考研高数总复习中值定理(讲义)
考研高数定理：柯西中值定理
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数定理：柯西中值定理考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。
这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
除泰勒定理外的三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。
柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，柯西中值定理还有一个重要应用——洛必达法则，在求极限时会经常用到。
泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。
证明题中辅助函数的构造方法：一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。
二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。
三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。
四、结论中含两个或两个以上的中值。
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高数复习 微分中值定理与导数的应用复习
第三章： 微分中值定理及导数的应用1．主要内容：（1）罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 （2）洛必达（L’Hospital ）法则（3）函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值，函数最大值和最小值的求法及简单应用．（4）用导数判断函数图形的凹凸性，函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线 注意：函数作图不做要，求斜渐近线不做要求（但铅直与水平渐近线做要求）。
2．重点：中值命题的证明，未定式的极限，单调性、凹凸性的判定，极值最值的求法，简单经济问题3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）证明中值命题的方法：证明中值命题时，通常要构造出一个辅助函数，然后，对该辅助函数用中值定理．辅助函数一般有如下三种构造方法：①．找原函数法：先将欲证等式中的中间值ξ换成x ，把欲证结果转化为某个方程根的存在性；然后将此方程关于x 积分，得原函数，为简便记，取积分常数为零；最后将积分结果移项，使一端为0，另一端即为欲作辅助函数．②．指数因子法：此法适用于可化为形如()()()0f x g x f x ''+=的中值命题，取积分因子()g x e，便得原函数()()()g x F x ef x =，这就是所要作的辅助函数．值得注意的是：()f x 和()g x 的选择重要，具有较大的灵活性，总之，应使()()()g x F x e f x =满足Rolle 定理．例1设)(x f 在]1,0[上连续，在(0,1)上可导且12(1)2()f xf x dx =⎰．证明：(0,1)ξ∃∈，使得()()0f f ξξξ'+=【证】由积分中值定理得，存在1(,1)2η∈，使得101(1)2()2()()2f xf x dx f f ηηηη==⋅=⎰ 作辅助函数()()F x xf x =，则有，()()(1)(1)F f f F ηηη===，对在区间[,1]η上用Rolle中值定理即可。
考研数学：高数讲义重点题型解答(二)
由 2m ≤ f ′′′(ξ1 ) + f ′′′(ξ2 ) ≤ 2M 得 m ≤ 3 ≤ M ，由介值定理，存在ξ ∈[ξ1,ξ2 ] ⊂ (−1,1) ，
使得 f ′′(ξ ) = 3 。
【例题 3】设 a1 < a2 < " < an 为 n 个不同的实数，函数 f (x) 在[a1, an ] 上有 n 阶导数，并
【例题 3】设 f (x) ∈ C[0,1] ，在 (0,1) 内可导，且 f (0) = 0, f (1) = 1 ，证明：对任意的正数 a, b ，
存在ξ ,η ∈ (0,1) ，使得
a+ f ′(ξ )
b f ′(η)
=
a+b。
【解答】因为 f (0) < a < f (1) ，所以存在 c ∈ (0,1) ，使得 f (c) = a 。
【 例 题 2 】 设 f (x) 二 阶 连 续 可 导 ， 且 f ′′(x) ≠ 0 ， 又 f (x + h) = f (x) + f ′(x + θh)h
（ 0 < θ < 1 ）。
证明： limθ = 1 。
h→0
2
【解答】由泰勒公式得
f (x + h) =
f (x) +
f ′(x)h +
两边取极限再由二阶连续可导得
lim
h→0
θ
=
1 2
。
题型二：证明 f (n) (ξ ) = 0
常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法； （3）泰勒公式
【例题 1】设 f (x) ∈ C[0,3] ，在 (0,3) 内可导，且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1 ，证明：
(整理)考研数学微分中值讲义(卓越资料)
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
考研数学中值定理专题讲义
本期内容是微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理， 泰勒中值定理）证明题。是重点也是难点。
特点：考频很高（尤其是数二），出大题的可能性很大，综合性很强（可以和 极限，介值定理，不等式，单调性，极限的保号性，积分中值定理，变上限积分 函数等知识点相结合）。学生须具备较强的分析能力，甚至是构造性思维，区分 度很高。
和函数的奇偶性结合起来考查。 (4)找到两个端点使得 F (a) F (b) ：
可以找到 F (a) F (a) (5)应用罗尔中值定理证明结论：
存在 (a, a)使得F( ) [ f ( ) 2 f ( )]e2 0
6
完整的证明过程：
令 F (x) ex2 f (x) 易知 F (x) 在[a, a] 上连续，在 (a, a) 内可导 F (a) F (a)
整理得：
(0,1)使得F( )
f (x)dx f ( ) 0
0
0 f (x)dx f ( )
二、拉格朗日中值定理
1、定理内容
如果函数 f (x) 满足
(1) 在闭区间[a,b] 上连续
