1.5 事件的独立性与相关性

但 P( ABC ) 0 1 / 8 P( A) P( B) P(C ) 本例说明: 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立
1.5.3 相互独立事件的性质
性质1: 如果 将其中任何
n
个事件 A1 , A 2 , , A n 相互独立，则 个事件改为相应的对立事
m (1 m n )
1
k k 8 k C8 0.6 0.4 k 0
0.9914
例1.5.9 从1,2, …,10十个数字中有放回地任取5个数字, 求 取出的5个数字中按由小到大排列, 中间的那个数等于 4 的概率. 解: 设取出的5个数按由小到大排列为
x1 x2 x3 x4 x5
令 ( x3 4) 表示所求的事件
注意：不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要 发生．
例1.5.5
系统的可靠性问题
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系 统)的可靠性. 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联 并联 2
1
1
2
设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的 概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的 连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性. A1 S1: A2 B2
B1
P(S1 ) P( A1 A2 ) P( B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 )
2 p p p (2 p )
2 4 2 2
S2:
A1 B1
2
A2 B2
P( S 2 ) P( Ai Bi ) 2 p p
i 1

2
2 2

p (2 p) p (2 p )
P(B4) C54 0.6 4 ( 1 0.6 )1
P(B5) C55 0.6 5 ( 1 0.6 )0
即
P(Bi ) C 5 0.6 (1 0.6)
i i
5 i
(i=0,1,2,3,4,5)
易计算：概率最大的击中目标次数为3.
一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率 为p，则：当(n+1)p为整数时，概率最大的击中目标 次数为(n+1)p和(n+1)p-1；当(n+1)p不为整数时，概
A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 )
=5×0.6×(1-0.6)4
C5 0.6 ( 1 0.6 )
1 1
4
类推得
P(B2) C52 0.6 2 ( 1 0.6 )3
P(B3) C53 0.6 3 ( 1 0.6 )2
件，形成新的 n 个事件仍然相互独立. 性质2: 如果
n
n
个事件 A1 , A 2 , , A n 相互独立，则有
n n
P ( A i ) 1 P ( A i ) 1 ( 1 P ( A i ))
i1 i1 i1
例1.5.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电, 则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)=
A
) 0 . 03
P ( A ) P ( B ) 0 . 03 0 . 07 0 . 021 P ( AB )
所以事件 A 与 B 不独立，即该校学生视力与听力
缺陷有关联.
（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺 陷的概率是多少？ 这要求计算条件概率 P ( B
P (B A) P ( A)
② 由问题的性质从直观上去判断.
例1.5.1 某高校的一项调查表明：该校有30%的学 生视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力 与听力都有缺陷，
P =“学生视力有缺陷”，( A ) 0 . 30 P( B =“学生听力有缺陷”， B ) 0 . 07 P AB =“学生听力与视力都有缺陷”， ( AB 现在来研究下面三个问题： （1）事件 A 与 B 是否独立？ 由于
2 2
2
P ( S 2 ) P ( S1 )
例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击 中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数. 解：击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,…,5) 表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5), 则Ai (i=1,2,...,5)相互独立, P(B0)= P( A1 A2 A3 A4 A5 ) =(1-0.6)5 =0.45 C50 0.6 0 ( 1 0.6 )5 P(B1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P( A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
1.5 事件的独立性与相关性
1.5.1 两个事件的独立性与相关性 1.5.2 有限个事件的独立性 1.5.3 相互独立事件的性质 1.5.4 Bernoulli概型
1.5.1 两个事件的独立性与相关性
例如 箱中装有10件产品。7件正品，3件次品。甲买走 1件正品，乙要求另开一箱,也买走1件正品. 记甲取到正品为事件A，乙取到正品为事件B，则
0 4
1
5
5
4
例1.5.8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹, 若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每 门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被击毁的概率. 解：设一门炮击中目标为事件A, P(A)=0.6 设目标被击毁为事件B, 则
8 1
P( B)
k k 8 k C8 0.6 0.4 k 2
P ( B ) P (C ) P ( BC ) P ( AB ) P ( AC ) P ( ABC )
P( A )P( B) P(C ) P( BC )
P( A ) P( B C )
例1.5.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为 0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含 有肝炎病毒的概率. 解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为 事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai (i =1,2,…,100 ). 则
P ( B | A) P ( B ) 7 10
由乘法公式即得
P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的 概率彼此不受影响.
定义: 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。 注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
(3)
1.5.2 有限个事件的独立性
定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事A1,A2,…,An,若 对任何正整数m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n, 都有 P（Ai1 Ai2 Aim ) P（Ai1 ) P( Ai2 ) P( Aim )
则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立. 注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个 事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的 影响.
A Ai
i 1 100
P ( A) 1 1 P ( Ai )
i 1
100
1 (1 0.004)
100
0.33
若Bn表示n个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则
P ( Bn ) 1 (1 ) , n 1,2,
n
01
n
lim P ( Bn ) 1
掷每一颗骰子就是一个基本试验.
每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以 (1) 恰有一颗是6点的概率为 (2) 至少有一颗是6点的概率为
1 C4 ( ) (1 ) 6 6
0 0
C4 ( ) (1 ) 6 6
1 1
1
1
4 1
C4 ( ) ( ) 6 6
1 1
0
1
5
3
1
1
40
1 C4 ( ) ( ) 1 ( ) 6 6 6
推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0,则A与B独立等价于 P(B|A)=P(B).若P(B)>0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明：A，B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
推论2 在 A与B, A与B，A与 B ，A与 B 这四对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A,B独立,则
例1.5.2 随机投掷编号为1与2的两个骰子，事件A表 示1号骰子向上一面出现奇数，B表示2号骰子向上一 面出现奇数，C表示两骰子出现的点数之和为奇数。 则 P( A) P( B) P(C ) 1 / 2
P( AB) P( BC ) P(CA) 1 / 4
P( A) P( B) P( B) P(C ) P(C ) P( A)
( x3 4) ( x3 4) ( x3 3)
( x3 4) : 1,1,2,3,3;
1,1,4,4,5;
1,1,2,3,4; 1,1,4,5,8;

所取的5个数字中至少有3个数字不大于4
率最大的击中目标次数为(n+1)p的整数部分.
1.5.4 Bernoulli概型
若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点: