2016考研数学中值定理证明思路总结
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理是微积分中的一个重要定理，描述了一种函数的平均斜率与函数其中一点的斜率之间的关系。
下面将介绍中值定理的应用方法与技巧。
一、介值定理的应用方法1.求函数的零点：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$异号，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，通过寻找$f(a)$和$f(b)$异号的区间，可以确定函数的零点的存在性和位置。
2.确定函数的最值：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$是函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的最小值和最大值，那么在区间$(a,b)$内必然存在一个点$c$，使得$f(c)$是函数的最小值和最大值。
因此，可以通过求解极值点来确定函数的最值。
3.求解方程与不等式：根据介值定理，如果$f(a)<0$且$f(b)>0$，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，可以通过将方程或不等式转化为函数，然后求解函数的零点来求解方程或不等式。
4.判断函数的增减性：根据介值定理，如果函数$f'(x)>0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递增的；如果函数$f'(x)<0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递减的。
因此，可以通过求导并分析导数的符号来判断函数的增减性。
二、中值定理的技巧1.构造辅助函数：有时候使用中值定理计算问题会比较复杂，需要构造辅助函数来简化计算。
辅助函数的选择需要考虑计算的便利性和准确性。
2.利用函数的性质和对称性：中值定理的应用过程中可以利用函数的性质和对称性来简化计算。
例如，如果已知$f(-x)=f(x)$，可以利用这一对称性将问题转化为求解正数情况下的解析表达式。
3.通过作图来理解问题：在使用中值定理计算问题时，可以通过绘制函数的图像来帮助理解问题，辅助解题。
通过图像可以直观地看到函数的变化趋势和函数的性质，更容易理解和判断。
中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一项重要定理，它表明如果一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取两个不同的值$f(a)$和$f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内，函数$f(x)$必然取到介于$f(a)$和$f(b)$之间的所有值。
中值定理的证明是通过构造一个辅助函数$g(x)$，它将闭区间$[a,b]$映射到实数区间$[f(a),f(b)]$上，并利用连续函数的性质来证明中值定理。
证明过程如下：1.首先，我们定义辅助函数$g(x)=f(x)-k$，其中$k$是一个常数。
我们的目标是证明如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$必然等于$0$。
2.根据函数$g(x)$的定义，我们可以得到$g(a)=(f(a)-k)$和$g(b)=(f(b)-k)$。
由于$g(a)$和$g(b)$异号，即$(f(a)-k)$和$(f(b)-k)$异号，所以$g(x)$在$[a,b]$上一定有一个根。
3. 接下来，我们要证明在开区间$(a,b)$内，$g(x)$没有其他根。
假设在$(a,b)$内存在一个根$x=c$，即$g(c)=0$。
根据连续函数的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = g(c) = 0$。
又因为$f(x)$是连续函数，所以$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。
4. 根据极限的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} [f(x)-k] = f(c)-k$。
由于$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，所以$f(c)-k=0$，即$f(c)=k$。
这意味着$f(c)-k=0$是$g(x)$的唯一根。
5.综上所述，我们可以得出结论，如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$的根只有$f(c)-k=0$。
2016考研数学中值定理之泰勒中值定理
中值定理这部份的考点要紧包括五大定理：费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，它们在考研中主若是以证明题的形式考查大伙儿。
今天咱们要紧讨论泰勒中值定理，泰勒中值定理在高等数学中的应用是超级多的。
它的应用不单单局限在证明题中，它还能够用到极限的计算中、幂级数的展开和求和等，关于2016年的考生而言，此刻还处于温习的基础时期，那个时期不需要把握泰勒中值定理的全数应用，只需要把握它的大体内容即可。
泰勒中值定理的内容是复杂的，为了帮忙大伙儿专门好的明白得，下面咱们来推导一下泰勒中值定理。
关于基础时期而言，大伙儿把握上面的大体内容就能够够了，具体每一个定理是怎么用的，是下个时期大伙儿要攻克的问题。
中值定理的证题技巧
x
0
,所以可令
F(x)
g2 f x 。
g(x)
(3)要证 f f g 0 即证 eg
x
0
，所以可令
F(x) egx f
x。
(ii)消去导数法
将结论中的 换成 x ，通过变形后积分消去导数
符号，再移项使等式一边为0，则另一边就是辅助
专业: 数学与应用数学 班级: 数学092班 学号 : 0920151224 姓 名: 涂淑瑶 指导老师：徐建平
目录
内容摘要 1 中值定理的内容及联系 2 应用中值定理的基本步骤及建立辅助函数的几点
体 3 微分中值定理证明命题的方法和技巧 3.1 形如“在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f k kR”
的相关命题的证明方法
（1）要证至少存在一点 a,b ,使 f k的命题 两边积分得 f x kx 0,建立辅助函数F x f x kx ,则 Fx f xk 0 , 从而有 f k。
（2） 要证至少存在一点 a,b ,使得 f n 0
的命题。
此时，中值定理中的那个函数是 f n1 x ,中值定理
函数 F x 。
如要证至少存在一点 0,1 ，使 f x 1 。
如何建立辅助函数？可把 换成 x ，设f 1， 积分消去导数符号有 f x x c (可令 c 0 )， 移项得辅助函数 F x f x x 。
(iii) 常数 k值法
此法就是将含有区间端点值及端点函数值的式记 为 k ，其中构造辅助函数的基本步骤为：
系式”的相关命题的证明方法
以上所列命题中只含有一个中值，但有些命题 中会出现两个中值，此时一般需要使用两次拉格 朗日中值定理或柯西中值定理，或一次拉格朗日 中值定理、一次柯西中值定理。证明该类型题目 时，一般将含有 ,表达式分离到等式的两边， 对较为明显的一边运用一次中值，可将等式转化 为只含有一个中值的情形。
中值定理证明方法总结(1)
可适当减弱.
