第15章量子物理分解
量子物理学的诞生波函数一维定态薛定谔方程
V(x)∞ ∞
束缚于金属内的自由电子只 能在金属内运动，而不能逃逸出 金属表面，可以近似地认为金属 内的自由电子在一维无限深势阱 内运动。
o
ax
势能曲线
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第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d2Ψ x
dx2
2mE 2
Ψ
x
0
,0 xa
令 k
2mE 2
则
d
2Ψ x
dx2
k
2Ψ
x
0
方程通解
个空间内连续。
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第15章 量子物理基础
二、薛定谔方程
1926年薛定谔提出了适用于低速情况下的, 描述微 观粒子在外力场中运动的微分方程，称为薛定谔方程。
2m
2 x2
2 y 2
2 z 2
V
r, t
Ψ
r,
t
i
Ψ r,t
t
其中，V = V ( r, t ) 是粒子的势能。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，是关于r 和 t 的线性偏微分方程。
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第15章 量子物理基础
在微观粒子的各种定态问题中，将势能函数 V ( r ) 的具体形式
如，氢原子中的电子 一维线性谐振子
V r 1 e2
4π0 r
V x 1 m 2x2
2
代入薛定谔方程, 可以求得定态波函数, 同时也就
确定了概率密度的分布以及能量和角动量等。
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大学物理 第三次修订本
而成的驻波。
波长n满足条件
a n , n 1, 2,
2
Ψn (x)
n 3 Ψn 2
CH15-7地电子自旋4个量子数(第6次)资料
z
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e 2me
Lz
e 2me
ml
ml B
摄谱仪
v0 +△v v0
v0 -△v
z L
e
磁
矩
μB — 玻尔磁子
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第15章 量子物理基础
• 磁场作用下的原子附加能量
E
B
z
B
ml BB
其中 ml = 0, ±1, ± 2, …, ± l
• 能级分裂 l=1
(n 0,1, 2, )
说明 普朗克量子化假设 量子力学结果
En=nhv En=(n+1/2)hv
E0= 0 零点能 E0= hv/2
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五.隧道效应（势垒贯穿）
势垒 Ⅰ区 U ( x ) = 0 x ≤ 0
Ⅱ区 U ( x ) = U0 0≤ x ≤ a
U0 ⅠⅡ Ⅲ
l 0、1、2、3、4、5
s、p、d、f、g、h
二.能量最小原理
原子处于正常状态时，每个电子都趋向占据可能的最低能级
主量子数 n
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决定
能级高低
影响
角量子数 l
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1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s
1氢 H 1 2 氦 He 2
3 锂 Li 2 1 4 铍 Be 2 2
第15章 量子物理基础
四.一维谐振子
1.势能函数
U (x)
1 2
kx
2
1 2
m
2
x2
m — 振子质量， — 固有频率，x — 位移
2.定态薛定谔方程
量子力学简介
第五版
15-8 量子力学简介
(1) 经典的波与波函数
机械波 y(x,t) Acos2π(t x )
电磁波
E
(
x,t
)
E0
c
os2π(t
x
)
H
(
x,t)
H0
cos2π(t
x
)
经典波为实函数
y ( x,t )
Re[
i 2π(t x
Ae
)
]
第十五章 量子物理
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物理学
第五版
15-8 量子力学简介
15-8 量子力学简介
讨论： 1 粒子能量量子化
Ep
能
量
En
n2
h2 8ma2
o ax
基态 能量
E1
h2 8ma 2
,
(n 1)
激发态能量
En
n2
h2 8ma 2
n2E1,
(n 2,3,)
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
第十五章 量子物理
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物理学
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2 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同
波函数
(x) 2 sin nπ x
aa
概率密度
(x) 2 2 sin2 ( nπ x)
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大
第十五章 量子物理
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物理学
第五版
15-8 量子力学简介
3 波函数为驻波形式，阱壁处为波节， 波腹的个数与量子数 n 相等
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学，并建立 了量子力学的近似方法 .
大学物理讲稿(第15章量子力学基础)
第15章 量子力学基础人们用经典物理解释黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律时,遇到了不可克服的困难.经过不断的探索和研究,终于突破了经典物理的传统观念,建立起量子理论.量子理论和相对论是现代物理学的两大支柱.量子理论的诞生,对研究原子、电子、质子、光子等微观粒子的运动规律提供了正确的导向.从此使物理学发生了一次历史性的飞跃,促进了原子能、激光、超导、半导体等众多新技术的生产和发展.本章前部分,分别介绍黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律以及为解释这些实验规律而提出的量子假设,即早期的量子论.本章的后部分简要介绍量子力学的基本概念及原理,并通过几个具体事例的讨论说明量子力学处理问题的一般方法.§15.1 黑体辐射与普朗克的量子假设一、黑体辐射的基本规律1 热辐射组成物体的分子中都包含着带电粒子,当分子作热运动时物体将会向外辐射电磁波,由于这种电磁波辐射与物体的温度有关,故称其为热辐射.实验表明,热辐射能谱是连续谱,发射的能量及其按波长的分布是随物体的温度而变化的.随着温度的升高,不仅辐射能在增大,而且辐射能的波长范围向短波区移动.物体在辐射电磁波的同时,也吸收投射到物体表面的电磁波.理论和实验表明,物体的辐射本领越大,其吸收本领也越大,反之亦然.当辐射和吸收达到平衡时,物体的温度不再变化而处于热平衡状态,这时的热辐射称为平衡热辐射.为描述物体热辐射能按波长的分布规律,引入单色辐射出射度（简称单色辐出度）这一物理量,其定义为：物体单位表面积在单位时间内发射的、波长在λ+λ→λd 范围内的辐射能dM λ与波长间隔d λ的比值,用M λ(T)表示,即λ=λλd dM T M )( (15.1) 而辐出度定义为⎰∞λλ=0d T M T M )()( (15.2) 2 黑体辐射的基本规律投射到物体表面的电磁波,可能被物体吸收,也可能被物体反射和透射.能够全部吸收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为绝对黑体,简称黑体.绝对黑体是一种理想模型,实验室中用不透明材料制成带有小孔的空腔物体可近似看作黑体.图15.1为用实验方法测得的黑体单色辐出度M B λ (T)按波长和温度分布的曲线.关于黑体辐射,有两个基本定律：一个是斯特藩—玻耳兹曼定律(M B (T )=σT 4 ,即黑体的辐出度与其热力学温度的四次方成正比 ,其中σ=5.6705×10-8 W•m -2 • K -4 称为斯特藩—玻耳兹曼常数);另一个是维恩位移定律(λm T=b,即黑体单色辐出度的最大值对应的波长λm 与其绝对温度T 成反比,其中b=2.8978×10-3m •K 为与温度无关的常数).这两个定律在现代科学技术中有广泛的应用.通常用于测量高温物体(如冶炼炉、钢水、太阳或其他发光体等)温度的光测高温法就是在这两个定律的基础上建立起来的,同时,这两个定律也是遥感技术和红外跟踪技术的理论依据.从理论上导出绝对黑体单色辐出度与波长和温度的函数关系,即M Bλ=f(λ, T) ,是19世纪末期理论物理学面临的重大课题.维恩(W.Wien,1864—1928年)假定带电谐振子的能量按频率的分布类似于麦克斯韦速率分布率,然后用经典统计物理学方法导出了黑体辐射的下述公式T c B e c T M λ-λλ=/)(251 (15.3) 其中 和 是两个由实验确定的参数.上式称为维恩公式.维恩公式只是在短波波段与实验曲线相符,而在长波波段明显偏离实验曲线,如图15.2所示.瑞利(J.W.S.Rayleigh,1842—1919年)和金斯(J.H.Jeans,1877—1946年)根据经典电动力学和经典统计物理学导出了另一个力图反映绝对黑体单色辐出度与波长和温度关系的函数 42λπ=λckT T M B )( (15.4) 式中c 是真空中的光速,k 是玻耳兹曼常数.