跳跃-扩散模型欧式期权定价
股票价格服从不对称跳跃-扩散过程的期权定价模型
从 连续 随机 过 程 。
立股票价格服从不对称跳跃一扩散过程的模型 ， 并通过无套利均衡分析推导出期权价值应满足 的偏微分方程 。
二 、 票价格 行为模 型 股
假设市场上存在两种可连续交易的有价证券 ， 中一种 为无风险证券 ， 其 其价格过程 Ｓ （） ｏｔ满足微分方程 ：
收 稿 日期 ：０ ８ ０ — ６ ２０ －９ ２
对期权定价 理论 的研究可 以追溯到 １ ９世纪 的法国数学
家 巴舍 利尔 ， 然而 ， 到 ２ 直 Ｏ世 纪 ７ Ｏ年代初 ， 由 Ｂａｋ Ｓ一 才 ｌ 、ｃ ｃ ｈ ｌ 和 Ｍ ｌ ｎ三位教授在期权定价方面取得了突破性进展 ， ｏｓ ｅ ｅｔ ｏ 。
推导出了 标的资产为不支付红利股票的欧式期权定价公式， 篓。 即Ｂｓ — 公式。 在该定价公 式中， 票价格遵循的 股 是一种称之为 嚣
、 、
，
—、
●
１ ５ ．
２０
２５
Ｏ ａ Ｊ ￣ 司股 票 执 行 价 （ Ｂ ｒ ｅ． ｅ Ｃ ｕ）
圈 ２ ２ ０３年 ４ 月 １ 日 甲 骨 文 （ ａ ｌ） 司 股 祭 ０ １ Ｏｒｃｅ 公 肴 涨 期 权 的 隐 含 波 动 率
Ｄ ｒａ 和 Ｋ ｎ １ ４建立 了“ ｅ ｎ ｍ ａｉ ９ ） （９ 隐含二叉树” 的数值模 型等 ， 这些模型都是从不同的角度对“ 隐含波动率微笑 ” 进行了一定的探 讨和研究。 本文在沿用前 面的研究成果基础上 ， 中国股市实际情况 ， 结合 假设股票价格的跳跃 变化分别满足不同的分布， 进而建
跳扩散模型下的欧式障碍期权的定价
投资者 的收益或损失控制在一定范围之内． 每种敲出或敲入期权依赖障碍 日与敲定价格 Ｋ的
大小关 系分 为上 升 、 降两 种 ： Ｈ＜Ｋ， 为下 降 ； Ｈ ＞Ｋ 时称 为 上升 ： 依 赖未 定 权 益 的 下 当 称 当 又 不 同分 为看 涨 、 跌两 种 ． 看 因此我们 有 ８ 障碍 期权 ： 种
，
）Ｈ＞Ｋ； ，
）， ＞ Ｈ ；
下 降 敲人看 涨期权 ：Ｓ （ 一Ｋ） ・
）Ｈ＜ ； ，
下降敲人看跌期权 ：Ｋ—Ｓ ） ．ｍ Ｈ＜ （ ・ （ Ｋ； 下降敲出看涨期权 ：Ｓ 一Ｋ ・ （ ） 下降敲出看跌期权 ：Ｋ—ｓ ） ， （ ・（
其 中 ｒ ｎ｛＞０ Ｓ ＝Ｈ｝ Ｈ＝ｉ ｔ ， ｆ ． 本 文讨 论 的是标 的资产 价格 服从跳 扩散 过程 的障碍 期权 的定价 问题 ．
ｆ
０ ，
＞ ｙ或 ＜ ０ ，
，
ｉ √
ｅ ，ｙ０一 一 ＞ ，
３ 跳 扩 散 模 型 下 的 欧 式 障碍 期 权 的定 价公 式 ．
我们 以上 升敲 入看跌 期权 为例 ， 即在初 始 时 ， 确定 两个 价格 水平 ， 个为 敲定 价格 Ｋ， 个 一 一
为障碍价格 ， 如果标 的资产价格达到 时， 敲入期权有效 ， 其未定权益为
常数 ｒ 为无风险利率 ． ｓ 为风险资产 ， 其价格满足下面的随机方程 ：
ｄ Ｓ， ： 丁
（ 一２ ） ｔ＋ ｈｄ
＋ｈ Ｎ， ｄ ，
（） １
式中， 常数 和 分 别 为 ｓ 的期 望 收益率 、 动率 ， 常数 ） 风险 资产 价格 的相对 跳跃 高度 ； 波 （ 为 （ ）＞是定 义在 概 率 空 间 （ ， Ｐ） 的标 准 布 朗 运 动 ． ｝ 由（ ） 生 成 的 自然 代 ｃｏ Ｆ， 上 ｛ 是
分数跳-扩散运动下欧式复杂任选期权定价
［ ） ＝ ， （） 上 （ ］ 曰
ｘ一 ｐ ｛
） ｅ ｘ
分数跳 一扩散运动 下欧式 复杂任选期权定价
４ １
引理 ４’ 设， 是一满足 Ｅ ， Ｂ （ ） ［（ ） ］＜ ∞ 的函数 ， 则对任意的 ｔ＜Ｔ ，
