辽宁省盘锦市高三数学上学期期末考试试题理

辽宁省盘锦市2017届高三数学上学期期末考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{(,)0}A x y x y =+=，B ＝{（1，1），（1，－1），（2，2）}，则A∩B＝A ．{（1，1）}B ．{（－1，1）}C ．{（1，－1）}D ．{1，－1}2．如果复数212bii -+（其中i 为虚数单位，b 为实数）为纯虚数，那么b ＝A ．1B ．2C ．4D ．－43．已知a ＝（1，2），b ＝（－4，t ），若a ∥b ，则实数t ＝A ．－2B ．2C ．－8D ．84．直线y ＝2x －1被圆x2＋y2＝1截得的弦长等于A ．5BC D ．25．命题p ：∀x ∈[2，＋∞），log 2x ≥1，则A ．p 是真命题，┐p ：∃x 0∈[2，＋∞），log 2x 0＜1B ．p 是假命题，┐p ：∀x ∈[2，＋∞），log 2x ＜1C ．p 是假命题，┐p ：∃x 0∈[2，＋∞），log 2x 0＜1D ．p 是真命题，┐p ：∀x ∈[2，＋∞），log 2x ＜16．某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积是A ．32+B ．11+C ．32+D ．11+7．在长为12cm 的线段AC 上任取一点B ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AB ，BC 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A ．13B ．23C ．34D ．45 8．设m ，n 是两条不同的直线α，β是两个不同的平面，以下判断正确的是A ．若m ⊥α，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αB ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α；C ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αD ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α9．若函数f （x ）在R 上可导，且满足f （x ）＜xf ′（x ），则A ．2f （1）＝f （2）B ．2f （1）＞f （2）C ．2f （2）＞f （4）D ．2f （2）＜f （4）10．执行下边所示的程序图（其中[x]表示不大于x 的最大整数），输出r 值为A ．1B ．2C ．3D ．411．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝9，则29n nS a +取得最小值时，n 等于 A ．6B ．5C ．4D ．312．已知函数f （x ）＝sinx ＋cosx ，g （x ）＝x ，直线39()44x t t ππ=≤≤与函数f （x ），g （x ）的图象分别交于N 、M 两点，记()h t MN =，函数h （t ）的极大值为 A ．32π B ．53πC ．312π+ D．322π+ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：13．双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ＝x ，则其离心率为________ 14．二项式63()x x -展开式中含x 2项的系数为________． 15．已知函数11cos 22()2x x f x +=．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c 且满足2cos cos a c C b B-=，则f （A ）的取值范围是________． 16．P 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线BD 1上的一点，且BP ＝λBD 1（λ∈（0，1））．有下面结论： ①A 1D ⊥C 1P ；②若BD 1⊥平面PAC ，则13λ=；若ΔPAC 为钝角三角形，则1(0,)2λ∈；④若2(,1)3λ∈，则ΔPAC 为锐角三角形．其中正确的结论为________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．S n 是数列{a n }的前n 项和，数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，且S 5＝62．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n ＝11－2log 2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b n ．18．小张、小丽、小方三位同学一起参加同一家公司的招聘考试，合格者现场签约，小张表示合格就签约，小丽和小方两同学约定两人都合格则一同签约，否则都不签约，已知小张考试合格的概率为12，小丽和小方考试合格的概率都是13，三位同学考试是否合格互不影响． （Ⅰ）求至少有1人考试合格的概率；（Ⅱ）求签约人数X 的分布列和数学期望．19．如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝BD ＝3．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）求二面角A —PC —B 的正弦值．20．已知椭圆E ：221x y t+=的焦点在x 轴上，抛物线C：2x =与椭圆E 交于A ，B 两点，直线AB 过抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程和离心率e 的值；（Ⅱ）已知过点H （2，0）的直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，又过M 、N 作抛物线C 的切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，问这样的直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f n （x ）＝2x －nlnx （n ∈N*）．（Ⅰ）判断f n （x ）的单调性；（Ⅱ）当n ＝4时，求f 4（x ）在点（1，f 4（1））处的切线方程； （Ⅲ）是否存在函数(){()*}k n f x f x n N ∈∈，f k （x ）＝0在（k ，k ＋1）上有且只有一个解；若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．（e ＝2.78，ln8＝2.079，ln9＝2.197，ln10＝2.302）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．选修4——4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线C 的方程是x 2＋y 2－2y ＝0，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立了极坐标系，直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程（Ⅱ）设直线l 与x 轴的焦点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 得取值范围．