上式称为瑞利—金斯公式.该公式在长波波段与实验相符,但在短波波段与实验曲线有明显差异,如图15.2所示.这在物理学史上曾称为“紫外灾难”.234167895οοοοοοοοοοοοοο瑞利—金斯线 维恩线 普朗克线 能量密度 m/μ波长图15.2二、普朗克的量子假设1900年普朗克(M.Planck,1858—1947年)在综合了维恩公式和瑞利—金斯公式各自的成功之处以后,得到黑体的单色辐出度为)()(/11252-λπ=λλkT hc B e hc T M (15.5) 这就是普朗克公式,式中h 为普朗克常数,1986年的推荐值为 h=6.6260755×10-34 J ·s.普朗克公式与实验结果的惊人符合预示了其中包含着深刻的物理思想.普朗克指出,如果作下述假定,就可以从理论上导出他的黑体辐射公式：物体若发射或吸收频率为ν的电磁辐射,只能以ε=hν为单位进行,这个最小能量单位就是能量子,物体所发射或吸收的电磁辐射能量总是这个能量子的整数倍,即),,,(Λ321=ν=ε=n nh n E (15.6)普朗克的能量子思想是与经典物理学理论不相容的,也正是这一新思想,使物理学发生了划时代的变化,宣告了量子物理的诞生.普朗克也因此荣获1918年的诺贝尔物理学奖.作业(P224)：23§15.2 光电效应与爱因斯坦的光量子假设普朗克的量子假设提出后的最初几年中,并未受到人们的重视,甚至普朗克本人也总是试图回到经典物理的轨道上去.最早认识普朗克假设重要意义的是爱因斯坦,他在1905年发展了普朗克的思想,提出了光子假设,成功的解释了光电效应的实验规律.一、光电效应的实验规律金属在光的照射下,有电子从表面逸出,这种现象称为光电效应.光电效应中逸出金属表面的电子称为光电子.光电子在电场的作用下所形成的电流叫光电流.研究光电效应的实验装置如图15.3所示.在一个抽空的玻璃泡内装有金属电极K(阴极)和A(阳极),当用适当频率的光从石英窗口射入照在阴极K 上时,便有光电子自其表面逸出,经电场加速后为阳极A 所吸收,形成光电流.改变电位差U AK ,测得光电流 i ,可得光电效应的伏安特性曲线,如图15.4所示.实验研究表明,光电效应有如下规律：1）阴极K 在单位时间内所发射的光电子数与照射光的强度成正比.从图15.4可以看出,光电流i 开始时随 增大而增大,而后就趋于一个饱和值 ,它与单位时间内从阴极K 发射的光子数成正比.所以单位时间内从阴极K 发射的光电子数与照射光强成正比.2）存在截止频率.实验表明,对一定的金属阴极,当照射光频率小于某个最小值i s 时,不管光强多大,都没有光电子逸出,这个最小频率v 0称为该种金属的光电效应截止频率,也叫红限,对应的波长0λ称为截止波长.每一种金属都有自己的红限.3）光电子的初动能与照射光的强度无关,而与其频率成线性关系.在保持光照射不变的情况下,改变电位差U AK ,发现当U AK =0时,仍有光电流.这显然是因为光电子逸出时就具有一定的初动能.改变电位差极性,使U AK <0 ,当反向电位差增大到一定值时,光电流才降为零,如图15.4所示.此时反向电位差的绝对值称为遏止电压,用U a 表示.不难看出,遏止电压与光电子的初动能间有如下关系a eU m =υ2021 (15.7) 式中m 和e 分别是电子的静质量和电量, 0υ是光电子逸出金属表面的最大速率. 实验还表明,遏止电压U a 与光强I 无关,而与照射光的频率v 成线性关系,即 0V K U a -ν= (15.8)式中K 和V 0都是正值,其中K 为普适恒量,对一切金属材料都是相同的,而V 0=Kv 0对同一种金属为一恒量,但对于不同的金属具有不同的数值.将式(15.8)代入式(15.7)得 )(002021ν-ν=-ν=υeK eV eK m (15.9) 上式表明,光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与入射光强无关.4）光电子是即时发射的,滞后时间不超过10-9s.实验表明,只要入射光的频率大于该金属的红限,当光照射这种金属表面时,几乎立即产生光电子,而无论光强多大.二、爱因斯坦光子假设和光电效应方程对于上述实验事实,经典物理学理论无法解释.按照光的波动理论,光波的能量由光强决定,在光照射下,束缚在金属内的“自由电子”将从入射光波中吸收能量而逸出表面,因而逸出光电子的初动能应由光强决定,但光电效应中光电子的初动能与光强无关；另外,如果光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量,光电效应对各种频率的光都能发生,不应该存在红限,而且,光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程,光强越弱,发射光子所需要的时间就越长,这都与光电效应的实验事实相矛盾.由此可见,光的波动理论无法解释光电效应的实验规律.为了克服光的波动理论所遇到的困难,从理论上解释光电效应,爱因斯坦发展了普朗克能量子的假设,于1905年提出了如下的光子假设：一束光就是一束以光速运动的粒子流,这些粒子称为光量子（简称光子）；频率为v 的光子所具有的能量为hv ,它不能再分割,而只能整个的被吸收或产生出来.按照光子理论,当频率为v 的光照射金属表面时,金属中的电子将吸收光子,获得 的能量,此能量的一部分用于电子逸出金属表面所需要的功(此功称为逸出功A)；另一部分则转变为逸出电子的初动能.据能量守恒定律有(15.10) 这就是爱因斯坦的光电效应方程.)(002021ν-ν=-ν=υ↓eK eV eK m 比较 00eK νeV A eK,h === (15.11)由实验可测量K 和V 0,算出普朗克常数h 和逸出功A,进而还可求出金属的红限v 0.按照光子理论,照射光的光强就是单位时间到达被照物单位垂直表面积的能量,它是由单位时间到达单位垂直面积的光子数N 决定的.因此光强越大,光子数越多,逸出的光电子数就越多.所以饱和光电流与光强成正比；由于每一个电子从光波中得到的能量只与单个光子的能量hv 有关,所以光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与光强无关.当光子的能量hv 小于逸出功A,即入射光的频率v 小于红限v 0时,电子就不能从金属表面逸出；另外,光子与电子作用时,光子一次性将能量 全部传给电子,因而不需要时间积累,即光电效应是瞬时的.这样光子理论便成功地解释了光电效应的实验规律,爱因斯坦也因此获得1921年的诺贝尔物理学奖.例题15.1 用波长为400nm 的紫光去照射某种金属,观察到光电效应,同时测得遏止电压为1.24V ,试求该金属的红限和逸出功.解：由光电效应方程得逸出功为1.87eV J 102.9919=⨯=-=-=-020eU λc h m υ21h νA 根据红限与逸出功的关系,得红限为Hz 1051410626610992143419⨯=⨯⨯==--...h A ν0 三、光（电磁波）的波粒二象性一个理论若被实验证实,它必定具有一定的正确性.光子论被黑体辐射、光电效应以及其他实验所证实,说明它具有一定的正确性.而早已被大量实验证实了的光的波动论以及其他经典物理理论的正确性,也是无可非议的.因此,在对光的本性的解释上,不应该在光子论和波动论之间进行取舍,而应该把它们同样地看作是光的本性的不同侧面的描述.这就是说,光具有波和粒子这两方面的特性,这称为光的波粒二象性.既是粒子,也是波,这在人们的经典观念中是很难接受的.实际上,光已不是经典意义下的波,也不是经典意义下的粒子,而是波和粒子的统一.光是由具有一定能量、动量和质量的粒子组成的,在它们运动的过程中,在空间某处发现它们的几率却遵从波动的规律.描述光的粒子特征的能量与描述其波动特征的频率之间的关系为(15.12)由狭义相对论能量—动量关系并考虑光子的静质量为零得光子动量与波长的关系为====Ph Pc/h c E/h c νc λ (15.13) 它们通过普朗克常数紧密联系起来.通过质能关系还可得光子的质量为c P ch c E m 22=ν==作业(P224)：26§15.3 氢原子光谱与玻尔的量子论经典物理学不仅在说明电磁辐射与物质相互作用方面遇到了如前所述的困难,而且在说明原子光谱的线状结构及原子本身的稳定性方面也遇到了不可克服的困难.丹麦物理学家玻尔发展了普朗克的量子假设和爱因斯坦的光子假设等,创立了关于氢原子结构的半经典量子理论,相当成功的说明了氢原子光谱的实验规律.一、氢原子光谱的实验规律实验发现,各种元素的原子光谱都由分立的谱线所组成,并且谱线的分布具有确定的规律.氢原子是最简单的原子,其光谱也是最简单的.对氢原子光谱的研究是进一步学习原子、分子光谱的基础,而后者在研究原子、分子结构及物质分析等方面有重要的意义.在可见光范围内容易观察到氢原子光谱的四条谱线,这四条谱线分别用H α、H β、H γ和H δ表示,如图15.5所示.1885年巴耳末(J.JBalmer,1825—1898)发现可以用简单的整数关系表示这四条谱线的波长6543,,,=-=n ,2n n B λ222(15.14) 式中B 是常数,其值等于364.57nm.后来实验上还观察到相当于n 为其他正整数的谱线,这些谱线连同上面的四条谱线,统称为氢原子的巴耳末系.光谱学上经常用波数 表示光谱线,它被定义为波长的倒数,即λ=ν1~(15.15) 引入波数后,式(15.14)可改写为Λ,,,),(~54312122=-=n n R ν (15.16) 式中172m 100967761B 2R -⨯==./,称为里德伯(J.R.Rydberg,1854—1919)常数.在氢原子光谱中,除了可见光范围的巴耳末线系以外,在紫外区、红外区和远红外区分别有赖曼(T.Lyman)系、帕邢(F.Paschen)系、布拉开(F.S.Brackett)系和普丰德(A.H.Pfund)系.这些线系中谱线的波数也都可以用与式(15.16)相似的形式表示.