ＥＩ８ ） ｔ（（ ］ ） 赤 ｆ ） （ ］ ｆ ｔ ８ ） ・ （ ｚ ） Ｅ （
复 泊松 合的 过程， 表 可 示为．ｔ ＝∑ Ｕ ｛（ ，≥ｏ 是强 ，） （ ｉ Ⅳｔ ｔ ｔ 度为Ａ 泊松 ， ） 的 过程， （ｉ 一 Ｕ ＞
１ 表示第 ｉ ） 次跳跃的幅度（ 无跳跃发生时 Ｕ ＝ ） ｛ ｉ ≥０ 为独立同分布列 ， ＝Ｅ Ｕ ， ｏ ０ ，Ｕ ， ｉ ｝ 且 ［ ］ 假定 ｛ 日 ｔ ， ≥０ ，Ｎ ｔ ， ≥０ 和 ｛ ｉ ≥ １ 相互独立． Ｂ （） ｔ ｝ ｛ （） ｔ ｝ Ｕ， ｉ ｝ 令
二
ｄ （， ， ２￡Ｔ ）＝ｄ （， ， ｌ￡Ｔ ）一 ￣ ７ ／
Ｊ・ 标 正 分 的 积 布 数Ⅳ） Ｊ 等 ・ ７） 准 态 布 累 分 函 ， ＝ １ 、是 ｒ （ 二
Ⅳｒ ‘ 一
占 关于 ｎ （ ＋ ） 是 １ 分布的 望． 期
ｉ＝０
３ 欧 式 复 杂 任选 期 权 的 定 价
引理 ５ 若 股价 满足 （ ） ， 在任 意 时刻 ｔ执 行 价 格 为 Ｋ， ３式 则 ， 到期 日为 Ｔ的标 准 欧 式 看 涨 期权 和 看跌 期权 的价 格分 别 为 ：
ｃ ． ｓ ＝
。
业
［ｔＡ － ｎ （ ＋ ） （。］ Ｋ－－ ［（ 川 ， Ｓ－（ｔ ｅＯ ） Ｔ １ Ⅳ ｄ 一 ｅ（） Ｎ ｄ ） ｒｔ Ｔ８
牛淑敏 徐 云
（ 新疆 大 学数 学与 系统科 学 学院 ， 鲁木 齐 ，３０ ６ 鸟 ８０４ ）
跳跃—扩散模型资产定价公式的数值计算方法
跳跃—扩散模型资产定价公式的数值计算方法作者：张鸿雁,李强,张志来源：《经济数学》2010年第02期摘要假定资产价格变化过程服从跳跃扩散过程,那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分微分方程(PIDE),本文利用差分法来离散这个PIDE方程,用两种迭代方法得到方程的数值解:基于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法.关键词跳跃扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权中图分类号 O241.82文献标识码:A引言美国芝加哥大学教授Black和Scholes[1]在1973年发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文,提出了著名的期权定价公式,在公式中,假设股票的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,Merton在1976年首先提出了跳跃扩散模型,在Merton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.本文首先介绍PIDE[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个Toeplitz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到Toeplitz[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算Toeplitz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决Toeplitz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数,以便提高收敛速度.2 跳跃扩散模型假设市场是完备无套利的市场,在跳跃扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程-其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动是泊松过程的概率是1-的概率是是泊松到达强度,η-1是由S跳跃到Sη的跳跃幅度函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度E(η-1),泊松过程与布朗运动ω(t)是相互独立的.