第一章从自然数到有理数复习
完整版)最新版浙教版数学七年级上册各章节重难点
完整版)最新版浙教版数学七年级上册各章节重难点第一章有理数1.1 从自然数到有理数正数是指大于零的数，负数是指小于零的数，而零既不是正数也不是负数。
正整数、零和负整数统称为整数，而负分数和正分数则统称为分数。
整数和分数合在一起就是有理数。
1.2 数轴数轴是指规定了原点、单位长度和正方向的直线。
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
如果两个数符号不同，其中一个数称为另一个数的相反数。
在数轴上，互为相反数（零除外）的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
1.3 绝对值绝对值是指一个数在数轴上对应的点到原点的距离。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，而零的绝对值是它本身。
互为相反数的两个绝对值相等。
需要注意的是，任何数的绝对值都大于或等于零（非负数）。
1.4 有理数的大小比较一般地，我们可以得出以下结论：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
第二章有理数的运算2.1 有理数的加法同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加等于零，一个数与零相加仍得这个数。
在有理数运算中，加法的交换律和结合律仍然成立。
2.2 有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。
有理数加减混合运算的一般步骤是先利用减法法则，将减法转换为加法，再利用加法的交换律和分配律，使计算简便。
2.3 有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，积为零。
若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。
在有理数的乘法中，乘法交换律、分配律和结合律仍然成立。
2.4 有理数的除法两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数都等于零。
代数式的值有时需要用“整体”代入的技巧来求解，特别是当无法求出字母的值时。
小学初中高中数学全册目录(完整版)
七年级上册第1章从自然数到有理数1.1 从自然数到分数1.2 《九章算术》中的正负数1.3 数轴1.4 绝对值1.5 有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1 有理数的加法2.2 有理数的减法2.3 有理数的乘法2.4 有理数的除法2.5 有理数的乘方2.6 有理数的混合运算2.7 准确数和近似数2.8 计算器的使用第3章实数3.1 平方根3.2 实数3.3 用计算器进行数的开方3.4 实数的运算第4章代数式4.1用字母表示数4.2代数式4.3代数式的值4.4 整式4.5 合并同类项4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 一元一次方程的解法和步骤5.3 一元一次方程的应用5.4 问题解决的基本步骤第6章数据与图表6.1 数据的收集与整理6.2 统计表6.3 条形统计图和统计图6.4 扇形统计图第7章图形的初步知识7.1 几何图形7.2 线段、射线和直线7.3 线段的长短比较7.4 角与角的度量7.5 角的大小比较7.6 余角和补角7.7 相交线7.8 平行线七年级下册第1章三角形的初步知识1.1 认识三角形1.2 三角形的角平分线和中线1.3 三角形的高1.4 全等三角形1.5 三角形全等的条件1.6 作三角形第2章图形和变换2.1 轴对称图形2.2 轴对称变换2.3 平移变换2.4 旋转变换2.5 相似变换2.6图形变换的简单应用第3章事件的可能性3.1 认识事件的可能性3.2 可能性的大小3.3 可能性和概率第4章二元一次方程组4.1 二元一次方程4.2 二元一次方程组4.3 解二元一次方程组4.4 二元一次方程组的应用第5章整式的乘除5.1 同底数幂的乘法5.2 单项式的乘法5.3 多项式的乘法5.4乘法公式5.5 整式的化简5.6 同底数幂的除法5.7 整式的除法第6章因式分解6.1 因式分解6.2 提取公因式法6.3 用乘法公式分解因式6.4因式分解的简单应用第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程八年级上册第1章平行线1.1 同位角、内错角、同旁内角1.2 平行线的判定1.3 平行线的性质1.4 平行线之间的距离第2章特殊三角形2.1 等腰三角形2.2 等腰三角形的性质2.3 等腰三角形的判定2.4 等边三角形2.5 直角三角形2.6 探索勾股定理2.7 直角三角形全等的判定第3章直棱柱3.1 认识直棱柱3.2 直棱柱的表面展开图3.3 三视图3.4 由三视图描述几何体第4章样本与数据分析初步4.1 抽样4.2 平均数4.3 中位数和众数4.4 方差和标准差4.5 统计量的选择与应用第5章一元一次不等式5.1 认识不等式5.2 不等式的基本性质5.3 一元一次不等式5.4 一元一次不等式组第6章图形与坐标6.1 探索确定位置的方法6.2 平面直角坐标系6.3 坐标平面内的图形变换第7章一次函数7.1 常量与变量7.2 认识函数7.3 一次函数7.4 一次函数的图象7.5 一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程2.2 一元二次方程的求解2.3 一元一次方程的应用第3章频数分布及其图形3.1 频数与频率3.2 频数分布直方图3.3 频数分布折线图第4章命题与证明4.1 定义与命题4.2 证明4.3 反例与证明4.4 反证法第5章平行四边形5.1 多边形5.2 平行四边形5.3 平行四边形的性质5.4中心对称5.5 平行四边形的判定5.6 三角形的中位线5.7 逆命题和逆定理第6章特殊平行四边形与梯形6.1 矩形6.2 菱形6.3 正方形6.4梯形九年级上册第1章反比例函数1.1 反比例函数1.2 反比例函数的图像和性质1.3 反比例函数的应用第2章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图像2.3 二次函数的性质2.4 二次函数的应用第3章圆的基本性质3.1 圆3.2 圆的轴对称性3.3 圆心角3.4 