将其综合起来可表为)(~2211n k R T(n)T(k)νkn -=-= (15.17) 式中k 和n 取一系列有顺序的正整数,k 取1、2、3、4、5分别对应于赖曼线系、巴耳末线系、帕邢线系、布拉开线系和普丰德线系；一旦k 值取定后,n 将从k+1 开始取k+1, k+2, k+3等分别代表同一线系中的不同谱线. T(n)=R/n 2称为氢的光谱项.式(15.17)称为里德伯—里兹并合原理.实验表明,并合原理不仅适用于氢原子光谱,也适用于其他元素的原子光谱,只是光谱项的表示式要复杂一些.并合原理所表示的原子光谱的规律性,是原子结构性质的反映,但经典物理学理论无法予以解释.按照原子的有核模型,根据经典电磁理论,绕核运动的电子将辐射与其运动频率相同的电磁波,因而原子系统的能量将逐渐减少.随着能量的减少,电子运动轨道半径将不断减小；与此同时,电子运动的频率（因而辐射频率）将连续增大.因此原子光谱应是连续的带状光谱,并且最终电子将落到原子核上,因此不可能存在稳定的原子.这些结论显然与实验事实相矛盾,从而表明依据经典理论无法说明原子光谱规律等.二、玻尔的量子论玻尔(N.H.D.Bohr,1885—1962)把卢瑟福关于原子的有核模型、普朗克量子假设、里德伯—里兹并合原理等结合起来,于1913年创立了氢原子结构的半经典量子理论,使人们对于原子结构的认识向前推进了一大步.玻尔理论的基本假设是1）原子只能处在一系列具有不连续能量的稳定状态,简称定态,相应于定态,核外电子在一系列不连续的稳定圆轨道上运动,但并不辐射电磁波；2）作定态轨道运动的电子的角动量L 的数值只能是)/(π2h η的整数倍,即(15.18)这称为角动量量子化条件,n 称为主量子数,m 是电子的质量；3）当原子从一个能量为E k 的定态跃迁到另一个能量为E n 的定态时,会发射或吸收一个频率为v kn 的光子(15.19) 上式称为辐射频率公式, v kn >0表示向外辐射光子, v kn <0表示吸收光子.玻尔还认为,电子在半径为r 的定态圆轨道上以速率υ绕核作圆周运动时,向心力就是库仑力,因而有2202re πεr υm ⋅=41 (15.20) 由式(15.18)和式(15.20)消去υ,即可得原子处于第n 个定态时电子轨道半径为),,,()Λ321(1===n r n πme h εn r 22202n (15.21)对应于n=1的轨道半径r 1是氢原子的最小轨道半径,称为玻尔半径,常用a 0表示,其值为m 10291772495111-⨯===.2200πme h εr a (15.22) 这个数值与用其他方法得到的数值相符合.氢原子的能量应等于电子的动能与势能之和,即re πεr e πεm υE 20202⋅-=⋅-=814121 处在量子数为n 的定态时,能量为),,,()(Λ321n 81812n n =-=⋅-=220420h εme n r e πεE (15.23)由此可见,由于电子轨道角动量不能连续变化,氢原子的能量也只能取一系列不连续的值,这称为能量量子化,这种量子化的能量值称为原子的能级.式(15.23)是氢原子能级公式.通常氢原子处于能量最低的状态,这个状态称为基态,对应于主量子数n=1, E 1=-13.6 eV . n>1的各个稳定状态的能量均大于基态的能量,称为激发态,或受激态.处于激发态的原子会自动地跃迁到能量较低的激发态或基态,同时释放出一个能量等于两个状态能量差的光子,这就是原子发光的原理.随着量子数n 的增大,能量E n 也增大,能量间隔减小. 当n →∞时,rn →∞, E n →0 ,能级趋于连续,原子趋于电离. E > 0时,原子处于电离状态,能量可连续变化.图15.6和图15.7分别是氢原子处于各定态的电子轨道图和氢原子的能级图.使原子或分子电离所需要的能量称为电离能.根据玻尔理论算出的氢原子基态能量值与实验测得的氢原子基态电离能值13.6eV 相符.下面用玻尔理论来研究氢原子光谱的规律.按照玻尔假设,当原子从较高能态E n 向较低能态E k (n>k)跃迁时,发射一个光子,其频率和波数为1n =2n =3n =4n =1r r =14r r =19r r =116r r =赖曼系巴耳末系帕邢系 图15.6 氢原子定态的轨道图hE E νk n nk -= (15.24) )~k n nk nk nk E E hcc νλν-===(11 (15.25) 将能量表示式(15.23)代入即可得氢原子光谱的波数公式)()(~k n nk c h εme ν0nk >-=22324118 (15.26) 显然式(15.26)与氢原子光谱的经验公式(15.17)是一致的,同时可得里德伯常数的理论值为173204m 10097373118-⨯=ε=.ch me R H 理论 (15.27) 这也与实验值符合得很好.这表示玻尔理论在解释氢原子光谱的规律性方面是十分成功的,同时也说明这个理论在一定程度上反映了原子内部的运动规律.三、玻尔理论的缺陷和意义玻尔的半经典量子理论在说明光谱线规律方面取得了前所未有的成功.但是它也有很大的局限性,如只能计算氢原子和类氢离子的光谱线,对其他稍微复杂的原子就无能为力了；另外,它完全没有涉及谱线强度、宽度及偏振性等.从理论体系上讲,这个理论的根本问题在于它以经典理论为基础,但又生硬的加上与经典理论不相容的若干重要假设,如定态不辐射和量子化条件等,因此它远不是一个完善的理论.但是玻尔的理论第一次使光谱实验得到了理论上的说明,第一次指出经典理论不能完全适用于原子内部运动过程,揭示出微观体系特有的量子化规律.因此它是原子物理发展史上一个重要的里程碑,对于以后建立量子力学理论起到了巨大的推动作用.另外,玻尔理论在一些基本概念上,如“定态”、“能级”、“能级跃迁决定辐射频率”等在量子力学中仍是非常重要的基本概念,虽然另有一些概念,如轨道等已被证实对微观粒子不再适用.作业(P224)：27§15.4 微观粒子的波—粒二象性 不确定关系一、微观粒子的波—粒二象性1923～1924年间,德布罗意仔细地分析了光的微粒说和波动说的历史,深入的研究了光子假设.他认为,19世纪以来,在光的研究中人们只重视了光的波动性,而忽视了它的粒子性.但在实物粒子的研究中却又发生了相反的情况,只重视实物粒子的粒子性,而忽略了它的波动性.在这种思想的支配下,德布罗意大胆的提出了物质的波—粒二象性假设.他认为,质量为m,速度为υ的自由粒子,一方面可用能量E 和动量p 来描述它的粒子性；另一方面还可用频率v 和波长λ来描述它的波动性.它们之间的关系与光的波—粒二相性所描述的关系一样,即h/p λE/h,ν== (15.28)式(15.28)叫德布罗意公式.这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波,或叫物质波.德布罗意因这一开创性工作而获得了1929年的诺贝尔物理学奖.由于自由粒子的能量和动量均为常量,所以与自由粒子相联系的波的频率和波长均不变,这说明与自由粒子相联系的德布罗意波可用平面波描述.对于静质量为m 0,速度为υ的实物粒子,其德布罗意波长为220/c υυm h p h λ-==1 (15.30) 德布罗意关于物质波的假设,1927年首先由戴维孙(C.J.Davisson,1881—1958)和革末(L.H.Germer,1896—1971)通过电子衍射实验所证实.戴维孙和革末作电子束在晶体表面散射实验时,观察到了和X 射线在晶体表面衍射相似的电子衍射现象,从而证实了电子具有波动性.当时的实验中,采用50KV 的电压加速电子,波长约为0.005nm.由于波长非常短,实验难度很高,因此这一实验是极其卓越的.后来证实了不仅电子具有波动性,其他微观粒子,如原子、质子和中子等也都具有波动性.微观粒子的波动性在现代科学技术上已得到广泛的应用,利用电子的波动性,已制造出了高分辨率的电子显微镜；利用中子的波动性,制成了中子摄谱仪.既然微观粒子具有波动性,原子中绕核运动的电子无疑也具有波动性.不过处于原子定态中的电子的波动形式,与戴维孙和革末实验中由小孔衍射的电子束的波动形式是不同的,后者可认为是行波,而前者则应看为驻波.处于定态中的电子形成驻波的情形,与端点固定的振动弦线形成驻波的情形是相似的.原子中电子驻波可如图15.8形象地表示.由图可见,当电子波在离开原子核为r 的圆周上形成驻波时,圆周长必定等于电子波长的整数倍,即),,,(Λ3212==n n λπr (15.31)利用德布罗意关系便可得电子的轨道角动量应满足下面的关系),,,(Λη3212====n n λh πλn rP L (15.32) 这正是玻尔作为假设引入的量子化条件,在这里,考虑了微观粒子的波动性就自然的得出了量子化条件.例题15.2 计算经过电势差U=150V 和U=104V 加速的电子的德布罗意波长(在U<104V 时,可不考虑相对论效应).解：忽略相对论效应,经过电势差U 加速后,电子的动能和速率分别为202,21m eU eU υm =υ= 式中m 0为电子的静止质量.利用德布罗意关系可得德布罗意波长nm 11.225m 1102512121000UU U e m h υm h λ=⨯=⋅==-. 式中U 的单位是伏特. 1nm 0150V U 11.=λ→=,0.0123nm V 10U 242=λ→=由此可见,在这样的电压下,电子的德布罗意波长与X 射线的波长相近。
《新编基础物理学》第15章习题解答和分析
第15章 早期量子论15-1 某物体辐射频率为146.010Hz ⨯的黄光，问这种辐射的能量子的能量是多大？ 分析 本题考察的是辐射能量与辐射频率的关系. 解: 根据普朗克能量子公式有:-3414196.6310 6.010 4.010(J)h εν-==⨯⨯⨯=⨯15-2 假设把白炽灯中的钨丝看做黑体，其点亮时的温度为K 2900. 求：(1) 电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长； (2) 据此分析白炽灯发光效率低的原因.分析 维恩位移定律告诉我们，电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长与温度的乘积等于一个常量.由此可以直接由维恩位移定律求解. 解 （1）由维恩位移定律，得-3-72.89810=9.9910(m)=999(nm)2900b T λ⨯==⨯（2）因为电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长在红外区域，所以白炽灯的发光效率较低。