由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足--式中,t=T-τ是到期时间为T的时间,r是无风险利率,g(η)是跳跃幅度η的密度函数.对式(2)的积分部分进行指数变量变换,令则式(2)变为--再对其余部分进行变换,令函数f(y)是跳跃幅度的密度函数,则式(3)变为----(t,x)∈[0,T)×R,边界条件令u(τ,•)=υ(T-τ,•),则式(4)变为--(r----(τ,x)∈3 Merton模型下的有限差分离散在中,由于则通常限定x的取值范围是-称为截断点称为截断区域,式(5)中的积分部分可以分割为两部分\在计算欧式看涨期权的情况下,在R\上的积分u(τ,z)可以进行近似代替--当x→+时.(6)u(τ,x)→0, 当x→-时经济数学第 27 卷第2期张鸿雁等:跳跃扩散模型资产定价公式的数值计算方法对于式(5)中的积分部分,进行变量变换z=x+y,则-定义函数---在模型中--在的情况下,有表达式----其中是标准分布函数--考虑时间和空间节点,使---(---1),和-1)k,m=1,…,q,k=T/q.记-在[-上用复合梯形原则,有积分近似---对于时间变量与空间变量,作近似---------这里,对于时间的偏导,当m≥2时,用向后的二阶差分来近似对时间的微分,当m=1时,用向后的一阶差分近似;对于空间的偏导,用中心差分来近似.定义向量由初始条件,初始向量由式(13)~(16),则式(5)的有限差分离散能写成矩阵形式其中3/2,m≥2,I是单位矩阵,C和D定义为---λζ)/2h,如果i=j-1, 2≤i≤n-如果i=j, 2≤i≤n---k(r--λζ)/2h,如果i=j+1, 2≤i≤n-1,0,其他情形;-如果2≤i≤n-1,且-如果2≤i≤n-1,且2≤j≤n-其他情形且式(17)中,向量定义为---其中如果如果m≥2,(19)如果-1/2,如果由初始边界条件可知-- 4 基于雅可比正则分裂的迭代方法定义1 假设矩阵A可用分裂成形式A=Q-其中,Q是单调矩阵-且R≥0,则称A可以正则分裂.对于每一个形如式(21)的分裂,都存在相应的迭代方法--若A是单调矩阵,则迭代式(22)是收敛的-给出雅可比正则分裂的形式:-其中是A的对角矩阵.如果满足:--)-则分裂是正则的,且--证明过程见文献[9].在有限差分法中,若:---则可以得到一个精确稳定的解.若保持k/h固定不变而让h→0,则存在一个使得在时条件同时成立5 预条件共轭梯度算法本文中系数矩阵A是一个矩阵,现选择优化循环预条件器[10]加快迭代过程中的收敛速度.预条件器------其中--是矩阵A中的元素,j=0,…,n-1.在所有的n阶循环矩阵中,C极小化范数-在这个意义下,C被视为A的一个近似矩阵.在预条件共轭梯度法下,每一次迭代都要计算矩阵向量积Ax和-和y是n维向量),可以利用快速富里叶变换快速计算.C可以被n阶离散富里叶矩阵对角化,即∧∧-且---1)是C的特征值是虚数单位于是-∧-对于计算Ax,可以先将A嵌入到一个2n阶的循环矩阵,然后借助2n阶快速富里叶变换来计算,即其中-1------等价于--对于矩阵方程循环优化预条件器是式(24),共轭梯度法采用析因形式[11],不生成系数矩阵,迭代算法为--是初值;(29)----终止条件是6 数值实验在模型[12]下做数值实验,当时,欧式看涨期权有解ω(t,s)=∑-λ(其中,τ=T---表示欧式看涨期权的价格.