三角形中的不等和最值问题(测)-2018年高考数学(理)二轮复习讲练测(word版含答案)

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专题8 力学中三大观点的综合应用(练习)(原卷版)-2024年高考物理二轮复习讲练测(新教材新高考)

A．
B．
C．
D．
02 力学三大观点的综合应用 ······························································· 10
考向一力学三大观点的综合应用 ·········································································10
1 2
kx2（
x
为形变量）。
求：
（1）滑块 c第一次经过 E 点时对装置 P 的作用力；
（2）滑块 a 的初速度大小 v0 ；
（3）试通过计算判断滑块 c能否再次与弹簧发生相互作用，若能，求出弹簧第二次压缩时最大的压缩量。
10．（202滑水平地面上，木板左端和正中央分别放
A．弹簧获得的最大弹性势能为 5 mgh 6
B．滑块沿弧形槽上升的最大高度为 4h 9
C．滑块第二次离开弧形槽后，不可能和弹簧发生作用 D．滑块沿弧形槽下滑过程中，二者构成的系统既满足动量守恒也满足机械能守恒 7．（2024·广西贵港·统考模拟预测）如图所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的 O 点，另一端自由伸长到 A 点， OA 之间、 B 右侧的水平面光滑， AB 之间的距离 l 1 m ，在其上表面铺上一种特殊材料，该材料动摩擦因数从 A 向 B 随距离均匀变化如右图所示。质量 M 2 kg 的足够高光滑曲面在 B 处与水平面平滑连接。m 1 kg 的小物块开始时静置于水平面上的 B 点。现给小物块一个水平向右的初速度 v0 9 m/s ，重力加速度 g 取 10 m/s2 。求：（1）小物块在曲面上上升的最大高度；（2）小物块返回 B 点时小物块和曲面的速度大小；（3）弹簧被压缩获得的最大弹性势能。

专题3-2 解三角形最值范围与图形归类(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用原卷版)

专题3-2解三角形最值、范围与图形归类目录讲高考................................................................................................................................................................................1题型全归纳......................................................................................................................................................................2【题型一】最值与范围1：角与对边....................................................................................................................2【题型二】最值与范围2：角与邻边....................................................................................................................2【题型三】范围与最值3：有角无边型................................................................................................................3【题型四】最值与范围4：边非对称型................................................................................................................4【题型五】最值：均值型...........................................................................................................................................4【题型六】图形1：内切圆与外接圆....................................................................................................................4【题型七】图形2：“补角”三角形....................................................................................................................6【题型八】图形3：四边形与多边形....................................................................................................................7【题型九】三大线1：角平分线应用....................................................................................................................8【题型十】三大线2：中线应用..............................................................................................................................8【题型十一】三大线3：高的应用.........................................................................................................................9【题型十二】证明题.................................................................................................................................................10专题训练. (10)讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC(2)若sin sin A C =，求b ．2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B =++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．4．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．5．（2021·北京·统考高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC 题型全归纳【题型一】最值与范围1：角与对边【讲题型】例题1.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为()()22,,,sin sin sin sin sin a b c B C A B C -=-（1）求A ；（2）已知a =.例题2.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+.（1）求角A 的值；1.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2sin 2cos )A A B C -+sin 30A -=.（1）求A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的周长L 的取值范围.2.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且()222πcos B b a c ac sinAcosA---=（1）求角A ；（2）若a =bc 的取值范围．【题型二】最值与范围2：角与邻边【讲题型】例题1..已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，ABC 满足：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤.（1）求角A 的取值范围；1.．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求角B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．2.在ABC 中，设A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+.（1）求A ；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围.【题型三】范围与最值3：有角无边型【讲题型】例题1.三角形ABC 中，已知222sin sin +sin sin sin A B A B C +=，其中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求a b c +的取值范围.例题2.在锐角三角形ABC,若ac c b a c b a 3))((=+++-(I)求角B(II)求A A cos sin 3+的取值范围【练题型】1.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）若a =5c =，求b（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．2.在锐角三角形ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a BB b A-=.（1）求A ；（2）求bc 的取值范围.【题型四】最值与范围4：边非对称型【讲题型】例题1.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.【练题型】在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin A C B A C +=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，b =a -的取值范围．【题型五】最值：均值型【讲题型】例题1.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【练题型】1.在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD =BC BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b cc b+的取值范围是_．【题型六】图形1：内切圆与外接圆【讲题型】例题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知4b =，2c =，且sin sin sin()C B A B =+-．(1)求角A 和边a 的大小；(2)求△ABC 的内切圆半径．例题2.ABC 中，已知1AB =，BC =D 为AC 上一点，2AD DC =，AB BD ⊥.(1)求BD 的长度；(2)若点P 为ABD △外接圆上任意一点，求2+PB PD 的最大值.【讲技巧】外接圆：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。

