai2, ,Aik (2kn) 也相互独立.
以 上 两 个 例 子 说 明 ， 事 件 A 的 发 生 与 否 ， 不 影 响 事 件 B 发 生 的 概 率
样本空间如右图
事件A表示左半边,事件B代表上半边
显然 P(A)=P(B)=1/2 P( B|A)= 1/2
A
B
说明,事件A发生与否,不影响事件B发生的概率 事件A发生与否, 并不影响事件B发生的概率,
独立
定理一: 设 A, B 是两个事件 1) 若 P(A) 0 则 A, B, 相互独立的充分必要条件
为: P(B|A)P(B) 2) 若 A, B 相互独立, A 与 B, A与 B ,A 与 B , 都
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ独立
证： 1）略
2) P(AB) P(BAB) P(B)P(AB ) P (B )P (A )P (B )[1P(A)P ](B) P(A)P(B) 其余同理可证
n lg0.015.06 lg0.04
故至少需要 6门炮才能以 0.99 的把握击中飞机。
注： 相互独立事件至少发生一次的概率计算
P ( B ) P (A 1 A 2 A n ) 1 P (A 1 A 2 A n ) 1P (A1A 2 An) 1 P (A 1 )P (A 2 ) P (A n )
例5. 某电路如图所示, 已知 A, B,C 正常工作的概率为 0.8,0.9和0.7
A
B
假定 A, B,C 能否正常工作是相互独立的,
C
试求: 1) 整个电路正常工作的概率
2) 若整个电路正常工作, 求 A, B 正常工作的概率
解: 设 A, B,C表示 A, B,C 正常工作, 则相互独立 D = “电路正常工作” DA(BC)A BAC
P(D ) P(D)
P(D)
例题6
加工某一产品需要有三道工序,设第一、第二、第三 道工序的次品率分别为2％，3％，5％。假定各道工 序相互独立，求完成的产品的次品率
这时称事件A、B 独立.
在上述独立性概念下:
P A B P A P B |A P(A)P(B)
由于此式中,并不要求P(A)或P(B)不等于零， 作为事件的独立的定义更合适
2、定义 设A, B是两个事件, 如果有如下等式成立
P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A, B 相互独立
S与 与任何事件 都是相互独立
例1. 一副不含大小王的扑克牌
记 A = { 抽到K }, B = { 抽到的牌是黑色的 }
问事件A、B是否独立？
解：由题意
4
P(A) 52
2
P(AB)
52
P(B) 26
52
P(AB)P(A)P(B)
说明事件A、B 独立.
例2. 甲, 乙两人的命中率为0.5 和 0.4, 现两人独立 地向目标射击一次, 求目标被命中的概率
思考: 如图所示的事件独立吗?
P(AB)0 而 P(A)0 P(B)0
P (A)B P (A )P (B )
故 A , B不独立
A
B
即 若A, B互斥, 且 P(A)0, P(B)0
则A 与B 不相互独立.
反之, 若A 与B 相互独立, 且 P(A)0, P(B)0
则A, B不互斥.
互斥(互不相容)
精品
第五节事件的独立性
1、引例
1. 掷一颗均匀的骰子两次,
A = {第一次掷出6 点} B = {第二次掷出6 点}
可知 P(B| A)= P ( B ) P(B| A)=P(B)
2. 掷甲乙两枚骰子,
A = {甲掷出偶数点}
B = {乙掷出偶数点}
可知 P(B A ) = P ( B ) P(B| A)=P(B)
3. 多个事件的独立性
对于A,B,C三个事件 , 若下面四个等式同时成立 P (A)B P (A )P (B )
P (A)C P (A )P (C ) P (B)C P (B )P (C )
则称A,B,C相互独立
P (A)B P (C A )P (B )P (C )
这个概念可推广到n 个事件的独立性定义(见p27)
的概率是多少?
解: 设 A = “甲射击一次命中目标” B = “乙射击一次命中目标”
C = “目标被命中”
则 A, B 相互独立, 且 CAB P(C) P(AB) P (A ) P ( B ) P (A B ) 0 .7
P(BC) P(B|C)
P(B)
0.4 0.57
P(C) P(C) 0.7
Ak “第 k 门炮击中飞机” k1,2, ,n.
P ( B ) P ( A 1 A 2 A n ) 0 .99
P ( B ) 1 P ( A 1 A 2 A n )1P (A1A 2 An)
1 P (A 1 )P (A 2 ) P (A n )10.4n0.99
0.4n 0.01