2020届河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(有答案)(已审阅)

2019年河南省六市联考高考第二次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C ． D．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M， =e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2019年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是．故选：D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为=．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为（e﹣1）．故选：A10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2： +=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M， =e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】用a，b，c表示出MF1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算cos∠F1F2M和cos∠F1F2N，由∠F1F2M+∠F1F2N=0计算出离心率e1，得出a和b的关系即可得出答案．【解答】解：∵cos∠F1MN=cos∠F1F2M，∴∠F1MN=∠F1F2M，∴|MF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|﹣2a=2c﹣2a，∵椭圆Γ2： +=1的离心率为e==，∴=，∴|NF1|=4c，|NF2|=4c﹣2a，在△MF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2M==，在△NF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2N==，∵∠F1F2M+∠F1F2N=π，∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0，即+=0，整理得2a2+3c2﹣7ac=0，设双曲线的离心率为e1，∴3e12﹣7e1+2=0，解得e1=2或（舍）．∴=4，∴3a2=b2，即=．∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴渐近线的倾斜角为60°和120°．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|loga n|}前10项和．2【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P （x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。