用编程进行数值试验.在所有的实验中,式(22)的迭代停止时刻由前后两个迭代矩阵之间的差的-范数决定,即当-V在模型中用FD和BDF2对空间与时间进行差分,并用三对角分裂法处理矩阵,到期时刻T=1,截断点波动率σ=0.2,跳跃方差跳跃强度λ=0.1,协定价格结果为:由表1和表2,随着差分节点数的增加,计算的误差越来越小,从空间差分节点数129开始,差分节点数每增加一倍,雅克比正则分裂迭代算法的计算误差就下降一个数量级,对于预条件共轭梯度法,当差分节点数从65增加到129时,计算误差下降了两个数量级,而在节点数从129增加到1 025的过程中,误差都是在同一数量级内减少,这说明预条件共轭梯度法的收敛速度很快.从计算的精确度来说,雅克比正则分裂法和预条件共轭梯度法相差不大,但是从计算的速度来看,后者要比前者快.本文讨论了当市场有跳跃时欧式期权定价的数值计算方法,期权的价格是一个PIDE方程的解,本文用差分法对这个方程进行离散,得到一个Toeplitz矩阵系统,本文用两种方法来处理这个系统,由表1和表2可以看出,二者在计算精度上差别不大,预条件共轭梯度法比雅可比正则分裂法的迭代结果误差更小些,而且迭代过程中的迭代次数更少,分析这些差别的原因,是由于预条件共轭梯度法对系数矩阵进行了处理,使系数矩阵的条件数减小,因而加快了迭代的收敛速度.参考文献[1] BLACK F,SCHOLES M.The price of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3),637-654.[2] ANITA Mayo. Methods for the rapid solution of the pricing PIDE in exponential and merton models[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics:2008,22(34):128-143.[3] CONT R,VOLTCHKOVA E.A finite difference scheme for option pricing in-1626.[4] 杨向群,吴峦东.带跳的幂型支付欧式期权定价[J].广西师范大学学报:自然科学版,2007,25(34),56-58.[5] STANG G.A proposal for toeplitz calculations[J].Stud Appl Math,1986,74(39):171-176.[6] CHAN T.An optimal circulant preconditioner for Toeplitzsystems[J].SIAM,J,Sci,Stat,Comput,1988,9(13):766-771.2004,38(37):35-45.[8] YOUNG D M.Iterative solution of large systems[J].New York:Academic,1971,5(23):25-35.