方法3.4 分离(常数)参数法(讲)-2019年高考数学(理)二轮复习讲练测 Word版含解析

2019届高三二轮精品第三篇方法应用篇方法四分离（常数）参数法分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d+=+，，，等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（Ⅰ）∵()f x 是R 上的奇函数， ∴，即.整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（Ⅲ）当[]1,2x ∈时，．由题意得在[]1,2x ∈时恒成立，∴在[]1,2x ∈时恒成立．令，则有，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴.∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例2.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. 【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN =，且，所以，且即且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故，代入2201x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，第21题解答图第21题图1第21题图2由消去y ，可得.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以，即. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得；同理可得.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和，可得. ②将①代入②得，.当214k >时，；当2104k ≤<时，.因2104k ≤<，则，22214k ≥-，所以，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3.已知函数，判断函数()f x 的单调性.【答案】当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.【解析】由已知有，x b ≠-，∴当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例4.【2018届高三训练】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈1(0, 2⎤⎥⎦恒成立，则a 的最小值为( )A. 0B. －2C. －52D. －3 【答案】C【解析】因为x∈1(0, 2⎤⎥⎦，且x 2＋ax ＋1≥0，所以a≥－1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以a≥－max1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭. 又y ＝x ＋1x 在1(0, 2⎤⎥⎦内是单调递减的，所以a≥－max1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－(12＋112)＝－52 故选：C1.3 用分离常数法创设应用基本不等式的条件例5.已知，则的大小关系是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】B2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【山东省济南市2019届高三上学期期末】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】学-科网作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，即，由函数在R上单调递减，可得：变量分离可得：，令则,又∴∴故选：B例7.【广东省2019届高三上期末】已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1)当时，，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即.（2）由可得，即.因为，所以.令，则.令则（8分）因为，所以，所以在上单调递增，则，所以，即实数的取值范围.2.2 求定点的坐标例8. 已知直线l ：，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.【答案】(3,1). 【解析】直线l 的方程可化为，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得(3,1)M ⇒，∴直线l 恒过定点(3,1).【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。

2018年高考数学(理)二轮复习讲学案：考前专题八系列4选讲第2讲不等式选讲

第2讲不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2017届四川省成都市三诊)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式即为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， ∴x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，∴x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，∴x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|， ∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|] . ∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2]⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 热点二不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ；(2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件．(1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1.(2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1 ≥2⎣⎡⎦⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数． (1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值． (1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2 ＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)| ＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)| ≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]| ＝|(a －b )4＋1|≥1. 即f (x )min ＝1.热点三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．例3 (2017届长沙市雅礼中学模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求证：2≤at ＋12＋bt ≤4. (1)解由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)证明由柯西不等式，有(－3t ＋12＋t )2＝(3·－t ＋4＋1·t )2 ≤[(3)2＋12][(－t ＋4)2＋(t )2]＝16，所以－3t ＋12＋t ≤4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立．又(－3t ＋12＋t )2＝－3t ＋12＋t ＋2－3t ＋12·t ≥12－2t ≥4(0≤t ≤4)，所以－3t ＋12＋t ≥2，当且仅当t ＝4时等号成立，综上，2≤at ＋12＋bt ≤4.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．解 (1)由f (x )≤0，得|x ＋2|≤m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2，又f (x )≤0的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1.(2)由(1) 知a ＋b ＋c ＝1，由柯西不等式，得(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)·(12＋12＋12)，所以(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]＝18，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|. 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． (1)解因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y ≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2017届山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋4|，g (x )＝x 2＋4x ＋3. (1)求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)如果f (x )≥|1－5a |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )≥g (x )，即|x －2|＋|x ＋4|≥x 2＋4x ＋3，①当x <－4时，原不等式等价于－(x －2)－(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋6x ＋5≤0，解得－5≤x ≤－1， ∴－5≤x <－4；②当－4≤x ≤2时，原不等式等价于－(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋4x －3≤0，解得－2－7≤x ≤－2＋7， ∴－4≤x ≤－2＋7； ③当x >2时，原不等式等价于 (x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋2x ＋1≤0，解得x ＝－1，得x ∈∅.综上可知，不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－5≤x ≤－2＋7}． (2)∵|x －2|＋|x ＋4|≥|x －2－x －4|＝6，且f (x )≥|1－5a |恒成立，∴6≥|1－5a |，即－6≤1－5a ≤6， ∴－1≤a ≤75，∴a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，75. 2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ， ∴f (x －3)＝|x |－m ≥0. ∵m >0，∴x ≥m 或x ≤－m .又∵f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴m ＝2.(2)f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1.即实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)． 3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}． (2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |， ∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n | ≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5| ＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2， ∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届河南省洛阳市统考)设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34； (2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由． (1)证明记f (x )＝|x ＋2|－|1－x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1.由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12，∴⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34. (2)解由(1)得a 2<14，b 2<14.∵|4ab －1|2－4|b －a |2＝(16a 2b 2－8ab ＋1)－4(b 2－2ab ＋a 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， ∴|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1. (1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1； (2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |， a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp | ≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2＝⎝⎛⎭⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥⎝⎛⎭⎫m 2a ·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1. 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c2≥1.B 组能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)解令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0， ∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． (2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc ＝3abc＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c3＋3abc . 7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0，根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝⎛⎭⎫－32，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0两点的距离之和．接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9， ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2 －⎝⎛⎭⎫a －122＋14. ∵当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

