圆的有关概念和性质总结

圆的有关概念和性质知识考点:1、理解圆的定义,掌握点与圆的位置关系；2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念;3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。

圆的形成性描述:在一个平面内,线段ＯA绕它固定的O一端旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OＡ叫做半径。

以点O为圆心的圆记作“”1.圆是定点的距离等于定长的点的集合２、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径4、同圆或等圆的半径相等5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线7、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线8、不在通一条直线上的三点确定一个圆垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧12、推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等１3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形1４、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等圆心角定义：顶点在圆心上,角的两边与圆周相交的角叫圆心角圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中,如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。

推论:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。

圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这一定理叫做圆周角定理。

定理证明已知在⊙Ｏ中,∠ＢOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC＝２∠BAＣ.证明：情况１:如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1∵OA、ＯC是半径解：∴ＯA=OC∴∠ＢＡC＝∠ACO(等边对等角）∵∠BＯC是△AＯC的外角∴∠BOC=∠ＢＡＣ+∠ACO=2∠BAC情况２：如图2,,当圆心O在∠ＢAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D图2∵ＯA、OB、ＯC是半径解：∴OA=OＢ=OＣ∴∠BAD=∠ABＯ,∠CＡD＝∠ACO（等边对等角）∵∠ＢOD、∠COＤ分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠ＢＡD+∠ＡＢO=2∠ＢＡD∠CＯD＝∠CAＤ+∠ACO＝2∠ＣAD∴∠BOC=∠BOD＋∠COD=2(∠BＡD＋∠CAD)=2∠BAC情况3:如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：图3连接AO,并延长AO交⊙Ｏ于D解:∵ＯA、ＯB、OC、是半径∴∠BAD=∠ABＯ（等边对等角)，∠CＡD=∠AＣO(OA=OC）∵∠DＯＢ、∠ＤOＣ分别是△AＯB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BＡD+∠ABO=2∠BAD∠DOC=∠CAD＋∠ACO=2∠ＣAＤ∴∠BＯC=∠DＯC-∠DOB＝2(∠ＣAD-∠BAD)=2∠BAC定理推论:1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。