例如, 设 f(x) 在(a,b) 内可导,且 f(a+ 0) = f(b− 0),
则至少存在一点 ξ∈(a,b), 使 f′(ξ) = 0 .
证:
设辅助函数
F(x)
=
⎪⎧ a⎨<ff(x(a<x+) ,b0),
x= a
⎪ x=⎩b f(b−
显然 F(x)在[a,b] 上0连) ,续, 在(a,b) 内可导, 由罗尔
=
h(a) h(b) 0 h′(ξ)
证: 按三阶行列式展开法有
f(a) f(b) f′(ξ) g(a) g(b) g′(ξ)
h(a) h(b)
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f′(ξ)
−=h′fh(((ξaa)))
f(b) g′ h(b)
ξ(
)
f(a) f(b) h′(ξ) g(a) g(b)
+
f(a) a
x
显然 , ϕ(x) 在 [ a, b] 上连续 , 在 ( a, b) 内可导, 且
ϕ(a) = bf(a) − af(b)
=
ϕ思(b路),思由路罗思尔b路−定思a理路知:至利少用存逆在向一思点维逆向思维逆向思维逆向
思维找出一ξ个∈(满a,足b),罗使尔ϕ定′(ξ理) =条件0, 的即函定数理结论
y= f(x) 满足:
(1) 在区间 [ a, b] 上连续
o
(2) 在至区少间存在( a一, b点) 内ξ∈可(导a,b) ,
使
aξ f′(ξ) =
bx f(b) − f(a).
证: 问题转化为证 作辅助函数
f′(ξ) − f(b) − f(a) =
b− a
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第五讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。
掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值.（2）零点定理设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续（2）)(x f 在),(b a 内可导（3）)()(b f a f =则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf3、 拉格朗日中值定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续（2）)(x f 在),(b a 内可导则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ4、 柯西中值定理若函数)(),(x g x f 满足:（1）在[]b a ,上连续（2）在),(b a 内可导（3）0)('≠x g则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--5、 泰勒公式如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在),(b a 内时, )(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即 )())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba ⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n =><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++= 212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+*例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==bb a a dx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。
中值定理总结
中值定理总结
中值定理是数学及物理中的重要定理，它的内容是：设f(x) 有二次导数，则及时在区间内f(x)的极大值点和极小值点存在，每段区间至少存在一个零点。
中值定理的基本思路是：大的变化总是由小的变化预先引起的，大的变化比小的变化发生得更快。
这个思路正好体现了中值定理的内涵：在一段区间内，函数一定要经历一个极大值或极小值之前，必须先经历一个零点。
中值定理常用来解决极值问题，通常会通过求导的方法来求解，即先求函数的一阶导数和二阶导数，然后计算得出其中极大值或极小值点，用中值定理来求出函数经过的零点，最终得出极值的结果。
中值定理也广泛用于几何图形的求解，可以用中值定理求出平面上的两条曲线交点，从而完成平面几何图形的构造。
由于中值定理的简单易用，它经常被用在函数的极值和零点的求解、运动学和变分法中，在理论物理学也有广泛的应用。
正是由于中值定理，我们才能更好地阐明物理规律，才能更深入地了解自然现象。
- 1 -。
2016考研数学中值定理题型答题技巧分析
2016考研数学中值定理题型答题技巧分析在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面文都网校考研数学老师对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位2016考研的考生参考。
一、中值定理证明题的特点中值定理证明题主要有以下一些特点：1.中值定理证明题常常需要作辅助函数;2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质(包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理)，微分中值定理和积分中值定理;3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理;4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。
二、中值定理证明题的常用方法中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种：1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明;对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质;2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理;3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。
对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。
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2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。
下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。
1.具体考点分析
首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?
第一：闭区间连续函数的性质。
最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。
推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。
介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。
零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。
第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)
费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。
罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ
柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导
(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。
第三：积分中值定理：
如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立
加强版：如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在(a, b)上至少存在一个点ξ，使下式成立
第四：变限积分求导定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：
第五：牛顿--莱布尼茨公式：如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，并且存在原函数F(x) ，则
2.注意事项
针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的“小信号”，希望大家理解清楚并掌握：
1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。
3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。
5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。
其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。
复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。
辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。
第二就是存在两个点使之满足某表达式。
这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。
When you are old and grey and full of sleep,
And nodding by the fire, take down this book,
And slowly read, and dream of the soft look
Your eyes had once, and of their shadows deep;
How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,
But one man loved the pilgrim soul in you,
And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled
And paced upon the mountains overhead
And hid his face amid a crowd of stars.
The furthest distance in the world
Is not between life and death
But when I stand in front of you
Yet you don't know that
I love you.
The furthest distance in the world
Is not when I stand in front of you
Yet you can't see my love
But when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.
The furthest distance in the world
Is not being apart while being in love
But when I plainly cannot resist the yearning
Yet pretending you have never been in my heart.
The furthest distance in the world
Is not struggling against the tides
But using one's indifferent heart
To dig an uncrossable river
For the one who loves you.
倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。
面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。
在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临…
许下一个愿望，不乞求去实现，至少，曾经，有那么一刻，我那还未枯萎的，青春的，诗意的心，在我最美的年华里，同星空做了一次灵魂的交流…
秋日里，阳光并不刺眼，天空是一碧如洗的蓝，点缀着飘逸的流云。
偶尔，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。
斑驳的印迹里，携刻着深秋的颜色。
在一个落雪的晨，这纷纷扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。
窗外，是未被污染的银白色世界。
我会去迎接，这人间的圣洁。
在这流转的岁月里，有着流转的四季，还有一颗流转的心，亘古不变的心。