2018考研数学常见出证明题
山东大学2018年数学分析考研试题及解答
1)
−
sin
x,
即fn(x)逐
点收敛于f (x) = sin(x + 1) − sin x.下面按定义来说明fn(x)一致收敛于f (x).
n
k
n
k
n1 1
|fn(x) − f (x)| =
cos(x + t) − cos x +
dt
k−1
n
= → 0, (n → ∞). n2 n
k=1 n
k=1
1
f
2 x
, 0<x
1,并且设g(0) = 0. 那么,当2m
2 x
< 2m + 1,
m
∈
Z,
即2 2m+1
<x
g(x)
=
0.
类似地,
当1 m
<
x
2 2m+1
,
m ∈ Z时,
g(x) = 1.
1 m
时,
上面定义的g(x)是[0, 1]上的有界函数, 并且容易看出g(x)在[0, 1]上Riemann可积. 而对于任
意一个在[0, 1]上Riemann可积的函数g(x)均有:
limn→∞
1 n
n k=1
g
k n
=
1 0
g(x)
dx,通过做
差就能证明. 综合前述两点, 就能得到
原式 = lim 1 n g k
n→∞ n
n
k=1
1
= g(x) dx
0 ∞
=
m=1
2
1
−
2m + 1 m + 1
∞ (−1)k−1 =2
2018考研高数重要定理证明：求导公式
2018考研高数重要定理证明：求导公式2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。
该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。
利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。
这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。
之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。
再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。
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北京大学2018年数学分析试题及解答
在 (0, 0)
点局部
2 阶连续可微,
∇f (x, φ(x)) =
0,
(
)
∂ijf (0, 0) 2×2
为半正定非 0 阵. 证明 f 在 (0, 0) 点取得极小值.
6.
(20
分)
证明:
e−x
+ cos(2x) + x sin x
=
0
在区间
(
)
(2n − 1)π, (2n + 1)π
恰有两个根
x2n−1
+
)) 1
sin(xn) − xn ∑ ∞ (−1)k−1 (xn)2k−2 ∑ ∞ (−1)k (xn)2k
=
=
xn
(2k − 1)!
(2k + 1)!
k=2
k=1
∫ 1 sin(xn) − xn dx = ∑ ∞
(−1)k
0
xn
(2k + 1)!(2nk + 1)
k=1
∑ ∞ ⩽
1
(2k + 1)!(2n + 1)
x4
∈ (0, 1).
证明:
对任意
λ
∈
(α, β),
存在
x5,
x6
∈
(0, 1),
使得
λ
=
f (x6) x6
− −
f (x5) . x5
3. (10 分) 设 γ 是联结 R3 中两点 A, B 且长度为 L 的光滑曲线, U 是 R3 中包含 γ 的开集, f 在 U 上连续可
微, 梯度 ∇f 的长度在 γ 上的上界为 M . 证明:
(−1)k 2k(2k+1)!
2018考研数学：易出证明题的知识点总结_毙考题
2018考研数学：易出证明题的知识点总结
要命的数学每年都会难倒一大批考研党，各位考研党可得在数学上多下功夫了。
今天小编整理了一下容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。
高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。
【干货】2018考研数学可能考的公式及定理的证明
【干货】2018考研数学可能考的公式及定理的证明
1.叙述并证明函数极限的局部保号性定理。
2.叙述并证明函数极限的局部有界性定理。
3.叙述并证明有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
4.叙述并证明数列的夹逼准则。
5.叙述并证明等价无穷小的充要条件。
6.叙述并证明费马定理。
7.判别极值的第一和第二充分条件。
8.叙述并证明罗尔定理。
9.叙述并证明柯西中值定理。
10.叙述并证明牛顿-莱布尼茨公式。
11.叙述二元函数在一点可微的必要条件并证明，同时写出全微分形式。
12.叙述若二元函数在一点可偏导，其取得极值的必要条件并证明。
13.证明一阶线性微分方程的通解公式。
14.证明正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界（仅数一、三）
15.叙述并证明幂级数绝对收敛的阿贝尔定理（仅数一、三）
16.叙述并证明格林公式（仅数一）
证明过程如下：
【注】。
2018年考研数学三真题及解析
2018年考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim lim x x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x xx x =在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导.2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()1011.0.22f x dx f f ⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018考研数学三真题及答案
