考研数学中值定理五大注意事项
考研数学中值定理五大注意事项
考研数学中值定理五大注意事项来源：文都图书中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。
1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。
3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。
5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。
其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。
复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。
辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。
第二就是存在两个点使之满足某表达式。
这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。
上述就是值定理需要注意的事项。
希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。
微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。
积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
考研数学高数有哪些中值定理的复习重点
考研数学高数有哪些中值定理的复习重点考研数学高数有哪些中值定理的复习重点高等数学七大中值定理是大家在学习过程中认为最难的部分，而中值定理一般是考试中必考的，得分率不高，希望考生好好把握。
店铺为大家精心准备了考研数学高数7大中值定理的复习要点，欢迎大家前来阅读。
考研数学高数7大中值定理重点详解七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
对使用每个定理的体会学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。
应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。
2012考研数学之高数--考点详解之中值定理
2012考研数学之高数--考点详解之中值定理（1）充分重视考研数学考试大纲，逐条分析，潜心研究，全面复习。
“大纲”实际上就是教育部为考生所划的复习范围，考生应参照大纲，全面复习，不留遗漏，这是复习的基本对策。
通过复习比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法。
（2）基本训练要反复进行。
对于考研数学，要做一定数量的题。
提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多样，一题多变，要训练抽象思维能力。
对一些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到“熟能生巧”。
基本功扎实的人，遇到难题办法也多。
（3）注意突出复习重点，紧紧抓住考试热点。
一般地说，大纲中要求理解的内容，要求掌握的方法就是考试的重点，而近几年的考试中重复出现的内容就是考试热点。
事实证明，最新的考题与往年的考题非常雷同的占50分左右，这些考题大部分改变一种说法，但解题思路几乎一样。
一是要注意年年被考到的内容，二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。
（4）注意各章节之间的内在联系，注意综合性的典型考题的分析，来提高考生解决综合性问题的能力。
数学有其自身的规律，其表现的一个重要特征是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，这种相互之间的联系给综合命题创造了条件。
尽管考试千变万化，但是知识结构基本相同，题型相对固定。
提炼题型的目的就是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题速度和准确性。
（5）加强考研前强化训练，做几套模拟试卷必不可少。
许多考生往往看得多，练得少。
有些考生在考后抱怨题太多，做不完或做错。
其原因就是平时缺少练笔的机会以及考前没有进行强化训练。
所以建议考生在限定时间里系统做几套模拟题或样题，然后对照答案自己分析总结。
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结中值定理这一块是考研数学的重点同时也是难点，对于中值定理这一块的相关证明题，很多同学一碰到，多数是束手无措，难以找到解题的突破口，现在跨考教育数学教研室易老师就这一问题做详细的方法介绍。
这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明（介值或零点定理），若有导数则采用微分中值定理来证明（罗尔、拉格朗日、柯西定理），这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。
一、结论中无导数的情况结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。
例1 ()f x 在[]0,3上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，证明：至少存在一点[]0,3c ∈，使得() 1.f c =分析：待证结论中无导数，则用闭区间连续函数的性质来证，且待证的结论的中值在闭区间上，故应采用介值定理来证明。
证明：()f x 在[]0,2上连续，,m M ∴∃使3(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤1m M ⇒≤≤,∴由介值定理可得结论。
二、结论中有导数情况① 结论中有导数，无端点信息，则采用罗尔定理来证明。
用罗尔定理来证明的常见题型：● 型一：()()0n f ξ=● 型二：结论中仅有ξ的相关表达式，且导数相差一阶用罗尔定理来证明题时，难点就在找原函数上，找原函数的常用方法分为两种，一为观察法，二为积分法。
