圆的有关概念和性质
圆的有关概念及性质
①形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫，线段OA叫做．②描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合．定点叫，定长叫．（1）弦：连结圆上任意两点的叫做弦．（2）弧：圆上任意两点间的叫做弧，大于半圆的弧叫，小于半圆的弧叫．（3）弦心距：到的距离．（4）等圆：相等的圆叫等圆，半径和圆心都相同的圆叫．（5）等弧：在中，能够的弧叫．（6）同心圆：圆心，半径的两个圆叫同心圆．①圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角．②圆周角定义：顶点在，并且两边都和圆的角叫圆周角．①轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴．②中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是．圆具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都与原来的图形重合．垂直于弦的直径，并且平分弦所对的．①垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：I、过圆心；II、垂直于弦；III平分弦；IV、平分弦所对的优弧；V、平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用．②圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线．BOCA DAB CO ⋅⋅⋅⋅M⋅DOCBA在中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弧所对的弦、弦心距中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的．推论1.在同圆或等圆中，如果两个圆周角，那么它们所对的弧．推论2.半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是．【名师提醒】：作直径所对的圆周角是直角是圆中常作的辅助线．①圆内接四边形的对角；②圆内接四边形的任意一个外角等于它的．例1：如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD例2：如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为．例3：如图3，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=32，0C=1，则半径OB的长为．例4：如图4，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．例5：如图5，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．图4⋅OFDCEBA图5FAB CO ⋅⋅⋅⋅EAB C图6OO ⋅AB CD图7图1 图2图3BDBC=例6：如图6，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且8==CD AB ， 则OP 的长为 ．例7：如图7，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧上一点，则APB ∠的度数为（ ）例8：如图8，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AC OD ⊥，垂足为E ，连结BD ，032=∠A ，则=∠CBD ．例9：如图9，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OB OA ⊥，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为 ．例10：如图10，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ．060=∠BAD ，则B CD ∠的度数为 ． 例11：如图11，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，060=∠B ，0100=∠BOD ，则C ∠的度数为 ．例12：如图12，在半径为5的⊙O 中，弦6=AB ，点C 是优弧AB 上一点（不与A ，B 重合）， 则cosC 的值为．例13：如图13，四边形ABCD 内接于⊙Ｏ，0110=∠C ，则=∠A,BOD ∠= .AMB 图9图10图11图6图4图5图8图7例14：如图14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，∠1=∠C 若BC=4，32sin =M ，则⊙O 的直径AB 的长是 ．例15：如图15，△ABC 内接于⊙O ，AB 、CD 为⊙O 直径，DE ⊥AB 于点E ，sinA=12， 则∠D 的度数是 ．例16：如图16，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，OP ⊥AC 于点P ，OP=32，则⊙O 的半径为 ． 例17：如图17，△ABC 中，BC=3，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，若D 是AC 中点，∠ABC=120°． 则（1）∠ACB 的度数是 ．（2）点A 到直线BC 的距离是 ．例18：如图18，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，030=∠A ，CE 平分ACB ∠交⊙O 于E ，交AB 于点D ，连结BE ，则=∆∆CD A BD E S S : .例19：如图19，AD 是ABC ∆的高，AE 是ABC ∆的外接圆⊙O 的直径，24=AB ，5=AC ，4=AD ，则的直径=AE ．例20：如图20，以ABC ∆的边BC 为直径的⊙O ，点A 在⊙O 上，过点A 作BC AD ⊥于D ，53cos =∠CAD ，4=AB，则=AC . 图15图16图17CBAO图20ED∙AEO B DC 图18D ABC图19∙O图12图14⋅ABC图13D O例21：⊙O 的半径为17cm ，弦CD AB //，cm AB 30=，cm CD 16=，则AB 与CD 之间的距离是 .。
圆的有关概念及性质 课件
4. 圆周角、圆周角定理及其推论
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角. （2）①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ③推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周 角所对的弦是直径. ④推论3：圆内接四边形的对角互补.