2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018考研数学二真题及答案解析
2018考研数学二真题及答案解析今年的考研数学二科目中，涉及了多个不同的数学领域，包括代数、概率论、数理统计等等。
以下是对2018考研数学二真题及答案进行详细解析。
【第一题】已知函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R)的图像经过点P(2, 3)，且在点x=1处的切线方程为y=3x+c1，求a, b, c。
解析：首先，由题意可知，点 (2, 3) 在函数曲线上，则有 f(2) =a(2)^2 + b(2) + c = 3。
解方程得到：4a + 2b + c = 3。
(1)接着，题目还给出了在点 x = 1 处的切线方程为 y = 3x + c1，这说明函数在点 (1, 3+c1) 处的斜率等于切线的斜率，即 f'(1) = 3。
对函数 f(x) 进行求导得到：f'(x) = 2ax + b。
带入 x = 1，得到 2a + b = 3。
(2)综合方程 (1) 和方程 (2)，我们可以解得 a = 1, b = 1, c = -1。
因此，函数 f(x) 的表达式为 f(x) = x^2 + x - 1。
【第二题】假设某学校的学生人数为 N，每个学生中会有80%的人使用微信，而在使用微信的学生中，会有70%的人添加了学校微信公众号。
现在已知学校微信公众号的关注人数为10000人，求学生总数N。
解析：设学生总数为 N，使用微信的学生人数为 0.8N，而添加了学校微信公众号的学生人数为 0.7(0.8N) = 0.56N。
根据题意，已知学校微信公众号的关注人数为10000人，代入上述得到的表达式可得：0.56N = 10000。
解方程得到：N = 10000/0.56 ≈ 17857。
因此，学生总数 N 约为 17857人。
【第三题】设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且已知P(A) = 0.6，P(B') = 0.3，求 P(A ∪ B)。
解析：首先，已知 P(B') = 0.3，即事件B的补事件发生的概率为0.3，则事件B发生的概率为1-0.3 = 0.7。
2018年理数真题分类训练专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案
专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明答案部分< a 1 a 2a 3 1，所以 a 4 < 1，又a 11，所以等比数列的公比而 4 a 2 a 3 > a 1 1，所以 In(a 1 a 2 a 3) 0 ,表示的区域包含原点，不等式 ax y 4表示的区域不包含原点•直线 ax y 4与直 线X ay 2互相垂直，显然当直线ax y 4的斜率 a 0时，不等式ax y 4表1. B 【解析】解法一因为Inx < x1 (x 0)，所以 a i a2 a3 a4 In (a i a 2 a 3)右 q w 1，则 a 1a ? a 3 a 4印(1 q)(1 q 2) < 0 ,所以a 1 a3， a2a 4，故选B.解法二 因为e x> x1, a1a 2 a 3 a 4 In (a 1 a 2 a 3),所以e® a2a 3 a 4■a1a ? a 3 > a 1 a2a s a 4 1, 则a 4 w又a 11，所以等比数列的公比 q 0.若q w 1，则 a 1 a 2 a 3 a 4 a 1(1 q)(1 q 2) w 0 ,而 4 a 2 a 3 > a 1 1，所以 In(a 1 a 2a3)与1门（印a2a 3)3]a ? a 3 a 4w 0矛盾，所以1 q 0，所以 a 1 a 3 a 1(1 q 2) 0 ,a2a 4 a 1q(2所以1 0，所以 a 1 a 3 a 1(1 q )0 , a 2 a 4 a 1q(1q 所以a 1a 3, a 2a 4，故选 B.1q 2)与1门（印 a2a 3) q a 2 a 3 a 4 < 0 矛盾, q 2)2. D 【解析】 解法一 点（2,1）在直线X y 1上，axy 4表示过定点（0,4）,斜率为 a的直线, 当a 0时，X ay 2表示过定点（2,0）1,斜率为1的直线，不等式x ay < 2a3示的区域不包含点（2,1），故排除 A ;点（2,1）与点（0,4）连线的斜率为 -，当2a -，即a 3时，ax y 4表示的区域包含点 （2,1），此时x ay 2表示的 2 23 34的斜率 a -，即a -时,2 2 ax y 4表示的区域不包含点（2,1）,故排除C ,(2,1) A .故选 D .区域也包含点（2,1），故排除B ；当直线ax y解法二若（2,1） A ,则2a2 1 4，解得aa < 23,所以当且仅当a<-时，2 23. 27【解析】所有的正奇数和 2n(n ）按照从小到大的顺序排列构成 {a n },在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即 a 2i CO2 , a 382 .