2014年中考数学总复习提能训练课件专题九_圆
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中考数学总复习 专题九 圆提能训练课件
第十七页，共18页。
名师点评：解题的关键在于运用运动和变化的眼光(yǎnguāng)，去观 察和研究问题，关注运动与变化中的不变量、不变关系、特殊 关系或范围．
第十八页，共18页。
图Z9-9
S 随 n 的增大而增大，∠MON 取最大值时，S 扇形 MON 最大．
第十六页，共18页。
过O 点作OK⊥MN 于 K，
∴∠MON＝2∠NOK，NM＝2NK.
在Rt△ONK 中，sin∠NOK＝
NOKN＝
NK 2
，
∴∠NOK 随NK 的增大(zēnɡ dà)而增大(zēnɡ dà)，∠MON 随 MN 的增大(zēnɡ dà)而增大
((23))求如△图AOZB 9的-面4，积；Q是反比例函数(háns1hx2ù()xy＞＝0)图象(tú xiànɡ)上异于点 的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点 C，D.求证：DO·OC＝BO·OA.
第七页，共18页。
图 Z9-3
图 Z9-4
思维分析：(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证
第十页，共18页。
名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐 标的积为k，同理若反比例函数(hánshù)系数为k，则可以证明⊙P 在坐 标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成 的⊙Q，结论依然成立．
第十一页，共18页。
与圆有关(yǒuguān)的动态题
例3：(2013 年湖北宜昌)半径(bànjìng)为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm
第六页，共18页。
圆与函数图象的综合 例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，
2014年中考数学专项训练《圆》的综合精选与解析
2014年中考数学专项训练《圆》的综合精选与解析一【例题精讲】【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tan C=12，求⊙O的直径．A【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。
对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。
所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。
至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。
利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点，A∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.∴ DE为⊙O的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵ D为AC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=12，∴EC=4tanDEC. （三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：DC=.在Rt△DCB 中，BD=tan DC C ⋅= BC=5.∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【例2】已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D . （1）求证：DA 为O 的切线； （2）若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求O 的半径.FC【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。
2014届中考数学总复习课件(重庆专用)： 第16节 圆
命题预测
预计2014年对圆的基本性质有可能考查，且难度 不大，此外也要对垂径定理及其推论引起重视， 对于与圆有关的位置关系可能会考查切线与圆有 关的计算，难度不会太大，出现在选择或填空题 中，而与圆的有关计算这是重点，2014年对本节 内容的考查会加大综合性，继续考查阴影部分的 面积，特别是弓形的面积。
考纲解读
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的 关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆 与圆的位置关系 ②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、 直径所对圆周角的特征，了解弦与垂直直径 及弧之间的关系 ③了解三角形的内心和外心 ④了解切线的概念，切线与过切点的半径之间 的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过 圆上一点画圆的切线 ⑤会计算弧长及扇形面积，会计算圆锥的侧面 积和全面积
2、如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与 ⊙O交于点C，若 ,则 的度数为 A.40° B.50° C.65° D.75°
3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=20°， 则∠A= °．
课堂小结
通过本节课的学习: 你学到了什么？ 你学会了什么？ 你没学会的是什么？ 我们大家一起来谈谈收获！
命题规律
近几年重庆对圆的考查分为三部分： 第一部分：圆的基本性质，这部分都比较简单，除了2013年 没有考查本节知识，2008-2012年对本节内容均是考查圆周角 定理及其推论，且命题形式比较单一，主要是考查圆周角与圆 心角的关系。 第二部分：与圆有关的位置关系，2008年和2010年分别考查 了点与圆，直线与圆，圆与圆之间的位置关系判断，而2011 年、2012年没有考查，2013年则考查了切线的性质。 第三部分：与圆有关的计算，2008-2010没有考查 ，2011年 和2012年仅仅单纯的考查了弧长及扇形面积的计算，而在 2013年对本节内容的命题难度较之前有所提高，涉及阴影部 分的面积的计算，多数是求弓形，出现在填空题中。
【一线名师整理】2014中考数学(人教版)总复习课件：圆的有关计算(2010-2013年真题集锦,共32张PPT)
n r ( 其中 r 是圆的半径) ; 当然有时可以根据弧所对的圆心角占 180
第 二 十 八 讲
已知正六边形的边长为 1 cm , 分别以它的三个不相 cm ( 结果保留π) .