15-3 假定太阳和地球都可以看成黑体，如太阳表面温度T S =6000K ，地球表面各处温度相同，试求地球的表面温度（已知太阳的半径R 0=6.96×105km ，太阳到地球的距离r =1.496×108km ）。
分析 本题是斯忒藩—玻尔兹曼定律的应用。
解： 由 40T M σ=太阳的辐射总功率为2428482002644 5.671060004(6.9610)4.4710(W)S S S P M R T R πσππ-===⨯⨯⨯⨯⨯=⨯地球接受到的功率为62226221117 6.3710() 4.4710()422 1.496102.0010(W)S E E E S P R P R P d d ππ⨯===⨯⨯⨯=⨯ 把地球看作黑体，则 24244E E E E E R T R M P πσπ==290(K)E T ===15-4 一波长nm 2001＝λ的紫外光源和一波长nm 7002＝λ的红外光源，两者的功率都是400W 。
15 量子物理基础—康普顿效应及光子理论的解释
4.5 1023 kgms 1
h/
tan (h ) /( h 0 ) 0
0.20 arctan 42.3 0.22
视为黑体，则 1）太阳表面的温度； 2）太阳的辐射功率； 3）由于热辐射而使太阳质量耗损1%经历的时间。 （已知太阳半径 RS=6.96×108m, 质量Ms=2 ×1030kg)
解:
1)根据维恩位移定律 mT b
T
b m
2.897103 m K 49010 9 m
5.9 103 K
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第15章 量子物理基础
实验规律
（1） 对于原子量较小的散射物质，康普顿散射 较强，反之较弱。 （2）波长的改变量 -0 随散射角θ的增加而增加。
（3）对不同的散射物质，只要在同一个散射角下， 波长的改变量 - 0 都相同。
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第15章 量子物理基础
（3）电子的初速度
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第15章 量子物理基础 例2 钾的光电效应红限为0= 6.210-7m。求（1）电子 的逸出功；（2）在波长为3.0 10-7m的紫外线照射下, 遏止电压为多少？（3）电子的初速度为多少？ 解 （1）逸出功
2eU a 2 1.6 10 2.14 vm ms 1 8.67 105 ms 1 11 m 9.11031 大学物理 第三次修订本
0.01M s c 11 t 10 年 P
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5
2
第15章 量子物理基础 1、光电效应的实验
饱和电流∝光强度I
存在截止频率： ＞ 0
瞬时性
1 2 mVm ekν eU 0 最大初动能与入射频率成线性关系： 2
量子物理15-1下列物体哪个是绝对黑体A不辐射
第十五章 量子物理15 －1 下列物体哪个是绝对黑体( )(A) 不辐射可见光的物体 (B) 不辐射任何光线的物体(C) 不能反射可见光的物体 (D) 不能反射任何光线的物体分析与解 一般来说，任何物体对外来辐射同时会有三种反应：反射、透射和吸收，各部分的比例与材料、温度、波长有关.同时任何物体在任何温度下会同时对外辐射，实验和理解证明：一个物体辐射能力正比于其吸收能力.做为一种极端情况，绝对黑体(一种理想模型)能将外来辐射(可见光或不可见光)全部吸收，自然也就不会反射任何光线，同时其对外辐射能力最强.综上所述应选(D).15 －2 光电效应和康普顿效应都是光子和物质原子中的电子相互作用过程，其区别何在？ 在下面几种理解中，正确的是( )(A) 两种效应中电子与光子组成的系统都服从能量守恒定律和动量守恒定律(B) 光电效应是由于电子吸收光子能量而产生的，而康普顿效应则是由于电子与光子的弹性碰撞过程(C) 两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程(D) 两种效应都属于电子吸收光子的过程分析与解 两种效应都属于电子与光子的作用过程，不同之处在于：光电效应是由于电子吸收光子而产生的，光子的能量和动量会在电子以及束缚电子的原子、分子或固体之间按照适当的比例分配，但仅就电子和光子而言，两者之间并不是一个弹性碰撞过程，也不满足能量和动量守恒.而康普顿效应中的电子属于“自由”电子，其作用相当于一个弹性碰撞过程，作用后的光子并未消失，两者之间满足能量和动量守恒.综上所述，应选(B). 15 －3 关于光子的性质，有以下说法(1) 不论真空中或介质中的速度都是c ； (2) 它的静止质量为零；(3) 它的动量为ch v ； (4) 它的总能量就是它的动能；(5) 它有动量和能量，但没有质量.其中正确的是( )(A) (1)(2)(3) (B) (2)(3)(4)(C) (3)(4)(5) (D) (3)(5)分析与解 光不但具有波动性还具有粒子性，一个光子在真空中速度为c (与惯性系选择无关)，在介质中速度为n c ，它有质量、能量和动量，一个光子的静止质量m 0 ＝0，运动质量2c h m v = ，能量v h E =，动量c v h λh p ==，由于光子的静止质量为零，故它的静能E 0 为零，所以其总能量表现为动能.综上所述，说法(2)、(3)、(4)都是正确的，故选(B).15 －4 关于不确定关系h p x x ≥ΔΔ有以下几种理解：(1) 粒子的动量不可能确定，但坐标可以被确定；(2) 粒子的坐标不可能确定，但动量可以被确定；(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定；(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其他粒子.其中正确的是( )(A) (1)、(2) (B) (2)、(4)(C) (3)、(4) (D) (4)、(1)分析与解 由于一切实物粒子具有波粒二象性，因此粒子的动量和坐标(即位置)不可能同时被确定，在这里不能简单误认为动量不可能被确定或位置不可能被确定.这一关系式在理论上适用于一切实物粒子(当然对于宏观物体来说，位置不确定量或动量的不确定量都微不足道，故可以认为可以同时被确定).由此可见(3)、(4)说法是正确的.故选(C).15 －5 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为()()a x x a a x ψ≤≤=0π3sin 2那么粒子在x ＝a /6 处出现的概率密度为( ) (A) a /2 (B) a /1 (C) a /2 (D) a /1分析与解 我们通常用波函数Ψ来描述粒子的状态，虽然波函数本身并无确切的物理含义，但其模的平方()2x ψ表示粒子在空间各点出现的概率.因此题述一线粒子在a x ≤≤0区间的概率密度函数应为()x a a x ψπ3sin 222=.将x ＝a /6代入即可得粒子在此处出现的概率为a /2.故选(C).15 －6 下述说法中，正确的是( )(A) 本征半导体是电子与空穴两种载流子同时参与导电，而杂质半导体(n 型或p 型)只有一种载流子(电子或空穴)参与导电，所以本征半导体导电性能比杂质半导体好(B) n 型半导体的导电性能优于p 型半导体，因为n 型半导体是负电子导电，p 型半导体是正离子导电(C) n 型半导体中杂质原子所形成的局部能级靠近导带的底部，使局部能级中多余的电子容易被激发跃迁到导带中去，大大提高了半导体导电性能(D) p 型半导体的导电机构完全取决于满带中空穴的运动分析与解 按照能带理论，半导体的导电性能取决于其能带结构和载流子的浓度，本征半导体虽有两种载流子，但其浓度远远低于杂质半导体，故导电性能较杂质半导体差.而杂质半导体中的ｎ型和ｐ型半导体的区别在于多数载流子的种类不同，导电性能并无优劣之分.故(A)(B)说法不正确.对掺杂半导体而言，掺杂使载流子的浓度大为增加，ｎ型半导体的多数载流子为电子，5价杂质原子形成的局部能级(施主能级)靠近导带底部，热激发很容易使施主能级中的多余电子激发跃迁到导带(基本上为空带)中去，从而提高导电性能.ｐ型半导体多数载流子为空穴，3价杂质原子形成的局部能级(受主能级)靠近价带顶部，热激发同样容易使价带(基本上为满带)中的电子跃迁到受主能级上，从而使价带成为非满带，增加了ｐ型半导体的导电性，由此可见说法(C) 表述是完全正确的.15 －7 在激光器中利用光学谐振腔( )(A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性(B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性(C) 可同时提高激光束的方向性和单色性(D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性分析与解 在光学谐振腔中，凡是与腔轴方向不一致的激光会通过腔壁发散，剩下仅与腔轴同向的激光，因此可大大提高激光束的方向性.同时在振荡过程中，参与振荡的激光又在不断诱发高能原子产生新的激光，这种由受激辐射出的光子与外来光子同频率、同偏振状态，因此振荡过程在提高激光束能量的同时还能提高其单色性，由此可见应选(C).15 －8 天狼星的温度大约是11 000 ℃.试由维恩位移定律计算其辐射峰值的波长.解 由维恩位移定律可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长nm 1057.27-⨯==Tb λm 该波长属紫外区域，所以天狼星呈紫色.15 －9 太阳可看作是半径为7.0 ×108 m 的球形黑体，试计算太阳的温度.