【备考2014】中考数学总复习 四 图形初步与三角形分类检测

OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD.要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是(
A．4 C．6 B．5 D．8
)
(第 10 题图) 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 11．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝__________.
(第 11 题图) 12．如图，已知 AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补 充的条件是__________(写出一个 即可)．
( 1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举； (2)求证：CF＝EF. 20．(10 分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树正前 方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得 树顶端 D 的仰角为 60°.已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度为 1: 3(即 AB:AC＝1: 3)，且 B，C， E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树 DE 的高度(测倾器的高度忽略不计)．
(第 6 题图) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 )
7．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝45°，F 是高 AD 和 BE 的交点，CD＝4，则线段 DF 的长度为( A．2 2 B．4 C．3 2 D．4 2
(第 7 题图) 8．如图，等腰△ABC 的周长为 21，底边 BC＝5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则 △BEC 的周长为( )
(第 12 题图) 13．如图，∠ABC＝50°，AD 垂直平分线段 BC 于点 D，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，连接 EC，则 ∠AEC 的度数是__________．
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(第 13 题图) 14．边长为 6 cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为__________． 15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB＝14 cm，则阴影部分的面积是__________ cm .
21．(10 分)如图，△ABC 为等边三角形，P 为 BC 上一点，△APQ 为等边三角形．
(1)求证：AB∥CQ. (2)AQ 与 CQ 能否互相垂直？若能互相垂直，指出点 P 在 BC 上的位置，并给予证明；若 AQ 与 CQ 不能 互相垂直，请说明理由．
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22．(12 分 )(1)把两个含有 45°角的直 角三角板如图(1)放置，点 D 在 BC 上，连接 BE，AD，AD 的延 长线交 BE 于点 F.求证：AF⊥BE.
∴△DCA∽△ECB.∴∠DAC＝∠EBC. ∵∠ADC＝∠BDF， ∴∠EBC＋∠ BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90°. ∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.
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(2)把两个含有 30°角的直角三角板如图(2)放置，点 D 在 BC 上，连接 BE，AD， AD 的延长线交 BE 于 点 F.问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由．
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参考答案 一、1．A 2．C 3．C 4．B ∵∠BOD＝45°，∴∠AOC＝45°. ∵OE⊥AB，∴∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝135°. 5．B 6．A 7．B 1 8．A 由题意得 AB＝AC＝ ×(21－5)＝8. 2 ∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE. ∴BE＋BC＋CE＝ AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8＋5＝13. 9．B 在 Rt△ABC 中，AC ＋BC ＝AB ＝13 ＝169，① 1 1 由三角形面积法可得， AC·BC＝ CD·AB， 2 2 即 2AC·BC＝156，② ①＋②，得(AC＋BC) ＝325， 所以 AC＋BC＝5 13. 10．C 如图，连接 PD，由题知∠POD＝60°，OP＝OD，
2 2 2 2 2
∵∠1＋∠2＋60°＝180°，∠1＋∠A＋∠APO＝180°， ∴∠2＝∠APO. 同理∠1＝∠CDO. ∴△APO≌△COD. ∴AP＝OC＝AC－AO＝9－3＝6. 故选 C. 二、11．80° 12．AC＝AE(或∠C＝∠E 或∠B＝∠D) 由已知条件，根据 SAS(AAS，ASA)定理，确定可补充的条件为
AC＝AE(或∠C＝∠E 或∠ B＝∠D)．
13．115° 14．3 3 cm 15． 49 1 16． 2 2
三、17．解：本题答案不唯一：已知：①③. 证明：在△ABE 和△DCE 中，
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∠B＝∠C， ∵∠AEB＝∠DEC， AB＝DC， ∴△ABE≌△DCE， ∴AE＝DE，即△AED 是等腰三 角形． 18．(1)证明：∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB. ∵CD，BE 是两条高 ， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°. 又∵BC＝C B， ∴△BDC≌△CEB. ∴∠DBC＝∠ECB. ∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形． (2)解：点 O 是在∠BAC 的平分线上．连接 AO，
要求同学们从这四 个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形．请你试着完成王老师提出 的要求，并说明理由．(写出一种即可) 已知： 求证：△AED 是等腰三角形． 证明：
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18 ．(8 分)已知：如图，锐角△ABC 的两条高 CD，BE 相交于点 O，且 OB＝OC，
(1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由． 19．(10 分)如 图，已知 Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC 与 DE 相交于点 F，连接 CD，EB.
