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高中数学第2章圆锥曲线2.5圆锥曲线的几何性质学业分层测评北师大选修4-1

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高中数学第2章圆锥曲线2.3柱面与平面的截面2.4平面截圆锥面学业分层测评北师大版选修4-1

高中数学第2章圆锥曲线2.3柱面与平面的截面2.4平面截圆锥面学业分层测评北师大版选修4-1

第2章 圆锥曲线 2.3 柱面与平面的截面 2.4 平面截圆锥面学业分层测评 北师大版选修4-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 .故截线是椭圆.α>β∴，30°＝β，25°＝50°2＝α由已知 【解析】 【答案】 B，则该圆34角，截线上最长的弦长为60°一圆柱面被一平面所截，平面与母线成2.柱底面的半径为( )3A. 3B.2 C.3D.6 3.＝sin60°32＝r 圆柱底半径 【解析】 【答案】 C 3.已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是( )22A. 23B. 2C.2D.2 【解析】 由题意，θ＝45°，σ＝60°，由θ<σ知，平面π与圆锥面的交线为双.2＝cos45°c os60°＝e 双曲线的离心率为，曲线 【答案】 C4.已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )2A.2 B.2 C.42D.4 ，24＝2rsin 45°＝a 2由 【解析】 4.故焦距为，2＝a2－b2＝c ∴，2＝b ，22＝a ∴【答案】 C5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为( )62A.63B. 32C.22D. 【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角σ＝45°；又截面与轴线的夹角θ＝30°，即θ＜σ，.62＝32＝cos 30°cos 45°＝cos θcos σ＝e 截线是双曲线，其离心率∴ 【答案】 A 二、填空题6.已知圆锥面的母线与轴成44°角，用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是________.【导学号：96990049】【解析】 根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线. 【答案】 抛物线7.已知圆柱底面半径为b ，平面α与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 1的距离是__________.【解析】 由题意知，椭圆短轴为2b ，长轴长2a ＝2bs in30°＝4b ，∴c ＝4b2－b2＝3b . ∴e ＝3b 2b ＝32(或e ＝cos30°＝32). 设P 到F 1的距离为d ，则d 3b ＝32， ∴d ＝32b .又PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，∴PF 2＝4b －PF 1＝4b －32b ＝52b .8.已知圆柱面轴线上一点O 到圆柱的同一条母线上两点A ，B 的距离分别为2和32，且∠AOB ＝45°.则圆柱面内切球的半径是__________.【解析】 如图所示为圆柱面的轴截面.依题意，OA ＝2，OB ＝32，∠AOB ＝45°，∴AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 45°＝4＋18－2×2×32×22＝10， ∴AB ＝10.设内切球的半径为r ，则S △AOB ＝12·AB ·r ＝102r . 又∵S △OAB ＝12OA ·OB sin∠AOB ＝12×2×32sin 45°＝3，∴102r ＝3，∴r ＝3105，即圆柱面内切球半径为3105.三、解答题9.如图2­3­6，已知PF 1∶PF 2＝1∶3，AB ＝12，G 1G 2＝20，求PQ .图2­3­6【解析】 设椭圆长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ..45＝c a ＝e ，8＝a2－b2＝c ，6＝b ，10＝a 由已知可得 20.＝2G 1G ＝2K 1K ＝2PF ＋1PF 由椭圆定义 ，1∶3＝2PF ∶1PF ∵又 15.＝2PF ，5＝1PF ∴ 由离心率定义，.45＝PF1PQ ∴ .254＝PQ ∴ 10.如图2­3­7，圆柱被平面α所截.已知AC 是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD 是最短的投影线段，EG ＝FH ，EF ⊥AB ，垂足在圆柱的轴上，EG 和FH 都是投影线，分别与平面α交于点G ，H .图2­3­7(1)比较EF ，GH 的大小；(2)若圆柱的底面半径为r ，平面α与母线的夹角为θ，求CD .【解】 (1)∵EG 和FH 都是投影线，∴EG ∥FH 又EG ＝FH ，∴四边形EFHG 是平行四边形，∴EF ＝GH .(2)如题图，过点D 作DP ⊥AC 于点P ， ，DP CD ＝DCP sin∠，有：中CDP Rt△则在 .2rsin θ＝CD ∴，r 2＝DP ，θ＝DCP ∠又 能力提升]1.如图2­3­8所示，球O 与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱的球，得到的截面图有可能是( )图2­3­8A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④ 【解析】 如图所示，AB 为圆柱的轴，当平面与AB 垂直且过AB 中点时，截得的图形是图①；当平面与AB 垂直不过AB 中点时，截得的图形是两个同心圆，是图②；当平面经过轴AB 时，截得的图形是图③；当平面与轴AB 不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④，故有可能的图形是①②③④.【答案】 D2.在阳光照射下，地面上篮球的影子是个椭圆，如图2­3­9所示，则篮球与地面的接触点是椭圆的一个__________.图2­3­9【解析】 如图，作篮球与影子的纵截面图，M 为球心，D 为篮球与地面的接触点，易，1EA ，且2FA ∥1EA 因为光线.b ＝MD ，2A 1A ⊥MD 知 ，所90°＝D 2MA ∠＋D 1MA ∠相切，所以M 均与圆2A 1A ，2FA MO2－MD2＝OD 于是.a ＝O 2A ＝O 1A ＝MO ，于是90°＝2MA 1A ∠以.是椭圆的一个焦点D ，所以c ＝a2－b2＝【答案】 焦点.a 2＝2G 1G ，两端点c 2＝2F 1F ，已知两焦点的距离2­3­10如图3. .2a2c之间的距离为2l 与1l 证：求图2­3­10.2Q 于2l ⊥2PQ 作P ，过1Q 于1l ⊥1PQ 作P ，过P 设椭圆上任意一点 【证明】 ，ca＝PF2PQ2＝PF1PQ1＝e ∵ .2PQ ca＝2PF ，1PQ c a ＝1PF ∴ ，a 2＝2PF ＋1PF 由椭圆定义 .a 2＝2PQ ca＋1Q P c a ∴，2a2c＝2PQ ＋1PQ ∴ .2a2c之间的距离为2l 与1l 即。

