s高数3-1中值定理
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且在该区间的端点取不同的函数值fa=A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间a,b内至少有一点ξ使得fξ=Ca<ξ<b.Ps:c是介于A、B之间的,结论中的ξ取开区间;介值定理的推论：设函数fx在闭区间a,b上连续,则fx在a,b上有最大值M,最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈a,b, 使得fξ=C;闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值;此条推论运用较多Ps：当题目中提到某个函数fx,或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续,那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值,必存在一个变量使得该值等于变量处函数值;2、零点定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号,即fa.fb<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得fξ=0.Ps:注意条件是闭区间连续,端点函数值异号,结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数fx满足：1、在闭区间a,b上连续；2、在开区间a,b内可导;3、在区间端点处函数值相等,即fa=fb.那么在a,b内至少有一点ξ<aξ<b,使得f`x=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数fx 满足：1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;那么在a,b 内至少有一点ξ<a ξ<b,使得fb-fa=f`ξ.b-a.5、 柯西中值定理：如果函数fx 及gx 满足1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;3、对任一xa<x<b,g`x ≠0,那么在a,b 内至少存在一点ξ,使得Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值;6、 积分中值定理：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点],[b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξPs ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立;但是在开区间上也是满足的,下面我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b a -=⎰ξ证明：设⎰=x a dx x f x F )()(,],[b a x ∈因为)(x f 在闭区间上连续,则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导导函数即为)(x f ;则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：),(b a ∈∃ξ使得a b dxx f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ而)()`(ξξf F =所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ;在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可;千万不可直接运用,因为课本给的定理是闭区间;定理运用：1、设)(x f 在0,3上连续,在0,3内存在二阶导函数,且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f . 证明：1)2,0(∈∃η使)0()(f f =η2)3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的;有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分;具体证明方法在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合;1、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：2、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个等式,如果有fa=fb=fc,那么问题就解决了;第一问中已经在0,2内找到一点,那么能否在2,3内也找一点满足结论一的形式呢,有了这样想法,就得往下寻找了,)3()2()0(2f f f +=,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明：]3,0[)(在x f 上连续,则在]3,2[上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,分别设为M,m;则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤从而,M f f m ≤+≤2)3()2(,那么由介值定理就有： 则有罗尔定理可知：0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ,0)`(),,(22=∈∃ξηξf cPs ：本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来;2、设fx 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=0,f1=1.证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、本题第一问较简单,用零点定理证明即可;1、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得2、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用;在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没想法,便无从下手;另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少;本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为1你题目做多了,肯定就知道事实就是这样.