2018考研数学常见出证明题
山东大学2018年数学分析考研试题及解答
1)
−
sin
x,
即fn(x)逐
点收敛于f (x) = sin(x + 1) − sin x.下面按定义来说明fn(x)一致收敛于f (x).
n
k
n
k
n1 1
|fn(x) − f (x)| =
cos(x + t) − cos x +
dt
k−1
n
= → 0, (n → ∞). n2 n
k=1 n
k=1
1
f
2 x
, 0<x
1,并且设g(0) = 0. 那么,当2m
2 x
< 2m + 1,
m
∈
Z,
即2 2m+1
<x
g(x)
=
0.
类似地,
当1 m
<
x
2 2m+1
,
m ∈ Z时,
g(x) = 1.
1 m
时,
上面定义的g(x)是[0, 1]上的有界函数, 并且容易看出g(x)在[0, 1]上Riemann可积. 而对于任
意一个在[0, 1]上Riemann可积的函数g(x)均有:
limn→∞
1 n
n k=1
g
k n
=
1 0
g(x)
dx,通过做
差就能证明. 综合前述两点, 就能得到
原式 = lim 1 n g k
n→∞ n
n
k=1
1
= g(x) dx
0 ∞
=
m=1
2
1
−
2m + 1 m + 1
∞ (−1)k−1 =2
2018考研高数重要定理证明：求导公式
2018考研高数重要定理证明：求导公式2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。
该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。
利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。
这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。
之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。
再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。
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北京大学2018年数学分析试题及解答
在 (0, 0)
点局部
2 阶连续可微,
∇f (x, φ(x)) =
0,
(
)
∂ijf (0, 0) 2×2
为半正定非 0 阵. 证明 f 在 (0, 0) 点取得极小值.
6.
(20
分)
证明:
e−x
+ cos(2x) + x sin x
=
0
在区间
(
)
(2n − 1)π, (2n + 1)π
恰有两个根
x2n−1
+
)) 1
sin(xn) − xn ∑ ∞ (−1)k−1 (xn)2k−2 ∑ ∞ (−1)k (xn)2k
=
=
xn
(2k − 1)!
(2k + 1)!
k=2
k=1
∫ 1 sin(xn) − xn dx = ∑ ∞
(−1)k
0
xn
(2k + 1)!(2nk + 1)
k=1
∑ ∞ ⩽
1
(2k + 1)!(2n + 1)
x4
∈ (0, 1).
证明:
对任意
λ
∈
(α, β),
存在
x5,
x6
∈
(0, 1),
使得
λ
=
f (x6) x6
− −
f (x5) . x5
3. (10 分) 设 γ 是联结 R3 中两点 A, B 且长度为 L 的光滑曲线, U 是 R3 中包含 γ 的开集, f 在 U 上连续可
微, 梯度 ∇f 的长度在 γ 上的上界为 M . 证明:
(−1)k 2k(2k+1)!
2018考研数学：易出证明题的知识点总结_毙考题
2018考研数学：易出证明题的知识点总结
要命的数学每年都会难倒一大批考研党，各位考研党可得在数学上多下功夫了。
今天小编整理了一下容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。
高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。
【干货】2018考研数学可能考的公式及定理的证明
【干货】2018考研数学可能考的公式及定理的证明
1.叙述并证明函数极限的局部保号性定理。
2.叙述并证明函数极限的局部有界性定理。
3.叙述并证明有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
4.叙述并证明数列的夹逼准则。
5.叙述并证明等价无穷小的充要条件。
6.叙述并证明费马定理。
7.判别极值的第一和第二充分条件。
8.叙述并证明罗尔定理。
9.叙述并证明柯西中值定理。
10.叙述并证明牛顿-莱布尼茨公式。
11.叙述二元函数在一点可微的必要条件并证明，同时写出全微分形式。
12.叙述若二元函数在一点可偏导，其取得极值的必要条件并证明。
13.证明一阶线性微分方程的通解公式。
14.证明正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界（仅数一、三）
15.叙述并证明幂级数绝对收敛的阿贝尔定理（仅数一、三）
16.叙述并证明格林公式（仅数一）
证明过程如下：
【注】。
2018年考研数学三真题及解析
2018年考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim lim x x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x xx x =在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导.2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()1011.0.22f x dx f f ⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018考研数学三真题及答案
2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018考研数学二真题及答案解析
2018考研数学二真题及答案解析今年的考研数学二科目中，涉及了多个不同的数学领域，包括代数、概率论、数理统计等等。
以下是对2018考研数学二真题及答案进行详细解析。
【第一题】已知函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R)的图像经过点P(2, 3)，且在点x=1处的切线方程为y=3x+c1，求a, b, c。
解析：首先，由题意可知，点 (2, 3) 在函数曲线上，则有 f(2) =a(2)^2 + b(2) + c = 3。
解方程得到：4a + 2b + c = 3。
(1)接着，题目还给出了在点 x = 1 处的切线方程为 y = 3x + c1，这说明函数在点 (1, 3+c1) 处的斜率等于切线的斜率，即 f'(1) = 3。
对函数 f(x) 进行求导得到：f'(x) = 2ax + b。
带入 x = 1，得到 2a + b = 3。
(2)综合方程 (1) 和方程 (2)，我们可以解得 a = 1, b = 1, c = -1。
因此，函数 f(x) 的表达式为 f(x) = x^2 + x - 1。
【第二题】假设某学校的学生人数为 N，每个学生中会有80%的人使用微信，而在使用微信的学生中，会有70%的人添加了学校微信公众号。
现在已知学校微信公众号的关注人数为10000人，求学生总数N。
解析：设学生总数为 N，使用微信的学生人数为 0.8N，而添加了学校微信公众号的学生人数为 0.7(0.8N) = 0.56N。
根据题意，已知学校微信公众号的关注人数为10000人，代入上述得到的表达式可得：0.56N = 10000。
解方程得到：N = 10000/0.56 ≈ 17857。
因此，学生总数 N 约为 17857人。
【第三题】设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且已知P(A) = 0.6，P(B') = 0.3，求 P(A ∪ B)。
解析：首先，已知 P(B') = 0.3，即事件B的补事件发生的概率为0.3，则事件B发生的概率为1-0.3 = 0.7。
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2018考研数学常见出证明题
要命的数学每年都会难倒一大批考研党，各位考研党可得在数学上多下功夫了。
在此整理了容易出证明题的知识点与小伙伴儿们分享，希望对大家有所帮助。
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。
高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强, 涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1. 零点定理和介质定理；
2. 微分中值定理；
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3. 微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。