当 n 1 时，S 1 12a 2不符合题意；当n 2时，S23 12a 3 36 ,不符合题意；当n 3时， S 3 6 12a4 48，不符合题意;n 4时，S 410 12a 5 60，不符合题意;当 n 26 时，S 2621^ 22 (1 2)= 441 +62= 503< 12a 27516 ,不符合题1 2意；当 n 27 时，S 2722 (143) 2 (125)=484 +62=546>12a 28 =540，符合题意.故使得S n 12a n 1成立的n 的最小值为27. 4.[解析】(1)因为 (1,1,0),（0,1,1），所以M(, )-[(1 1 |1 1|) (1 1 |1 1|) (0 0) |0 0|)] M(,)2[(1 0 |10|) (1 1 |1 1|) (0 1 |0 1|)]⑵设(X 1,X 2,X 3, X 4)则 M ( , ) X 1 X 2 X 3 X 4 .由题意知 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 € {0 , 1}，且 M (,)为奇数, 所以x 1, X 2 , X 3 , X 4中1的个数为1或3 . 所以B{(1 , 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 1),3 (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1 , 0)}.将上述集合中的元素分成如下四组：所以集合 B 中元素的个数不超过 4．(k 1,2, ,n) ，所以B 中元素的个数不超过 n 1.令B （06, ,e ni ）US n US ni ，则集合B 的元素个数为 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.5.【解析】 ⑴记（abc ）为排列abc 的逆序数，对1, 2, 3的所有排列，有(123)=0， (132)=1， (213)=1， (231)=2， (312)=2， (321)=3 ， 所以 f 3(0) 1， f 3(1) f 3(2) 2.对 1， 2， 3， 4的排列，利用已有的 1， 2， 3的排列，将数字 4添加进去， 4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此， f 4(2) f 3(2) f 3(1) f 3(0)5.⑵对一般的n （n > 4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12 n ,所以人（0） 1 .（1，0，0，0），（1，1，1，0）；（0， 10，0），（1，1，0，1）； （0，0，1，0），（1，0， 1，1）；（0，0，0，1），（0，1，1， 1)． 经验证，对于每组中两个元素，均有 M （ , ） 1．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．又集合 ｛（1 ，0，0，0），（0，1，0， 0），（0，0，1， 0），（0，0， 0，1）｝ 满足条件， 所以集合 B 中元素个数的最大值为4．(3)设 S k {( x 1, x 2, , x n )|(x 1,x 2, ,x n ) A,x k1, X 1 X 2 X k 1 0}S n 1 {( X 1, X 2, , X n ) | X 1x 2 xn0}，则 A S 1 U S 2 U U S n 1．对于 S k ( k 1,2, , n 1 ）中的不同元素，经验证， M( , ) > 1.所以 S k ( k 1,2,,n 1 ）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素.取 e k (X 1,X 2, ,X n ) S k 且 X k 1x n 0(k 1,2, ,n 1).n 1 ，且满足条件.2 2逆序数为1的排列只能是将排列12 n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列, 所以 f n (1) n 1为计算f n 1(2)，当1, 2,…，n 的排列及其逆序数确定后， 将n 1添加进原排列，n 1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，f n l (2) f n (2) f n (1) f n (O) f n (2) n .f n (2) [f n (2) f n l (2)] [f n1 (2) 2(2)]…[f 5(2) f 4(2)] f 4(2)(n 1) (n 2)f 4(2)因此,n > 5时，f n (2)2 2。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。
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2018考研数学常见出证明题
要命的数学每年都会难倒一大批考研党，各位考研党可得在数学上多下功夫了。
在此整理了容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。
高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强, 涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1. 零点定理和介质定理；
2. 微分中值定理；
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3. 微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。