三角形中的不等和最值问题

热点三角形中的不等和最值问题新课标下高考数学题中以三角形中的不等和最值问题为载体，不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域；纵观近几年高考对三角形的考查，三角形中的不等和最值问题已成为高考命题的一个热点.重点放在正余弦定理与三角函数性质、基本不等式和向量知识的结合上；要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识综合性大，涉及知识面广，学生解决感觉较困难，分析原因，除了这类题目本身有一定难度，主要是学生的三角恒等变形能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 三角形中的不等关系三角形中的不等关系主要有：1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00 而小于 1800,任意两角之和也是大于 00 而小于 1800;3. 设角 A 是一三角形的内角,则0 < sin A ≤ 1;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于 900 而小于 1800;5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边等等.运用好这些不等关系,是解决与三角形有关问题的关键.学￥科网例 1 钝角三角形的三边为a ， a +1， a + 2，其最大角不超过120︒，则a 的取值范围是（）A. 0 < a < 3B. 3 ≤ a < 3C. 2 < a ≤ 3D. 1 ≤ a < 522【答案】B2 三角形的不等与三角变换：解三角形主要用到四点：一是正余弦定理；二是大边对大角,大角对大边；三是设角 A 是一三角形的内角，则0 < sin A ≤ 1；四是三角形的面积公式.用三恒等变形公式按目的进行变形化简是关键.例 2【2018 届江西省 K12 联盟高三教育质量检测】已知∆ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，sin 2 A + sin 2 B - sin 2C且 c =sin A sin B a cos B + b cos A，若 a + b = 4，则c 的取值范围为（） A. (0, 4) B. [2, 4) C. [1, 4) D. (2, 4]【答案】B【解析】∵ sin 2 A + sin 2 B - sin 2C c = sin A sin Ba cos B +b cos Aa 2 +b 2 -c 2 ∴ = ab = ab = absinC sinA cos B + sinB cos A sin ( A + B ) sinC∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab∴ (a + b )2 - 3ab = c 2,∴ c 2 ≥ (a + b )2 ⎛ a + b ⎫2- 3 ⎪⎝ 2 ⎭∴ c ≥ 2,又c < a + b = 4∴ c 的取值范围为[2, 4)故选：B.3 三角形中不等与向量以向量为载体来描述三角形中的条件，然后解三角形，是近年来是常见高考题型，这种题目不仅要求学生熟悉应用正余弦理解三角形，同时还要求学生有不错的向量知识才能读懂题目，从而顺利作答．例 3 已知向量 a,b 满足 a = 1, b = 2，则 a + b + a - b 的最小值是，最大值是。

高考数学解三角形中的不等问题基础知识与练习题(含答案解析)