[9] ARIEL Almendral,CORNELIS W.Oosterlee. Numercial valuation of options with jumps in the underlying[J]. Applied Numercial Mathematics,2005,53(29):1-18.iterations[J]. SIAM J Matrix Appl,1994,15(8):80-97.markets[D].Universi ta Degli Studi Di Roma “La Sapienza”Dottor to Di Ricerca in Miatematica Per Le Applicazioni Economiche e Finanziarie,2003.numerical methods for option pricing[J].Rew.Derivatives Res,2000,4(17):231-262.(School of Mathematical and Calculating Technology,Central South University,ChangSha,Hunan 410083,China)assumption.The equation was discretized by difference formula.The result was obtainedby two iterative methods:Jacobi regular splitting method and preconditioned conjugate gradient method.option。
股票价格服从纯生跳—扩散过程的期权定价模型
．７ — — √２ （ － ｆ ￣Ｔ－ １
如果 Ｘ 为欧式 看 涨期权 ， 那么 巾 （（ ） （（ 一 ＝ ｓ ）＝ ｓ ） 欧式看 涨期 权价 格我们有 下 面的定 理 ２ ：
＝
一 。 其 中
。’
（０ １１
， 其中 是 执行 价格・ 关于
程 ， 建 立 了股 票 价格 的 纯 生跳 一 散 行 为模 型 ，在 风 险 中性 假 设 下推 导 出欧 式期权 定价 公 扩 关键 词 期 权 定价 Ｐ ｓｉｎ过程 纯 生跳一 ｏｓ ｏ 扩散过 程
一
、
引
言
Ｃｏ ｘ和 Ｒ ｓ（９５．Ｍｅｔｎ１７） 先建立 了股 票价 格 的 跳一 ｏｓ１７ ） ｒ （９６首 ｏ 扩散 行为模 型，其 中扩 散 过 程表示股 票 价格的连 续 波动 ，跳过 程表示股 票价 格的 不连 续变 动，即 当重 大信息 到达 时引
（＝Ⅳｆ ∑ｎ ｆ Ｄ （一 ） ｐ （ ）
其 中
ｆＰ （ ｅ ｆ ） ＬＰ０ｆ一 Ｐ （ ）
则 ｆ为 一纯 断平 方可积 鞅。 （）
假设市场上存在两种可连续交易的证券，其中有 一种无风险证券，称为债券，其价格
过程 （ 满 足下面 的微分 方程 ： ｆ ）
，
＾
Ｚ
ｄ （。 ｒ ｅ Ｏ：
，
占 ０ ｌ （）
（） ５
Ｉ 其中 ｒ 为瞬时 无风 险 利率。 另 一种 为有 风险证 券，称为股票，在风险中性概率镬 度下，其价 ＾
格过 程 （） ｆ满足 下面 的 随机微分方 程：
Ｐ
—
一
ｆ＋ 础 ）
（） ｙ ｆ＋
）
（） ６
股票价格服从分形跳——扩散过程的欧式幂型期权定价
中图 分类 号 ：８０９ Ｆ３． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９ ８ ６ （０ ９ ０ — ０ ９ ０ １０ — ６ ６ ２０ ）５ ０ １ — ２
期 权是 风 险管 理 的核 心 工具 ． 权 定价 是 现 期 代 金 融数 学 研 究 的前 沿 和 热 点 问 题 ．早 在 １７ ９３
年 ，ｌｃ Ｂａ ｋ和 Ｓ ｈ ｌｓ ｃ ｏｅ 假定 股 票 价 格 服 从 几 何 布 朗
０ ＞ ） 随机变 量 序列 ， Ｔ： ， ０的 令 ｎ
， 计 数 过 程 则
特别 地 ， １ １ ： 当３ 时 ＝
ｐ ｎ＝ （ ）
ｅ ’ ０一 １ ．