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中考考点精讲精练
考点1 垂径定理和弧、弦、圆心角的关系
考点精讲
【例1】（2014佛山）如图1-5-1-1，⊙O的 直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一 个动点，求OP的长度范围. 思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
由垂径定理可知AE=BE=
AB，再根据勾股
考点演练 3. 如图1-5-1-5，AB是⊙O的直径， 34°，则∠AEO的度数是
A. 51° B. 56° C. 68°
∠COD= （ A ） D. 78°
4. 一条排水管的截面如图1-5-1-6所示，已知该排水管的半 径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 （ D ） A. 8 B. 6 C. 5
（ C ） D. 120°
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考点演练 4. 如图1-5-1-11，已知点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB= 80°，则∠ACB等于 （ D ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 40°
5. 如图1-5-1-12，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD= 53°，则∠BCD为 A. 37° B. 47° C. 45° （ A ） D. 53° feixuejiaoyu
2. （2015深圳）如图1-5-1-9，AB为⊙O直径，已知∠DCB= 20°，则∠DBA为 A. 50° B. 20° C. 60° （ D ） D. 70°
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。
一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。
所有半径的长度都相等。
2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。
3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。
弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。
4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。
一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。
角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。
5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。
6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。
7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。
8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。
9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。
圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。
三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。
2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。
3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。
4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。
总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。
圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。
对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。
圆的定义及其性质
圆的定义及其性质圆是几何中重要的图形之一，被广泛应用于各个科学领域中。
本文将介绍圆的定义、圆的性质，以及圆相关的应用领域和实例。
一、圆的定义圆是一个平面内所有距离 equidistant（简称“等距”）于给定点的点的轨迹。
这个点被称作圆心，等距距离为圆的半径。
因此，圆的定义可表示为：圆是以圆心为中心，半径为 r 的所有点的集合。
二、圆的性质1.圆是所有直径相等的图形中，面积最大的。
2.在同一圆中，所有的弦都相等。
3.圆上每个点与圆心的距离相等。
4.一个圆的周长是2πr，其中 r 表示圆的半径。
5.较大的圆可被拆分为多个较小的圆组成，而小的圆则可以组合成较大的圆形。
6.圆内的所有角都是直角。
三、圆的应用1. 圆在建筑和工程中常用于计算圆形地基的尺寸和形状。
2. 圆形面积的计算可以在数学和物理中应用，例如，利用圆的面积计算管道的计算和城市建设中的土地分配。
3. 光学中有一个基本的圆形焦点概念，其中光源和接收器之间的距离被称为焦距。
4. 圆的范围也超出数学和物理学。
它常常在艺术中应用，被用于建立圆盘和圆弧的对称性，也是一些流行的图案和装置的构成元素。
四、圆的实例1. 直升机旋转的脸部估计(利用圆轨迹）。
2. 车辆编队目标跟踪(利用圆弧拟合）。
3. 地图中的航线和航空母舰轮廓。
4. 金属轮毂的制造和调整需要用到圆的概念。
结语：圆在我们日常生活中扮演着不可忽视的角色，并且在各种科学领域中广泛应用。
从上文介绍的内容中我们可以了解到圆的定义、性质和应用，以及了解到如何在实际应用中利用和应用圆形。
随着技术的不断创新和发展，圆的概念和应用也将变得更加重要和广泛。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何中的一种基本图形，具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本概念和性质，探讨其在数学和日常生活中的应用。
一、圆的基本概念圆是由一个平面内距离中心固定点相等的所有点构成的集合。
其中，固定点称为圆心，距离圆心的长度称为半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是连接圆上任意两点，并通过圆心的线段。
直径的长度等于圆半径的2倍。
2. 圆的周长圆的周长是指圆上任意两点之间的距离，也可以理解为圆的边界长度。
周长的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
3. 圆的面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域。
面积的计算公式为A=πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
4. 弧圆上两点之间的部分称为圆弧。
弧对应的圆心角等于弧所夹的圆心角。
5. 弦圆上连接两点的线段称为弦。
如果弦通过圆心，则称为直径。
否则，称为弦。
6. 切线与圆相切且仅有一个切点的直线称为圆的切线。
切线与半径垂直。
7. 弦切角圆的内部一点与两条相交弦之间的角称为弦切角。
同弧切角相等。
三、圆的应用圆的概念和性质在数学中有广泛应用，也在日常生活中有所体现。
以下为几个常见的应用场景：1. 几何图形圆是许多其他几何图形的基础，例如圆柱体、圆锥体和圆环等。
了解圆的概念和性质，有助于我们更好地理解和应用这些几何图形。