(第 4 题图) A．125° C．145° B．135° D．155° )
5 ．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则 tan A 的值为(
1
(第 5 题图) A．2 1 B． 2 C． 5 5 2 5 D． 5
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE 分别是△ABC，△BCD 的角平分线，则图中的等腰 三角形有( )
1 3 ，AB＝2，∴BC＝2 3.
DE
在 Rt△ABC 中，∵ ＝
AB BC
在 Rt△AFD 中，DF＝DE－EF＝x－2，
DF x－2 ∴AF＝ ＝ ＝ 3(x－2)． tan∠DAF tan 30°
∵AF＝BE＝BC＋CE， ∴ 3(x－2)＝2 3＋ 3 x，解得 x＝6. 3
答：树 DE 的高度为 6 米． 21．(1)证明：∵△ABC 和△APQ 都为等边三角形， ∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ， ∴△ACQ≌△ABP(SAS)， ∴∠ACQ＝∠ABP＝60°. 又∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠ACQ， ∴AB∥CQ. (2)解：当点 P 在 BC 边的中点时，∠AQC＝90°. 证明：∵P 是 BC 的中点， 1 ∴∠PAC＝ ∠BAC＝30°. 2 ∵∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAQ－∠PAC＝60°－30°＝30°，由(1)知∠ACQ＝60°， ∴∠AQC＝90°，∴AQ 与 CQ 互相垂直． 22．解：(1)证明：在△ACD 和△BCE 中， ∵AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，
(第 2 题图) 3．平面上不重合的两点确 定一条直线，不同三点最多可确定 3 条直线，若平面上不同的 n 个点最多 可确定 21 条直线，则 n 的值为( A．5 B．6 C．7 ) D．8
4．如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，E 是∠AOD 内一点，已知 OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE 的 度数是( )
2
(第 15 题图) 16． 如图， 等边△ABC 中， D， E 分别是 AB， BC 边上的两动点， 且总使 AD＝BE，AE 与 CD 交于点 F， AG⊥CD 于点 G，则 ＝__________.
FG AF
(第 16 题图) 三、解答题(共 56 分) 17．(6 分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出了如图所示的图形，并写下 了四个等式： ①AB ＝DC，②BE＝CE，③∠B＝Hale Waihona Puke C，④∠BAE＝∠DCE.8
∴∠ACB＝∠AED. ∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED，即∠BCE＝∠DEC. ∴CF＝EF. 20．解：如图，过点 A 作 AF⊥DE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形，
∴AF＝BE，EF＝AB＝2.设 DE＝x， 在 Rt△CDE 中，CE＝
DE 3 ＝ ＝ x. tan∠DCE tan 60° 3
∵△BDC≌△CEB， ∴DC＝EB. ∵OB＝OC，∴OD＝OE. ∵∠BDC＝∠CEB＝90°， ∴点 O 是在∠BAC 的平分线上． 19．(1)解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF. (2)证明：如图，连接 CE.
∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC. 又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
四 图形初步与三角形
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1． 如图所示， l∥m， 等腰直角△ABC 的直角顶点 C 在直线 m 上， 若∠β ＝20°， 则∠α 的度数为( )
(第 1 题图) A．25° B．30° C．20° D．35° )
2． 如图， 直线 AB， CD 交于点 O， OT⊥AB 于 O， CE∥AB 交 CD 于点 C， 若∠ECO＝30°， 则∠D OT 等于( A．30° B．45° C．60° D．120°
(第 8 题图) A．13 C．15 B．14 D．16 )
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点 D，AB＝13，CD＝6，则 AC＋BC 等于(
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(第 9 题图) A．5 C．13 13 B．5 13 D．9 5
10．如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点 O 在 AC 上，且 AO＝3，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段