比 Ｐｓ ｏ 过程更一般的一类特殊更新过程 ， ｏｉ ｓｎ 建立 了价格 受分 数布 朗运 动 和跳 过程共 同驱动 的行 为 模型 ，推导 出了有红利支付的欧式幂型期权定价 公 式．
ｅ￣ｎ ０ １一 －，＝ ， ．
的跳 空 过程 ．本 文在 分形 市 场 中考 虑产 生 非 系统
ｐＮｎＩ（ 尚 ｌ 一 （ ）ｎ） Ｉ＝ ｔ ＝） ＝ ｅ ｘ
ｔ
Ｉ ｅ ）
，＝ １ ｎ ｏ’ Ｌ
当 Ｂ为 正整数 时 ：
风 险的偶 然 的资产 价格 的跳 跃 ，并假 定跳 过 程是
ｐ － ｛日 Ｎ毫
Ｖ （ ｎ ．ｔ） 由更新 跳跃 带来 的平 均增 长 ； ｄ Ｐ（）是 ｕ，
仅ｚ ｔⅡ １ ｉ （）ｅ（ｆ（ｄ 盯 —） ＋） ｄ］ｘ一．ｓｓ （ ２ ｎ（ｕｎ ｐ Ｉ ）） Ｈ Ｎ － ｒ
Ｋ・ （ ：” Ｎ ｄ）
基于跳扩散过程的欧式交换期权定价
必 须 以一 种 资 产 交 换 另 一 种 资 产 的合 约Ｌ ．Ｍａ— １ ］ ｒ
ｇａ ｅ １ ７ ｒｂ 在 ９ ８年 首 次 给 出 了在 扩 散模 型 中交 换 期 权 的闭式解 ［ ， 的工作 是 在 ＢａｋＳ ｈ ｌｓ 型 的 ２他 ］ ｌｃ —ｅ ｏｅ 模
点 问题 ， 文献［ ］ ４ 基于此模 型用 期权 定价 的鞅方 法得
ｆ ｒ ｎ ｉｌｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ｐ ｉ ｎ ｖ ｌ ｅ ｗａ ｅ ｉ ｅ ｔ ｏ ａ ｂ ｔ ａ ｅｔ ｅ ｒ ．Ｂ ｓｎ ｈ ｔ ｏ ｆｎ ｍｅ ａｒ ｏ ｖ ｒ ｉ ｎ， ｈ ｘ ｃ ｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｆ ｔ ａ ｕ ｓｄ ｒｖ ｄ ｗｉｈ ｎ － ｒ ｉ ｇ ｈ ｏ ｙ ｙ ｕ ｉｇ ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｕ ｒ ｉｅｃ ｎ ｅ ｓ ｏ ｏ ｏ ｒ ｏ ｔ ｅｅ ａ ｔ ｆ ｒ ｌ ｏ ｒｃｎ ｘ ｈ ｎ ｅｏ ｔｏ ｓ ｏ ｔ ｉ ｅ ． ｏ ｍｕ ａ ｆ ｒｐ ｉｉ ｇ ｅ ｃ ａ ｇ ｐ ｉｎ ｗａ ｂ ａｎ ｄ
１ 引 言
交换 期权 是一 种期 权持有 人在到 期 日有权 但不
动来 刻画 ； 二是 “ 其 非正 常” 的不 连续 的价格 波动 ， 即 因一些 比较重大 的信息 的到达 使得 股票价 格进行 较 大 的波动 ， 泊松 过程来 刻画． 用 在服从 泊松 过程 的跳 扩 散模型基 础上 ， 融衍 生 资 产定 价 问 题 是一 个 热 金
第２卷 ８
第 １ 期
经
济
数
学
Ｖｏ ． ８， ． １ ２ Ｎｏ １
Ｍ ａｒ ２ ０ １ ． １
２ ０ １ １年 ３ 月
ｊ ｏＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＩ ＴＡＴＩ ＶＥ ＥＣ０ＮＯＭ Ｉ ＣＳ
一类二元跳扩散模型的欧式期权定价
Ｖｏ１ ６ Ｎ Ｏ．２ ．２
２ ０ 年 ６月 ０８
Ｊｎ ０ ８ ｕ ｅ２ ０
一
类二元跳 扩散模型 的欧式期权 定价
何荣 国 ， 国和 邓
（ 广西师 范大学 数学 科学学院 ， 广西 桂林 ５ １０ ） ４０ ４
摘
要： 假定股价 的相对跳跃高度服 从对 数二项式分布 ， 建立 了一 类二元跳扩散模型 ， 应用鞅方 法和测度变换