设太阳射到地球表面上的辐射能量为1.4 ×103 W·m -2 ，地球与太阳间的距离为1.5 ×1011m.分析 以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d 为半径作一球面，地球处在该球面的某一位置上.太阳在单位时间内对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因而可根据地球表面单位面积在单位时间内接受的太阳辐射能量E ，计算出太阳单位时间单位面积辐射的总能量()T M ，再由公式()4T σT M =，计算太阳温度.解 根据分析有()22π4π4R E d T M = (1) ()4T σT M = (2)由式(1)、(2)可得K 58002/122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σR E d T15 －10 钨的逸出功是4.52eV ，钡的逸出功是2.50eV ，分别计算钨和钡的截止频率.哪一种金属可以用作可见光范围内的光电管阴极材料？ 分析 由光电效应方程W m h +=2v 21v 可知，当入射光频率ν ＝ν0 (式中ν0＝W/h )时，电子刚能逸出金属表面，其初动能02=v 21m .因此ν0 是能产生光电效应的入射光的最低频率(即截止频率)，它与材料的种类有关.由于可见光频率处在0.395 ×1015 ～0.75 ×1015Hz 的狭小范围内，因此不是所有的材料都能作为可见光范围内的光电管材料的(指光电管中发射电子用的阴极材料).解 钨的截止频率 Hz 1009.115101⨯==h W v 钡的截止频率 Hz 10603.015202⨯==hW v 对照可见光的频率范围可知，钡的截止频率02v 正好处于该范围内，而钨的截止频率01v 大于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光范围内的光电管材料.15 －11 钾的截止频率为4.62 ×1014Hz ，今以波长为435.8nm 的光照射，求钾放出的光电子的初速度.解 根据光电效应的爱因斯坦方程W m h +=2v 21v 其中 W ＝hν0 ， ν=c/λ可得电子的初速度1-52/10s m 74.52⋅⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v v λc m h由于逸出金属的电子的速度v ＜＜c ，故式中m 取电子的静止质量. 15 －12 在康普顿效应中，入射光子的波长为3.0 ×10－3nm ，反冲电子的速度为光速的60％，求散射光子的波长及散射角.分析 首先由康普顿效应中的能量守恒关系式2200mc λc h c m λc h +=+，可求出散射光子的波长λ， 式中m 为反冲电子的运动质量，即m ＝m 0(1－v 2/c 2 )－1/2 .再根据康普顿散射公式()θλλλλc cos 1Δ0-=-=，求出散射角θ，式中λC 为康普顿波长(λC ＝2.43 ×10－12 m).解 根据分析有 2200mc λc h c m λc h +=+ (1) m ＝m 0(1－v 2/c 2 )－1/2 (2)()θλλλc cos 10-=- (3)由式(1)和式(2)可得散射光子的波长m 1035.4443000-⨯=-=cm λh λh λ 将λ值代入式(3)，得散射角6363444.0arccos 1arccos 0'==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=o c λλλθθ 15 －13 一具有1.0 ×104eV 能量的光子，与一静止的自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射角为60°.试问：(1) 光子的波长、频率和能量各改变多少？(2) 碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？分析 (1) 可由光子能量E ＝hν 及康普顿散射公式直接求得光子波长、频率和能量的改变量.(2) 应全面考虑康普顿效应所服从的基本规律，包括碰撞过程中遵循能量和动量守恒定律，以及相对论效应.求解时应注意以下几点： ① 由能量守恒可知，反冲电子获得的动能E ke 就是散射光子失去的能量，即E ke ＝hν0－hν.② 由相对论中粒子的能量动量关系式，即22202c p E E e e e +=和ke e e E E E +=0，可求得电子的动量e p .注意式中e E 0为电子静能， 其值为0.512MeV.③ 如图所示，反冲电子的运动方向可由动量守恒定律在Oy 轴上的分量式求得，即0sin sin =-p θch e v.解 (1) 入射光子的频率和波长分别为Hz 1041.2180⨯==h E v ， nm 124.000==v c λ 散射前后光子波长、频率和能量的改变量分别为()nm 1022.1cos 1Δ3-⨯=-=θλλcHz 1030.211Δ1600⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=λλλc λλc c v eV -95.3J ΔΔ0=⨯===-1710-1.525v v -v h h h E式中负号表示散射光子的频率要减小，与此同时，光子也将失去部分能量.(2) 根据分析，可得电子动能eV 95.3Δ0===E h h E ke v -v电子动量1-2402s m kg 1027.52⋅⋅⨯=+=-cE E E p ke e ke e电子运动方向()2359sin Δarcsin sin arcsin 0'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=o e e θc p h θc p h v v v 15 －14 波长为0.10 nm 的辐射，照射在碳上，从而产生康普顿效应.从实验中测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直.求：(1) 散射辐射的波长；(2) 反冲电子的动能和运动方向.解 (1) 由散射公式得()nm 1024.0cos 1Δ0=-=-=θλλλλc(2) 反冲电子的动能等于光子失去的能量，因此有J 66.4110017-10v v ⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=λλhc h h E k 根据动量守恒的矢量关系(如图所示)，可确定反冲电子的方向8144arctan /arctan 00'=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=o λλλh λh 15 －15 试求波长为下列数值的光子的能量、动量及质量：(1)波长为1 500 nm 的红外线；(2) 波长为500 nm 的可见光；(3) 波长为20 nm 的紫外线；(4) 波长为0.15 nm 的Ｘ 射线；(5) 波长为1.0 ×10－3 nm 的γ 射线. 解 由能量v h E =，动量λh p =以及质能关系式2c E m =，可得(1) 当λ1 ＝1 500 nm 时，J 1033.1191-⨯===1hc v λh E 1-281s m kg 1042.4⋅⋅⨯==-1h λp kg 1047.1361211-⨯===λc h c m E (2) 当λ2 ＝500 nm 时，因λ2 ＝1/3λ1 ，故有J 1099.331912-⨯==E E-12712s m kg 1033.13⋅⋅⨯==-p pkg 1041.433612-⨯==m m(3) 当λ3 ＝20 nm 时，因λ3＝1/75λ1 ，故有J 1097.9751813-⨯==E E-12613s m kg 1031.375⋅⋅⨯==-p pkg 1010.1753413-⨯==m m(4) 当λ4＝0.15 nm 时，因λ4 ＝10－4λ1 ，故有 J 1013.11041514-⨯==E E-12414s m kg 1042.4104⋅⋅⨯==-p pkg 1047.11043214-⨯==m m(5) 当λ5 ＝1×10－3 nm 时，J 1099.11355-⨯==λhc E 1-2255s m kg 1063.6⋅⋅⨯==-λh p kg 1021.23055-⨯==λc h m 15 －16计算氢原子光谱中莱曼系的最短和最长波长，并指出是否为可见光. 分析 氢原子光谱规律为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=22111i f n n R λ 式中n f ＝1，2，3，…，n i ＝n f ＋1，n f ＋2，….若把氢原子的众多谱线按n f ＝1，2，3，…归纳为若干谱线系，其中n f ＝1 为莱曼系，n f ＝2 就是最早被发现的巴耳末系，所谓莱曼系的最长波长是指n i ＝2，所对应的光谱线的波长，最短波长是指n i →∞所对应的光谱线的波长，莱曼系的其他谱线均分布在上述波长范围内.式中R 的实验值常取1.097×107m －1 .此外本题也可由频率条件hν ＝E f －E i 计算.解 莱曼系的谱线满足 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221111i n R λ，n i ＝2，3，4，… 令n i ＝2，得该谱系中最长的波长 λmax ＝121.5nm令n i →∞，得该谱系中最短的波长 λmin ＝91.2nm对照可见光波长范围(400 ～760 nm)，可知莱曼系中所有的谱线均不是可见光，它们处在紫外线部分.15 －17 在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数n i ＝5 的轨道跃迁到n f ＝2的轨道上时，对外辐射光的波长为多少？ 