高考数学解三角形中的不等问题基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=−+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=−+=−+⎡⎤⎣⎦ （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式：()sin cos a A b B A ϕ+=+，其中tan b aϕ=7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。

解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】

专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值（3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤．由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解．热点二三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+，当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解．热点三求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等，因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠，所以tan 3B =. 又因为0πB <<，所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ，所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，所以sin sin ∠=∠DBC ABD ，即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =，所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤；故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=，又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=，由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+，又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥，当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立．则ABC 面积的最大值为6．故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=，当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号，故选：B ．二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =，又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭，所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+，所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+，因此C ，D 错误故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确，故选：AD ．三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+，则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________．【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+．所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23．因为()0,A π∈，所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号，故sin A 的最大值为53．此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角，所以6cos 6B =．故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=，由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+，设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<，所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27．四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==，则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=，即34355b c bc +=，即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+，故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=，当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立，所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--，即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．（1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立，所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=；方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====，所以4sin ,4sin b B c C ==，所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=，又因为23B C π+=，所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值，【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=，所以14OC =，因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===，所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等，所以14OP OQ OM OC ====，因为P ，Q 关于OM 对称，所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874，所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值．【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠．即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =，所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-．在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值．【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =，若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=，即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-，由重要不等式得162ac ac ac ≥-=，当且仅当a c =时取等，所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==，利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

高考数学二轮复习中档大题规范练(六)不等式选讲理

(六)不等式选讲1．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－|x －1|.(1)当a ＝2时，求不等式0<f (x )≤1的解集；(2)若∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤a 2－3，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，因为f (x )＝|x －2|－|x －1|≤|(x －2)－(x －1)|＝1，所以f (x )≤1的解集为R ；由f (x )>0，得|x －2|>|x －1|，则|x －2|2>|x －1|2，即x 2－4x ＋4>x 2－2x ＋1，解得x <32. 故不等式0<f (x )≤1的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32. (2)当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝x －a －|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，x ≥1，2x －a －1，0<x <1，则f (x )max ＝1－a ≤a 2－3，又a ≤0，所以a ≤－1＋172；当0<a <1，x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝1－a >0>a 2－3，故0<a <1不合题意；当a ≥1，x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|x －a |－|x －1|≤|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|＝a －1，当且仅当0<x ≤1时等号成立，则a 2－3≥a －1，又a ≥1，所以a ≥2.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1＋172∪[2，＋∞)． 2．(2018·滨州、淄博模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤2；(2)若∃b ∈R ，不等式|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≤－12，1－3x ，－12<x <2，－x －3，x ≥2，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，x ＋3≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <2，1－3x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，－x －3≤2，解得x ≤－1或－13≤x <2或x ≥2，综上所述，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥－13. (2)∃b ∈R ，|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立等价于(|a ＋b |－|a －b |)max ≥f (x )max .因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，所以|a ＋b |－|a －b |的最大值为2|a |；当x ≤－12时，f (x )≤52；当－12<x <2时，－5<f (x )<52；当x ≥2时，f (x )≤－5，所以f (x )max ＝52，所以由原不等式恒成立，得2|a |≥52，解得a ≥54或a ≤－54. 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞. 3．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|(x ∈R )．(1)解不等式f (x )≤1；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为m ，且a ＋b ＝m (a ，b >0)，求4a ＋1b的取值范围．解 (1)由f (x )≤1，即|2x ＋1|≤1，得－1≤2x ＋1≤1，解得x ∈[－1,0]．即不等式的解集为{x |－1≤x ≤0}．(2)g (x )＝f (x )＋f (x －1)＝|2x ＋1|＋|2x －1|≥|2x ＋1－(2x －1)|＝2，当且仅当(2x ＋1)(2x －1)≤0，即－12≤x ≤12时取等号， ∴m ＝2.∴a ＋b ＝2(a ，b >0)，∴4a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24b a ·a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0，4b a ＝a b ，a ＋b ＝2，即a ＝43，b ＝23时等号成立，综上，4a ＋1b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞. 4．(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|，g (x )＝|4x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式g (x )<6的解集；(2)若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)和g (x 2)互为相反数，求a 的取值范围．解 (1)由题意可得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋3，x ≤－2，－5x －1，－2<x <14，3x －3，x ≥14，当x ≤－2时，g (x )＝－3x ＋3<6，得x >－1，无解；当－2<x <14时，g (x )＝－5x －1<6，得x >－75，即－75<x <14；当x ≥14时，g (x )＝3x －3<6，得x <3，即14≤x <3. 综上，g (x )<6的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －75<x <3. (2)因为存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝－g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )，x ∈R }∩{y |y ＝－g (x )，x ∈R }≠∅，又f (x )＝3|x －a |＋|3x ＋1|≥|(3x －3a )－(3x ＋1)|＝|3a ＋1|，当且仅当(3x －3a )(3x ＋1)≤0时取等号．由(1)可知，g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞，则－g (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94，所以|3a ＋1|≤94，解得－1312≤a ≤512. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1312，512. 5．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M .(1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )．(1)解将f (x )＝|x ＋4|代入不等式，整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，解得x <－103，所以x ≤－4； ②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，解得x <－2，所以－4<x <－2；③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，解得x >2，所以x >2.综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．(2)证明因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |，所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )，只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |，即证(ab ＋4)2>(2a ＋2b )2，即证a 2b 2＋8ab ＋16>4a 2＋8ab ＋4b 2，即证a 2b 2－4a 2－4b 2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。