23．选修4——5：不等式选讲 已知()21f x x x =++-（Ⅰ）求不等式f （x ）＞5的解集；（Ⅱ）若f （x ）≥a 2－2a 恒成立，求实数a 的取值范围．理科数学·参考答案、提示及评分细则1．C2．A3．C4．A5．A6．B7．B8．A9．D10．D11．A12．C13c a = 14．13515．1<()<12f A 16．①②④17．解：（Ⅰ）∵a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是以2为公比的等比数列．515(12)6212a S -==-，a 1＝2． ∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．（Ⅱ）∵a n ＝2n ，∴b n ＝11－2n ，∴b 1＝9，b n ＋1－b n ＝－2∴{b n ）是公差为－2的等差数列． ∴2112()(9112) (1022)n n n b b n n b b b n n ++-+++===- 18．解：（Ⅰ）记事件“至少有1人考试合格”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“无1人考试合格”． 因1112()(1)(1)(1)2339P A =---=，故7()1()9P A P A =-=． （Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，1114(0)(1)(1)2339P X ==--=， 1114(1)(1)2339P X ==-= 1111(2)(1)23318P X ==-= 1111(3)23318P X === ∴分布列为故()012399181818E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ．又因为PA ⊥平面ABCD ，BDC 平面ABCD ，所以BD ⊥PA ．因为PA∩AC＝A ，所以BD ⊥平面PAC ．∵PC PAC ⊂平面．∴BD ⊥PC ．（Ⅱ）方法一：设AC∩BD＝O ．过点B 作BE ⊥PC 于点E ，连接OE ．由（Ⅰ）得BD ⊥平面PAC ．∴OB ⊥OE ，ΔOBE 是Rt △． 又BE ⊥PC ，OE 是BE 在平面PAC 内的射影，∴OE ⊥PC 则．∠OEB 就是二面角A —PC —B 的平面角．易知2OA=，2AC OA ==6PC ==．由PA OE PC OC=，得326OE ==，则4EB ==． ∴在Rt △BOE 中，3sin OB OEB EB ∠===A —PC —－B 的正弦值为7．方法二：（向量法）设AC∩BD＝O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，易知2OA=，2AC OA==32OB=，则点3(0,,0)2B，(2C-，(,0,3)2P．∴33(,0)2CB=，33(,3)2BP=-设n＝（x，y，1）是平面PBC的一个法向量，则由0n CB=，0BP=n，得30,22330,2x yy⎧+=⎪⎪-+=解得,31,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以(n =．易知3(0,,0)2OB=是平面APC的一个法向量．设二面角A—PC—B为θ，观察图形，可知θ为锐角．∴222(1,1)(0,,0)2cos cos,7)11n OBθ===++，∴sin7θ=∴二面角A—PC—B20．解：（Ⅰ）∵x 2＝2py，∴p，∴2y =代入2x =得x =∴()2A 代点A 到221x y t +=得t ＝4． ∴椭圆E ：2214x y +=，a ＝2，b ＝1，∴c =e = （Ⅱ）依题意，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k （x －2），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．因为2y =y '= 所以切线l 1，l 2的斜率分别为12x，22x ． 当l 1⊥l 2时，12122x x =-，即x 1x 2＝－2．由2(2),y k x x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得20x -+=，所以122x x ==-，解得4k =．又22888>0k k ∆=-=+恒成立，所以存在直线l的方程是2)4y x =--，即20x +-=． 21．解：（Ⅰ）2()2n n x n f x x x -'=-=，f′n （x ）＝0时，2n x =当0<<2n x 时，f′n （x ）＜0，f n （x ）为减函数， 当>2n x 时，f′n （x ）＞0，f n （x ）为增减函数， 故f n （x ）的单调减区间为(0,)2n ，单调增减区间为(,)2n +∞ （Ⅱ）∵f 4（x ）＝2x －4lnx ，∴44()2f x x'=-， ∴k ＝－2，切点（1，2）∴切线：y ＝－2x ＋4． （Ⅲ）由（Ⅰ）知2n x =时，函数f n （x ）－2x －nlnx （n ∈N*）取极小值，即为最小值，()ln (1ln )22n n n f n n n =-=-． 当n ＜6时，()>02n n f ，此时，()02n n f =无解， 当n ≥6时，()<02n n f ，此时，()02n n f =有解 若f k （x ）＝0在（k ，k ＋1）上有且只有一个解，需有f k （k ）f k ＋1（k ＋1）＜0． 又f k （x ）在(,)2k +∞上为单调函数，∴f k （k ）＜0，f k ＋1（k ＋1）＞0，∴由f k （k ）＜0，即k （2－lnk ）＜0，可得k ≥e 2，即k ≥8，由f k ＋1（k ＋1）＞0，即2（k ＋1）－kln （k ＋1）＞0，令g （k ）－2（k ＋1）－kln （k ＋1）＞0（k ≥8），()2ln(1)1k g k k k '=-+-+， 当k ≥8时，ln （k ＋1）≥2，∴g′（k ）＜0，即g （k ）在（8，＋∞）为单调减函数． 又g （8）＝18－8ln9＞0，g （9）＝20－9ln10＜0，故k ＝8时，f 8（x ）＝0在（k ，k ＋1）上有且只有一个解22．解：（Ⅰ）∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θ（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--． 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为（2，0）．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为（0，1），半径r ＝1，则MC =∴1MN MC r +=≤．1MN ∴范围是11]23．解：（Ⅰ）21,>1()3,2121,<2x x f x x x x +⎧⎪=-⎨⎪---⎩≤≤∴2x ＋1＞5，x ＞2，－2x －1＞5，x ＜－3． 得f （x ）＞5的解集为{<3>2}x x x -或 （Ⅱ）∵()123f x x x =-++≥ ∴f （x ）≥a 2－2a ，化为a 2—2a ≤3 ∴－1≤a ≤3即a ∈[－1，3]。