若再将该电子从n f ＝2 的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能量？分析 当原子中的电子在高能量E i 的轨道与低能量E f 的轨道之间跃迁时，原子对外辐射或吸收外界的能量，可用公式ΔE ＝E i －E f 或ΔE ＝E f －E i 计算.对氢原子来说，21n E E n =，其中E 1 为氢原子中基态(n ＝1)的能量，即E 1 ＝－Rhc ＝－13.6 eV ，电子从n f ＝2 的轨道到达游离状态时所需的能量，就是指电子由轨道n f ＝2 跃迁到游离态n i →∞时所需能量，它与电子由基态(n f ＝1)跃迁到游离态n i ＝∞时所需的能量(称电离能)是有区别的，后者恰为13.6eV.解 根据氢原子辐射的波长公式，电子从n i ＝5 跃迁到n f ＝2 轨道状态时对外辐射光的波长满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2251211R λ则 λ＝4.34 ×10－7m ＝434 nm 而电子从n f ＝2 跃迁到游离态n i →∞所需的能量为eV 4.32Δ1212-=∞-=-=∞E E E E E 负号表示电子吸收能量.15 －18 如用能量为12.6eV 的电子轰击氢原子，将产生哪些谱线？分析 氢原子可以从对它轰击的高能粒子上吸收能量而使自己从较低能级(一般在不指明情况下均指基态)激发到较高的能级，但吸收的能量并不是任意的，而是必须等于氢原子两个能级间的能量差.据此，可算出被激发氢原子可跃迁到的最高能级为n i ＝3.但是，激发态都是不稳定的，其后，它又会自发跃迁回基态，如图所示，可以有3→1，3→2和2→1 三种可能的辐射. 解 根据分析有21211Δif f n E n E E E E -=-= (1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22111f i n n R λ (2) 将E 1 ＝－13.6eV ，n f ＝1 和ΔE ＝－12.6eV(这是受激氢原子可以吸收的最多能量)代入式(1)，可得n i ＝3.69，取整n i ＝3(想一想为什么？)，即此时氢原子处于n ＝3 的状态.由式(2)可得氢原子回到基态过程中的三种可能辐射(见分析)所对应的谱线波长分别为102.6nm 、657.9 nm 和121.6 nm. 15 －19 试证在基态氢原子中，电子运动时的等效电流为1.05 ×10－3 A ，在氢原子核处，这个电流产生的磁场的磁感强度为多大？分析 根据经典的原子理论，基态氢原子中的电子在第一玻尔半径r 1 上绕核作圆周运动( r 1 ＝0.529×10－10m )， 绕核运动的频率11π2r f v =式中1v 为基态时电子绕核运动的速度，11π2mr h=v ，由此可得电子运动的等效电流I ＝ef 以及它在核处激发的磁感强度102r IμB =. 解 根据分析，电子绕核运动的等效电流为A 1005.1π4π2321211-⨯====mr ehr e ef I v 该圆形电流在核处的磁感强度T 5.12210==r IμB 上述过程中电子的速度v ＜＜c ，故式中m 取电子的静止质量. 15 －20 已知α粒子的静质量为6.68×10－27kg ，求速率为5 000 km·s －1的α粒子的德布罗意波长.分析 在本题及以后几题求解的过程中，如实物粒子运动速率远小于光速(即v ＜＜c )或动能远小于静能(即E k ＜＜E 0 )，均可利用非相对论方法处理，即认为0m m ≈和k E m p 022=.解 由于α粒子运动速率v ＜＜c ，故有0m m = ，则其德布罗意波长为nm 1099.150-⨯===vm hp h λ 15 －21 求动能为1.0eV 的电子的德布罗意波的波长.解 由于电子的静能MeV 512.0200==c m E ，而电子动能0E E k <<，故有()2/102k E m p =，则其德布罗意波长为()nm 23.122/10===k E m h p h λ15 －22 求温度为27 ℃时，对应于方均根速率的氧气分子的德布罗意波的波长.解 理想气体分子的方均根速率MRT3=2v .对应的氧分子的德布罗意波长nm 1058.232-⨯====MRTh N m h p h λA 2v 15 －23 若电子和光子的波长均为0.20nm ，则它们的动量和动能各为多少？分析 光子的静止质量m 0 ＝0，静能E 0 ＝0，其动能、动量均可由德布罗意关系式 E ＝hν，λhp =求得.而对电子来说，动能pc c m c m c p E E E k <-+=-=20420220.本题中因电子的()()MeV 512.0keV 22.60E pc <<，所以0E E k << ，因而可以不考虑相对论效应，电子的动能可用公式022m p E k =计算.解 由于光子与电子的波长相同，它们的动量均为1-24s m kg 1022.3⋅⋅⨯==-λhp 光子的动能 eV 22.6===pc E E k电子的动能 eV 8.37202==m p E k讨论 用电子束代替可见光做成的显微镜叫电子显微镜.由上述计算可知，对于波长相同的光子与电子来说，电子的动能小于光子的动能.很显然，在分辨率相同的情况下(分辨率∝1/λ)，电子束对样品损害较小，这也是电子显微镜优于光学显微镜的一个方面.15 －24 用德布罗意波，仿照弦振动的驻波公式来求解一维无限深方势阱中自由粒子的能量与动量表达式.分析 设势阱宽度为a ，当自由粒子在其间运动时，根据德布罗意假设，会形成两列相向而行的物质波.由于波的强度、波长相同，最终会形成驻波，相当于两端固定的弦驻波，且有2λna =，其中n ＝1，2，3，….由德布罗意关系式phλ=和非相对论情况下的动能的关系式m p E k 22=即可求解.其结果与用量子力学求得的结果相同.虽然推导不甚严格，但说明上述处理方法有其内在的合理性与科学性，是早期量子论中常用的一种方法，称为“驻波法”.解 根据分析，势阱的自由粒子来回运动，就相当于物质波在区间a 内形成了稳定的驻波，由两端固定弦驻波的条件可知，必有2λna =，即 naλ2=(n ＝1，2，3，…) 由德布罗意关系式phλ=，可得自由粒子的动量表达式 anh λh p 2==(n ＝1，2，3，…) 由非相对论的动量与动能表达式mp E 22=，可得自由粒子的能量表达式2228m a p n E = (n ＝1，2，3，…)从上述结果可知，此时自由粒子的动量和能量都是量子化的.15 －25 电子位置的不确定量为5.0×10－2 nm 时，其速率的不确定量为多少？分析 量子论改变了我们对于自然现象的传统认识，即我们不可能对粒子的行为做出绝对性的断言.不确定关系式h p x x ≥ΔΔ严格的表述应为π4ΔΔhp x x ≥就是关于不确定性的一种量子规律.由上述基本关系式还可引出其他的不确定关系式，如h L ≥ΔΔ (Δφ为粒子角位置的不确定量，ΔLφ为粒子角动量的不确定量)，h t E ≥ΔΔ(Δt 为粒子在能量状态E 附近停留的时间，又称平均寿命，ΔE 为粒子能量的不确定量，又称能级的宽度)等等，不论是对粒子行为做定性分析，还是定量估计(一般指数量级)，不确定关系式都很有用.解 因电子位置的不确定量Δx ＝5 ×10－2nm ，由不确定关系式以及x v ΔΔm p x =可得电子速率的不确定量1-7s m 1046.1ΔΔ⋅⨯==xm hx v 15 －26 铀核的线度为7.2 ×10－15m .求其中一个质子的动量和速度的不确定量.分析 粒子的线度一般是指它的直径，由于质子处于铀核内，因此铀核的半径r 可视为质子位置的不确定量，由不确定关系式可得质子动量和速度的不确定量.解 对质子来说，其位置的不确定量m 103.6m 2102.7Δ15-15⨯=⨯=-r ，由不确定关系式h p r ≥ΔΔ以及v ΔΔm p =，可得质子动量和速度的不确定量分别为rh p ΔΔ=＝1.84 ×10－19 kg· m·s －1 mp ΔΔ=v ＝1.10 ×108 m·s －1 15 －27 一质量为40 g 的子弹以1.0 ×103 m·s －1 的速率飞行，求：(1)其德布罗意波的波长；(2) 若子弹位置的不确定量为0.10mm ，求其速率的不确定量.解 (1) 子弹的德布罗意波长为vm h λ=＝1.66 ×10－35m (2) 由不确定关系式以及x v ΔΔm p x =可得子弹速率的不确定量为xm h m p x ΔΔΔ==v ＝1.66 ×10－28 m·s －1 讨论 由于h 值极小，其数量级为10－34 ，故不确定关系式只对微观粒子才有实际意义，对于宏观物体，其行为可以精确地预言.*15 －28 试证：如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于或等于其速度.证 由题意知，位置不确定量λ=x Δ，由不确定关系式可得λhx h p =≥ΔΔ，而mpΔΔ=v ，故速度的不确定量 mpλ=≥m h v Δ ，即v v ≥Δ 15 －29 氦氖激光器所发红光波长为λ＝6 328×10－10 m ，谱线宽度Δλ＝10－18 m ，求：当这种光子沿x轴方向传播时，它的x 坐标的不确定量有多大？分析 光子亦具有波粒二象性，所以也应满足不确定关系，本题首先应根据不确定关系式导出一个光子坐标的不确定量与其状态(λ和Δλ) 之间的关系式.解 沿x 轴方向传播的激光的动量为λhp x =两边微分可得动量不确定量大小为λλh p x ΔΔ2=式中Δλ即为谱线宽度，根据不确定关系得λλp h x x ΔΔΔ2== 代入已知数据可得其坐标的不确定量Δx ＝4×105 m ＝400km .式中λλΔ2为相干长度(即波列长度)，该式说明激光光子坐标的不确定量就是波列长度.由于波列长度很大，因而激光是相干性极好的新型光源.15 －30 已知一维运动粒子的波函数为()⎩⎨⎧<≥=-0,00,x x Axe x ψx λ 式中λ＞0，试求：(1) 归一化常数A 和归一化波函数；(2) 该粒子位置坐标的概率分布函数(又称概率密度)；(3) 在何处找到粒子的概率最大. 