高三数学周末练习三

FE D 1C 1B 1BCDA 1AEFABCDP东台市安丰中学2013—2014学年度第一学期高三数学周末练习三命题：李志凌 审核：万元湘 使用时间：2013年9月28日一、填空题（本大题有14小题，每题5分共70分。

请把答案填写在答题纸．．．相应的位置上．．．．．．.） 1．已知集合}{|1A x x =≤，}{|0B x x =>，则A B = ___▲___.2．设x ∈R ，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ___▲___． 3．设复数z 满足i 12i z =+（i 为虚数单位），则||z =___▲___. 4．若2x >，则12x x +-的最小值为 ▲ ． 5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝___▲___.6．已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___▲___．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___▲___.8．已知函数n my x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_▲_．9．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ▲ ．10．已知函数2,0,()2,0x x f x x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是___▲___．11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABD V V --= ___▲___. 12．已知P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ▲ ． 13．已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ▲ ．14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲.二、解答题：（本大题有6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.）15. 已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：∥EF 平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．T ←1 i ←3 While T <10 T ←T +i i ←i +2End While Print i17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11,321,n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数,为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α． （Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．19．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ，B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ． （Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程； （Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．20．（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2xf x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．l 2l 1BAC东台市安丰中学2013—2014学年度第一学期高三数学周末练习三附加题21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定其中．．．两题．．，并在．．相应的．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，90APB ∠=︒， PC 平分APB ∠，交⊙O 于点C ．求证：ABC ∆为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵1-A B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点1212(0,0)x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值．23．（本小题满分10分）设a ，b 为实数，我们称（a ，b ）为有序实数对．类似地，设A ，B ，C 为集合，我们称（A ，B ，C ）为有序三元组．如果集合A ，B ，C 满足||||||1A B B C C A === ，且A B C =∅ ，则我们称有序三元组（A ，B ，C ）为最小相交（||S 表示集合S 中的元素的个数）．（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N 为最小相交的有序三元组的个数，求N 的值．东台市安丰中学2013—2014学年度第一学期高三数学周末练习三正题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．(0,1] 2．23 34．4 5．3.2 6．3 7．9 8．139．425 10．(1,1-+ 11．3212．2 13．2- 14．54 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分所以cos cos2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， ………………… 4分 故1cos 2C =或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3C π=． ………………… 7分（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ① ………………… 9分由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，及6AB =得，12AC BC +=． ② …………………12分 由①②解得6,6AC BC ==． …………………14分 16．（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． ……… 2分 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． ………………… 3分 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． ………………… 5分 所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF ∥平面PAD ． ………………… 7分 （Ⅱ）设AC DE H = ，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==，又因为AB =，1BC =，所以AC =13AG AC ==．所以AG AB AE AC ==BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……………… 10分又DE PA ⊥，PA AC A =，所以DE ⊥平面PAC ． ……………… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……………… 14分 17．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵2(1)n n n S a a =+，①∴当2n ≥时，1112(1)n n n S a a ---=+，②以上两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-， ………………… 2分 即111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵0n a ≠，∴当2n ≥时，有11n n a a --=． ………………… 5分 又当1n =时，由1112(1)S a a =+及10a ≠得11a =，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n *()n ∈N ． ………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11,321,n n n n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数；为偶数． ………………… 9分 所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分2(14)(1)314n n n n -=++⨯+-212222n n n +=++-． ………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4(0tan )3MEF αα∠=≤≤，故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分sin 18060120cos cos ααα=-+ sin 28060cos αα-=-． ………… 8分 （Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==． ………………… 10分 令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． ………………… 11分列表l 2l1所以当6πα=时有max ()f α=min 80W =+ 15分答：排管的最小费用为80+万元，相应的角6πα=． ………………… 16分19．