圆锥曲线的几何性质 课后作业(答案解析)提升 高中数学选修4-1 北师大版

圆锥曲线的几何性质 课后作业(答案解析)提升 高中数学选修4-1 北师大版

§5 圆锥曲线的几何性质1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离为( )A.12B.32 C ．1 D. 3答案：B2．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝( )A. 3B.32C.83D.23答案：B3．中心在原点有一条渐近线方程是2x ＋3y ＝0，对称轴是两坐标轴，且过点(2,2)的双曲线方程( )A.x 29－y 24＝1B.x 218－y 28＝1C.y 2209－x 25＝1D.x 24－y 29＝59答案：C4．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0答案：B5．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是________．答案：相切6．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10) ，则双曲线方程为________．答案：x2－y2＝67．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于A，B两点，若|AB|＝22，且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为22，求实数a，b的值．答案：b＝23，a＝138．一个正三角形的顶点均在抛物线上(抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴)，其中一个顶点在原点，三角形的面积是483，求抛物线的方程．答案：y2＝4x；y2＝－4x，x2＝4y，x2＝－4y。

北师大版高中数学选修4-1第二章圆锥曲线同步练习(一).docx

北师大版高中数学选修4-1第二章圆锥曲线同步练习(一).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章圆锥曲线同步练习(一)1. 过球面上一点可以作球的（）A.一条切线和一个切平面B. 两条切线和一个切平面C.无数条切线和无数个切平面D. 无数条切线和一个切平面2. 一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 两条相交直线3. 一个球以原点为球心、以1为半径，则点)2-在球的（）,,(1A. 内部B. 球上C. 外部D. 不确定4. 一个平面和圆柱面的轴成α角)︒α，则同时与圆柱面和该平面都相切<900(︒<的球的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 由α的不同而定5. 半径分别为1和2的两个球相距12，则这两个球的外公切线长为__________，内公切线长为__________。

6. 如图，AD 是等腰三角形ABC 底边上的高，α=∠BAD ，直线l 交AD 于点P ，且与AD 的夹角为)(20πββ<<，则有：（1）αβ>时，直线l 与AB （或AB 的延长线）__________；（2）αβ=时，直线l 与AB 平行，直线l 与AB_________；（3）αβ<时，直线l 与AB 的_____________。