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2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标理科】热点六三角形中的不等和最值问题（一）选择题（12*5=60分）1．在非直角ABC ∆中 “B A >”是“B A tan tan >”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，60A =，若三角形有两解，则b 的取值范围为（）A ．()1,0错误！未找到引用源。

B ．)332,1( C ．错误！未找到引用源。

D ．)2,332(【答案】B ．【解析】由正弦定理sin sin sin 2a b B A B =⇒=，∵三角形有两解，∴sin sin 11A B b <<<<⇒∈，故选B ． 3.【2018届江西省赣州市第一学期期末】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+，且4b c +=，则a 的最小值为（）A. 2B. 【答案】A【解析】2sin cos sin cos sin cos sin A A B C C B A =+=，得1cos 2A =，由余弦定理()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===，即2216316342b c a bc +⎛⎫=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，所以a 的最小值为2。

故选A.4.【2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联考】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，sin cos a B A =，当4b c +=时， ABC ∆面积的最大值为（）A.3 B. 2【答案】C【解析】由πsin cos tan 3a B A A A =⇒=⇒=，故21sin 22ABC b c S bc A +⎫==≤=⎪⎝⎭且仅当2b c ==时取等号），故选：C ．5.【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测（模拟）】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC 的面积为S =，则ab 的最小值为（）A. 28B. 36C. 48D. 56 【答案】C【解析】由条件及余弦定理的推理得222222222a c b a c b c a b ac a+-+-⋅==+，整理得222a b c ab +-=-，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，可得23C π=．又12sin 23S ab π===，可得4ab c =． ∵2222222cos33c a b ab a b ab ab π=+-=++≥，当且仅当a b =时等号成立．∴22316a b ab ≥，解得48ab ≥．故ab 的最小值为48．选C ． 6 .锐角△ABC 中，B=2A ，则ba的取值范围是（）A.(-2,2)B.(0,2）)【答案】D【解析】以题意，90,45B A ∠<∴∠<o o ，又90C ∠<o ，故9039030B A A A ∠+∠>⇒∠>⇒∠>o o o即3045A <∠<o o，sin 2cos ,sin b B b A a A a ==7 .已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若12,cos 3a A ==，则ABC ∆面积的最大值为（）A ．2B ．12D 【答案】B8.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值范围是（）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛30π， B 、⎪⎭⎫⎝⎛30π， C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛60π， D 、⎪⎭⎫⎝⎛60π，【答案】A 【解析】2122cos 22222≥+=-+=ab b a ab c b a C ，又因为()π,0∈C ,得⎥⎦⎤⎝⎛∈30π，C .9. 在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝，S 为△ABC 的面积，则S ＋cosBcos C 的最大值为( ) A. 1 B.＋1 C.D. 3【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝222122b c a bc +-=-∴A ＝23π.设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R＝sin sin 3a A =2，∴R ＝1，∴S＝12bcsinABcos CBsin C－C)，故S故选C10.在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长为a b c 、、，设AD 为BC 边上的高，且AD a =，则b cc b+的最大值是（）A ．2 B．4 【答案】B 【解析】2211sin sin 22S bc A a bc A a ==⇒=，2222cos =sin 2cos b c b c a bc A A A c b bc bc+++==+≤选B. 11.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c，其中2a b B ===，则角A 的取值范围一定属于（）A 、(45,90)︒︒B 、(45,90)(90,135)︒︒︒︒C 、(0,45)(135,180)︒︒︒︒D 、(90,135)︒︒【答案】B【解析】由正弦定理：sin sin a b A B = ,得：sin sin 62a BA b⎛⎫===∈ ⎪ ⎪⎝⎭因为a b > ，所以，4590A << 或90135A <<，故选B.12. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知13sinB sinA sinC -=， 430sinA sinB -=，2218a ac ≤+≤，设ABC ∆的面积为S ， p S =，则p 的最小值为（）A. B.