圆周角3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积第4章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及其应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似九年级下册第1章解直角三角形1.1 锐角三角形1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形第2章简单事件的概率2.1 简单事件的概率2.2 估计概率2.3 概率的简单应用第3章直线与圆、圆与圆的位置关系3.1 直线与圆的位置关系3.2 三角形的内切圆3.3 圆与圆的位置关系第4章投影与三视图4.1 视角与盲区4.2 投影4.3 简单物体的三视图必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一年级上册一、数一数二、比一比三、1～5的认识和加减法四、认识物体和图形五、分类六、6～10的认识和加减法七、11～20各数的认识八、认识钟表九、20以内的进位加法十、总复习一年级下册一、位置二、20以内的退位减法三、图形的拼组四、100以内数的认识五、认识人民币(出现简单的名数改写；关于人民币的简单运算)六、100以内的加法和减法（一）七、认识时间八、找规律九、统计十、总复习二年级上册一、长度单位二、100以内的加法和减法（二）三、角的初步知识四、表内乘法（一）五、观察物体六、表内乘法（二）七、统计八、数学广角九、总复习二年级下册一、解决问题二、表内除法（一）三、图形与变换四、表内除法（二）五、万以内数的认识六、克与千克七、万以内的加法和减法（一）八、统计九、找规律十、总复习三年级上册一、测量二、万以内的加法和减法（二）三、四边形四、有余数的除法五、时、分、秒六、多位数乘一位数七、分数的初步认识八、可能性九、数学广角十、总复习三年级下册一、位置与方向二、除数是一位数的除法三、统计四、年、月、日五、两位数乘两位数六、面积七、小数的初步认识八、解决问题九、数学广角十、总复习四年级上册一、大数的认识二、角的度量三、三位数乘两位数四、平行四边形和梯形五、除数是两位数的除法六、统计七、数学广角八、总复习四年级下册一、四则运算二、位置与方向三、运算定律与简便计算四、小数的意义和性质五、三角形六、小数的加法和减法七、统计八、数学广角九、总复习五年级上册一、小数乘法二、小数除法三、观察物体四、简易方程五、多边形的面积六、统计与可能性七、数学广角八、总复习五年级下册一、图形的变换二、因数与倍数三、长方体和正方体四、分数的意义和性质五、分数的加法和减法六、统计七、数学广角八、总复习六年级上册一、位置二、分数乘法三、分数除法四、圆五、百分数六、统计七、数学广角八、总复习六年级下册一、负数二、圆柱与圆锥三、比例四、统计五、数学广角六、整理与复习1、数与代数2、空间与图形3、统计与概率4、综合应用。
从自然数到有理数
1.1从自然数到有理数负数：我们把一种意义的量（如零上）规定为正，用学过的数（零除外）来表示，这样的数叫做正数，正数前面可以放上正号“＋”来表示（常省略不写），；把另一种与之意义相反的量规定负，用学过的数（零除外）前面放上负号“－”来表示，这样的数叫做负数（负号不能省略）。
如：“＋2”读做“正2”、“－3.3”读做“负3.3”等。
这样我们学过的数中又增加了新的数——负整数和负分数；相应地我们学过的自然数和分数分别称为正整数和正分数。
填空：1）规定盈利为正，某公司去年亏损了2.5万元，记做__________万元，今年盈利了3.2万元，记做__________万元；2）规定海平面以上的海拔高度为正，新疆乌鲁木齐市高于海平面918米，记做海拔__________米；吐鲁番盆地最低处低于海平面155米，记做海拔__________米；3）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正。
汽车向北行驶75km ，记做________km （或_______km ），汽车向南行驶100km ，记做________km ；4）下降153-米记做153-米，则上升1102米记做__________米；5）如果向银行存入50元记为50元，那么-30.50元表示__________； 6）规定增加的百分比为正，增加25%记做__________，-12%表示__________. 利用第3）题说明在表示具有相反意义的量时，把哪一种意义的量规定为正，是相对的.例如我们可以把向南100米记做+100km ，那么向北记做-75km.但习惯上，人们常把上升、运进、零上、增加、收入等规定为正。
正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零自然数负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 零是整数，零既不是正数，也不是负数.基础训练一、填空1、 如果零上28度记作280C ，那么零下5度记作2、 2、若上升10m 记作10m ，那么－3m 表示3、比海平面低20m 的地方，它的高度记作海拔 二、选择题4、在－3，－121，0，－73，2002各数中，是正数的有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个5、下列既不是正数又不是负数的是（ ） A 、－1 B 、＋3 C 、0.12 D 、06、飞机上升－30米，实际上就是（ ）A 、上升30米B 、下降30米C 、下降－30米D 、先上升30米，再下降30米。
1.1从自然数到有理数(1)
最简单的方法是把两堆东西一对一地进行比较。这种一对一对应的比较方法， 可以说是人类最早的对“数”的体验。这种体验不仅可以比较两堆东西的多 与少，而且还可以发现相等的关系。
出生 ——检测各项健康指标，量身高，称
体重。
幼儿园——数数，画三角形，圆，方块，搭
积木，折纸。
3.四个同学每两个人握一次 手,一共握手的次数为 _______6____
2.妈妈的一万元存款到期了,按规定 她可以得到2%的利息,但同时必须向 国家缴纳20%的利息税.则她缴纳的
金额是( c )
A.80元 B.60元 C.40元 D.20元
4.计算:
( 2 4 9 1 ) 8 ( 1 0 3 9 0 9 ) 7 9
变化后奖金总额为：2000 ×（1-6%）=1880万元
变化后：（福利资金+奖金总额+发行成本） =1540+1880+4000 ×15%=4020万元
因为4020万元>4000万元，所以这个方案不可行
思考：能否用如下算式求解：2000 ×6%- 1400
× 10%=120-140，此时能否运算？能否用我们已 学过的自然数和分数来表示结果呢？
5.如图一个台阶要铺地毯,则至少要 买地毯___2_.6__m.