7. 椭圆中心在原点，焦点在x 轴，离心率23，椭圆上各点到直线025=++-y x 的最短距离为1，求椭圆的方程。

D B CAP l参考答案：1. D ；2. C ；3. C ；4. C ；5. 143， 153 ；6. 相交；不相交；延长线相交。

7. 1422=+y x 。

高中数学第2章圆锥曲线章末分层冲破学案北师大版选修4-1

高中数学第2章圆锥曲线章末分层冲破学案北师大版选修4-1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线章末分层冲破学案北师大版选修4-1[自我校对]①相切②相交③抛物能④双曲线球的截面的半径为R，圆的半径为r，则有r2＋OO′2＝R2.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC ＝CA＝2，求球面面积.【出色点拨】设过A，B，C三点截面圆的圆心为OO′，则OO′⊥平面ABC，且OO′＝1 2R，由△ABC为等边三角形，易知O′为△ABC的中心，在O′A＝33AB＝233.在Rt△OO′A中，由勾股定理得出R ，从而求出球面面积.【规范解答】 如图，过A ，B ，C 三点截面圆的圆心为O ′，连接AO ′，OO ′，AO ，则OO ′⊥平面ABC ，∴OO ′⊥AO ′.在△ABC 中，∵AB ＝BC ＝CA ＝2， ∴△ABC 为边长是2的正三角形， ∴AO ′＝33AB ＝233. 设球的半径为R ，则AO ＝R ，OO ′＝12R .在Rt△AO ′O 中，由勾股定理得AO 2＝AO ′2＋OO ′2，即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2，∴R ＝43， 从而球面的面积为S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝649π.[再练一题]1.(全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )【导学号：】π π ππ【解析】 如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ­ABC ＝V C ­AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ­ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ­ABC 最大为13×12R 2×R ＝36， ∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C. 【答案】 C圆柱、圆锥的截面.设圆锥的底面半径为2，高为3，求： (1)内接正方体的棱长；(2)内切球的表面积.【出色点拨】 作出圆锥的轴截面，利用平面几何的知识求解.【规范解答】 (1)过正方体的一极点作圆锥的一个轴截面，如图所示.设正方体的棱长为a ，则O ′C ′＝22a ，O ′O ＝a . 由△VO ′C ′∽△VOF ， ∴VO ′∶VO ＝O ′C ′∶OF ， 即(3－a )∶3＝22a ∶2，∴a ＝182－24. (2)作圆锥的一个轴截面，如图，设内切球的半径为R ，则VB ＝22＋32＝13. ∵BO 为∠ABV 的平分线， ∴VO ∶OD ＝VB ∶BD ， 即(3－R )∶R ＝13∶2， 解得R ＝23(13－2)，∴S 球＝4πR 2＝4π×49(13－2)2＝169(17－413)π. [再练一题]2.如图2­1，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为( )图2­1π π ππ【解析】 由已知圆柱底面半径r ＝2. 即直径为4.设截面与圆柱母线成α角，则sin α＝45，∴cos α＝35.∴几何体的最长母线长为2＋2cos α＝2＋5×35＝5.用一个一样的几何体补在上面，可得一个底半径r ＝2，高为7的圆柱，其体积为V ＝π×22×7＝28π.∴所求几何体的体积为12V＝14π.【答案】C圆锥曲线的几何性质如图2­2，设动点P 到点A (－1,0)和B (1,0)的距离别离为d 1和d 2，∠APB ＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d 1d 2sin 2θ＝λ.证明：动点P 的轨迹C 为双曲线.图2­2【出色点拨】 在△PAB 中由余弦定理可得|d 1－d 2|＝21－λ∵0<λ<1，|c |－λ<1,0<1－λ<1，∴|d 1－d 2|<2＝|AB |，由双曲线的概念知动点P 的轨迹是A ，B 为核心的双曲线.【规范解答】 在△PAB 中，|AB |＝2， 则22＝d 21＋d 22－2d 1d 2cos 2θ， 4＝(d 1－d 2)2＋4d 1d 2sin 2θ， 即|d 1－d 2|＝4－4d 1d 2sin 2θ ＝21－λ＜2(常数)，∴点P 的轨迹C 是以A ，B 为核心，实轴长为2a ＝21－λ的双曲线. [再练一题]3.已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝4c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.∴b ＝a 2－c 2＝3，∴Dandelin 球的半径为 3.【答案】 3转化与化归的思想在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，往往借助Dandelin双球——内切于圆柱面的球.此时，几何体的结构较为复杂.因此在处置这种问题时，可作圆柱面或圆锥面的轴截面(过轴的截面)，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决.即立体问题平面化.在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球，两球的球心距离为13，若作一个平面这两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆.求此椭圆的长轴长.【出色点拨】作出圆柱面的轴截面，借助Dandelin双球的性质，转化为平面几何知识求解.【规范解答】如图为圆柱面的轴截面图.AB为与两球O1和O2相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O.∵OO1⊥OD，O1C⊥OA，∴∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，∴Rt△OO1C≌Rt△AOD，∴OA＝OO1，∴AB＝2AO＝2OO1＝O1O2＝13.∵AB即为椭圆的长轴，∴椭圆的长轴长为13.[再练一题]4.如图2­3所示，圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C 的最短距离为( )图2­3cmπ2＋4 cmcmcm【解析】如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离.设圆柱的底面半径为r ， 则r ＝52.∴底面圆周长l ＝2πr ＝5π， ∴AB ＝52π.AD ＝BC ＝5，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝ 52π2＋52＝52π2＋4(cm). 【答案】 B1.(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右极点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【解析】 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D. 【答案】 D2.(全国卷Ⅰ)直线l 通过椭圆的一个极点和一个核心，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )【导学号：】【解析】 不妨设直线l 通过椭圆的一个极点B (0，b )和一个核心F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.【答案】 B3.(浙江高考)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右核心别离为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.【解析】 ∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右核心别离为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8.【答案】 (27，8)4.(江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为五、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们从头制作成整体积与高均维持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______.【解析】 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 【答案】 7。