【答案】B二、填空题（4*5=20分）13.已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC ∆面积的最大值为___________.【答案】4【解析】由tan 2tan A c b B b -=可得B B C A B B A sin sin sin 2cos sin cos sin -=,即1sin sin 2cos cos sin BC A B A -=,也即A B A C B A cos sin cos sin 2cos sin -=,故A C B A cos sin 2)sin(=+,也即1cos 2=A ,则060=A ,由正弦定理可得3sin 2==A a ,再由余弦定理可得cb b c 3)(32-+=,即cb b c cb 4)(332≥+=+,所以3≤cb ,故43343sin 21≤==∆bc A bc S ABC ,14. 【2018届福建省三明市A 片区高中联盟校高三上学期期末】已知a ， b ， c 是锐角ABC ∆的内角A ， B ，C 所对的边， b =2cos cos c aB A b-=，则a c +的取值范围是__________．【答案】(3,【解析】∵2cos cos c aB A b-= ∴由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos 0C A B B A --=，即()sin 2cos 10C B -=∵sin 0C ≠ ∴1cos 2B =∵B 为ABC ∆的内角 ∴3B π=∵b =∴根据正弦定理可知2sin sin sin a b c A B C===∴22sin 2sin 2sin 2sin 36a c A C C C C ππ⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵ABC ∆是锐角三角形 ∴62C ππ<<∴a c +的取值范围为(3,故答案为(3,15.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=.若1a =,则ABC ∆的周长的取值范围为：【答案】1] 【解析】由已知得23A π=，再由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32= ， )())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=++=+++11(sin )1)23B B B π=+=++22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈ , sin()3B π∴+∈故ABC ∆的周长的取值范围为1] 16.【2018届陕西省高三教学质量检测（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()222a b c +-()cos cos a B b A ⋅+ abc =，若2a b +=，则c 的取值范围为__________．【答案】[)1,2【解析】△ABC 中，（a 2+b 2﹣c 2）•（acosB+bcosA ）=abc ，由余弦定理可得：2abcosC （acosB+bcosA ）=abc ，∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA ）=sinC ，∴2cosCsin（A+B ）=sinC ， 2cosCsinC=sinC ，∵sinC ≠0，∴cosC=12，又∵C∈（0，π）， ∴C=3π，B=23π﹣A ；∴由正弦定理2sin sin 3ab AA π==⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵a+b=2，1sin sin sin 36c A A A ππ==⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵A ∈（0， 23π），A+6π∈（6π， 56π），可得：sin （A+6π）∈（12，1]， 1sin 6c A π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ [)1,2∈ 故答案为： [)1,2. 三、解答题（6*12=72分）17.【2018届安徽省亳州市高三第一学期期末】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边为,,a b c，满足sin cos 2C c A a b -=-.（1）求C ；（2）若2c =，求ABC ∆的面积的最大值. 【答案】（1）3C π=（2【解析】试题分析：（1sin sin cos A C C A -= 2sin sin A B -，解得3C π=；（2）由余弦定理和基本不等式得2242a b ab ab +=+≥试题解析：18.已知ABC ∆的角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，设向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n A B = ，(1,1)p =.（I ）若m ∥n，求角B 的大小；（II ）若4m p ⋅=，边长2=c ，求ABC ∆的面积的最大值．【答案】（1）4π=B ；（2【解析】（1）∵m ∥ncos sin a B b A ∴=2sin cos 2sin sin R A B R B A ∴=，()cos sin ,tan 1.0,4B B B B B ππ∴=∴=∈∴=（2）由4m p ⋅=得4=+b a ，由均值不等式有2()42a b ab +≤=（当且仅当2a b ==时等号成立），又22222223131()()4124222cos 22222a b a b a b ab ab ab a b C ab ab ab ab ++-+--+-===≥=, 所以(0,]3πC ∈,从而sin C ∈（当且仅当2a b ==时等号成立），于是Δ11sin 422ABC S ab C =≤⨯=，即当2a b ==时，ABC ∆．19.