并且第一问中0与1之间夹了个ξ,如果我们在0与ξ,ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索;写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(ξf 代入即可;Ps ：本题是05年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法;做任何题,最重要的不是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下手;3、设函数fx 在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且f0=0,f1=1/3.对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把ηξ、放在两个范围内,不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、,这个分界点1/2 的作用是干吗的;很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是我们的一个想法;那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,22)`()`(ηξηξ+=+f f我们把等式变一下：0)`()`(22=-+-ηηξξf f ,2)`(ξξ-f 这个不就是331)(ξξ-f 关于ξ的导数而且题目中f1=1/3,貌似这样有点想法了,本题会不会也像上一题那样,运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢,有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来;Ps ：本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出发,如何构造出函数是关键;做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了,如果只给)1,0(∈ξη、,那就更难了 得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理;说明真题出的还是很有技巧的;一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用;4.设fx 在区间-a,aa>0上具有二阶连续导数,f0=01、写出fx 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式2、证明在-a,a 上至少存在一点η使得⎰-=aa dx x f f a )(3)``(3η第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础1、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++=2、第二问先将第一问的式子fx 代入看看有什么结果出来⎰⎰--⋅=a a aa dx x f dx x f 22)``()(ξ,)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与x 无关的数;做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求办法;题目中说道fx 有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最小值,往往会接着和介值定理一起运用;所以有：因为fx 有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为M,m 则对于区间-a,a,222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ所以由介值定理有结论成立;Ps ：本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用;题目中说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用;5、设fx 在],0[π上连续,且0cos )(,0)(00=⋅=⎰⎰ππxdx x f dx x f .证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、本题看似很简洁,但做起来去不容易;结论是证明等式成立且为0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值相等,那么是不是就能有些思路了呢;令：],0[,)()(0π∈=⎰x dt t f x F x ,0)()0(==πF F似乎只需在找出一点Fc=0即可;,如果一切如我们所想,证明也就完成了;0)(sin )(cos )(cos cos )(0000=⋅+⋅==⋅⎰⎰⎰ππππdx x F x x F x x xdF xdx x f 似乎已经找到这个点了;但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立;构造函数],0[,)(sin )(0π∈⋅=⎰x dt t F t x G x 具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证;证完后就得到所以有：),0(,0)()()0(ππ∈===c F c F F接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,思路;Ps ：本题是02年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运用不熟练,还是不好弄出来;本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为0,容易想到积分中值定理,以及罗尔定理;但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计一半的分都没了;本题关键的就是寻找这个点C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理如果用的话,得分类讨论了,硬是说C 点就成立,那估计一半的分都没了;对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考;下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造：基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,或是求微分方程,解出来也可;本人自己总结了一些东西,与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数基本方法：一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：一般都会构造出为任意常数或者或者n x e e XXX x g n x x ,)(-⋅=1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有x x e e -或者)()`(x f x f = 可以构造x e x f x g -⋅=)()(0)()`(=+x f x f 可构造x e x f x g ⋅=)()(λ=+)()`(x f x f 可构造x x e e x f x g ⋅-⋅=λ)()()()(x f dt t f xa =⎰这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数⎰⋅=-x a x dt t f e x g )()( 先将其变形下：x x f x f λλ-=-1)()`(左边是导函数与原函数关系可构造：x e x f λ-⋅)(右边可以看成是x x λ-`也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造：x e x λ-⋅从而要构造的函数就是：x e x x f x g λ--=))(()(2、如果还涉及到变量X,想想构造n x0)()`(=+x f x xf 可构造x x f x g ⋅=)()(xx f x f )(2)(-=可构造2)()(x x f x g ⋅= 0)()`(=+x nf x xf 可构造n x x f x g ⋅=)()(3、另外还可以解微分方程来构造函数：如0)`()(=+x f x xf二、二阶导数与原函数之间关系构造带有x x e e -或者如何构造如下：)()`()`()``(x f x f x f x f +=+对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数只不过原函数是)`(x f 之间关系,从而等式左边可以构造x e x f ⋅)`(等式右边可以构造x e x f ⋅)(总的构造出来函数为：x e x f x f x g ⋅-=))()`(()(另：如果这样变形：构造函数如下：x e x f x f x g -⋅+=))()`(()(,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的;从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了;如果题目给了)()`(x f x f -为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了)()`(x f x f +,则可以考虑第二种构造方法;先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系这个函数确实不好构造,如果用微分方程来求会遇到复数根;实际做的时候还得看题目是否给了)`(x f 的一些条件,如果在某个开区间内不为0,而构造出来的函数在闭区间端点取值相等,便可用罗而定理来证明;具体来看看题目：1、 设)(x f 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=f1=0,f1/2=1证明：2、存在1)()`(),,0(+-=∈ηηηξηf f 使得1、对一问直接构造函数用零点定理：x x f x F -=)()(具体详细步骤就不写了;2、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造： 1)()`(+-=ηηηf f 先变形 另：用微分方程求解法来求出要构造的函数把常数退换掉之后就是要构造的函数函数构造出来了,具体步骤自己去做;2、设)`(x f 在a,b 上连续,fx 在a,b 内二阶可导,fa=fb=0,0)(=⎰b a dx x f证明：1存在)`()(),`()(),(,221121ξξξξξξf f f f b a ==∈使得2存在)()``(,),,(21ηηξξηηf f b a =≠∈使得1、第一问中的函数构造：2、第二问中函数构造有两种构造方法,上面讲解中说道了我们在这用第一种原因在于第一问中)()`(x f x f -=0符合此题构造; 具体详细步骤自己去写写;3、设奇函数]1,1[)(-在x f 上具有二阶导数,且f1=1,证明：(1) 存在1)`(),1,0(=∈ξξf 使得(2) 存在1)`()``(),1,1(=+-∈ηηηf f 使得第一问中证明等式,要么用罗尔定理,要么介值定理,要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求,因为涉及到了导函数1、x x f x F -=)()(,题目中提到奇函数,f0=0有F0=F1=0从而用罗尔定理就出来了;2、第二问中的结论出发来构造函数,从上面讲的方法来看,直接就可以写出要构造的函数先变形下：x xx e x f x G e e x f f f ⋅-==⋅=+)1)`(()()`(1)`()``(ηη函数构造出来,并且可以用到第一问的结论,我们只需要在-1,0之间在找一个点也满足1的结论即可;也即1)`(),0,1(=-∈ζζf从而可以对)1,1(),(-⊆∈ξζη运用罗尔定理即可;Ps ：本题为13年数一真题,第一问基础题,但要看清题目为奇函数,在0点处函数值为0.第二问关键是构造函数,函数构造出来了就一步步往下做,缺什么条件就去找什么条件或者证明出来,13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法,考场上都很快就搞出来了;以上是关于中值定理这章的一些小小的讲解,由于科研实践很忙,这些都是今天抽出时间写出来的,Word 上写,真心费时间,如果大家还有什么问题,可以来讨论下;。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
高数第三章__中值定理
增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数. 推论2 如果 在区间 I 上 f ( x ) g( x ), 那末 在区间 I 上 f ( x ) g( x ) C
——导数应用的理论基础
本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定 理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明 Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理 就可以给出Taylor中值定理及L， Hospital法则， 这就是本章理论部分的主要内容。
理论部分结构图
特例
推广
Rolle定理
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 f ( x ) 0. 一切条件, 但在内找不到一点能使
又例如, f ( x ) 1 x , x (0,1], f (0) 0; 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 但在内找不到一点能使 f ( x ) 0.