北师版数学选修4-1讲义; 第2章 §5 圆锥曲线的几何性质

北师版数学选修4-1讲义; 第2章 §5 圆锥曲线的几何性质

§5圆锥曲线的几何性质
1.了解圆锥曲线的形成过程.
2.理解圆锥曲线的统一定义.
3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.
[基础·初探]
教材整理圆锥曲线的统一定义
抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线.
当e＝1时，轨迹为抛物线；
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；
当e＞1时，轨迹为双曲线.
1.平面内若动点M到两定点F1，F2的距离和为定值m(m＞0)，则动点M的轨迹是()
【导学号：96990050】
A.椭圆
B.线段
C.不存在
D.以上都有可能
【解析】当m＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；
当m＝|F1F2|时，轨迹为线段；
当m＜|F1F2|时，轨迹不存在.
【答案】 D
2.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为()
A. 2
B. 3
C.
6
2 D.2 3
【解析】由题意知2a2
c＝
2c
3，∴
c2
a2＝3，
∴e＝c
a＝ 3.
【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
如图12A为椭圆内部一点，且F1A⊥F1F2，椭圆的长轴长为8，焦距为4，M为椭圆上任意一点，求AM ＋2MF2的最小值.
图2-5-1
【精彩点拨】设法将AM,2MF2转化到一条直线上，才能利用所学的求最。