4．半圆(直径）所对的圆周角是直角。

５.90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个,一个是优弧所对的角,一个是劣弧所对的角一、点和圆的位置关系1、如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系.(1)d＞r点在圆外；(２）ｄ＝r点在圆上；(３)ｄ<r点在圆内.2、确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．３、三角形的外接圆(1)定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）三角形外心的性质:①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等.②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形，其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．锐角三角形的外心在三角形内直角三角形的外心在斜边的中点钝角三角形的外心在三角形外4、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等.直角三角形的内心公式:r＝（a+b－c）／2(ａ、b为直角三角形的两条直角边,c为斜边)三角形的内心公式：ｒ＝２s/l(ｓ为三角形的面积，l为三角形的周长5、反证法(1)定义：从命题结论的反面出发,经过推理论证，得出矛盾，从而证明命题成立,这种方法叫做反证法.（２)反证法证明命题的一般步骤①反设:作出与结论相反的假设；②归谬：由假设出发，利用学过的公理、定理推出矛盾；③作结论：由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确．二、直线和圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点.③相离,当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为ｒ，圆心O到直线L的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜ｒ(如图（1)所示)；（2）直线l和⊙O相切ｄ＝r(如图（2）所示）；(3)直线l和⊙O相离d＞r（如图（3)所示)．３、切线切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．三、圆和圆的位置关系1）图示定义法(交点数）①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离,如上图(1)、（5)、(6)所示，其中（1)又叫做外离,(5)（6)叫做内含;②相切：如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切，如图(2)、(３)所示,其中(2)叫外切，（3)叫内切；③相交：如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图（4）所示.注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1,2三大类即: (Ⅰ)没有公共点:(Ⅱ）有惟一公共点：(Ⅲ)有两个公共点:相交(2)用数量关系判断两圆的位置关系当两圆的半径一定时,两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距）的大小有关，设两圆半径分别为R和r(Ｒ＞r）,圆心距为d,则： (１)两圆外离ｄ＞R+r;(2)两圆外切d=R＋ｒ;（3)两圆相交R－r<ｄ<R＋ｒ;（4)两圆内切ｄ=R-r；（5）两圆内含d<R-ｒ．二、重难点知识归纳与圆有关的位置关系的判断是重点,切线的判定和性质是重点也是难点．三、典型例题剖析例1、如图,已知矩形AＢCD中,AＢ=3cm AD=4cｍ．若以Ａ为圆心作圆,使B、Ｃ、D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，求⊙A的半径r的取值范围.解:∵矩形ＡBCD中，∠B＝9０°,ＡB=3cm，BC=AＤ＝4cm，∴AＣ=5cm,其中点B到点A的距离最小，点C到点A的距离最大．若以AB为半径作圆，则没有点在⊙A内;若以AC为半径作圆,则没有点在⊙Ａ外．故⊙Ａ的半径r的取值范围是３ｃｍ＜ｒ<5cm．点拨：这里是由点与圆的位置确定半径r的大小．本例还要注意“至少”一词的理解.例2、阅读下列文字:在Rt△ABC中,∠Ｃ=9０°,若∠Ａ≠45°,则ＡC≠BＣ．证明：假设AC=BC．∵∠Ａ≠４5°,∠C=90°，∴∠Ａ≠∠B.∴AC≠BC,这与题设矛盾,∴ＡC≠BC.上面的证明有没有错误，若没有错误,指出其证明方法是什么?若有错误,请给予指正.解：有错误.改正如下:假设AＣ=ＢC,则∠A=∠B,又∠C＝９０°，∴∠Ｂ=∠A=４5°,这与∠A≠45°矛盾.∴AC=BC不成立.∴ＡC≠ＢC.点拨:运用反证法证题应从“假设”出发，即把假设当作已知条件，一步步有根据地推出与定义、定理、公理或已知矛盾的结论，从而判定“假设”不成立,进一步肯定命题的结论.例3、如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠Ｂ=９0°,AD∥BC,Ｅ为AB 上一点，DE平分∠ADＣ，CE平分∠BＣD，以AB为直径的圆与边CD 有怎样的位置关系？解:以AＢ为直径的圆与ＣＤ是相切关系．理由如下:如图，过E作EF⊥CD，垂足为F．∵∠Ａ＝∠B=90°，∴EA⊥AD,EB⊥BC．∵DＥ平分∠ADＣ,CE平分∠BCD，∴．∴以ＡB为直径的圆的圆心为Ｅ,且,∴以AＢ为直径的圆与边CD相切．点拨：在证明直线与圆的位置关系时,常过圆心向直线作垂线段，再比较垂线段与半径的大小即可.例4、已知：ＡＢ是⊙O的直径,ＢC是⊙Ｏ的切线，切点为B,ＯＣ平行于弦AD（如图).求证:DC是⊙Ｏ的切线.证明:连结OD.．．∵BＣ是⊙Ｏ的切线，∴∠OBC＝90°.∴∠ODC=90°.∴OD⊥DC.∴DC是⊙Ｏ的切线.点拨:已知点B是切点,连结OB得OB⊥BC,要证CD是切线，也要连结ＯD，证OD⊥CD,再沟通已知与未知的联系即可．例５、如图,AB是⊙O的直径，AD、BC、CＤ是⊙O的切线，切点分别是A、Ｂ、E,DＯ、AＥ相交于点F,CO、ＢＥ相交于点Ｇ.求证:(１)C Ｏ⊥DＯ;（2)四边形EFＯG是矩形．分析：(1)欲证CO⊥DO，只需证明∠ODC＋∠OCD=90°．根据切线长定理，得.再由切线的性质定理,不难得ＡD∥BC,从而∠AＤＣ+∠BCD=18０°,(１）获证．（2)仍由切线长定理,可证AE⊥ＤO,BE⊥CO.而∠AEB=90°，(2)获证．证明:(1) ∵ＡＢ是⊙O的直径,AD、BＣ是⊙O的切线，∴AＤ⊥ＡＢ,BC⊥AB．∴AD∥BC.∴∠ADC＋∠BCD＝180°．又由切线长定理,得.∴∠ODC+∠OCD=９0°，即∠DOC=90°.故CＯ⊥DO.(2)∵DA、DE与⊙O相切于点A、E，∴DA＝DE．∴AE⊥DO.∴∠EFO=９0°.同理，∠EＧO=90°．又∠DOC=９0°,∴四边形ＥFOG是矩形．点评:在有关圆的问题，切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据.例6、已知⊙O1与⊙O２的半径分别为R，r，且R≥r,r是方程x２－6ｘ+３＝０的两根．设O1O2=ｄ,那么：①若d＝７,试判定⊙O1与⊙Ｏ2的位置关系；②若，试判定⊙O1与⊙O２的位置关系;③若ｄ=5，试判定⊙Ｏ1与⊙O2的位置关系;④若两圆相切,求d的值.解:∵R、r是方程ｘ2－6x+３=０的两根，∴Ｒ+r=6,R·r=３.∴.(１）∵ｄ＝7，即ｄ>R+r,∴两圆外离.(２）∵，即ｄ<Ｒ-r，∴两圆内含.(３)∵d=5，即R－r＜ｄ<R＋ｒ，∴两圆相交.(4）要使⊙O１与⊙O2相切，则ｄ=Ｒ＋r或ｄ=Ｒ-r,∴d=6或时，两圆相切.点拨：由两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系知,应先分别求出R+r、R-r,然后再比较d与Ｒ＋r、R-r的大小从而作出判断．例7、已知⊙O１与⊙O2相交于A、B两点,且O2点在⊙O1上.（1)如图（1),AD是⊙Ｏ２的直径，连结DB,并延长交⊙O1于Ｃ．求证:CO２⊥ＡD．（2)如图(２),如果AD是⊙O２的一条弦，连结ＤB并延长交⊙Ｏ１于C,那么CO2所在的直线是否与AＤ垂直？证明你的结论.证明:（1)连结ＡB，则有∠AO2C=∠ABC=180°-∠ABＤ＝90°,∴CＯ2⊥AD.(2)作直径AD1交⊙O2于D1，连结D1B并延长交⊙O１于C１．由第(1）问知:∠AO2Ｃ１=9０°,∴∠ＡD1B＋∠BC１O2=9０°．在⊙O2中，∠AＤ1B=∠AＤB；在⊙O1中，∠BC1O２=∠BCO2．∴∠AＤB＋∠BＣＯ２=90°.∴ＣE⊥AD．点拨:解决此类问题，关键是要找出一般与特殊的关系,在图形变换中,要找出不变量--四、圆内接多边形内接多边形：多边形的所有定点都在圆上内接四边形：在同圆内,四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形1、圆内接四边形的对角互补２、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)。