分析 描述微观粒子运动状态的波函数()x ψ，并不像经典波那样代表什么实在的物理量，而是刻画粒子在空间的概率分布，我们用()2x ψ表示粒子在空间某一点附近单位体积元内出现的概率，又称粒子位置坐标的概率分布函数，由于粒子在空间所有点出现的概率之和恒为1，即()⎰=VV x ψ1d 2(本题为()⎰∞∞-=1d 2x x ψ) ，称为归一化条件.由此可确定波函数中的待定常数A 和被归一化后的波函数，然后针对概率分布函数()2x ψ，采用高等数学中常用的求极值的方法，可求出粒子在空间出现的概率最大或最小的位置. 解 (1) 由归一化条件()⎰∞∞-=1d 2x x ψ，有⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞===+03220222022214d d d 0λA x ex A x ex A x xλxλ2/32λA = (注：利用积分公式3022d by e y by =-∞⎰) 经归一化后的波函数为()⎩⎨⎧<≥=-0,00,2x x xe λλx ψx λ(2) 粒子的概率分布函数为()⎩⎨⎧<≥=-0,00,2x x xe λλx ψx λ式中λ＞0，试求：(1) 归一化常数A 和归一化波函数；(2) 该粒子位置坐标的概率分布函数(又称概率密度)；(3) 在何处找到粒子的概率最大.分析 描述微观粒子运动状态的波函数()x ψ，并不像经典波那样代表什么实在的物理量，而是刻画粒子在空间的概率分布，我们用()2x ψ表示粒子在空间某一点附近单位体积元内出现的概率，又称粒子位置坐标的概率分布函数，由于粒子在空间所有点出现的概率之和恒为1，即()⎰=VV x ψ1d 2(本题为()1d 2=⎰∞∞-x x ψ) ，称为归一化条件.由此可确定波函数中的待定常数A 和被归一化后的波函数，然后针对概率分布函数()2x ψ，采用高等数学中常用的求极值的方法，可求出粒子在空间出现的概率最大或最小的位置. 解 (1) 由归一化条件()1d 2=⎰∞∞-x x ψ，有14d d d 0322202220202===+-∞-∞∞-⎰⎰⎰λA x e x A x e x A x xλxλ2/32λA =(注：利用积分公式3022d by e y by =-∞⎰)经归一化后的波函数为()⎩⎨⎧<≥=-0,00,2x x xe λλx ψx λ(2) 粒子的概率分布函数为()⎩⎨⎧<≥=-0,00,42232x x e x λx ψx λ (3)令()()0d d 2=xx ψ，有()0224223=---x λx λxe λxe λ，得x ＝0，λx 1=和x →∞时，函数()2x ψ有极值.由二阶导数()()0d d 12==λx x x ψ可知，在λx 1=处，()2x ψ 有最大值，即粒子在该处出现的概率最大.15 －31 设有一电子在宽为0.20nm 的一维无限深的方势阱中.(1) 计算电子在最低能级的能量；(2) 当电子处于第一激发态(n ＝2)时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？解 (1) 一维无限深势阱中粒子的可能能量mah n E n 822= ，式中a 为势阱宽度，当量子数n ＝1 时，粒子处于基态，能量最低.因此，电子在最低能级的能量为m ah E 821=＝1.51 ×10－18J ＝9.43eV(2) 粒子在无限深方势阱中的波函数为()x a n a x ψπsin 2=， n ＝1，2，… 当它处于第一激发态(n ＝2)时，波函数为()x aa x ψπ2sin 2=， 0≤x ≤a 相应的概率密度函数为()x aa x ψπ2sin 222=， 0≤x ≤a 令 ()()0d d 2=x x ψ，得0π2cos π2sin π82=ax a x a 在0≤x ≤a 的范围内讨论可得，当a a a x 43,2,4,0=和a 时，函数()2x ψ取得极值.由()()0d d 2>xx ψ可知，函数在x ＝0，x ＝a /2 和x ＝a (即x ＝0，0.10 nm ，0.20 nm)处概率最小，其值均为零.15 －32 在线度为1.0×10－5m 的细胞中有许多质量为m ＝1.0×10－17 kg 的生物粒子，若将生物粒子作为微观粒子处理，试估算该粒子的n ＝100 和n ＝101的能级和能级差各是多大. 分析 一般情况下，该粒子被限制在细胞内运动，可把粒子视为无限深势阱中的粒子.作为估算， 可按一维无限深方势阱粒子处理，势阱宽度a ＝1.0×10－5m.解 由分析可知，按一维无限深方势阱这一物理模型计算，可得n ＝100 时，J 1049.58372221-⨯==ma h n E n ＝101 时，J 1060.58372222-⨯==mah n E 它们的能级差 J 1011.03712-⨯=-=E E E Δ15 －33 一电子被限制在宽度为1.0×10－10 m 的一维无限深势阱中运动.(1) 欲使电子从基态跃迁到第一激发态，需给它多少能量？ (2) 在基态时，电子处于x 1 ＝0.090×10－10 m 与x 2 ＝0.110×10－10 m 之间的概率近似为多少？(3) 在第一激发态时，电子处于x 1′＝0 与x 2′＝0.25×10-10 m 之间的概率为多少？分析 设一维粒子的波函数为()x ψ，则()2x ψ表示粒子在一维空间内的概率密度， ()x x ψd 2则表示粒子在x x x d ~+间隔内出现的概率，而()⎰21d 2x x x x ψ则表示粒子在21~x x 区间内出现的概率.如21~x x 区间的间隔Δx 较小，上述积分可近似用()x x ψΔ2代替，其中()2x ψ取1x 和2x 之间中点位置c 处的概率密度作为上述区间内的平均概率密度.这是一种常用的近似计算的方法.解 (1) 电子从基态(n ＝1)跃迁到第一激发态(n ＝2)所需能量为eV 11288Δ2221222212=-=-=mah n ma h n E E E (2) 当电子处于基态(n ＝1) 时，电子在势阱中的概率密度为()x a a x ψπsin 22=，所求区间宽度21Δx x x -=，区间的中心位置221x x x c +=，则电子在所求区间的概率近似为()()()3122122121108.32πsin 2Δd 21-⨯=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=≈=⎰x x x x a a x x ψx x ψp x x (3) 同理，电子在第一激发态(n ＝2)的概率密度为()x a a x ψ2πsin 22=，则电子在所求区间的概率近似为 ()25.022πsin 2212122='-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'⋅=x x x x aa p15 －34 在描述原子内电子状态的量子数n ，l ，m l 中，(1) 当n ＝5 时，l 的可能值是多少？ (2) 当l ＝5 时，m l 的可能值为多少？ (3) 当l ＝4 时，n 的最小可能值是多少？ (4) 当n ＝3 时，电子可能状态数为多少？ 分析 微观粒子状态的描述可用能量、角动量、角动量的空间取向、自旋角动量和自旋角动量的空间取向所对应的量子数来表示，即用一组量子数(n ，l ，m l ，s ，ms )表示一种确定状态.由于电子自旋量子数s 恒为1/2，故区别电子状态时只需用4 个量子数即n 、l 、m l 和m s ，其中n 可取大于零的任何整数值，而 l 、m l 和m s 的取值则受到一定的限制，如n 取定后，l 只能为0，l ，…，(n －1)，共可取n 个值；l 取定后，m l 只能为0， ±1，…， ±l ，共可取2l ＋1 个值；而m s 只可取±12 两个值.上述 4 个量子数中只要有一个不同，则表示的状态就不同，因此，对于能量确定(即n 一定)的电子来说，其可能的状态数为2n 2 个.解 (1) n ＝5 时，l 的可能值为5 个，它们是l ＝0，1，2，3，4 (2) l ＝5时，m l 的可能值为11个，它们是m l ＝0，±1，±2，±3，±4，±5 (3) l ＝4 时，因为l 的最大可能值为(n －1)，所以n 的最小可能值为5 (4) n ＝3 时，电子的可能状态数为2n 2 ＝18 15 －35 氢原子中的电子处于n ＝4、l ＝3 的状态.问：(1) 该电子角动量L 的值为多少？ (2) 这角动量L 在z 轴的分量有哪些可能的值？ (3) 角动量L 与z 轴的夹角的可能值为多少？。
光电效应光子爱因斯坦方程
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
粒子性
E mc2 h
P
mv
h
/
波动性
第十五章 量子物理
8
物理学
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
第五版
德布罗意公式
h h
p mv
这种波称为德布罗意波或物质波
注意
(1)若 vc 则 mm0
若 v c则 m
m0
1
v2 c2
第十五章 量子物理
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物理学
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
第十五章 量子物理
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物理学
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
第五版
德布罗意（1892 — 1987）
法国物理学家，原来学习历史. 1924年在他的博士论文《关于 量子理论的研究》中提出把粒 子性和波动 性统一起来. 为量子力学
的建立提供
了物理基础.