0.8m
1.8m
2.希望小学购买60个足球,现有甲、乙、丙 三个商店可以选择，三个商店同品牌足球 的单价都是25元，但各个商店的优惠方法 不同
甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个 不赠送。
乙店：一律“七五”折优惠
丙店：购物满200元，返还现金30元，
解： （1）能，4000-4000×15%-1400=2000（万元）
从自然数到有理数的知识点
从自然数到有理数的知识点
1. 自然数可是咱们最开始认识的数呀！就像咱们从一开始学走路一样，先得会站，自然数就是数学世界的第一步呢！比如说，你有 3 个苹果，这 3 就是自然数啦！
2. 后来呀，发现光有自然数不够用啦！这就像咱光会走路还不行，还得会跑呀！有理数就出现啦！像温度零下 3 度，这里的-3 就是有理数呀！
3. 有理数包含了自然数呢，这多神奇呀！就好比大树包含了小树苗呀！比如5 这个自然数，它也是有理数呀！
4. 那负数也是有理数哦，是不是很有意思呀！这就好像生活中不光有好事，也有坏事一样。
像支出 100 元，用-100 表示，它就是有理数呢！
5. 有理数还包括小数呢，哇塞，这范围可广啦！就像一个大宝藏，有各种各样的宝贝！呀，就是有理数。
6. 有理数在生活中用处可大啦！难道不是吗？像计算身高、体重都可能用到呀！你看，如果小明身高米，这不就是有理数嘛！
我觉得呀，从自然数到有理数，就像我们在数学世界里不断成长和探索，越来越有趣，越来越精彩！。
初一数学 从自然数到有理数
暑期数学思维训练初一数学第一讲从自然数到有理数一、【知识回顾与梳理】1、数的分类自然数：0，1，2，……整数……真分数：13,,28……分数假分数：38,,23…………有限小数：0.12 , 11.534 , ……小数无限循环小数：0.131313……，2.3, …………百分数：3％，50％，100％，……2、小数、分数、百分数之间的互化。
3、正数与负数：为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，把与它相反的一种意义规定为负，0既不是正数，也不是负数，正负数以0为分界点。
二、【例题解析】例1、下面各数哪些是整数？哪些是自然数？哪些是小数？哪些是分数？3.6 , 19 , 0 ,312, 2% , 0.358 ,122, 6.5 , 6 , 5.76三、【新课引入】如图表示某一天我国5个城市的最低气温。
请同学们合作讨论下列问题：1、－20℃、－10℃、5℃、0℃、10℃这几个量分别表示什么？2、你还在哪些地方见到过用带有“－”号的数来表示某一种量，请讲出来。
把学生讲出的较恰当的量写到黑板上，再引导学生把与之相对的量分别写在后边，如：零下20℃——零上10℃，降低5米——升高8米，支出100元——收入500元。
指出这样的量就是具有相反意义的量，并从以下方面加以理解。
（1）具有相反意义的量是：意义相反，与值无关。
（2）区分“意义相反”与“意义不同”。
（3）区分“相反意义的量”与“相反数”。
反问：以上具有相反意义的量能用我们学过的自然数和分数表示出来吗？显然是不能的。
为了解决这样的实际问题，我们需要引进一种新的数——负数。
我们把一种意义的量（如零上）规定为正，用学过的数（零除外）来表示，这样的数叫做正数，正数前面可以放上正号“＋”来表示（常省略不写），；把另一种与之意义相反的量规定负，用学过的数（零除外）前面放上负号“－”来表示，这样的数叫做负数（负号不能省略）。
如：“＋2”读做“正2”、“－3.3”读做“负3.3”等。
专题 从自然数到有理数-重难点题型(教师版含解析)2022年七年级数学上册举一反三系列(浙教版)
专题1.1 从自然数到有理数-重难点题型【浙教版】【题型1 正数和负数的概念】【例1】（2020秋•长春期末）在﹣1，0，+2020，−54，﹣0.27中，负数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-1】（2020秋•阜平县期中）在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、43、−17、π中负数有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式1-2】（2020秋•津南区期中）在﹣2，﹣1.5，1，0，13这些数中，是正数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-3】（2020秋•青羊区校级月考）下列说法中，正确的为（ ） A ．一个数不是正数就是负数B ．0是最小的数C ．正数都比0大D ．﹣a 是负数【题型2 判断是否为相反意义的量】【例2】（2020秋•晋安区校级月考）下列各组量中，互为相反意义的量是（）A．篮球比赛胜5场与负5场B．上升与减小C．增产10t粮食与减产﹣10t粮食D．向东走3km与向南走2km【变式2-1】（2020秋•成都月考）下列是具有相反意义的量是（）A．身高增加1cm和体重减少1kgB．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°C．向右走2米和向西走5米D．购买5本图书和借出4本图书【变式2-2】（2020秋•秀洲区月考）在下列选项中，具有相反意义的量是（）A．胜二局与负一局B．盈利2万元与支出2万元C．气温升高3℃与气温零下3℃D．向东行40米和向南行40米【变式2-3】（2020秋•诸暨市期中）下列各对量中，不具有相反意义的是（）A．胜3局与负3局B．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈C．收入3000元与增加3000元D．气温升高4℃与气温降低10℃【题型3 具有相反意义的量的表示方法】【例3】（2020秋•朝阳区校级期末）在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作+0.35m，则小亮跳出了1.85m，应记作（）A．+0.15m B．﹣0.15m C．+0.35m D．﹣0.35m【变式3-1】（2020秋•长乐区校级月考）把向北移动记作“+”，向南移动记作“﹣”，下列说法正确的是（）A．﹣5米表示向北移动了5米B．+5米表示向南移动了5米C．向北移动﹣5米表示向南移动5米D．向南移动5米，也可记作向南移动﹣5米【变式3-2】（2020秋•新丰县期末）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为（）A．零上8℃B．零下8℃C．零上2℃D．零下2℃【变式3-3】（2020秋•滦州市期末）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（）A．发出100元红包B．收入100元C．余额100元D．