是 强度 参 数为 的 Ｐ ｉｓｎ过 程且 Ｗ （）Ｖ相 互 独立 。 ｏｓｏ 、 ｆ、 Ⅳ 文献 ［］ 虑 了 ｙ—ｌ（ 服 从 正 态分 布 ， ｙ～ １考 ｎ ） 即 Ⅳ（ ，； ， ） 并设 跳过 程是 非 系统 性 风 险 ， 到 了类 似 ＢａｋＳ ｈ ｌｓ 权定 价 显示 解 ， 得 ｌｃ —ｃ ｏｅ 期 该模 型 又称 为 正态 跳 扩 散模 型 ， 目前 已得 到 广泛 应用 。 由于 正 态跳 扩散 模型 仍 具有 正态 分 布特 征且 刻 画股 价 信息 有对 称性 ， 后 来 一 些 学者 进一 步 修正 了该 模 型 ， 例如 ： ｕ ｅ— ｈ ｎ ｃ的 Ｌ ｖ Ｎｇ ｙｎＴ ａ ｈｚ ｅｙ过 程 ， ｕ。 定 ｙ分 布 为双 指 数分 布 ， Ｋｏ ［假 Ｍａ ｃ ｉ］ Ｐ ｉ ｏ — ａ ｓｉｎ模 型 等 。 而 Ｚ ｕ和 Ｈａｓｎ５ ｎｉ Ｅ的 ｏｓ ｎＧ ｕ ｓ ｎ４ ｓ ａ 然 ｈ ｎｏ Ｌ的研 究发 现 ： 价 的无穷 项 跳跃 相对 高 度和 股
一
种无 风 险资产 Ｂ （ 连续复 利 计算 ， 风 险利 率 为常 数 ｒ ０ 和 一种风 险 资产 Ｓ（ ｔ按 无 ＞ ） 称股 票 ） 由于市 场不 。
完全性及无套利的假定 ， 如文献Ｅ ］在一般均衡市场理论下假定存在与 Ｐ的等价鞅测度 ， ６， 不妨仍设为 Ｐ，
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Ｖｏ ． ６ ＮＯ ５ Ｉ３ ．
Ｓｅ ． ２ ０７ ｐｔ ０
பைடு நூலகம்
跳 跃 一扩 散 模 型 欧 式 期 权定 价
李 红 ，郑 珍 远 ，陈嘉 庆
（ 州 大 学 管理 学 院 ， 建 福 州 ３ ０ ０ ） 福 福 ５ ０ ２
摘 要 ： 用 鞅 方 法 讨 论 了跳 跃 扩 散 模 型 下 欧式 期 权 的 定 价 问 题 ． 用 等 价 鞅 测 度 和 标 准 正 态 分 布 函 数 给 采 利
（ ＞ ０ ）的 泊 松 过 程 ， （）与 Ｎ（）独 立 ． Ｗ ｆ ｆ
期权 定 价 的方 法 一般 有倒 向 随机 微分 方 程法 和 鞅方法 ． 鞅方 法 比较 广 泛地 应 用 于 扩散 模 型 的期 权 定 价 中， 在跳跃 扩 散模 型市 场 中应用 得很 少 ；倒 向随 机微 分方 程法 比较 广泛 地应 用于 跳跃 扩 散模 型市 场 中． 上 在 述模 型下 ， 人们 利 用倒 向 随机微 分方程 法 做 了大量 工作 ， 均假 定 跳跃 幅度 的对 数值 是 正态 分布 的． 但
出这 一 模 型 下 欧式 看 涨 期权 和看 跌 期 权 的 定 价 公 式 ． 关 键 词 ：跳 跃 一 扩 散 模 型 ； 式 看 涨 期 权 ；等 价鞅 测 度 欧
中 图 分 类 号 ：（ ２ ６ Ｆ ８ ０ ９ ） Ｕ． ； ３ ． 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：１ ０ － ７ ５ ２ ０ ） ５ ０ ９ － ４ ０ １ ８ ３ （０ ７ ０－ ５ １ ０
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第 ３ ６卷 第 ５ 期 ２０ 年 ９ ０７ 月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩ ｎ ｒＭ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉｙ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉ ｎ ｅ Ｅ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔｏ ） ｏ ａ