2. 建筑设计在建筑设计中，圆形结构常常被运用。
圆形的建筑物可以提供良好的结构稳定性和美观性。
例如，圆形拱门和圆顶常常用于教堂和宫殿等建筑中。
3. 工程测量圆的性质在工程测量中有重要的应用。
通过测量圆的半径或直径，可以计算出工程中需要的其他参数，如周长、面积和体积。
4. 自然现象许多自然现象中都存在圆形，例如太阳、月亮、风旋涡等。
理解圆的概念和性质，有助于我们更好地解释和研究这些自然现象。
结语圆是几何学中的基本概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。
通过了解圆的基本概念和性质，我们能够更好地理解几何学知识，并将其应用于实际生活中。
圆的概念和性质
圆的概念和性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有独特的概念和性质。
在数学中，圆是指平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
圆的性质有很多，下面我将为大家详细介绍。
1. 圆的直径和半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，其两个端点都在圆上。
直径的长度是圆的重要属性，它等于圆的半径的两倍。
半径是从圆心到圆上任意一点的线段，半径的长度决定了圆的大小。
2. 圆的周长和面积圆的周长是指圆上一点到另一点所经过的弧长。
圆的周长也被称为圆的周长，它等于圆的直径乘以π（圆周率，约等于3.14）或者等于圆的半径乘以2π。
圆的面积是指圆内部的所有点构成的区域的大小，它等于圆的半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和弦圆上的切线是指与圆只有一个交点的直线。
切线与圆的切点处与半径垂直。
圆上的弦是指连接圆上两个点的线段，弦的长度可以小于、等于或大于圆的直径。
4. 圆的内切和外切圆的内切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心在同一条直线上。
圆的外切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心不在同一条直线上。
5. 圆的相似如果两个圆的半径之比相等，则这两个圆是相似的。
相似的圆具有相似的形状，但是大小不同。
6. 圆的划分圆可以被划分成多个扇形、弓形、弧和扇形等部分。
扇形是由圆心和圆上两个点构成的区域，弓形是由圆上一段弧和两个半径构成的区域，弧是圆上的一段弯曲的部分，扇形是由圆心、圆上两点和两个半径构成的区域。
通过对圆的概念和性质的了解，我们可以应用这些知识解决实际问题。
比如，我们可以利用圆的周长和面积计算出一个圆的大小，或者利用圆的切线和弦来解决与圆相关的几何问题。
此外，圆的相似性质也可以帮助我们在绘图或者设计中保持形状的一致性。
总结起来，圆是一个重要的几何形状，它具有独特的概念和性质。
通过对圆的认识和理解，我们可以更好地应用这些知识解决实际问题。
希望大家在学习数学的过程中能够深入了解圆的概念和性质，提高数学思维能力和解决问题的能力。
圆的概念及性质
圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】 如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】 如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】 已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】 如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为 ．【例16】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（ ） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】 如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】 两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】 如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状． （2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】 已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【例34】 如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例43】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】 已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】 圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】 在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值． 图 4F EDC BA【例58】 已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。
圆的有关概念及性质
第二十三讲圆的有关概念及性质基础知识回顾一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合名师提醒：1、在一个圆中,圆←决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦,弦不一定是锥2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是名师提醒：圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径,并且平分弦所对的2、推论：平分弦的直径,并且平分弦所对的名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆或直弦所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是名师提醒：1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是考点一：垂径定理例1如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点．2、连接AB,BC,CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法,可判断AA．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误,乙正确对应训练1．如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,OP⊥AC于点P,OP=23,则⊙O的半径为A．43B．63C．8 D．12考点二：圆周角定理例2如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C1求证：CB∥MD；2若BC=4,sinM= 23,求⊙O的直径．对应训练37．如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD1求证：BD平分∠ABC；2当∠ODB=30°时,求证：BC=OD．考点三：圆内接四边形的性质例3 如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为0,3,M是第三象限内OB上一点,∠BMO=120°,则⊙C的半径长为A．6 B．5 C．3 D．32对应训练3、如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是A．115°B．l05°C．