抢到100元红包【题型4 具有相反意义的量的变化范围】【例4】（2020秋•抚顺县期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm【变式4-1】（2020秋•青羊区校级月考）某圆形零件的直径要求是50±0.2mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50mm为标准则）则在这6个产品中合格的有（）序号123456误差（mm）﹣0.3﹣0.50+0.1﹣0.05+0.12A．2个B．3个C．4个D．5个【变式4-2】（2020秋•秀洲区月考）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.13mm，第二个为﹣0.12mm，第三个为﹣0.15mm，第四个为0.11mm，则质量最差的零件为（）A．第一个B．第二个C．第三个D．第四个【变式4-3】（2020秋•綦江区期末）綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg【题型5 具有相反意义的量表示时间】【例5】（2020秋•渝中区校级月考）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时B．9月11日19时C．9月12日19时D．9月12日21时【变式5-1】（2020秋•和平区期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）城市时差/h纽约﹣13悉尼+2伦敦﹣8罗马﹣7A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约【变式5-2】（2020秋•清涧县期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟于北京时间）城市悉尼莫斯科伦敦温哥华时差（时）+2﹣5﹣8﹣16如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．【变式5-3】（2020秋•山西月考）如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格的边长均为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负，例如，从A 到B记为A→B（+1，+4）；从C到D记为C→D（+1，﹣2）（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）．（1）填空：A→D（，）；C→B（，）；（2）若甲虫的行走路线为A→B→C→D→A，甲虫每秒钟行走2个单位长度，请计算甲虫行走的时间．（3）若这只甲虫去P处的行走路线为A→E（+2.0），E→F（+2，+1），F→M（﹣1，+2），M→P（﹣2，+1）．请依次在图2上标出点E、F、M、P的位置．【题型6 借助相反意义的量解决实际问题】【例6】（2020秋•甘井子区期末）有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：袋号12345678910重量（kg）+1+1+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.3﹣1.2+1.8+1.1（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？【变式6-1】（2020秋•黄陵县期末）下表是某河流今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已经达到警戒水位33米．（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．单位：米）星期日一二三四五六水位变化+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.5﹣0.2（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？分别是多少？（2）与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？本周末的水位是多少？【变式6-2】（2020秋•青羊区校级月考）股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，买进或卖出时都得支付交易额的0.5%作为手续费，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：星期一二三四五每股涨跌﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4+0.5注：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌．（1）星期四收盘时，每股多少元？（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？若股民小王本周末将该股票全部售出，小王在本次交易中是赚了还是亏了？请你算算，如果是赚了，赚了多少钱？如果亏了，亏了多少钱？【变式6-3】（2020秋•盐都区月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小智家用电量最多的是月份，该月份应交纳电费元；（2）若小智家七月份应交纳的电费204.6元，则他家七月份的用电量是多少？【题型7 有理数的概念辨析】【例7】（2020秋•长乐区校级月考）下列说法错误的是（）A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B．一个有理数不是整数就是分数C．0既不是正数，也不是负数D．负整数、负分数统称为负有理数【变式7-1】（2020秋•襄汾县期中）下列说法中正确的个数有（）①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数A．1个B．2个C．3个D．4个【变式7-2】（2020秋•天津期末）下列说法正确的有（）①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式7-3】（2020秋•东至县期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤−π2不仅是有理数，而且是分数； ⑥237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【题型8 有理数的分类】【例8】（2020秋•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中： ①﹣0.3⋅；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤−27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨213．