邻的顶点为圆心, 1 cm 长为半径画弧( 如图 , 则所得到的三 条弧的长度之和为 【思路点拨】 因正六边形内角是扇形的圆心角, 扇形的 半径是正六边形的边长, 易得每段弧的弧长. 【自主解答】∵多边形是正六边形, ∴它的每一个内角是 120°, ∵正六 边形的边长为 1 cm , ∴每一段弧长为 ∴三段弧长的和为 2π cm . 【答案】 2π
(2)由 AB 是☉O 的直径, 得∠AC B = 90°, 然后利用勾股定理可求 AC . (3)用割补法求弓形面积. 【自主解答】 (1)∵O D ⊥B C , BC= 6 3 , ∴B E =
第 二 十 八 讲
第 二 十 九 讲
➡特别提示:判定一个多边形是否是正多边形时, 要从两个角度去思考, 其一 是要注意判断多边形的各条边是否相等; 其二是要注意判断多边形的各个角是 否相等. 以上两个条件必须同时具备, 否则多边形就不一定是正多边形.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
二、圆中的弧长与扇形面积 1. 半径为 R 的圆中, n°的圆心角所对的弧长 l的计算公式为 l = 2. 扇形面积: ( 1) 半径为 R 的圆中, 圆心角为 n°的扇形面积为: S 扇形= ( 2) 半径为 R , 弧长为 l的扇形面积为: S 扇形= 3. 弓形面积: ( 1) 当弓形所含的弧是劣弧时: 如图( 1) 所示, S 弓形= 的弧是优弧时: 如图( 2) 所示, S 弓形= . ( 3) 当弓形所含的弧是半圆时: 如图( 3) 所示, S 弓形= . . ( 2) 当弓形所含 .
第 二 十 八 讲
已知正六边形的边长为 1 cm , 分别以它的三个不相 cm ( 结果保留π) .
邻的顶点为圆心, 1 cm 长为半径画弧( 如图 , 则所得到的三 条弧的长度之和为 【思路点拨】 因正六边形内角是扇形的圆心角, 扇形的 半径是正六边形的边长, 易得每段弧的弧长. 【自主解答】∵多边形是正六边形, ∴它的每一个内角是 120°, ∵正六 边形的边长为 1 cm , ∴每一段弧长为 ∴三段弧长的和为 2π cm . 【答案】 2π
(2)由 AB 是☉O 的直径, 得∠AC B = 90°, 然后利用勾股定理可求 AC . (3)用割补法求弓形面积. 【自主解答】 (1)∵O D ⊥B C , BC= 6 3 , ∴B E =
第 二 十 八 讲
第 二 十 九 讲
➡特别提示:判定一个多边形是否是正多边形时, 要从两个角度去思考, 其一 是要注意判断多边形的各条边是否相等; 其二是要注意判断多边形的各个角是 否相等. 以上两个条件必须同时具备, 否则多边形就不一定是正多边形.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
二、圆中的弧长与扇形面积 1. 半径为 R 的圆中, n°的圆心角所对的弧长 l的计算公式为 l = 2. 扇形面积: ( 1) 半径为 R 的圆中, 圆心角为 n°的扇形面积为: S 扇形= ( 2) 半径为 R , 弧长为 l的扇形面积为: S 扇形= 3. 弓形面积: ( 1) 当弓形所含的弧是劣弧时: 如图( 1) 所示, S 弓形= 的弧是优弧时: 如图( 2) 所示, S 弓形= . ( 3) 当弓形所含的弧是半圆时: 如图( 3) 所示, S 弓形= . . ( 2) 当弓形所含 .
【2014】(包头专版)中考数学复习方案专题课件_第14单元圆【新课标人教版】
∵OD⊥BE， ∴OD 是 BE 的中垂线， ∴∠1＝∠2， 5 ∴BD＝ED＝ . 2 ∵OD⊥EB， ∴FE＝FB， 1 1 5 1 ∴OF＝ AE＝ x，DF＝OD－OF＝ － x. 2 2 4 2
考点聚焦 包考探究
第1节┃包考探究
解 析
5 1 2 － x 4 2 .