100°D．95°聚焦中考1．如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是C．∠ACD=∠ADC D．OM=MDA．CM=DM B．CB DB2．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架如图1,若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm．3．如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧AB上一点不与A,B重合,则cosC的值为．4．如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=60°,则∠ABC的度数是．备考真题过关一、选择题1．如图,以M-5,0为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点,P是⊙M上异于A、B的一动点,直线PA、PB分别交y轴于C、D,以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F,则EF的长A．等于42B．等于43C．等于6 D．随P点位置的变化而变化2．如图,在半径为5的⊙O 中,AB 、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP 的长为3．如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E,已知CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为 A ．8 B ．10 C ．16 D ．204．如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦不是直径,AB ⊥CD 于点E,则下列结论正确的是 A ．AE ＞BE B ． AD BC C ．∠D=12∠AEC D ．△ADE ∽△CBE5．已知：如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且OA ⊥OB,点C 在⊙O 上,则∠ACB 的度数为 A ．45° B ．35° C ．25° D ．20°6．如图,AB 、CD 是⊙O 的两条弦,连接AD 、BC ．若∠BAD=60°,则∠BCD 的度数为 A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°7．△ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC 的度数是 A ．80° B ．160° C ．100° D ．80°或100° 8．如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C 的度数为 A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°二、填空题9．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD ⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙0的半径为 ．10．如图,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C ．若AB=23,0C=1,则半径OB 的长为 ． 11．如图,在⊙O 中,直径AB 丄弦CD 于点M,AM=18,BM=8,则CD 的长为 ． 12．已知：如图,在⊙O 中,C 在圆周上,∠ACB=45°,则∠AOB= ．13．如图,矩形OABC 内接于扇形MON,当CN=CO 时,∠NMB 的度数是 ．14．如图,已知点A0,2、B23,2、C0,4,过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连接AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ,连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形,则：1当AB为梯形的底时,点P的横坐标是；2当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是．15．如图,△ABC内接于⊙O,AB、CD为⊙O直径,DE⊥AB于点E,sinA=12,则∠D的度数是．三、解答题16如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形AB∥DC,支点A与B相距8m,罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O,半径为5m,∠D=56°,求：U型槽的横截面阴影部分的面积．参考数据：sin53°≈,tan56°≈,π≈3,结果保留整数17．如图,⊙O的半径为17cm,弦AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心O位于AB,CD的上方,求AB和CD的距离．18．在⊙O中,直径AB⊥CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,1求证：△ABC是等边三角形；2求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°．1求∠ACB的大小；2求点A到直线BC的距离．21．如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点不与点A、B重合,连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB．1当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数；2若AC=23,求证：△ACD∽△OCB．第二十三讲圆的有关概念及性质基础知识回顾三、圆的定义及性质：3、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合名师提醒：1、在一个圆中,圆←决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦,弦不一定是锥2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是名师提醒：圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合四、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径,并且平分弦所对的2、推论：平分弦的直径,并且平分弦所对的名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”六、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆或直弦所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是名师提醒：1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是4、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线七、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是考点一：垂径定理例1如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点．2、连接AB,BC,CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法,可判断AA．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误,乙正确对应训练1．