10 事件的独立性 (I) 独立性的概念与性质
事件的相互独立性-PPT
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
事件的独立性
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)
知识点概率与统计中的事件独立性
知识点概率与统计中的事件独立性知识点：概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率与统计中的一个重要概念，指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响、相互独立的性质。
在实际问题中，对事件独立性的判断和运用是非常常见的。
一、事件独立性的定义和性质在概率与统计中，如果两个事件A和B满足以下条件，即当事件A 发生与否并不影响事件B的概率时，称事件A与B是独立事件。
具体而言，事件A与B的独立性可表述为：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
根据事件独立性的定义，可以得出以下性质：1. 事件A与自身是独立的，即P(A∩A) = P(A) × P(A)，即事件A发生与否不影响事件A本身的概率。
2. 如果事件A与事件B独立，那么事件A的补事件与事件B也是独立的，即P(A'∩B) = P(A') × P(B)。
3. 如果事件A与事件B独立，那么事件A与事件B的补事件也独立，即P(A∩B') = P(A) × P(B')。
二、事件独立性的判断在实际问题中，如何判断两个事件是否独立是一个重要的问题。
通常可以通过以下两种方式进行判断。
1. 通过已知概率判断：如果已知事件A和事件B的概率，可以通过计算P(A∩B)和P(A) × P(B)来判断两者是否相等。
如果相等，则事件A与事件B是独立的；如果不相等，则事件A与事件B不是独立的。
2. 通过条件概率判断：根据条件概率的定义，如果已知事件A和事件B的条件概率P(A|B)和P(B|A)，可以通过比较P(A|B)和P(A)以及P(B|A)和P(B)的大小关系来判断事件A与事件B的独立性。
如果条件概率与边际概率相等，则事件A与事件B是独立的；如果条件概率与边际概率不相等，则事件A与事件B不是独立的。
第10章 第3节 事件的相互独立性及条件概率 课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习
中恰有一个地方降雨的概率为 C
A.0.2
B.0.3
C.0.38
D.0.56
解析 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为 A B ＋ A B，
∴P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)
1 1 1 15
＝[1－P( A2 )·P( A3 )]P(A1)＝1－4×4×2＝32.
讲
课
人
：
邢
启
强
9
例2 (1)(2020·葫芦岛期末)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，
不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是 D
3
A.5
2
B.5
一等品，求取走的也是一等品的概率．
讲
课
人
：
邢
启
强
13
练习
1.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别
2 3
为3，4.只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且是否通
过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第三关的概率为 C
1
2
5
1
A.2
B.3
C.6
D.12
则 P(B)＝1－P( B )＝1－[1－P(A1)][1－P(A2)]＝1－(1－0.1)(1－0.2)＝1－0.9×0.8＝0.28.
讲
课
人
：
邢
启
强
解由题意知,设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为0,1,2,3.
第四节 独立性
(2) P(CD) P(C) P(D) 1 C9 0.04 0.968 0.04 0.0104.
1 1 0.9610 C10 0.04 0.969 0.0582;
k 2
三、例题讲解
失效率为0.05，各元件是否失效是相互独立的。若有一 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.5，若有两 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.8，若有三 个或三个以上元件失效，设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期间不能使用的概率； (2)已知设备不能使用，求是一个元件失效的概率。 解：B表示“在保修期间设备不能使用”，
推广 设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件, 如果对于任意
k (1 k n), 任意 1 i1 i2 ik n, 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ),
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件 .
例2. 某企业欲通过开发新产品来摆脱目前困境，组织了 三个攻关小组独立研制三种新产品，成功的把握 分别为60%、50%、60%。求： (1)能研制出新产品的概率； (2)至少有两种新产品能研制成功的概率。 解：Ai表示第i个攻关小组成功研制出新产品，则
(1) P(A1 A2 A3 ) 1-P(A1 )P(A2 )P(A3 )
P(A)P(B) P(C) P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)
0.8125；
P(AB) P(C) P(D)-P(ABC) -P(ABD)-P(CD) P(ABCD)
P(ABE) (2) P(AB|E) , P(E)
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
事件的独立性讲义
例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
所求为 P(A1+A2+A3)
1
记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P(A1+A2+A3)
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,
……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2 于是 RⅡ=[r(2-r)]n=rn(2-r)n
Ⅲ 比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。 n>1时，2-rn<(2-r)n，
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 所以事件A、B独立.
练：投掷一枚均匀的骰子。 （1）设A表示“掷得点数小于5”，B表示“掷 得 奇数点”，问A,B是否独立？ 独立。 （2）设A表示“掷得点数小于4”，B表示“掷 得奇数点”，问A,B是否独立？ 不独立。
P(AB)= P(A)P(B)
四个等式同时
P(AC)= P(A)P(C)
成立,则称事件
P(BA)P(B)P(C) 独立。
其中，前三个等式成立时，称A、B、C两两
独立。
如: 将一枚骰子掷两次,设
A：“第一次掷得偶数点”，
B：“第二次掷得奇数点”， C：“两次都掷得奇数或偶数点”。 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0. 于是
数学课件：2.3《事件的独立性(1)》
（1）2人都击中目标的概率；0.36
0.48 （2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）2人都没有击中目标的概率；0.16
（4）至少有一人击中目标的概率
0.84
练习1、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
例1.口袋中有a只黑球b只白球，连摸两次，每次
一球.记A={第一次摸时得黑球}，B={第二次摸时 得黑球}.问A与B是否独立？就两种情况进行讨论： ① 放回抽取；② 不放回抽取.