【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】六安市某棚户区改造，四边形ABPC 为拟定拆迁的棚户区，测得3BPC π∠=,23BAC π∠=， 4AC =千米， 2AB =千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC 的外接圆内部区域.（Ⅰ）求四边形ABPC 的外接圆半径R ；（Ⅱ）求该棚户区即四边形ABPC 的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）R =（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题得：在2423ABC AC AB BAC π∆==∠=中，，，，由余弦定理，求得BC =再由正弦定理，即可求解R 的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）得， BC =28PB PC ⋅≤，进而得到APBC S PB PC =⋅≤. 试题解析：（Ⅰ）由题得：在2πΔABC AC 4AB 2BAC 3∠===中，，，BC ==由余弦定理得BC2R sin BAC ∠==由正弦定理得：所以R =（Ⅱ）由（Ⅰ）得， BC =由余弦定理得： 222BC PB PC 2PB PC cos BPC ∠=+-⋅⋅即2228PB PC PB PC 2PB PC +⋅=+≥⋅所以PB PC 28⋅≤ (当且仅当PB=PC 时等号成立) 而APBC ΔABC ΔPBC 11S S S AB AC cos BAC PB PC sin BPC 22∠∠=+=⋅⋅+⋅⋅故APBC S PB PC 4=⋅≤ 20.已知函数()2cos(2)2cos 13f x x x π=+-+．（1）试将函数()f x 化为()sin()(0)f x A x B ωϕω=++>的形式，并求该函数的对称中心；（2）若锐角ABC ∆中角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求bc的取值范围．【答案】（1）()2sin(2)16f x x π=-++，(,1)()122k k Z ππ-+∈；（2）1(,2)2．【解析】（1）由条件得()2cos(2)2cos 213f x x x π=+-+2cos 212sin(2)16x x x π=-+=-++由2()6x k k Z ππ+=∈，解得122k x ππ=-+，于是所求对称中心为(,1)()122k k Z ππ-+∈．（2）由()2sin(2)106f A A π=-++=解得3A π=，23B C π+=，所以2sin()sin 13sin sin 2tan 2C b B c C C C π-===+，又ABC ∆为锐角三角形，故62C ππ<<，所以11222b c <=+<，于是b c 的取值范围是1(,2)2． 21.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，ACa cb cos cos 2=--. (1)求角A 的大小； (2)若ABC ∆的面积3=S ，求ABC ∆周长的最小值.【答案】（1）32π=A ；（2）324+【解析】（1）ABC ∆中，∵ACa cb cos cos 2=--，由正弦定理，得：AC A C B cos cos sin sin sin 2=--，…………………………………………………….2分即C A A C A B cos sincos sin cos sin 2=--，故B C A A B sin )sin(cos sin 2=+=-……………………………………………………4分32,21cos π=-=∴A A …………………………………………………….6分22．【2018届四川省广元市高三第一次高考适应性统考】设函数()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()32f A =， 2b c +=，求a 的最小值.【答案】(1) ()f x 的最大值为2, x 的集合为()| 6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；【解析】试题分析：（1）将函数解析式化为()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域可求得函数()f x 的最大值及相应的x 的集合．（2）由()32f A =可得23A π=，然后利用余弦定理得()22a b c bc =+-，根据不等式212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭可得a试题解析：（1）由题意得()()1cos2x 21222f x sin x cos x =--++1cos2x 212sin x =+ cos 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，∵1cos 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴0cos 2123x π⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最大值为2．此时()223x k k Z ππ+=∈，即()6x k k Z ππ=-∈，所以x 的集合为()|, 6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. （2）由题意得()3cos 2132f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， ∴1cos 232A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈ ∴72,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴5233A ππ+=， ∴23A π=在ABC ∆中， 2b c +=， 1cos 2A =，由余弦定理得()2222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-又212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴()22413a b c bc =+-≥-=，当且仅当1b c ==时取等号，∴a。