如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,OP⊥AC于点P,OP=23,则⊙O的半径为A A．43B．63C．8 D．12考点二：圆周角定理例2如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C1求证：CB∥MD；2若BC=4,sinM= 23,求⊙O的直径．证明：∵∠C与∠M是BD所对的圆周角,∴∠C=∠M,又∵∠1=∠C,∴∠1=∠M,∴CB∥MD；2解：连接AC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵CD⊥AB,∴BC= BD,∴∠A=∠M,∴sinA=sinM,在Rt△ACB中,sinA=BCAB,∵sinM=23,BC=4,∴AB=6,即⊙O的直径为6．对应训练37．如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD1求证：BD平分∠ABC；2当∠ODB=30°时,求证：BC=OD．证明：1∵OD⊥AC OD为半径,∴CD AD,∴∠CBD=∠ABD,∴BD平分∠ABC；2∵OB=OD,∴∠OBD=∠0DB=30°,∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°, 又∵OD ⊥AC 于E,∴∠OEA=90°, ∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°, 又∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°, 在Rt △ACB 中,BC=12AB,∵OD=CD AD =AB,∴BC=OD ． 考点三：圆内接四边形的性质例3 如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点A 、点B,点A 的坐标为0,3,M 是第三象限内 OB 上一点,∠BMO=120°,则⊙C 的半径长为 A ．6 B ．5 C ．3 D ．32解：∵四边形ABMO 是圆内接四边形,∠BMO=120°, ∴∠BAO=60°,∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AOB=90°, ∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°, ∵点A 的坐标为0,3,∴OA=3, ∴AB=2OA=6,∴⊙C 的半径长=2AB=3．故选C ． 对应训练3、如图,四边形ABCD 是圆内接四边形,E 是BC 延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE 的大小是 A ．115° B ．l05° C ．100° D ．95°解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴∠BAD+∠BCD=180°,而∠BCD+∠DCE=180°, ∴∠DCE=∠BAD,而∠BAD=105°,∴∠DCE=105°．故选B ． 聚焦中考1．如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是 D A ．CM=DM B ． CB DB = C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD2．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架如图1,若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD 垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 30 cm ．3．如图,在半径为5的⊙O 中,弦AB=6,点C 是优弧AB 上一点不与A,B 重合,则cosC 的值为45． 4．如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,∠AOC=60°,则∠ABC 的度数是 .150° ． 备考真题过关 一、选择题1．如图,以M-5,0为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点,P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点,直线PA 、PB 分别交y 轴于C 、D,以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F,则EF 的长 C A ．等于42 B ．等于43 C ．等于6 D ．随P 点位置的变化而变化2．如图,在半径为5的⊙O 中,AB 、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP 的长为 C3．如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E,已知CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为 D A ．8 B ．10 C ．16 D ．204．如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦不是直径,AB ⊥CD 于点E,则下列结论正确的是 D A ．AE ＞BE B ． AD BC C ．∠D=12∠AEC D ．△ADE ∽△CBE5．已知：如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且OA ⊥OB,点C 在⊙O 上,则∠ACB 的度数为 A A ．45° B ．35° C ．25° D ．20°6．如图,AB 、CD 是⊙O 的两条弦,连接AD 、BC ．若∠BAD=60°,则∠BCD 的度数为 C A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°7．△ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC 的度数是 D A ．80° B ．160° C ．100° D ．80°或100°8．2012•泸州如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C 的度数为 A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°二、填空题 9．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD ⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙0的半径为 5 ．10．如图,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C ．若AB=23,0C=1,则半径OB 的长为 2 ．11．如图,在⊙O 中,直径AB 丄弦CD 于点M,AM=18,BM=8,则CD 的长为 24 ．12．已知：如图,在⊙O 中,C 在圆周上,∠ACB=45°,则∠AOB= 90° ．13．如图,矩形OABC 内接于扇形MON,当CN=CO 时,∠NMB 的度数是 30° ．14．如图,已知点A0,2、B23,2、C0,4,过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连接AP,以AP 为边在其左侧作等边△APQ,连接PB 、BA ．若四边形ABPQ 为梯形,则： 1当AB 为梯形的底时,点P 的横坐标是 233； 2当AB 为梯形的腰时,点P 的横坐标是 0或23 ．15．如图,△ABC 内接于⊙O,AB 、CD 为⊙O 直径,DE ⊥AB 于点E,sinA=12,则∠D 的度数是 30° ．三、解答题16如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图．