① 放回抽取 a 解：P(A) =
ab
a P（B）= ab
a P(B|A)= a b
② 不放回抽取.
a P（A）= P（B）= a b a 1 a a 1 P(AB)= P(B|A)= a b 1 a b a b 1 a ab
A、B中至多有一个发生的概率
独立重复试验
（一） 形成概念
掷一枚图钉，针尖向上的概 率为0.6，则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4
问题（1）第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率是多少?
第1次、第2次、第3次…第n次针尖向----在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56 所求概率为
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
B
5
0.56
0.7
A
, 2． 根据以往的临床记录某种诊断癌症的试 验具有如下的效果: 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 , 则 " 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群 进行普查, 设被试验的人患有癌症 的概率为 .005, 0 即 P(C ) 0.005, 试求 P(C A).
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P(AB) 1 4 P(BC) P(AC) P(ABC)
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(AC) P(A)P(C)
P(ABC) P(A)P(B)P下运算律： (1) 积事件 P(AB)=P(A)P(B) (定义)
P( A B) P( AAn 相互独立，则有
P( A1A2 An) P( A1)P( A2) P( An) (定义)
推导：
P( A1 A2 An) 1 P( A1 A2 An) 1 P( A1 A2 An) 1 P( A1)P( A2) P( An)
P( A)
一般地，A的发生对B的发生的概率是有影响的，
即一般地， P(B| A) P(B)
因此，只有在A的发生不会影响B发生概率时， 才会有 P(B|A)=P(B)。
由乘法公式，这时有
P(AB) P(A)P(设A=“甲币出现正面”，B=“乙币出现正面”
(2) 和事件 P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( A) P(B) P( A)P(B)
P(A B) 1 P( A B) 1 P(A B)
P(A B) 1 P(A)P(B)
(3) 差事件 P( A B) P( AB) P( A)P(B)
若三个事件A, B, C相互独立，则它们一定两 两独立，但它们两两独立未必相互独立，因 为条件(1)一般推不出条件(2)。
若三个事件A, B, C相互独立，则它们一定两 课 两独立，但它们两两独立未必相互独立，因 为条件(1)一般推不出条件(2)。
反例 设样本空间 S {1,2, 3, 4} 事件 A {1, 2} B {1,3} C {1,4} 则 AB {1} BC AC ABC
也相互独立： A与 B A与 B A与 B
A
独立
B
互斥
互斥
三个事件A, B, C相互独立是指： (1) 它们两两独立： P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C)
(2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
直观地讲， 两个事件相互独立是指一个事件发 生的概率不受另一个事件发生与否的影响。
如果P(AB)=P(A)P(B)，则称A, B独立。
定理一 设A, B是两个事件，且P(A)>0，则A, B 独立的充分必要条件是 P(B|A)=P(B)。
证 充分性 设P(B|A)=P(B)
P(AB) P(A)P(B | A) P(A)P(B)
而A, B互斥时，有 AB
A与B互斥
得 P(AB) P() 0
例如 S {1, 2,3, 4}
A {1} B {2,3} AB P(A)P(B) 1 2 1
44 8 P(AB) 0
AB A与B不独立
定理二 若事件A与B相互独立，则以下各对事件 也相互独立：
乘法公式
已知条件
必要性 设A, B独立 即 P(AB)=P(A)P(B)
P(B | A) P(AB) P( A)
P(A)P(B) P( A)
P(B)
条件概率
已知条件事件独立与互斥的关系 传课独立性是事件之间的概率属性，而事件互斥 是 指事件之间本身的关系（不涉及概率）。
我们说两个事件相互独立，是指一个事件出现 的概率与另一个事件是否出现没有关系。
则 A {4,5,6} B {2,4,6} AB {4,6}
ห้องสมุดไป่ตู้
P(A) 3 1 P(B) 62
P(B | A) P(BA) 2 6 P(A) 3 6
P(B| A) P(B)
设A, B是试验E的两个事件。传课当P(A)>0时，可以定义条件概率：P(B| A) P(AB)独立性传课（一）独立性的概念与性质
设A, B是试验E的两个事件。传课当P(A)>0时，可以定义条件概率：P(B| A) P(AB)
P( A)
一般地，A的发生对B的发生的概率是有影响的，
即一般地， P(B| A) P(B)
例如，掷一颗骰子，观察其点数。
设A=“点数大于3”，B=“点数为偶数”
P(A) 2 1 P(B) 42
P(AB)
1 4
P(B | A) P(AB) 1 4 1 P(A) 1 2 2
有 P(B| A) P(B)
P(AB) P(A们满足等式
P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立，简称A, B独立。
A与B A与B A与B 证 要从 P(AB) P(A)P(B)
推出 P(AB) P(A)P(B)
P(AB) P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B) P(A)[1 P(B)] P(A)P(B)
定理二 若事件A与B相互独立，则以下各对事件
而两个事件互斥（不相容），是指一个事件出 现必然导致另一个事件不出现，从而一个事 件 的出现与另一个事件是否出现密切相关，
从而两个互斥事件一般不是独立的。
或者说，两个独立的事件一般不是互斥(B)>0,
则A, B独立与A, B互斥不能同时成立，
因为A, B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)>0
这个公式极大简化了 和事件第1的1讲概事率件的运独立算性(I)