（1）整数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）分数集合：{ …}； （5）非负整数集合：{ …}．【变式8-1】（2020秋•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内． 5，14，﹣3，−312，0，2010，﹣35，6.2，﹣1．正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}；负分数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 非正整数集合{ …}；【变式8-2】（2020秋•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，134，﹣12，5分类．【变式8-3】（2020秋•袁州区校级期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ﹣11，−35，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非负整数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}．专题1.1 从自然数到有理数-重难点题型【浙教版】既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 【题型1 正数和负数的概念】【例1】（2020秋•长春期末）在﹣1，0，+2020，−54，﹣0.27中，负数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据负数小于0判断即可．【解答】解：在﹣1，0，+2020，−54，﹣0.27中，负数有﹣1，−54，﹣0.27共3个． 故选：C ．【点评】本题主要考查了正数和负数，熟记定义是解答本题的关键．【变式1-1】（2020秋•阜平县期中）在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、43、−17、π中负数有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】根据负数的定义，直接判断即可．【解答】解：在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、43、−17、π中负数有﹣2、﹣5.6、−17共3个，故选：A ．【点评】本题考查了有理数，题目难度不大．记住有理数的分类及相关定义是解决本题的关键． 【变式1-2】（2020秋•津南区期中）在﹣2，﹣1.5，1，0，13这些数中，是正数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据正数和负数的定义解答即可．正数大于0，负数小于0． 【解答】解：在﹣2，﹣1.5，1，0，13这些数中，是正数的有1，13共2个．故选：B ．【点评】本题考查了正数和负数，熟记正数和负数的定义是关键． 【变式1-3】（2020秋•青羊区校级月考）下列说法中，正确的为（ ） A ．一个数不是正数就是负数B ．0是最小的数C ．正数都比0大D ．﹣a 是负数【分析】根据正数和负数的定义判断即可．【解答】解：A 、0既不是正数也不是负数，故本选项不合题意；B、负数比0小，故本选项不合题意；C、正数都比0大，说法正确，故本选项符合题意；D、当a≤0时，﹣a是非负数，故本选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了正负数，关键是掌握0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．【题型2 判断是否为相反意义的量】【例2】（2020秋•晋安区校级月考）下列各组量中，互为相反意义的量是（）A．篮球比赛胜5场与负5场B．上升与减小C．增产10t粮食与减产﹣10t粮食D．向东走3km与向南走2km【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：A、篮球比赛胜5场与负5场，是相反的量，故本选项符合题意；B、上升与下降才是相反的量，故本选项不合题意；C、减产﹣10吨，就是增产10吨，故本选项不合题意；D、向东与向西才是相反的量，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确什么是相反意义的量．【变式2-1】（2020秋•成都月考）下列是具有相反意义的量是（）A．身高增加1cm和体重减少1kgB．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°C．向右走2米和向西走5米D．购买5本图书和借出4本图书【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．【解答】解：A，身高和体重属性不同，不符合题意；B，顺时针与逆时针相反，且都是旋转，符合题意；C，向右和向西不是相反的量，不符合题意；D，购买和借出不是相反的量，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查相反意义量，解题关键：相反意义的量的两个关键因素，它们必须是同一属性，意义相反．【变式2-2】（2020秋•秀洲区月考）在下列选项中，具有相反意义的量是（）A．胜二局与负一局B．盈利2万元与支出2万元C．气温升高3℃与气温零下3℃D．向东行40米和向南行40米【分析】相反意义的量包含两层意思：一是它们意义相反符号相反；二是它们都表示一定的数量（在数量上它们不一定相同）．【解答】解：A、胜二局与负一局，是具有相反意义，符合题意；B、盈利2万元与支出2万元，不具有相反意义，不符合题意；C、气温升高3℃与气温零下3℃不具有相反意义，不符合题意；D、向东行40米和向南行40米不具有相反意义，不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式2-3】（2020秋•诸暨市期中）下列各对量中，不具有相反意义的是（）A．胜3局与负3局B．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈C．收入3000元与增加3000元D．气温升高4℃与气温降低10℃【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：A、胜3局与负3局，具有相反意义，故本选项不合题意；B、转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈，具有相反意义，故本选项不合题意；C、收入3000元与增加3000元，不具有相反意义，故本选项符合题意；D、气温升高4℃与气温降低10℃，具有相反意义，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【题型3 具有相反意义的量的表示方法】【例3】（2020秋•朝阳区校级期末）在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作+0.35m，则小亮跳出了1.85m，应记作（）A．