高中数学 第2章 圆锥曲线 2.5 圆锥曲线的几何性质学业分层测评 北师大版选修41

高中数学 第2章 圆锥曲线 2.5 圆锥曲线的几何性质学业分层测评 北师大版选修41

学业分层测评(十二) 第2章 §5 圆锥曲线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2D.3【解析】 由题意知2·(2b )＝2a ＋2c ⇒2b ＝a ＋c ⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2⇒4(c －a )＝c ＋a ⇒3c ＝5a ⇒e ＝53.【答案】 B2.已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A.－1<k <1B.k >0C.k ≥0D.k >1或k <－1【解析】 ∵(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0， ∴－1<k <1. 【答案】 A3.若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝( )A. 3B.32C.83D.23【解析】 ∵焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，∴0<m <2，∴e ＝2－m 2＝12，∴m ＝32.【答案】 B4.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，准线为l 1，l 2，两顶点为A 1，A 2，如图2­5­4所示.已知F 1F 2＝10，A 1A 2＝6，若双曲线右支上一点P 到l 2的距离是5，则PF 2为( )图2­5­4A.313B.253C.433D.73【解析】 由已知得a ＝3，c ＝5，则双曲线的离心率e ＝53，由圆锥曲线的统一定义得PF 25＝53， ∴PF 2＝253.【答案】 B5.过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( )A.10B. 5C.103D.52【解析】 直线l 的方程为y ＝x ＋1与渐近线y ＝bx 的交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1，b b －1，AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫2－b b －，b b －，在渐近线y ＝－bx 上，则b b －＝－b ·2－b b －，b＝3，c ＝12＋32＝10，e ＝c a＝10.【答案】 A 二、填空题6.已知双曲线的两焦点为F 1，F 2，焦距为25，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，又PF 1－PF 2＝4，则△F 1PF 2的面积为________.【导学号：96990052】【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝4， ①PF 21＋PF 22＝20， ②由①得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝16，把②代入得PF 1·PF 2＝2， ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝1.【答案】 17.如图2­5­5，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.图2­5­5【解析】 由椭圆的对称性可知，P 1与P 7，P 2与P 6，P 3与P 5关于y 轴对称，故P 1到右焦点的距离与P 7到左焦点的距离是相等的，同理可得，P 2到右焦点的距离与P 6到左焦点的距离是相等的，P 3到右焦点的距离与P 5到左焦点的距离是相等的，由椭圆的定义知，|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝7a ＝35.【答案】 358.已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，点P 是椭上的一个动点，当|PA |＋2|PF |最小时，点P 的坐标是______________.【解析】 如图所示，∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点， 并且离心率e ＝24＝12.设P 到右准线的距离为d . 则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋d .由几何性质可知，当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小.把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(x ＝－463舍去).即点P ⎝⎛⎭⎪⎫463，2为所求. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫463，2 三、解答题9.离心率为黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”.设x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)是优美椭圆.关于“优美椭圆”的下列性质请给予证明.(1)过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，则OP →·OQ →＝0(O 为原点)； (2)若A 是椭圆的左顶点，B ，C 是短轴两个顶点，F 是右焦点，则A ，B ，C ，F 四点共圆. 【证明】 (1)∵e ＝5－12， ∴e 是方程x 2＋x －1＝0的根， ∴e 2＋e －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，∴a 2－c 2＝ac ，即b 2＝ac .又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴OP →·OQ →＝c 2－b 4a 2＝a 2c 2－b4a2＝ac －b 2ac ＋b 2a 2＝0.(2)由b 2＝ac ，∴|OB |2＝|OA ||OF |， ∴△FBO ∽△BAO ， ∴∠FBA ＝90°， 同理∠FCA ＝90°， ∴A ，B ，C ，F 四点共圆.10.如图2­5­6，F 1、F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆的顶点，B 是直线AF 2与椭圆的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.图2­5­6(1)求椭圆的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值.【解】 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.能力提升]1.设过抛物线的焦点F 的弦AB ，则以AB 为直径的圆与此抛物线的准线的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.以上答案均有可能【解析】 如图，弦AB 过焦点F ，设其中点为P ，A ，B ，P 在抛物线准线l 上的射影分别为A ′，B ′，P ′，则PP ′为梯形A ′ABB 的中位线，∴PP ′＝12(AA ′＋BB ′)，又由抛物线定义可知，AA ′＋BB ′＝AF ＋BF ＝AB ，∴以弦AB 为直径的圆与l 相切. 【答案】 B2.已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于F 1F 2的弦.如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A. 2B.2＋1C.2－1D.22＋1【解析】 如图，由对称性知△F 1F 2P 是等腰直角三角形， ∴F 1F 2＝PF 1.设双曲线的焦距为2c ，实轴长为2a ，则PF 1＝2c ， ∴PF 2＝22c . 由双曲线结构特点，PF 2－PF 1＝2a ，即22c －2c ＝2a . ∴c a＝2＋1.∴e ＝2＋1. 【答案】 B3.已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为__________.【解析】 设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切.相切都可以转化为圆心距问题.第一种情况，dMO 1＝4－R ，dMO 2＝r ＋R ，dMO 1＋dMO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1.∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)， ∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r. ∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝＋r ＋－r －r ＋r ＝24－2r16－r2＝－r－－r2＋－r －128＝2－－r －12812－r＋24≥2－2－r12812－r＋24＝2－162＋24＝22＋34，当且仅当12－r ＝12812－r ，即r ＝12－82时，取“＝”，所以e 1＋2e 2的最小值为22＋34.4.在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B ，C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y2＝1，求△PBC 面积的最小值.【解】 (1)由题意可知圆心到⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离等于到直线x ＝12的距离，由抛的线的定义可知，曲线E 的方程为y 2＝2x .(2)设P (x 0，y 0)(x 0>0)，B (0，b )，C (0，c )，则直线PB 的方程为(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，所以|y 0－b ＋x 0b |y 0－b2＋x2＝1，整理得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0，同理可得(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，所以b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2，依题意知bc <0，∴x 0>2，则(b －c )2＝(b ＋c )2－4bc ＝4x 20＋4y 20－8x 0x 0－2，因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝2x 0x 0－2， 所以S △PBC ＝12|b －c |x 0＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥8，当且仅当x 0＝4时上式取等号， 所以△PBC 面积的最小值为8.。