再例如 f ( x ) x , x [0,1]. 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使 f ( x ) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
第1讲中值定理和有关方程的根问题解读
2M
.
1 2
M
由介值定理，
至少存在一点 [0,1]，使得
1
f ( ) 20 f (x)dx
例10、设 f (x)在[a,a] 上有连续的二阶导函数，f (0) 0 ，证
存在一点
[a,
a],
有f
(
)
3 a3
a
f (x)dx
a
分析（1）闭区间，优先用介值定理
（2） f , f 可考虑用泰勒公式 f (x) f (0) f (0).x f () x2
1 (n1)!
f
(n1)
(
)(x
x0 )n1
补充：导数零点定理，导数介值定理 定理10、设 f (x)在[a,b] 上可导，当
f(a). f(b) 0时， (a,b),使f ( ) 0
定理11、设 f (x)在[a,b] 上可导，当
f(a) f(b)，介于f(a)与f(b)之间，
则 (a,b),使f ( )
（3）若结论比较简单，如 F(n) ( ) 0 ，则优先考虑 罗尔定理,或利用费尔马定理（都是对n-1阶导数用）
（4）若结论中有两个中值，则优先考虑应该大区间分 为若干小区间，在各个小区间多次使用拉氏定理，
或者直接考虑柯西中值定理 （5）若结论中含有高阶导数，则优先考虑泰勒公式 （6）若结论中含有函数及其各阶导数，则优先考虑
定理，若不满足，则 （3）改令 F(x) F*(x) 两次积分 F(x) ，将大区间分为小区间
令c 0, d 0
各个小区间多次使用中值定理，
二、例题解析
例8、设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 证明存在 (0,3), 使
2017考研数学 高数必考定理之中值定理与导数的应用
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中公考研小编整理了高数必考定理之中值定理与导数的应用，供2017考研的同学参考，帮助考生在备考的初期阶段整理总结此部分的内容。
1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f’(x)如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
考研高等数学难点解读：中值定理就得这么学_毙考题
考研高等数学难点解读：中值定理就得这么学中值定理是考研数学的难点之一，考查考生的逻辑推理能力，在考研数学中以证明题形式出现，难度相对较大。
在31年考研真题中数一查过16次，数二考查过18次，数学三考过14次，考查的重点是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
虽然中值定理是一大难点，但却有规律可循，为了方便考生复习，边一老师就中值定理给考生们做出详细解读，为你们暑期正确复习本章做好铺垫。
针对高数中的这一难点，我们2018年的考生在暑期的学习过程中应注意以下：研究真题总结出题规律中值定理可以通过研究考研数学真题总结出解题规律，做完真题之后要总结一下，要找大量不同的题做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻课本。
真题至少要做三遍以上。
只要做了，做错的地方一定要反复看，如果后期有时间我建议大家再看看全书，切忌没有仔细研读课本直接看复习全书的孩子们。
做过的题一定要会对于数学，大量做题是必不可少的，但是更重的是做过的题一定要会，这就需要反复做错的题，做错题的过程很痛苦，很打击你的积极性，但是你一定要不断的提醒自己，做错题才是让自己的复习升华的王道。
考生在备考时还要多做讲义例题，而不仅仅是练习题。
做例题时应遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先认真做;无论做出与否都要把自己的思路详记于空白处，尤其是做不出的，一定把自己真实的思考方式记录在案，留待日后分析，而不是对了答案就万事大吉，这样做可以迅速的找到做题的感觉。
注重解题思路与技巧培养总之，考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个有心人，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。
对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。
数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解中值定理题的针对性，又能提高中值定理解题速度和正确率。
高数中值定理
高数中值定理，语句通顺顺畅中值定理是高等数学中的一个重要定理，它指的是一个多项式的极值点（最大值点或最小值点）必须是位于它的表达式和它的一阶导数之间的根点（即零点）。
它建立在极值定理的基础上，是几何分析学的一项重要基础理论。
中值定理的主要应用在几何分析学中，即，如果一个函数f(x)在一段区间上经过最大值点，或者在另一段区间上经过最小值点，那么这两个区间之间，必然存在一个极点，它是函数f(x)和它的一阶导数f'(x)的零点，也就是说，当函数f(x)的值等于f'(x)的值时，函数f(x)在此点取到最大值，或者最小值。
中值定理的原理可以用一个例子简单地表述，假设有一个函数f(x)，它满足条件f(x) >= 0和f'(x) = 0这样的关系，那么说明函数f(x)在点x处取到最大值，这就是中值定理的基本原理。
因此，中值定理为几何学研究者提供了参数估计、函数研究、函数优化和曲线研究等等实用的技术手段，其中，最基本的应用有两个。
一是采用中值定理的思路，可以轻松地求出一个下限，数学上叫最小值；二是采用中值定理的思路，可以求出一个上限，数学上叫最大值。
中值定理的对象也比较广泛，其函数不仅可以是二元函数（一般情况下，指多项式函数），也可以是n元函数（一般情况下，指函数组）。
不管哪种函数，在经过极值点后，它们都可以使用中值定理去验证它们是否达到极值点。
此外，中值定理也可以用于数学研究中求解积分。
例如，当估算函数f(x)在（a,b）内的最小值时，可以使用中值定理求解积分。
总之，中值定理是一个非常有用的定理，它不仅可以用于几何分析，而且可以应用于数学的普遍性研究。
学习和使用中值定理，非常有必要，能使我们更加深入地理解几何学和数学，并有效解决实际问题。
高数3-1
数学还有另一个重要的作用，这就 是通过对数学知识的介绍，对数学问题 的解决，教会人们一种重要的分析问 题，解决问题的思想方法。简单地讲， 数学教会人如何进行逻辑推理，如何进 行正确的抽象思维，如何在纷繁的事物 中抓住主要的联系，并如何使用明确的 概念，等等。丁石孙（中国数学家）
(0 < θ < 1).
3. 记a = x0 , b = x0 + Δx , 则有 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx ( 0 < θ < 1). 也可写成 Δy = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1).
ξ在a与b之间.
