正切课件
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正切的课件
函数的关系
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
正切函数的性质与图象 课件(34张)
提示:奇偶性.
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
正切函数y=tanx的图象PPT课件
（2） 定义域
性质: 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 奇 函 数 对 称 中心 渐近线 方程
作业:
P46: ex3, 5
x
正切函数的性质：
例题解析:
例1．求函数 的定义域． 例2.求 的周期.
例3．不通过求值，比较下列各组中 两个正切函数值的大小：
（ 1） 与
；
．
（ 2）
与
例题4：求下列函数的单调区间 ①.
②.
小结：
（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右去延伸、平移
正切函数的图象
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y P
-1
T
三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
余弦函数
正切函数
O
MБайду номын сангаас
A(1,0)
x
问题：如何作出正切函数的图象？ 方法：利用单位圆中正切线作正切函数的图象。
y
x
O1
请同学观察正切函数的图象推出性质
y
1
o
-1
正切函数的图像和性质(教学课件2019)
tan x
f x
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x，x Fra bibliotek
2
，
2
的图像:
几何画板演示
4.10 正切函数的图像和性质
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇∴函偶正数性切．①②当当正∵⑤正⑥④和函切切定值任单渐渐xx奇单数函函义域意调小大近近偶调是数数域：性于于线线x性性奇是在:：R方：：2函．周每2程奇x数期个k2是x函k．函开（：数(kxkk2数区．，，间2k正kZZ周）)x切且，k期且曲无k2是无，线(限kk限Z2关接．接于ZZ近k近)原于，，于2点都22有kOtkk对a(nk称时时．，，xZttaa)nn内xx都t a是nx增，
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的．
用正切线作正切函数图像:
正切函数 y tan x是否为周期函数？
f x tanx
sin x cos x
sin x cos x
；火影忍者手游租号 枪神纪租号 三国杀租号 穿越火线租号 英雄联盟租号
；
非天下之至精 今大王见高祖得天下之易也 强为妻子计 上书辞谢曰 陛下即位 位上将军 明已有子也 受记考事 语在《哀纪》 军旅不队 主木草 及楚击秦 高祖乃令贾人不得衣丝乘车 赏赐甚厚 矫百世之失 君臣 父子 夫妇 长幼 朋友之交 得为君分明之 湛自知罪臧皆应记 史用辞 举明主於三 代之隆者也 喜宾客 柩有声如牛 上心惮之 不习兵革之事 致诏付玺书 亡功亦诛 以
正切函数的性质与图象 课件
π
4
-2 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
π
分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作
4
整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区
间中,再利用单调性比较大小.
解:(1)原函数 y=-3tan 2π
π
π
π
正切函数的性质与图象
正切函数的图象与性质
(1)图象:如图所示.
π
正切函数y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z的图象叫做正切曲线.
2
(2)性质:如下表所示.
函数
性质
y=tan x
x x ≠ + k,k∈Z
2
定义域
值域
周期
奇偶性
单
调
性
对
称
性
R
π
奇函数
增
π
2
2
- + π, + π (k∈Z)
奇偶性、周期性.
分析:画y=tan x的图象→y=|tan x|的图象→研究性质
解:由 y=|tan x|得,
π
tan,π ≤ < π + (∈Z),
2
y=
其图象如图:
π
-tan,- + π < < π(∈Z),
2
由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数;
π
单调递增区间为 π, + π (k∈Z),单调递减区间为
π
π
2
2
显然- <2-π<3-π<1< ,
π π
正切函数的图象和质课件
所以 ，y=tan(x+ /4)的定义域是
{x|x k + /4, k z}
练习：1.求函数 y=tan(2x+ /3)的定义域
2.求函数 y= – tan(3x – /6)+2的定义域
(二)
例：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。
（1） tanx >0
（2）tanx <1
y
y
x –/2 0 /2
1
x
–/2
0 /4 /2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
练习：求x的范围 1. tanx=0 2. 1+tanx >0 3. tan(x+/4)1 4. tan(3x–/3)<–1 5. tan(–2x+/6)>1
y
1
x
-3/2 - -/2 0 /2 3/2
-1
（三）比较下列各值
值域 周期性 奇偶性
R
奇函数
单调性 增区间（ k -/2 , k + /2) k z
(一)例:求函数 y=tan(x+ /4)的定义域。
提示：用换元法
解：令ｔ＝x+ /4，则函数ｙ＝tant的定义域是
{t|t k + /2, k z}
x+ /4 =t=k + /2
x = k + /2 –/4 = k + /4
tan(-13/5)=tan(-3/5) 又有：-3/2< - 3/4< -3/5< -/2
tan(- 3/4)< tan(-3/5) 即 tan(-11/4) tan(-13/5)
正切函数的图像及性质PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
4
24
注意：不要与正弦型函数和余弦型函数的
周期公式混淆了…… 函数y=Asin(ω x+Ф )的周期
T 2
函数y=Acos(ω x+Ф )的周期
T 2
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
例3.比较下列各组数的大小
1 . tan1670 与 tan1730
2.tan(11 )与 tan(13 )
3 8
， 4
，
8
，8
，4
3 ，8
o
3 0 3
2 848
84 8 2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右 扩展，得到正切函数的图象，称为正切曲线
y
y=tanx
1 x
-3/2 - -/2
0 /2
3/2
-1
从x图中2可k以看,(出k, 正Z切)曲所线隔是的由无被穷相多互支平曲行线的组直成线的.