北师大版数学选修4-1练习(第2章)圆锥曲线的几何性质(含答案)

北师大版数学选修4-1练习(第2章)圆锥曲线的几何性质(含答案)

圆锥曲线的几何性质 同步练习一， 选择题1，一个圆在一个平面上的平行投影可能是（ ）A ，圆B ，椭圆C ，线段D ，以上均可能2，如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是（ ） A ， 内心的平行投影仍为内心 B ， 重心的平行投影仍为重心 C ， 垂心的平行投影仍为垂心 D ， 外心的平行投影仍为外心3，若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴的最小值为（ ） A ，1 B ，2 C ，2 D ，224，对于半径为4的圆在平面上的射影的说法错误的是（ ） A ， 射影为线段时，线段的长为8B ， 射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C ， 射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8D ， 射影为圆时，圆的直径可能为45，若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的三等分点，则其离心率是（ ） A ，3 B ，2 C ，3 D ，326，设过抛物线px y 22=的焦点的弦为MN ，则以MN 为直径的圆和抛物线的准线（ ） A ，相交 B ，相切 C ，相离 D ，不能确定7，若双曲线1922=-y y 的两焦点是21,F F ，A 是该曲线上一点，且51=AF ,那么2AF 等于（ ） A ，105+ B ，1025+ C ，8 D ，11 8，如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PB=21BC ，则PBPA 的值为（ ）A ，2B ，21C ，3D ，1 9，如图，圆O 的直径是AB ，弦CD 垂直平分OA ，垂足为E 点，则弧CAD 的度数是（ ）BA，150° B，120° C，90° D，60°10，如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC，BD交于点P ，则此图形中一定相似的三角形的对数为（）CA，4 B，3 C，2 D，111，半径为5cm的圆内有两条平行弦，其长分别为6cm和8cm,则两平行弦之间的距离为（）A,1cm或7cm B,1cm或4cm C,1cm D,7cm二，填空题12，如图，AB是圆O 的直径，C为圆周上一点，弧AC=60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AC= ,AB=B13，如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2,BD=3,则BC= .14，如图，AB是圆O的直径，CB切圆O于B，CD切圆O于D ，交BA的延长线于E ，若AB=3，ED=2，则BC的长为 .B15，⊿ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=32，则⊿ABC 外接圆的半径等于 . 三， 解答题 16，如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA=∠D ，求证：AC ·BE=CE ·AD17，如图，AD 是⊿ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与⊿ABC 的外接圆交于点D ，N 为BC 延长线上一点，ND 交⊿ABC 的外接圆于点M ，求证： ①DB=DC②DN DM DC ⋅=218，如图，圆O1圆O2相交于A，B两点，CB是圆O2的直径，过A点作的圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1,圆O2交于C，D两点，求证：①PA·AD=PE·PC②AD=AEP19，如图，已知AB为半圆的直径，O为圆心，BE，CD分别为半圆的切线，切点分别为B和C，DC的延长线交BE 于F，AC的延长线交BE于E，AD⊥DC，D为垂足，根据这些条件，你能推出哪些结论？请你给出尽量多的结论B参考答案1,D 2,B 3,D 4,D 5,C 6,B 7,D 8,C 9,B 10,C 11,A12,20 40 13, 13 14,3 15,2。