2. 注意到，只要 a ≠ b, 均有 ξ −a ξ −a ＝θ 0< <1 记
b−a
b−a 则 ξ = a + θ (b − a ), 于是，拉格朗日中值公式又有形式：
(0 < θ < 1)
f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a ))(b − a ),
则F ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b )内可导， f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) a = , F (a ) = f (a ) − b−a b−a f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) b = , F (b) = f (b) − b−a b−a ∴ F (a ) = F (b ). 即F ( x )满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′( ξ ) = 0.
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F ( )
高 等 数 学
Higher mathematics
内容小结
费马引理
作业:P96 第4、5题
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
f (b) f (a) F ( x) x 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
在区间 I 上可导且 （C为某一定数）
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例3. 证明等式
证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
a b
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y
A
C
y f ( x)
D
B
o a
1
2
b
x
f (b) f (a) ( x) f ( x) x ba
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拉格朗日中值定理几何意义
在区间 [ a , b ] 上曲线 至少存在一点
有且仅有一个小于1 的 例1. 证明方程 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 ,且 由零点定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
证:
M 和最小值 m .
故在[ a , b ]上取得最大值
若M=m,则
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
注意:
则至少存在一点 则由费马引理得 f ( ) 0.
使
1) 定理中三个条件缺少任何一个定理结论不成立
拉格朗日中值定理的有限增量形式 (给出了函数增量的准确表达）
令 则
y f ( x0 x)x
(0 1)
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满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点
f (b) f (a) . 使 f ( ) ba
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一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
存在
且 证: 设 则
(或 )
y
有水平切线
o
0 0
x0
x
证毕
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费马(fermat)引理 且 存在
(或 )
为可导函数 f 的极值点的 不是充分条件 必要条件是 是函数 f 的稳定点
2
.
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本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
xa
lim f ( x) lim f ( x)
x b
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真!
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
y f ( x)
o
a
b x
至少存在一点
证: 问题转化为证 f ( )
f (b) f (a) . 使 f ( ) ba f (b) f (a)
验 证 f ( x) cos x在 区 间 [0, ]上 满 足 拉 格 朗 日 值 定 理 2
.
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推论1:若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
推论2:若函数 则在区间I上有
罗尔定理
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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思考与练习
1. 填空题 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 _____ 4 .
条件, 则中值
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上. 拉格朗日定理 f (a) f (b)
0
ba 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 显然 , b f (a) a f (b) (b),由罗尔定理知至少存在一点 (a) ba 证毕 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 .
作辅助函数
f (b) f (a) ( ) ( x) f ( x) x
曲线在该点P上的切线平行于曲线
两端点的连线
y
y f ( x)
o
a
b x
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拉格朗日中值定理的不同变形（可根据不同场合灵 活运用）
f (b) f (a) f ( )(b a) f (b) f (a) f (a (b a))(b a) (0 1) f (a h) f (a) f (a h)h (0 1) 拉格朗日定理中公式对a b或a b都成立 (1) (2) (3)
二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定 理
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定义:若函数在 有
某领域
内对一切
则称函数 f 在
称点
取得极大值
(极小值)
为极大值点 (极小值点) 极大值点和极小值点统称极值点
y
例：
o x1 x2 x
若 切线与 x 轴平行, 称为驻点（稳定点）
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第三章
微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
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第一节
第三章
中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
y
例如,
o
y
1
1
x
y
1
o
x
o
1
x
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2) 定理条件只是充分的.
定理中三个条件缺少任何一个定理结论 不 成立，但是不能认为定理条件不具备 就一定不存在(a,b)的 使得
验 证 f ( x) x 2x 3在 区 间 [1,3]上 满 足 罗 尔 定 理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a ) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a ) f (b) f (a ) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a )
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x ln(1 x) x ( x 0) . 例4. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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三、柯西(Cauchy)中值定理
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柯西定理的几何意义:
弦的斜率
切线斜率
y
f (b) f (a)
x F (t ) y f (t )
d y f (t ) 注意: d x F (t )
o F (a ) F ( )
.
F (b) x
取F ( x) x即 得 拉 格 朗 日 中 值 公 式
注意：定理说明
例如：
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罗尔（ Rolle ）定理
y
y f ( x)
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点
o