已知图中ABCD 为等腰梯形AB ∥DC,支点A 与B 相距8m,罐底最低点到地面CD 距离为1m ．设油罐横截面圆心为O,半径为5m,∠D=56°,求：U 型槽的横截面阴影部分的面积．参考数据：sin53°≈,tan56°≈,π≈3,结果保留整数解：如图,连接AO 、BO ．过点A 作AE ⊥DC 于点E,过点O 作ON ⊥DC 于点N,ON 交⊙O 于点M,交AB 于点F ．则OF ⊥AB ．∵OA=OB=5m,AB=8m,∴AF=BF=12AB=4m,∠AOB=2∠AOF, 在Rt △AOF 中,sin ∠AOF=AF AO ==sin53°, ∴∠AOF=53°,则∠AOB=106°,∵OF=22OA AF =3m,由题意得：MN=1m,∴FN=OM-OF+MN=3m, ∵四边形ABCD 是等腰梯形,AE ⊥DC,FN ⊥AB,∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE ．在Rt △ADE 中,tan56°=32AE DE =, ∴DE=2m,DC=12m ．∴S 阴=S 梯形ABCD -S 扇OAB -S △OAB =128+12×3-106360π×52-12×8×3=20m 2． 答：U 型槽的横截面积约为20m 2．17．如图,⊙O 的半径为17cm,弦AB ∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心O 位于AB,CD 的上方,求AB 和CD 的距离．解：过点O 作弦AB 的垂线,垂足为E,延长AE 交CD 于点F,连接OA,OC,∵AB ∥CD,∴OF ⊥CD,∵AB=30cm,CD=16cm,∴AE=12AB=12×30=15cm,CF=12CD=12×16=8cm, 在Rt △AOE 中,OE=22221715OA AE -=-=8cm,在Rt △OCF 中,OF=2222178OC CF -=-=15cm,∴EF=OF-OE=15-8=7cm ．答：AB 和CD 的距离为7cm ．18．在⊙O 中,直径AB ⊥CD 于点E,连接CO 并延长交AD 于点F,且CF ⊥AD ．求∠D 的度数．解：方法一：连接BD ． ∵AB ⊙O 是直径,∴BD ⊥AD 又∵CF ⊥AD,∴BD ∥CF,∴∠BDC=∠C ．又∵∠BDC=12∠BOC, ∴∠C=12∠BOC ．∵AB ⊥CD,∴∠C=30°,∴∠ADC=60°． 方法二：设∠D=x,∵CF ⊥AD,AB ⊥CD,∠A=∠A,∴△AFO ∽△AED,∴∠D=∠AOF=x,∴∠ADC=2∠ADC=2x,∴x+2x=180,∴x=60,∴∠ADC=60°．19．如图,A,P,B,C 是半径为8的⊙O 上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,1求证：△ABC 是等边三角形；2求圆心O 到BC 的距离OD ．解：1在△ABC 中,∵∠BAC=∠APC=60°,又∵∠APC=∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°,∴△ABC 是等边三角形；2∵△ABC 为等边三角形,⊙O 为其外接圆,∴O 为△ABC 的外心,∴BO 平分∠ABC,∴∠OBD=30°,∴OD=8×12=4．20．如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°．1求∠ACB的大小；2求点A到直线BC的距离．解：1连接BD,∵以BC为直径的⊙O交AC于点D,∴∠BDC=90°,∵D是AC中点,∴BD是AC的垂直平分线,∴AB=BC,∴∠A=∠C,∵∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°,即∠ACB=30°；2过点A作AE⊥BC于点E,∵BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,∴cos30°=CDBC=3CD,∴CD=332,∵AD=CD,∴AC=33,∵在Rt△AEC中,∠ACE=30°,∴AE=1332⨯=332．21．如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点不与点A、B重合,连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB．1当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数；2若AC=23,求证：△ACD∽△OCB．1解：连接OA,∵OA=OB=OD,∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°,由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．2证明：过O作OE⊥AB于E,由垂径定理得：AE=BE,∵在Rt△OEB中,OB=4,∠OBC=30°,∴OE=12OB=2,由勾股定理得：BE=23=AE,即AB=2AE=43,∵AC=23,∴BC=23,即C、E两点重合,∴DC⊥AB,∴∠DCA=∠OCB=90°, ∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=23,∴AC DCOC BC==3,∴△ACD∽△OCB两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似．。
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1
圆的有关概念和性质
【学习目标】
1．圆、圆的对称性、不在同一直线上的三点确定一个圆 2. 垂径定理及逆定理、圆周角定理． 3．三角形的外接圆和内切圆 【巩固练习】 一、选择题：
1．（10晋江）如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若BOC ∆是直角三角形，则BAC ∆必是( ) .
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.有一个角是︒30的三角形
D.有一个角是︒45的三角形 2．（08长春）在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ）
A ．
2
3
B ．1
C ．2
D ． 32
3.（08乌兰察布）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，
已知100BOD ∠=
，则DCE ∠的度数为（ ） A ．40° B ．60° C ．50°
D ．80°
4. （09太原）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿 OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）
二、填空题： 5．（10眉山）如图，∠A
是⊙O 的圆周角，∠A =40°，则∠OBC 的度数为_______． 6．（10江西）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B ；两点，点P 的坐标为（4，2）
点A 的坐标为（2，0）则点B
的坐标为 ． 7．（08大庆）已知⊙O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．
（第7题）
O
A ．
B ．
C ．
D ．
8.(09成都)如图，A、B、C是⊙0上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为_______．三、解答题：
9．（09柳州）如图10，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
=；
（1）求证：CF BF
AD=，⊙O的半径为3，求BC的长．
（2）若2
10．（10日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB·CE．
2。