北师版数学选修4-1; 学业分层测评 第2章 §5 圆锥曲线的几何性质

北师版数学选修4-1; 学业分层测评 第2章 §5 圆锥曲线的几何性质

学业分层测评(十二)第2章§5 圆锥曲线的几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为()A.43 B.53C.2D.3【解析】由题意知2·(2b)＝2a＋2c⇒2b＝a＋c⇒4b2＝(a＋c)2⇒4(c2－a2)＝(a＋c)2⇒4(c－a)＝c＋a⇒3c＝5a⇒e＝5 3.【答案】 B2.已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A.－1<k<1B.k>0C.k≥0D.k>1或k<－1 【解析】∵(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0，∴－1<k<1.【答案】 A3.若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m＝()A. 3B.3 2C.83 D.23【解析】∵焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，∴0<m<2，∴e＝2－m2＝12，∴m＝32.【答案】 B4.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，准线为l 1，l 2，两顶点为A 1，A 2，如图2-5-4所示.已知F 1F 2＝10，A 1A 2＝6，若双曲线右支上一点P 到l 2的距离是5，则PF 2为( )图2-5-4A.313B.253C.433D.73【解析】 由已知得a ＝3，c ＝5，则双曲线的离心率e ＝53，由圆锥曲线的统一定义得PF 25＝53，∴PF 2＝253.【答案】 B5.过双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( ) A.10 B. 5 C.103 D.52【解析】 直线l 的方程为y ＝x ＋1与渐近线y ＝bx 的交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1，b b －1，AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－b 2(b －1)，b 2(b －1)，在渐近线y ＝－bx 上，则b 2(b －1)＝－b ·2－b 2(b －1)，b ＝3，c ＝12＋32＝10，e ＝c a ＝10.。