切线长 定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________ 相等 ，圆心 平分 两条切线的夹角 和这一点的连线________
基本图 形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B， AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO，∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP， ∠CAP＝∠CBP
考点聚焦
包考探究
第2节┃包考探究
解 析 (1)证明：连接 OA. ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠PAO＝90°. ∵OA＝OB，OP⊥AB 于 C， ∴BC＝CA，PB＝PA， ∴△PBO≌△PAO， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB 为⊙O 的切线． (2)连接 AD. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°. 由(1)知∠BCO＝90°，
图14－3－1
考点聚焦 包考探究
第3节┃包考探究
解 析 分两种情况讨论：①⊙O与⊙P外切时，OP＝3，此时 a＝±3；②⊙O与⊙P内切时，OP＝1，此时a＝±1.
方法点析
注意两圆相切时应分内切与外切两种情况进行
讨论．
考点聚焦
包考探究
第4 节
例2．如图14－2－2，P为⊙O外一点，PA、PB、CD都是⊙O 的切线，切点分别为A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两 点．若⊙O的半径为5，OP＝10，则△PCD的周长为 ________ 10 3 ．
2014最新人教版九年级数学上册_圆的复习课件_人教新课标版
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
点与圆的位置关系
●
C
r
●
●
B d
●
O
A
点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
点到圆心的距离d与 圆的半径r之间关系
O
1
A
O2 B
∴ O1O2是AB的垂直平分线
9. ⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的 半径分别为2和 ，公共弦AB长为2， 则(1)∠O1AO2=_____. 2 (2)两圆的圆心距= .
已知 O的半径为2，弦AB=2 3 ， 弦AC=2 2 ，则BAC=
（六）如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦 心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说 法或等式： ①r=d+h, ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( C ) A.① B.①② C.①②③ D.②③
d﹥r d=r d﹤r
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
练 习
5. 已知：△ABC，AC=12，BC=5， AB=13,则△ABC的外接圆半径为 。
6. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过 网格点A，B，C， 其中B点坐标(4,4)， 则该圆弧所在圆的 圆心坐标为 。
直线与圆位置关系的识别:
r
．
O d
F O
B
D
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所的两条弧.
C
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
点与圆的位置关系
●
C
r
●
●
B d
●
O
A
点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
点到圆心的距离d与 圆的半径r之间关系
O
1
A
O2 B
∴ O1O2是AB的垂直平分线
9. ⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的 半径分别为2和 ，公共弦AB长为2， 则(1)∠O1AO2=_____. 2 (2)两圆的圆心距= .
已知 O的半径为2，弦AB=2 3 ， 弦AC=2 2 ，则BAC=
（六）如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦 心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说 法或等式： ①r=d+h, ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( C ) A.① B.①② C.①②③ D.②③
d﹥r d=r d﹤r
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
练 习
5. 已知：△ABC，AC=12，BC=5， AB=13,则△ABC的外接圆半径为 。
6. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过 网格点A，B，C， 其中B点坐标(4,4)， 则该圆弧所在圆的 圆心坐标为 。
直线与圆位置关系的识别:
r
．
O d
F O
B
D
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所的两条弧.
C
中考数学总复习 专题九 圆提能训练课件
③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G， 由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ. ∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC ＝AC.故③正确． ④∵NQ＝ 23DQ＝ 23QC，故④错误．
答案：①②③ 图 Z9-2
名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力．
∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一直线上． 方法一，∵E，A，D三点在同一直线上， ∴EA⊥OB. ∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO. 又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE. ∴OOAE＝OOEB.∴OE2＝OA·OB.∴OA(2＋OA)＝4， 解得 OA＝－1± 5.∵OA＞0，∴OA＝ 5－1.
解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置， ∴∠DQN＝30°.故①正确． ②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA， ∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°. ∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°. ∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°， ∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°. ∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN. 又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ， ∴△DNQ≌△ANM.故②正确．
△COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．
(1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径．
(2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)，
∵点P是反比例函数y＝1—x2(x＞0)图象上一点，
2014年中考数学总复习课件_第1部分教材知识梳理(第6单元圆)
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中考考点清单
（4）圆心角：顶点在圆心，并且两边都与圆相交 的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交 的角叫做圆周角．
如图①，在圆 O 中，O A 为半径，A E 为 弦，E F 为直径，������������为劣弧， ������������������为优弧， ∠A O F 叫做������������所对的圆心角， ∠A E F 为圆周 角.