观察法：i ）待证结论若为这种形式'()g()()g'()0()()f f f x g x ξξξξ+=⇐原函数为ii ）待证结论若为这种形式()'()()()'()0()f x fg f g g x ξξξξ-=⇐原函数为积分法：i ）待证结论若为这种形式()'()()()0()()g x dx f g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为ii ）待证结论若为这种形式()"()()'()0()'()g x dxf g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为 例2 ()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(1)0,f =证明：(0,1)ξ∃∈，使得 '()2()0f f ξξξ+=分析：有导数，无端点信息，采用罗尔定理。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理使用条件
中值定理使用条件
（原创版）
目录
1.中值定理的概念
2.中值定理的使用条件
3.中值定理的应用举例
正文
【1.中值定理的概念】
中值定理，是微积分学中的一个重要定理，主要用于证明函数在某一
区间内的平均变化率等于该函数在该区间内某一点（即中间值）的瞬时变
化率，即导数。
该定理在数学分析、物理学、经济学等各种学科中都有着
广泛的应用。
【2.中值定理的使用条件】
中值定理的使用条件主要有以下几点：
（1）函数的连续性：中值定理要求函数在其定义域内连续，这是使
用中值定理的最基本条件。
（2）函数的导数存在：即函数在某一区间内可导，这是使用中值定
理的核心条件。
（3）拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可导，在开
区间 (a,b) 内存在连续函数 F(x)，且 F"(c)=0，则存在ξ∈(a,b)，使
得 f(b)-f(a)=f"(ξ)F(b)-f"(ξ)F(a)。
（4）罗尔定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得 f"(ξ)=0。
【3.中值定理的应用举例】
（1）证明函数的单调性：通过中值定理，可以判断函数在某一区间内的单调性，从而对函数的性质有更深入的理解。
（2）求函数的极值：利用中值定理，可以求出函数在某一区间内的极值，为函数的优化问题提供理论依据。
（3）证明不等式：中值定理也可以用于证明一些不等式，如拉格朗日中值定理可以用于证明柯西不等式。
考研数学三大纲解析之中值定理
大纲解析之中值定理：1，理清定理内容，熟练运用理论定理有：费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。
前四个定理属于微分中值定理的部分，中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质，最后一个为积分相关定理。
而这里，除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外，其余定理是要求同学们会证明的。
2，总结做题思路，具体分析问题中值相关证明大部分情况下应从结论出发。
考研中所要求的关于中值定理这块的证明百分之六十到七十都是要去用罗尔定理来证明的。
在做此类证明时，同学们要看所要证明的式子是含一个中值还是两个中值，紧接着要看所要求的中值是属于开区间还是闭区间的。
（1）所要证明的式子含有一个中值如果是在含有一个中值的前提下，再看是否含有导数。
若是含一个中值，且这个中值时属于开区间的，并且有含有导数，这时我们往往要考研罗尔定理。
在确定用罗尔定理的前提下，紧接着我们就是构造辅助函数并且找两个点的函数值相等，当然这里同学们在找两个相等点时，不一定要求是找区间的端点，也有可能是区间内部的点。
如果含有一个中值，中值所属于的区间是开区间或者是闭区间，并且不含有导数，那考虑闭区间上连续函数的性质，在第一章闭区间上连续里我们有两个常用的定理--零点定理和介值定理。
如果区间是开区间则选择零点定理，如果区间是闭区间则选择介值定理来证明。
这是一个中值的情况。
（2）所要证明的式子含有两个中值如果需要证明的式子中含有两个中值，这个时候同学们要考虑需要用几次定理来证明。
若是要出现两个中值，一定是用了两次中值定理。
当然，在用两次定理后，这时一定会得到两个式子，而最终所得到的式子含两个中值应该为前面所得到的两个式子合并后的结果。
根据历年真题的详细解读，含有两个中值的情况一般同学们可考虑用两次拉格朗日中值定理或一次拉格朗日中值定理和一次柯西定理。
具体怎么用这个两个定理，以及如何选择辅助函数，一般可以通过所要证明的式子来确定。
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考研数学中值定理五大注意事项
来源：文都图书
中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。
1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。
3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。
5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。
其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。
复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。
辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。
第二就是存在两个点使之满足某表达式。
这样的题
目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。
上述就是值定理需要注意的事项。
希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。