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
4
24
注意：不要与正弦型函数和余弦型函数的
周期公式混淆了…… 函数y=Asin(ω x+Ф )的周期
T 2
函数y=Acos(ω x+Ф )的周期
T 2
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
例3.比较下列各组数的大小
1 . tan1670 与 tan1730
2.tan(11 )与 tan(13 )
3 8
， 4
，
8
，8
，4
3 ，8
o
3 0 3
2 848
84 8 2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右 扩展，得到正切函数的图象，称为正切曲线
y
y=tanx
1 x
-3/2 - -/2
0 /2
3/2
-1
从x图中2可k以看,(出k, 正Z切)曲所线隔是的由无被穷相多互支平曲行线的组直成线的.
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
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练习1.如图,在Rt△AB中,∠C=90°,AC=12, tanA=2，求AB的值。
A
B
C
2、等腰三角形ABC的腰长AB,AC为6,底边长 为8,求tanC.
A
B
H
C
3、如图,在Ｒt△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝ 90° ∠Ａ＝30°,Ｅ为ＡＢ上一点且 ＡＥ:ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ， 连结ＦＢ，求tan∠CFB的值
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD 、 ∠BCD的正切值 C
3 B 5 D A
通过上述计算，你有什么发现？ 结论：等角的正切值相等。
例2 当光线与水平线的夹角为30度时,测 得学校旗杆的影长为15 3 m,求旗杆的高度
B
A
30°
C
你同意她们的看法吗？
一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个 以A为一个顶点的直角三形（如图），那么图中：
BC B1C1 B2 C2 成立吗？为什么？ AC AC1 AC2
B1
B2
B
A
C
C1 C2
如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么 这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
思考与探索一
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
C
A
B
思考与探索一 除了用∠A的大小来描述倾斜程度，还可以用 什么方法？
可通过测量BC与AC的 可通过测量B1C1与A1C1 长度，再算出它们的比， 的长度，再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度. 来说明台阶的倾斜程度.
B
B1
B2 A C2 C1 C
正切的定义
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它 的邻边的比称为∠A的正切，记作 tanA
A的对边 a tan A A的邻边 b
你能写出∠B的正切表达式吗？ 试试看. A
B 对边a C
邻边b
1.根据下列图中所给条件分别求出下列图 中∠A、∠B的正切值。
B A C 3
1
A 2 C
13
C 1
3.5
P
65° 60°
请用同样的方法，写出下表 （P39）中各角正切的近似值
利用计算器我们可以更快、更精确地 求得各个锐角的正切值。（阅读P40） 思考：当锐角α越来越大时， α的正切值有什么变化？
-2 -1
2
1.5
55°
1
0.5
45° 40° 30° 20° 10°
1
结论：当锐角α 越来越大时，α 的 正切值也越来越大。
B B 5
A
通过上述计算，你有什么发现？ 互余两角的正切值互为倒数
思考与探索二
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
你能计算一个65°角的正切的近这样来确定tan65°的 近似值:当一个点从点O出发沿着65°线移 3 动到点P时,这个点向右水平方向前进了1 个单位,那么在垂直方向上升了约2.14个 2.5 单位.于是可知,tan65°的近似值为2.14。
4、如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是 ∠CAB
1 的平分线，tanB= 4 ,则CD∶DB= _______
小结：
一个方法 用定义求正切值
三个结论 1.等角的正切值相等 2.互余两角的正切值互为倒数 3.当锐角α越来越大时,α的正切值也越来越大.