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第六单元
圆
类型二
垂径定理的运用
例2 （’13梧州）如图，AB是⊙O的 直径，AB垂直于弦CD， ∠BOC=70° ，则∠ABD=（ C ）
A. B. C. D.
20° 46° 55° 70°
例2题图
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第六单元
圆
【解析】连接 BC，∵OC=OB，∴∠OBC= ∠OCB=
图①
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第六单元
圆
2．圆的性质 （１）圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意 角度，都能与自身重合．特别地，圆是中心对称 图形，⑤ 圆心 是它的对称中心． （２）圆是⑥ 轴对称 图形，任意一条直径所在 的直线都是它的对称轴．
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第六单元
圆
考点2
垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦ 平分 这条弦 . 温馨提示 ◆垂直于弦的直径⑧ 平分 弦所对的弧； ◆平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并 且平分弦所对的弧；3.圆的两条平行弦所夹 的弧⑨相等 .
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第六单元
圆
2．垂径定理的应用类型 （1）如图②，基于圆的对称性，下列五 个结论： ①������������=������������； ②������������=������������； ③AE＝BE； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径，只要满足其中的 两个，另外三个结论一定成立．
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过点 B 作⊙O 的一条切线 BE，E 为切点，
①填空：如图 Z9-6，当点 A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是
________； ②如图 Z9-7，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段
OA 的长；
(2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，
由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点，
∴OA＝2OM＝2m，OB＝2ON＝2n. 1 1 ∴S△AOB＝2BO· OA＝2×2n×2m＝2mn＝2×12＝24. 12 (3)证明： 若点 Q 为反比例函数 y＝ x (x＞0)图象上异于点 P 的另一点， 1 参照(2)，同理可得 S△COD＝2DO· CO＝24. 1 1 则有 S△COD＝S△AOB＝24，即2BO· OA＝2DO· CO. ∴DO· OC＝BO· OA.
专题九
圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容．
它综合直线形、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极
强的综合性，思维能力要求较高．这类试题通常借助圆的对称
性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其
是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、
圆锥等)的计算、作图、证明与探究．
答案：①②③
图 Z9-2
名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力．
圆与函数图象的综合
又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ，
∴△DNQ≌△ANM.故②正确．
③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G， 由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ. ∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC ＝AC.故③正确．
3 3 ④∵NQ＝ 2 DQ＝ 2 QC，故④错误．
∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形．
∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形．
∴DA⊥AO.
∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一直线上． 方法一，∵E，A，D三点在同一直线上， ∴EA⊥OB. ∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO. 又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE.
的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点
C，D.求证：DO· OC＝BO· OA.
图 Z9-3 明 AB 是⊙P 的直径；
图 Z9-4
思维分析：(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证 (2)将△AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易 计算出结果； (3)对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的 △COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．
解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置， ∴∠DQN＝30°.故①正确． ②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA，
∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°.
∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°.
∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°，
∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°. ∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN.
向左移动正方形(图 Z9-8)，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，
N 分别是边 BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形 MON 的面积的
取值范围．
图 Z9-6
图 Z9-7
图 Z9-8
解：(1)①如图Z9-6，∵切线BE 是⊙O 的切线， ∴OE⊥BE 于E. 又OA＝AB＝OE＝2，易得∠EBA＝30°. ②如图Z9-7，∵直线l 与⊙O 相切于F， ∴∠OFD＝90°. ∵在正方形ADCB 中，∠ADC＝90°，.∴OF∥AD.
(1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径． (2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)， 12 ∵点P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上一点， x
∴mn＝12.
如图Z9-5，过点P 作 PM⊥x 轴于点M，
图Z9-5
PN⊥y 轴于点N，则OM＝m，ON＝n.
OA OE ∴OE＝OB.∴OE2＝OA· OB.∴OA(2＋OA)＝4， 解得 OA＝－1± 5.∵OA＞0，∴OA＝ 5－1.