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学业分层测评(十二) 第2章 §5 圆锥曲线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2D.3【解析】 由题意知2·(2b )＝2a ＋2c ⇒2b ＝a ＋c ⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2⇒4(c －a )＝c ＋a ⇒3c ＝5a ⇒e ＝53.【答案】 B2.已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A.－1<k <1B.k >0C.k ≥0D.k >1或k <－1【解析】 ∵(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0， ∴－1<k <1. 【答案】 A3.若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝( )A. 3B.32C.83D.23【解析】 ∵焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，∴0<m <2，∴e ＝2－m 2＝12，∴m ＝32.【答案】 B4.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，准线为l 1，l 2，两顶点为A 1，A 2，如图2­5­4所示.已知F 1F 2＝10，A 1A 2＝6，若双曲线右支上一点P 到l 2的距离是5，则PF 2为( )图2­5­4A.313B.253C.433D.73【解析】 由已知得a ＝3，c ＝5，则双曲线的离心率e ＝53，由圆锥曲线的统一定义得PF 25＝53， ∴PF 2＝253.【答案】 B5.过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( )A.10B. 5C.103D.52【解析】 直线l 的方程为y ＝x ＋1与渐近线y ＝bx 的交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1，b b －1，AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫2－b 2b －1，b 2b －1，在渐近线y ＝－bx 上，则b 2b －1＝－b ·2－b 2b －1，b ＝3，c ＝12＋32＝10，e ＝ca＝10.【答案】 A 二、填空题6.已知双曲线的两焦点为F 1，F 2，焦距为25，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，又PF 1－PF 2＝4，则△F 1PF 2的面积为________.【导学号：96990052】【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝4， ①PF 21＋PF 22＝20， ②由①得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝16，把②代入得PF 1·PF 2＝2， ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝1.【答案】 17.如图2­5­5，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.图2­5­5【解析】 由椭圆的对称性可知，P 1与P 7，P 2与P 6，P 3与P 5关于y 轴对称，故P 1到右焦点的距离与P 7到左焦点的距离是相等的，同理可得，P 2到右焦点的距离与P 6到左焦点的距离是相等的，P 3到右焦点的距离与P 5到左焦点的距离是相等的，由椭圆的定义知，|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝7a ＝35.【答案】 358.已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，点P 是椭上的一个动点，当|PA |＋2|PF |最小时，点P 的坐标是______________.【解析】 如图所示，∵a 2＝16，b 2＝12， ∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点， 并且离心率e ＝24＝12.设P 到右准线的距离为d . 则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋d .由几何性质可知，当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小.把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(x ＝－463舍去).即点P ⎝⎛⎭⎪⎫463，2为所求. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫463，2 三、解答题9.离心率为黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”.设x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)是优美椭圆.关于“优美椭圆”的下列性质请给予证明.(1)过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，则OP →·OQ →＝0(O 为原点)； (2)若A 是椭圆的左顶点，B ，C 是短轴两个顶点，F 是右焦点，则A ，B ，C ，F 四点共圆. 【证明】 (1)∵e ＝5－12， ∴e 是方程x 2＋x －1＝0的根， ∴e 2＋e －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，∴a 2－c 2＝ac ，即b 2＝ac .又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴OP →·OQ →＝c 2－b 4a 2＝a 2c 2－b4a2＝ac －b 2ac ＋b 2a 2＝0.(2)由b 2＝ac ，∴|OB |2＝|OA ||OF |， ∴△FBO ∽△BAO ， ∴∠FBA ＝90°， 同理∠FCA ＝90°， ∴A ，B ，C ，F 四点共圆.10.如图2­5­6，F 1、F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆的顶点，B 是直线AF 2与椭圆的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.图2­5­6(1)求椭圆的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值.【解】 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.能力提升]1.设过抛物线的焦点F 的弦AB ，则以AB 为直径的圆与此抛物线的准线的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.以上答案均有可能【解析】 如图，弦AB 过焦点F ，设其中点为P ，A ，B ，P 在抛物线准线l 上的射影分别为A ′，B ′，P ′，则PP ′为梯形A ′ABB 的中位线，∴PP ′＝12(AA ′＋BB ′)，又由抛物线定义可知，AA ′＋BB ′＝AF ＋BF ＝AB ，∴以弦AB 为直径的圆与l 相切. 【答案】 B2.已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于F 1F 2的弦.如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是( )A. 2B.2＋1C.2－1D.22＋1 【解析】 如图，由对称性知△F 1F 2P 是等腰直角三角形， ∴F 1F 2＝PF 1.设双曲线的焦距为2c ，实轴长为2a ，则PF 1＝2c ， ∴PF 2＝22c . 由双曲线结构特点，PF 2－PF 1＝2a ，即22c －2c ＝2a . ∴c a＝2＋1.∴e ＝2＋1. 【答案】 B3.已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16和圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值为__________.【解析】 设动圆M 的半径为R .动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切有两种情况，一是与圆O 1内切、与圆O 2外切，二是与圆O 1和圆O 2都内切.相切都可以转化为圆心距问题.第一种情况，dMO 1＝4－R ，dMO 2＝r ＋R ，dMO 1＋dMO 2＝4＋r ，为定值，且O 1O 2＝2.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4＋r2，c ＝1.同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ＝4－r2，c ＝1.∵两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2)， ∴e 1＝24－r ，e 2＝24＋r. ∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝24＋r ＋44－r 4－r 4＋r ＝24－2r 16－r 2＝212－r－12－r2＋2412－r －128＝2－12－r －12812－r＋24≥2－212－r ·12812－r＋24＝2－162＋24＝22＋34，当且仅当12－r ＝12812－r ，即r ＝12－82时，取“＝”，所以e 1＋2e 2的最小值为22＋34.4.在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B ，C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y2＝1，求△PBC 面积的最小值.【解】 (1)由题意可知圆心到⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离等于到直线x ＝12的距离，由抛的线的定义可知，曲线E 的方程为y 2＝2x .(2)设P (x 0，y 0)(x 0>0)，B (0，b )，C (0，c )，则直线PB 的方程为(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，所以|y 0－b ＋x 0b |y 0－b2＋x2＝1，整理得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0，同理可得(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，所以b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2，依题意知bc <0，∴x 0>2，则(b －c )2＝(b ＋c )2－4bc ＝4x 20＋4y 20－8x 0x 0－22，因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝2x 0x 0－2， 所以S △PBC ＝12|b －c |x 0＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥8，当且仅当x 0＝4时上式取等号， 所以△PBC 面积的最小值为8.。

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