+0.15m B．﹣0.15m C．+0.35m D．﹣0.35m【分析】明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中超过标准的一个为正，则另一个不到标准的就用负表示，即可解决．【解答】解：1.85﹣2.00＝﹣0.15，故小亮跳出了1.85m，应记作﹣0.15m．故选：B．【点评】考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．概念：用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．【变式3-1】（2020秋•长乐区校级月考）把向北移动记作“+”，向南移动记作“﹣”，下列说法正确的是（）A．﹣5米表示向北移动了5米B．+5米表示向南移动了5米C．向北移动﹣5米表示向南移动5米D．向南移动5米，也可记作向南移动﹣5米【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．【解答】解：A、﹣5米表示向南移动了5米，故本选项不合题意；B、+5米表示向北移动了5米，故本选项不合题意；C、向北移动﹣5米表示向南移动5米，故本选项符合题意；D、向南移动5米，也可记作向北移动﹣5米，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，注意向北移动﹣5米表示向南移动5米．【变式3-2】（2020秋•新丰县期末）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为（）A．零上8℃B．零下8℃C．零上2℃D．零下2℃【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣8℃表示气温为零下8℃．故选：B．【点评】此题主要考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式3-3】（2020秋•滦州市期末）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（）A．发出100元红包B．收入100元C．余额100元D．抢到100元红包【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．【解答】解：由题意可知，﹣100表示的意思是发出100元红包．故选：A．【点评】考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．【题型4 具有相反意义的量的变化范围】【例4】（2020秋•抚顺县期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最大为30+0.03＝30.03（mm）．0.03可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm，【解答】解：由零件标注φ30±0.02∴最大可以是30+0.03＝30.03（mm）．故选：B．【点评】本题考查正数与负数；理解题意，找准零件直径的变化范围是解题的关键．【变式4-1】（2020秋•青羊区校级月考）某圆形零件的直径要求是50±0.2mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50mm为标准则）则在这6个产品中合格的有（）序号123456误差（mm）﹣0.3﹣0.50+0.1﹣0.05+0.12A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据直径要求是50±0.2mm，产品若要合格，则|误差|≤0.2，据表格可知|0|＜0.2；|+0.1|＜0.2；|﹣0.05|＜0.2；|+0.12|＜0.2，所以3号、4号、5号、6号产品合格．【解答】解：根据直径要求是50±0.2mm，即49.8mm～50.2mm都合格，误差±0.2mm内也都合格，∴有4个，故选：C．【点评】考查了正数和负数的应用，学生在平时学习中要联系实际，灵活应用知识点．【变式4-2】（2020秋•秀洲区月考）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.13mm，第二个为﹣0.12mm，第三个为﹣0.15mm，第四个为0.11mm，则质量最差的零件为（）A．第一个B．第二个C．第三个D．第四个【分析】此题是理解误差的大小，无论正负，绝对值最小的零件质量最好，反之，绝对值最大的零件质量最差．【解答】解：∵|0.11|＜|﹣0.12|＜|0.13|＜|﹣0.15|，∴质量最差的零件是第三个．故选：C．【点评】此题考查的知识点是正数负数和绝对值，明确绝对值最大的零件与规定长度偏差最大是解题的关键．【变式4-3】（2020秋•綦江区期末）綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可．【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有（10±0.3）kg的；其质量最多相差（10+0.3）﹣（10﹣0.3）＝0.6（kg）．故选：D．【点评】利用正负数的意义，判别（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的意义是关键．【题型5 具有相反意义的量表示时间】【例5】（2020秋•渝中区校级月考）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时B．9月11日19时C．9月12日19时D．9月12日21时【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．故选：B．【点评】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是理解纽约与北京的时差为﹣13小时，即纽约比北京时间要晚13个小时．【变式5-1】（2020秋•和平区期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）城市时差/h纽约﹣13悉尼+2伦敦﹣8罗马﹣7A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．【解答】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．故选：A．【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键．