（本小题满分16分） 解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵PCD ∆的面积为12，∴122122a b ⨯⨯=，即6ab =．① ………………… 2分此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=． ∴点O 到PD的距离d =65． ② …… 4分由①②解得3,2a b ==． …………… 6分 ∴所求椭圆方程为22194x y +=．………… 7分（Ⅱ）如图，当k ＝2时，(,2),(,2)C a b D a b ---，设12(E x 由D ，E ，P 三点共线，及1(,2)DE x a b =+ ，0(,DP x a =+（说明：也可通过求直线方程做） 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+，∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+，即002()2b x a AE y b⋅+=+．…… 9分由C ，F ，P 三点共线，及2(,2)CF x a b =-， 00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-，∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+，即002()2b a x FB y b⋅-=+．…… 11分 又2200221x y a b+=，∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++． ………………… 13分 而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分 ∴2EF AE FB =⋅，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解． （Ⅰ）当2()24()f x ax x a a =+-∈R 时，方程()()0f x f x +-=即22(4)0a x -=有解2x =±，所以()f x 为“局部奇函数”． ……………… 3分 （Ⅱ）当()2xf x m =+时，()()0f x f x +-=可化为2220x xm -++=，因为()f x 的定义域为[]1,1-，所以方程2220xxm -++=在[]1,1-上有解．………… 5分令12[,2]2x t =∈，则12m t t-=+．设1()g t t t=+，则22211()1t g t t t -'=-=，当(0,1)t ∈时，()0g t '<，故()g t 在(0,1)上为减函数，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在(1,)+∞上为增函数． ………………… 7分所以1[,2]2t ∈时，5()[2,]2g t ∈．所以52[2,]2m -∈，即5[,1]4m ∈--． ………………… 9分（Ⅲ）当12()423x x f x m m +=-+-时，()()0f x f x +-=可化为2442(22)260x x x x mm --+-++-=． 22[2,)x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-，从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分 令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得11m ≤； ……………… 13分2° 当(2)0F >时，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于2244(28)0,2,(2)0,m m m F ⎧∆=--⎪>⎨⎪>⎩≥解得1m ≤． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为1m ≤． ………………… 16分东台市安丰中学2013—2014学年度第一学期 高三数学周末练习三附加题参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由90APB ∠= 得AB 为直径，所以90ACB ∠=︒． …………………… 2分由AC AC =，得APC ABC ∠=∠，同理BPC BAC ∠=∠． …………………… 4分 又因为PC 平分APB ∠，所以CPA CPB ∠=∠． …………………… 6分 所以BAC ABC ∠=∠，故BC AC =． …………………… 8分 从而，ABC ∆为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 1分 即22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 4分故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1-A =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 7分所以1-A B =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由225ρ=得曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． ………………… 2分由4cos ρθ=得曲线C '的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分 曲线C 表示以()0,0为圆心，5为半径的圆；曲线C '表示以()2,0为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分 所以圆C 和圆C '的位置关系是内含． ………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分 ＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分＝2223()[()]24b a b a b -++． …………………… 6分因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024b a b ++>，2()0a b ->，所以2223()[()]024b a b a b -++>，即有4422a b ab a b +>+（）． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等， 根据抛物线定义知，曲线C 是以点1(0,)2M 为焦点，直线12y =-为准线的抛物线， 故其方程为22x y =． ……………… 4分 （Ⅱ）由题意知，21111(,)2A x x '，22221(,)2A x x '，则12222121211()12()2A A x x k x x x x ''-==+-，故12A A l ''：2221211()()22y x x x x x -=+-． ……………… 6分令0y =，得12111x x x =+，即3121111162x x x =+=+． ……………… 8分 同理，42311111172626x x x =+=++=， ……………… 9分 于是467x =． ……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设{1,2}A =，{2,3}B =，{1,3}C =，则{2}A B = ，{3}B C = ，{1}C A = ，A B C =∅ ，且||||||1A B B C C A === ．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分 （Ⅱ）令{1,2,3,4,5,6}S =，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的,,x y z S ∈，使得{}A B x = ，{}B C y = ，{}C A z = （如图），要确定,,x y z 共有654⨯⨯种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有34种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =365447680⨯⨯⨯=．……………… 10分C BA zyx。