(2) 在开区间 (a,b) 内可导
那么在 (a,b) 内至少有一点 (a,b) ，使等式
成立
f (b) f (a) f ( )(b a)或者 f (b) f (a) f ( ) ba
因为 f (c) f (3) 1, f (x)在[c,3]上连续，在 (c,3) 内可导，所以由罗尔定理： (c,3) (0,3),使得f ( ) 0
4
题目 3：（辅助函数是 F(x) xn f (x) ） 设函数 f (x) 在[0, a] 上连续，在 (0, a) 内可导， f (a) 0 ，试证 (0, a) ，
考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
考研数学微分中值讲义(卓越资料
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。
二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。
结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。
推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。
高数考研中值定理的应用
同理有x (b 2 , b), 使
f ( x) f (b) x b
0, 即f ( x) f (b),
f (a), f (b)都不是f ( x)在[a, b]上的最大值，
f ( x)在[a, b]上连续， f ( x)在[a, b]上必有最大值和最小值，
则f ( x)的最大值必在(a, b)内取得，
1, f (3) 1 在(c, 3) 内可导 ,
例5. 设函数 f (x) 具有二阶导数,且 lim f ( x) 0, f (1) 0, 试证必存在 (0,1) , 使 f ( ) 0. 证: lim
x 0
x 0
x
f ( x) x
0, f (0) 0, f (0) 0,
则1 (a, b)使f (1 ) 0; 2 (b, c)使f (2 ) 0;
对f ( x)在[1 , 2 ]上用罗尔定理即得结论.
例3. 设 f ( x)在[ a, b]上可导， f (a) f (b) 0, 且 求证： (a, b), 使f ( ) 0. 证明: 不妨设f (a) 0, f (b) 0,
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( ) .
4) 判别 f ( x ) C 的方法 若 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) C 5) 三个定理之间的内在联系 柯西中值定理
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( )
证明: 令 F ( x )
f (x) x ,
由已知条件知 F ( x ) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导， 且 F ( a ) 0 F (b ) 故由罗尔定理知, ( a , b ), 使 F ( ) 0 , 即
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故 f '( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理
的一切条件, 但在区间[-2，2]内找不到一点能
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x
0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
பைடு நூலகம்
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
驱动微分学产生的三个问题：
1. 求运动物体的瞬时速度； 2. 求曲线某点处切线的斜率； 3. 求最大值和最小值。
本章要介绍的内容：
1. 微分中值定理 2. 求极限的一个新方法 3. 泰勒公式 4. 函数的性态与作图
3.1 中值定理
函数的极值
定义. 设函数f (x)定义在区间I上，点x0 I，若存在点x0的
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
如何从理论上证明？
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
当x U (x0, ),且x x0时
f'
( x0
)
lim
xx
0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点， 则 f '(x0 ) 0
由于f '(x)存在
0
f
'
(
x0
)
f
'(x)
f
'
(
x0
)
0
即f '(x) 0
通常称f '(x0 ) 0的点x0为f (x)的驻点。
最值：包含最大值和最小值 最值是对于函数f (x)在整个定义域内的函数值而言的。 最值是函数的整体性质； 极值是函数的局部性质。
x0是函数f (x) (x D(x))的最值点：x D(x), f (x) f (x0) 而由于极值的局部性，可以产生：极小值不一定比极大值小。
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，则 f '(x0 ) 0
拉格朗日中值定理
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导,
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，
则 f '(x0 ) 0
证明. 不妨假设x0是f (x)的极大值点，
即, 0,x U (x0, ), f (x) f (x0 ) 故，当x U (x0, ),且x x0时
f'
( x0
)
lim
xx
0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
问题：是不是所有的极值点都是驻点？
是不是所有的驻点都是极值点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
某一领域U (x0, ) I，使得x U (x0, ), 恒有
f (x) f (x0 ) (或f (x) f (x0 )) 则称f (x0 )为函数f (x)的一个极大值（或极小值） 点x0称为f (x)的极大（极小）值点。
函数的极大值与极小值统称为极值； 极大值点与极小值点统称为极值点。
函数的最值
2 b
x
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,