三角形，将△ABC 绕O点顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别
交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则以下结论： ①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM； ③△DNQ 周长等于 AC 的长；④NQ＝QC. 其中正确的结论是__________ (把所有正确的结论的序号都填上)． 图 Z9-1
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角
形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等， 添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三 角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解 决．
与圆有关的计算、操作题
例1：(2013 年广西玉林)如图 Z9-1，△ABC 是⊙O 内接正
例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标系中，
12 O为坐标原点，P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上任意一点， x 以 P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B. (1)求证：线段 AB 为⊙P 的直径；
(2)求△AOB 的面积；
(3)如图Z9-4，Q是反比例函数y＝ 12 (x＞0)图象上异于点 P x
名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐 标的积为k，同理若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P 在坐 标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成 的⊙Q，结论依然成立．
与圆有关的动态题 例3：(2013 年湖北宜昌)半径为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，⊙O 与 l 相切于点 F，
①填空：如图 Z9-6，当点 A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是
________； ②如图 Z9-7，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段
OA 的长；
(2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，
由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点，
∴OA＝2OM＝2m，OB＝2ON＝2n. 1 1 ∴S△AOB＝2BO· OA＝2×2n×2m＝2mn＝2×12＝24. 12 (3)证明： 若点 Q 为反比例函数 y＝ x (x＞0)图象上异于点 P 的另一点， 1 参照(2)，同理可得 S△COD＝2DO· CO＝24. 1 1 则有 S△COD＝S△AOB＝24，即2BO· OA＝2DO· CO. ∴DO· OC＝BO· OA.
专题九
圆
圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容．
它综合直线形、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极
强的综合性，思维能力要求较高．这类试题通常借助圆的对称
性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其
是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、
圆锥等)的计算、作图、证明与探究．
答案：①②③
图 Z9-2
名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力．
圆与函数图象的综合
又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ，
∴△DNQ≌△ANM.故②正确．
③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G， 由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ. ∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC ＝AC.故③正确．
3 3 ④∵NQ＝ 2 DQ＝ 2 QC，故④错误．
∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形．
∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形．
∴DA⊥AO.
∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一直线上． 方法一，∵E，A，D三点在同一直线上， ∴EA⊥OB. ∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO. 又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE.
的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点
C，D.求证：DO· OC＝BO· OA.
图 Z9-3 明 AB 是⊙P 的直径；
图 Z9-4
思维分析：(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证 (2)将△AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易 计算出结果； (3)对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的 △COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．
解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置， ∴∠DQN＝30°.故①正确． ②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA，
∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°.
∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°.
∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°，
∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°. ∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN.
向左移动正方形(图 Z9-8)，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，
N 分别是边 BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形 MON 的面积的
取值范围．
图 Z9-6
图 Z9-7
图 Z9-8
解：(1)①如图Z9-6，∵切线BE 是⊙O 的切线， ∴OE⊥BE 于E. 又OA＝AB＝OE＝2，易得∠EBA＝30°. ②如图Z9-7，∵直线l 与⊙O 相切于F， ∴∠OFD＝90°. ∵在正方形ADCB 中，∠ADC＝90°，.∴OF∥AD.
(1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径． (2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)， 12 ∵点P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上一点， x
∴mn＝12.
如图Z9-5，过点P 作 PM⊥x 轴于点M，
图Z9-5
PN⊥y 轴于点N，则OM＝m，ON＝n.
OA OE ∴OE＝OB.∴OE2＝OA· OB.∴OA(2＋OA)＝4， 解得 OA＝－1± 5.∵OA＞0，∴OA＝ 5－1.
三角形，将△ABC 绕O点顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别
交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则以下结论： ①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM； ③△DNQ 周长等于 AC 的长；④NQ＝QC. 其中正确的结论是__________ (把所有正确的结论的序号都填上)． 图 Z9-1
解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角
形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等， 添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三 角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解 决．
与圆有关的计算、操作题
例1：(2013 年广西玉林)如图 Z9-1，△ABC 是⊙O 内接正
例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标系中，
12 O为坐标原点，P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上任意一点， x 以 P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B. (1)求证：线段 AB 为⊙P 的直径；
(2)求△AOB 的面积；
(3)如图Z9-4，Q是反比例函数y＝ 12 (x＞0)图象上异于点 P x
名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐 标的积为k，同理若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P 在坐 标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成 的⊙Q，结论依然成立．
与圆有关的动态题 例3：(2013 年湖北宜昌)半径为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，⊙O 与 l 相切于点 F，