第十五章 量子物理
6
物理学
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
dsin kh 1
2emU
sin kh 1
d 2emU
sin 0.77 k7
当 k 1时， ar0 c .7s 7 5 i n 7 与1 实验结
果相近.
第十五章 量子物理
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物理学
15-6 德布罗意波 实物粒子的二象性
第五版
三 应用举例
1932年鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ;
1981年宾尼希和罗雷尔制成了扫描隧穿 显微镜.
第五版
光的波粒二象性
粒子性
（具有能量） E
h
（具有动量）P
波动性
（具有频率）
（具有波长）
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电子从高能级向低能级跃迁时放出光子的波数：
h En Em
En
me4
8 o2 h 2 n 2
ν~
v c
En Em hc
me4 1
8
2 0
h3c
m
2
1 n2
n m
与里德伯表达式比较：
~
RH
1 m2
1 n2
RH
me4
8 02h3c
1.097373107 m1
理论值与实验值符合得非常好！
波数：
~ 1
~
RH
1 22
1 n2
n 3,4,
里德伯常量：
RH
4 1.096776107 m1 B
2
第十五章 量子力学
赖曼系（紫外光）
~
RH
1 12
1 n2
n 2,3,
T. Lyman 1914年发现
巴耳末系（可见光）
ν~
RH
1 22
1 n2
n 3,4,
J. J. Balmer 1885年发现
8o2h2
13.6 eV
13
第十五章 量子力学
En
me4
8 o2 h 2 n 2
E1 n2
13.6 n2
(eV
)
氢原子能级：
E1 , E1 4 , E1 9 ,
n=1 n=2 n=3 …….
基态 -13.6eV 第一激发态 第二激发态
5.29×10-11m
14
3、氢光谱的解释：
第十五章 量子力学
1856—1940
The Nobel Prize in Physics 1906
5
1、汤姆逊的面包夹葡萄干模型
整个原子呈胶冻状的球体， 正电荷均匀分布于球体上，而 电子镶嵌在原子球内，在各自 的平衡位置附近作简谐振动， 并发射同频率的电磁波。
2、卢瑟福核式模型
α粒子束
金属箔
第十五章 量子力学
-- --
1. 不能解释电子轨道运动的稳定性。
电子作轨道运动具有加速度，要向外发射电磁波 ，能量逐渐减少，最后电子将落入原子核中。
2. 不能解释为什么原子光谱是线状的。
电子作轨道运动，发射电磁波，能量逐渐减少 ，轨道半径逐渐变小，发射的电磁波的波长应逐 渐改变，原子光谱应为连续谱。
8
玻尔的氢原子理论
第十五章 量子力学
第十五章 量子力学
~
RH
1 m2
1 n2
T
(m)
T (n)
1、光谱是线状的，谱线有一定的位置（线光谱）。
2、每一谱线的波数都可以表达为二光谱项之差。
3、固定前项整数m，可以给出同一谱线系的各种波 数。
简单的公式隐含着原子内在结构的规律性，经 典理论无法解释。
4
15-4-2 原子的经典模型
第十五章 量子力学
15
En(eV)
0 -0.54
-0.85 -1.51
-3.39
第十五章 量子力学
n
普芳德系
布喇开系 帕邢系
5 4 3
2 巴尔末系
-13.58
1
赖曼系
氢原子能级图
16
第十五章 量子力学
玻尔理论的本质
量子化
1、轨道半径量子化
rn r1n2
(n 1,2,3,)
r1 5.291011 m
2、能量量子化
玻尔氢原子理论对氢原子光谱的解释
1、氢原子轨道半径
m vn2 rn
e2
4 o rn 2
玻尔量子化条件：
vn
nh
2 mrn
rn
oh2n2 me2
r1n2
e2
rn 4omvn2
vn
-
+ rn
(n 1,2,3,)
11
第十五章 量子力学
当n=1时为原子的最小半径，定义为玻尔半径
r1
oh2 me2
5.291011
m
rn r1n2 (n 1,2,3,)
电子的轨道半径： r1 , 4r1 ,9r1 ,
原子具有一定的大小，且 r 不连续。
12
第十五章 量子力学
2、定态能量 轨道能量：
En
1 2
mvn2
e2
4 orn
rn
oh2n2 me2
vn
nh
2 mrn
En
me4
8
2 o
h2
n
2
氢原子的基态能量： E1
me4
E1，E2，
(2)频率定则：当电子从一个能态轨道向另一个能态 轨道跃迁(transition)时，要发射或吸收光子。
h En Em
3.轨道角动量量子化假设：电子在原子中的稳定轨
道满足角动量L 等于h/2π的整数倍条件。
L mvr n h n (n 1,2,3,)
2π
10
第十五章 量子力学
En
me4
8 o2 h 2 n 2
E1 n2
13.6 n2
(eV
)
(n 1,2,3,)
3、角动量量子化
L mvr n h n～h
2
h En Em
(n 1,2,3,)
17
第十五章 量子力学
例题：如用能量为12.6eV的电子轰击氢原子，将 产生那些谱线？
解：
En
帕邢系（红外光）
~
RH
1 32
1 n2
n 4,5,
F. Paschen 1908年发现
布喇开系（红外光）
~
RH
1 42
1 n2
n 5,6,
F. Brackett 1922年发现
普芳德系（红外光）
~
RH
1 52
1 n2
n 6,7,
H.A. Pfund 1924年发现
3
氢原子光谱的规律：
N.玻尔
1913年玻尔将普朗 克、爱因斯坦的量子理 论推广到卢瑟福的原子 有核模型中，并结合原 子光谱的实验规律，提 出他的氢原子理论，奠 定了原子结构的量子理 论基础。为此他获得 1922年诺贝尔物理学 奖。
9
玻尔的三条基本假设：
第十五章 量子力学
(1)定态(stationary state)假设：电子在原子中沿 一组特殊轨道运动，并处于稳定的能量状态。
1897年，汤姆逊首先发现
1897年汤姆逊发现电子
电子，在英国卡文迪许实验室
测定了比荷（e／m），为此在
1906年获诺贝尔物理奖。电
子的电量由美国物理学家密立
根于1909年测定（密立根油
滴实验），并于1923年获诺
贝尔物理奖。电子的质量仅为
Joseph John Thomson
氢原子质量的1／2000。
-
探测器
6
粒子散射：
第十五章 量子力学
-
+
核式模型：
原子由原子核和核外电子构成，原子核带正电 荷，占据整个原子的极小一部分空间，而电子带 负电，绕着原子核转动，如同行星绕太阳转动一 样。
7
第十五章 量子力学
卢瑟福的原子有核模型成功地解释了粒子散射 实验。然而，将经典电磁理论用于卢瑟福的原子模 型却无法解释原子光谱的实验规律。
第十五章 量子力学
§14-4 氢原子光谱和玻尔理论
氢原子光谱
410.2 434.0 486.1
656.3 nm
紫
青
H H
H
1885年巴 尔末发现
绿
红
H
B
n2 n2
4
nm
B 364.56 nm n 3,4,5,
1
第十五章 量子力学
实验值： 656.28 nm 486.13 nm
计算值： 656.208 nm 486.080 nm