【变式5-2】（2020秋•清涧县期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟于北京时间）城市悉尼莫斯科伦敦温哥华时差（时）+2﹣5﹣8﹣16如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，∴5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；（2）17﹣16＝1，此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打电话．【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．【变式5-3】（2020秋•山西月考）如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格的边长均为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负，例如，从A 到B记为A→B（+1，+4）；从C到D记为C→D（+1，﹣2）（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）．（1）填空：A→D（，）；C→B（，）；（2）若甲虫的行走路线为A→B→C→D→A，甲虫每秒钟行走2个单位长度，请计算甲虫行走的时间．（3）若这只甲虫去P处的行走路线为A→E（+2.0），E→F（+2，+1），F→M（﹣1，+2），M→P（﹣2，+1）．请依次在图2上标出点E、F、M、P的位置．【分析】（1）根据题意，向上向右为正，向下向左为负，进而得出答案；（2）根据甲虫的行走路线，借助网格求出总路程即可；（3）结合各点变化得出其位置，进而得出答案．【解答】解：（1）根据题意，得出A→D（+4，+1）；C→B（﹣2，+1）故答案为：+4，+1，﹣2，+1；（2）甲虫行走的时间是：8秒；（3）点E．F．M．P的位置如图所示．【点评】此题主要考查了正数和负数，利用定义得出各点变化规律求出是解题关键．【题型6 借助相反意义的量解决实际问题】【例6】（2020秋•甘井子区期末）有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：袋号12345678910重量（kg）+1+1+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.3﹣1.2+1.8+1.1（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？【分析】（1）“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；（2）先求10袋小麦的总重量，即乘单价即可求解．【解答】解：（1）+1+1+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.3﹣1.2+1.8+1.1＝5.4（kg）．故这10袋小麦总计超过5.4kg；（2）（90×10+5.4）×2.5＝2263.5（元）．故10袋小麦一共可以卖2263.5元．【点评】本题考查了正数与负数，有理数的运算在实际中的应用．理解题意，正确列出算式是解决问题的关键．【变式6-1】（2020秋•黄陵县期末）下表是某河流今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已经达到警戒水位33米．（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．单位：米）星期日一二三四五六水位变化+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.5﹣0.2（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？分别是多少？（2）与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？本周末的水位是多少？【分析】（1）根据上周末的水位计算出这一周中每一天的水位，即可得出答案；（2）根据（1）题中计算的周六的水位与上周的水位比较即可确定答案．【解答】（1）周日33+0.2＝33.2（米），周一33.2+0.8＝34（米），周二34﹣0.4＝33.6（米），周三33.6+0.2＝33.8（米），周四33.8+0.3＝34.1（米），周五34.1﹣0.5＝33.6（米），周六33.6﹣0.2＝33.4（米）．答：周四水位最高，最高水位是34.1米，周日水位最低，最低水位是33.2米；（2）33.4﹣33＝0.4＞0，答：与上周末相比，本周末河流的水位上升了，水位是33.4米．【点评】本题考查了有理数的加法以及正负数所表示的意义．解题的关键是了解正数与负数分别表示具有相反意义的量．【变式6-2】（2020秋•青羊区校级月考）股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，买进或卖出时都得支付交易额的0.5%作为手续费，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：星期一二三四五﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4+0.5每股涨跌注：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌．（1）星期四收盘时，每股多少元？（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？若股民小王本周末将该股票全部售出，小王在本次交易中是赚了还是亏了？请你算算，如果是赚了，赚了多少钱？如果亏了，亏了多少钱？【分析】（1）由表格可计算出星期四收盘时每股的价钱；（2）本题需先根据表格计算本周内每天的股价，得到周二股价最高，是25.5元；先计算本周末每股的盈利，然后乘以10000，再减去买进和卖出时支付的手续费，即可得到．【解答】解：（1）（﹣0.1）+（+0.4）+（﹣0.2）+（﹣0.4）＝（﹣0.1）+（﹣0.2）+（+0.4）+（﹣0.4）＝﹣0.3（元）25.20+（﹣0.3）＝24.90（元）答：星期四收盘时，每股24.90元．（2）周一的股价：25.20+（﹣0.1）＝25.10（元），周二的股价：25.10+（+0.5）＝25.50（元），周三的股价：25.50+（﹣0.2）＝25.30（元），周四的股价：25.30+（﹣0.4）＝24.90（元），周五的股价：24.90+（+0.5）＝25.40（元），。
1.1.1从自然数到有理数(练习) (解析版)
1.1.1从自然数到有理数（练习）
精选练习答案
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•呼和浩特月考）下面的数据中，与你的体重最接近的是（）
A．450gB．0.0045tC．45000gD．450kg
【答案】C
【详解】解：450g＝0.45kg，
0.0045t＝4.5kg，
45000g＝45kg，
