第三章 计算机仿真：控制系统的数学描述与建模

k= 2
0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000
− 0.25i 0.25i − 2 + + 结果表达式： G ( s ) = 2 + s − 2i s + 2i s + 1
第四节
状态空间描述
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称 为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输出关 系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程 来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态对系统性 能的影响。
》den=[1,9,45,87,50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) 》 z= p= k= 0 -6 -5 -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000 1
s( s + 6)( s + 5) 结果表达式：G ( s ) = ( s + 1)( s + 2)( s + 3 + 4 j )( s + 3 − 4 j )
K为系统增益，zi为零点，pj为极点 在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] 函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。
三、部分分式展开
• 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解， 使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 • 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开， 以及把传函分解为微分单元的形式。 • 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开 后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回 到k。 • [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比 p(s)/q(s)。
y = [1 3]x + u
1 x + − 2
0 1 u
2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：
y1(s) −2 − s −5 G11(s) = = 3 G21(s) = 3 2 u(s) s + 6s +11 + 6 s s + 6s2 +11 + 6 s s + 2s G31(s) = 3 2 s + 6s +11 + 6 s
二、零极点增益模型
• 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其 原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式 处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。
( s − z1 )( s − z2 )...( s − zm ) G( s) = K ( s − p1 )( s − p2 )...( s − pn )
模型的转换与连接
• 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可 能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。 • 模型转换的函数包括： residue：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型
第二节 线性定常连续系统的微分方程模型
• 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用 机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制 系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统 而言是一种常系数的线性微分方程。 • 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进 行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此 对系统进行性能分析。 • 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的 解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分 方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困 难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程 的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适 用于非线性及时变系统。
第一节
系统的分类
• 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散 系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程 的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化， 则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连 续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号 为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线 性的系统。
12 s 3 + 24 s 2 + 20 举例：传递函数描述 1）G ( s ) = 2s 4 + 4s 3 + 6s 2 + 2s + 2
》num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2];
4( s + 2)( s 2 + 6 s + 6) 2 2） G ( s ) = s( s + 1)3 ( s 3 + 3s 2 + 2 s + 5)
部分分式展开： 》num=[2,0,9,1]; 》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》 r= p= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000
2s 3 + 9s + 1 G( s ) = 3 2 s + s + 4s + 4
例
电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始 状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时 刻接入1V的电压，求0<t<15s时，i(t)，vo(t)的值， 并且画出电流与电容电压的关系曲线。
R t=0 i (t ) ± Vs=1V
L + C vo (t )
第三节 传递函数描述
2
》num=[0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0];den=[1 6 11 6]; 》[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 》A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0
6( s + 3) 3）系统的零极点增益模型：G ( s ) = ( s + 1)( s + 2)( s + 5)
3、反馈：feedback
格式： [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) • ％将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2 为反馈控制器。 [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign) • ％系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到 系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号， sign缺省时，默认为负，即sign= -1。总系统的输入/输出数等同于 系统1。 [a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) • ％部分反馈连接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入， 系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1，以此构成 闭环系统。 [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) • ％可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的 形式表示。sign的含义与前述相同。
一、连续系统的传递函数模型
连续系统的传递函数如下：
C ( s ) b1s m + b2 s m −1 + ... + bn s + bm +1 G( s) = = R( s ) a1s n + a2 s n −1 + ... + an s + an +1
• 对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零， 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构 成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和 den表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。
用法举例： 0 & 1）已知系统状态空间模型为： x = 1
》A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; 》C=[1,3]; D=[1]; 》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) ％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 》num=1 5 2; den=1 2 1; 》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 》z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1
二、模型的连接
1、并联：parallel 格式： [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) • ％并联连接两个状态空间系统。 [a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) • ％inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从 u1,u2,…,un依次编号为1,2,…,n； out1 out2 u1,u2,…,un 1,2,…,n out1和out2分别指定要作相加的 输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可 以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1 的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。 • 若inp1=[1 3],inp2=[2 1]则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个 输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。 [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2) • ％将并联连接的传递函数进行相加。