并非 光滑移 动 ， 呈现 间 断的“ 跳空 ” 现象． 这些 跳 空现 象可 以视 为 由经 济中 的某些 不寻 常情 况带 来 的不正 常变 化 ， 突发 战争 、 大政 治事件 、 为投机 等 ． 于上 述考 虑 ， ｒｏ 如 重 人 基 Ｍｅｔｎ首 先提 出 了一种 股票 价格遵 循 跳 跃过 程 的模 型 ， 股票 价格 几何 布 朗运动 之上加 了各 种 跳跃 ［ ． ｒｏ 在 ２ Ｍｅｔｎ假 定标 的资产 服从 跳跃 扩 散过程 ］
。
’
其 中：｛ （） ０≤ ｔ Ｔ）是 定 义 在 完 备 概 率 空 间 （ Ｆ Ｐ ）上 的 标 准 Ｂ ｏ ｎ运 动 ；Ｆ 一 （ （） ｗ ｆ， ≤ ｗ， ｗ， ｗ ｒｗ ｙ ｗ ： ０≤ ｓ ｆ 是 ＰⅣ 下 由 ｗ （）生 成 的 完 备 代 数 ；Ｎ 一 ｛ ｆ ， ≤ ） ｆ Ｎ（） ０≤ ｔ≤ Ｔ）是 定 义 在 完 备 概 率 空 间
现代期 权定 价理 论 的最新 革命 始 于 １ ７ ９ ３年 ， 国芝加 哥 大学 教授 Ｂａｋ与 Ｓ ｈ ｌｓ 美 ｌｃ ｃ ｏｅ 发表 了“ ｅＰ ｉｎ Ｔｈ ｒ ｉｇ ｃ ｏ ｔ ｎ ｎ ｏｐ ｒｔ ｉｂ ｉｅ” 文 ， 出基 于不 付红 利股 票 的任 何 一种 衍 生 证 券 的价 格 必 须 满足 的 ｆ Ｏｐｉ ｓ ｄＣ ｒ ｏａｅＬａ ｉｔ ｓ一 ｏ ａ ｌｉ 导
１ 跳 跃 一 扩 散 型金 融 市场
假设 金融 市场 中有 ３种资 产 （ 称 为证券 ） 时间 ［ ， ］内连 续 交易 ， 中一 种资 产称 为 债券 ， 时刻 ｔ 或 在 Ｏ丁 其 在
的 价 格 Ｓ （）满 足 。ｆ
ｄ ｏｆ Ｓ （ ）一 ｒ ｆ Ｓ （ ） ｔ Ｂｏ ０ （） ｏ ｆ ｄ ， （ ）＝ １ ０≤ ｔ Ｔ． ， ≤ （） ２
微分 方程 ， 出 了著 名 的 Ｂ ａｋＳ ｈ ｌｓ 权定 价 公 式［ ． ｌｃ — ｃ ｏｅ 模 型 为投 资 者 提供 了适 用 于 股票 的 提 ｌｃ —ｃ ｏｅ 期 １ Ｂ ａｋ Ｓ ｈ ｌｓ ］ 任何衍 生证 券且 计算 方 便 的定 价公 式 ， 是该 模 型假 定所 有 股票 都是 连续 变动 的 ， 现实 市场 股价 分布 往往 但 而
其他两 种资 产称 为 股票 ， 它们 的价 格 由跳 跃 扩散 型 正 向随机 微分 方程 给 出 ，
ｆ Ｓ （ ）一 Ｓ （ ） ｉｆ ｄ ＋ （） Ｗ （ ）＋ Ｐ （ ） Ｎ （） ， ｄ ｆｆ ｆ（ （） ｔ ｆｄ ｆ ｆ ｄ ｆ ）
｛（ ： ０ — ’ ＳＯ Ｓ ， ｌ＇ ｉ） ＞ ２
平均增 长率 为 ｋ ， ， 由几何 布 朗运 动提供 的增 长 率 为 一ｋ 为无跳 跃发 生时股 票 收益 的方差 （ 数 ） ｆ ｆ ｋ ， ｋ； 常 ；Ｄ ） （
为跳跃 大小百 分 数 ， 服从独 立且 恒 同的对 数正 态分 布 ， 无条 件期 望为 ｋ 其 ；ｗ（） 布 朗运动 ， ｆ ｆ为 Ｎ（）是参 数为
本文 从另 一个 侧 面 出发 ， 用鞅方 法解 决 跳跃 扩 散 模 型 下 欧 式 看 涨 、 跌期 权定 价 问题 ， 要 工作 有 ： 利 看 主 ① 在跳跃 幅度 服从 任何 分 布 的情况下 ， 建立 跳 跃 扩散模 型 下 的风 险 中性 测度 ； 将 Ｇｉ ａ ｏ 定理 运 用 于跳 ② ｒ ｎｖ ｓ 跃扩 散模 型金 融市 场 中 ；③ 利用鞅 方法 得 到跳 跃扩 散模 型 下欧 式看 涨 、 跌期权 的定 价公 式 ． 看
ｄ ｔ Ｓ（ ）＝ Ｓ（ ） （ 一 志） ｔ ａｄ （ ）＋ ｐ ｔ ｄ （ ） ， ｆ （ ｄ ＋ Ｗ ｔ （ ） Ｎ ｔ ） （） １
其 中 ： 为股票 预期 回报 ； 为 跳跃 发生频 率 ， ｋ为平 均跳 跃 幅度 占股 票价格 上升 幅度 的 比率 ， 由跳 跃 带来 的