9．（2018秋•响水县校级月考）根据如图所示的车票信息，车票的价格为元．
【答案】80
【详解】解：根据如图所示的车票信息，车票的价格为80元，
故答案为：80．
三．解答题（共5小题）
10．猜谜语：2、4、6、8、10（打一成语）
【答案】无独有偶
【详解】解：连续5个偶数，可用无独有偶．
故答案为无独有偶．
一般体重在50kg左右，所以，体重最接近的是45000克，
故选：C．
2．小李的身高约为172厘米，这里的“172”属于（）
A．计数B．测量结果C．标号D．排序
【答案】B
【详解】解：小李的身高约为172厘米，这里的“172”属于测量结果．
故选：B．
3．（2019秋•卢龙县期中）一张学生课桌的面积大约是2400（）
故答案为：110．
7．（2019秋•浦东新区期中）3.25小时＝小时分．
【答案】3，15
【详解】解：3.25小时＝3小时15分；
故答案为：3，15．
8．（2019秋•淮安区期中）已知某人的身份证号是：320821197206080375，那么他出生的月份是月．
【答案】6
【详解】解：第十，十二位为06，故其出生月份为6月．
11．用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需分钟．
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3)与原点的距离为三个单位的点有____2___个， 是__3_,__-.3
4)与-2的距离为三个单位的点有___2____个， 是___1_, __-5_。
4.有理数大小比较法则：
1)在数轴上比较: 在数轴上表示两个数，右边的点所表示
。
即: a a(a 0) a a(a 0)
例如：
3 3 5 5
绝对值的性质： １）非负数性: ｜a｜≥0 ２）若｜a｜＋｜b｜＝０，则a＝b＝０；
1.若|a|＝3，则a＝__±_3_； 若|a-1|＝2，则a＝_3_或_-1_；
2、填空题 1)比－3大的负整数是____-_2_，__-_1______；
（０除外）
1、用-a表示的数一定是（D）
A、 负数，
B 、正数，
C、 正数或负数，D、都不对
2、一个数的相反数是最小的正整数，
那么这个数是（A）
A 、–1， B、 1， C 、±1， D、 0
3、判断题 ①互为相反数的两个数在数轴上位于原点两旁
②在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数 ③ 只要符号不同，这两个数就是相反数
有理数： 整数和分数统称为有理数
有理数按构造分类: 正整数
整数
零
自然数
有理数
负整数
分数
正分数
负分数Βιβλιοθήκη 有理数按正负性分类:有理数
正有理数 零 负有理数
正整数 正分数
负整数 负分数
1、下列说法错误的是（ D ） （A）自然数一定是有理数
（B）自然数一定是整数 （C）自然数一定是非负数 2 （D）整数一定是自然数
带有负号的数是负数
（4）没有最大的有理数 （5）某数不是正数就是负数 （6）如果两数互为相反数，那么这两数必定异号 （7）2-a的相反数是a-2 （8）绝对值等于6的数是-6 （9）｜-a｜不是负数
1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度 的直线叫做数轴。 任何一个有理数都可以用数轴上的 一个点来表示。
C.1与2之间
D.0与1之间
3.小于5.25的非负数有(
)
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
3.用正数或负数表示下列各题中的数量：
(1)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2 表示______；
(2)若+150米表示高出海平面150米，则 低于海平面200米应记作______；
低于海平面-200米应记作______；
例1 把下列各数填入相应的集合中：
正数集合{ 负数集合{ 整数集合{ 分数集合{ 有理数集合{
…}； …}； …}； …}； …}；
练:把下列各数填在相应的集合里
4.2， 0，1，（ 21）， 2， ，2，
7
23
3.5， | 1 |， 6， 6 1； 9
2
3
正整数集合{ 负整数集合{ 负分数集合{ 正有理数集合{ 负有理数集合{
2、下列说法正确的是 （ B ） A 、在0和+1之间没有正数 B 、在0和+1之间的有理数有无穷多个 C、在-1和+1之间没有负数 D、在-1和+1之间的有理数只有0
知识一览
3.判断正误: （1）向东走和向西走是一对相反意义的量 （2）盈利100元和支出50元是一对相反意义的量 （3）带有正号的数是正数，
…}。 …} …}
…} …}
例2 、点P从数轴上的－1出发，先向右 移动1个单位，再向左移动2个单位， 然后向右移动3个单位，再向左移动4 个单位，求：
（1）点P共移动了几个单位长度？（2） 终止时点P对应的的数是多少？（3） 终点与始点相距多少个单位长度？
例如： 3的相反数是－3 －4的相反数是－（－4）＝4
相反数的性质：若a,b互为相反数，则 １）互为相反数的两个数之和为０,即 a+b=0 ２）互为相反数的两数的绝对值相等,即|a|=|b| ３）互为相反数的两数在数轴上位于原点的两
侧，且到原点的距离相等； ４）互为相反数的两数的商为－１,即 a÷b=-1
如上图： A点表示＿＿;D点表示＿＿;E点表示＿＿。
1、在数轴上，原点及原点左边所表示的数是 （ D）
Ａ整数
Ｂ负数
Ｃ非负数
Ｄ非正数
2、下列语句中正确的是（D ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
3.下列各图中，表示数轴的是( )
4、已知3m＋7与m－3互为相反数，求m 的值。
解：由题意得:3m+7+m－3＝0，
解得m＝－1
归纳：a与b互为相反数，则a＋b＝0。
3.绝对值的几何意义：
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示 这个数的点到原点的距离。
数a 的绝对值记为 | a |
正数的绝对值是 它的本身
；
0的绝对值是 0
；
负数的绝对值是它的相反数
4、下列说法正确的是（ ） A 、数轴上右边的点表示的数是正数 B 、数轴是一条射线 C、 距离数轴越远的点，表示的数越大 D、 任何一个有理数，都可以用数轴上的点表 示出来
2.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数
0的相反数是0。
互为相反数的两个数相加，和为0。 例如：5＋（－5）＝0
一个数 a 相反数是 a 。
的数左边的数大。正数都大于零，负数都 小于零，正数大于负数。 2)直接比较法:
两个正数比较绝对值大的数大。 两个负数绝对值大的数反而小。
1.用“>”“<” 或“=”连接:
1 -1 2
3
2 0.4
13 4 1
3 0.05
0.04
2.在数轴上,表示-1.5的点在(
)
A.-1与0之间
B .-2与-1之间