中考数学总复习基础讲练第22讲图形的相似(含答案点拨) 新人教版

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广东省中考数学总复习第22讲：相似图形

2021年广东省中考数学总复习第22讲：相似图形一．选择题（共27小题）1．（2019•广东）如图，正方形ABCD 的边长为4，延长CB 至E 使EB ＝2，以EB 为边在上方作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点N 、K ：则下列结论：①△ANH ≌△GNF ；②∠AFN ＝∠HFG ；③FN ＝2NK ；④S △AFN ：S △ADM ＝1：4．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2018•东莞市）在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．12B ．13C ．14D ．16 3．（2020•深圳模拟）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是关于原点为中心的位似图形，且A （2，1），△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为12，则A 的对应点A 1的坐标是（） A ．（4，2）B ．（﹣4，﹣2）C ．（4，2）或（﹣4，﹣2）D ．（6，3） 4．（2020•海珠区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，且AE =13AD ，连接CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ，则S △BGC ：S 四边形ADCG 的值是（）A ．35B ．53C ．57D ．345．（2020•高州市模拟）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠DAB ＝60°，AE 分别交BC 、BD 于点E 、F ，CE ＝2，连结CF ，以下结论：①△ABF ≌△CBF ；②点E 到AB 的距离是√3；③△ADF 与△EBF 的面积比为3：2；④△ABF 的面积为18√35，其中一定成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2020•番禺区一模）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE ＝BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC ＝∠B ；③△AEH ～△DAH ；④AE •AD ＝AH •AF ；其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2020•东莞市校级一模）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE ⊥AB ，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，交AB 于M ，下列说法正确的有（）个①AF ＝BD②∠DOC ＝60°③S △EFMS △BCM =34 ④AF 2＝OD •FMA ．1B ．2C ．3D ．48．（2020•宝安区二模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为边AC 上一点，连接BD ，作AH ⊥BD 的延长线于点H ，过点C 作CE ∥AH 与BD 交于点E ，连结AE 并延长与BC 交于点F ，现有如下4个结论：①∠HAD ＝∠CBD ；②△ADE ∽△BFE ；③CE •AH ＝HD •BE ；④若D 为AC 中点，则S △CEFS △BEF =（CE BE）2．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2020•新丰县模拟）如图，正方形ABCD 中，F 为AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，且AF ＝EC ，连结EF ，DE ，DF ，M 是FE 中点，连结MC ，设FE 与DC 相交于点N ．则4个结论：①DE ＝DF ；②∠CME ＝∠CDE ；③DG 2＝GN •GE ；④若BF ＝2，则MC =√2；正确的结论有（）个A ．4B ．3C ．2D ．110．（2020•花都区一模）如图，D 、E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，∠AED ＝∠B ，若AD ＝1，BD ＝AC ＝3，则AE 的长是（）A ．1B ．32C ．43D ．211．（2020•光明区一模）如图，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD边上，高AG 与正方形的边长相等，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，下列说法： ①∠EAF ＝45°；②连接MG ，NG ，则△MGN 为直角三角形；③△AMN ～△AFE ；④若BE ＝2，FD ＝3，则MN 的长为52√2．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．112．（2020•南山区校级一模）如图，等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 是BC 上的两点，且BD ＝CE ，过D 、E 作DM 、EN 分别垂直AB 、AC ，垂足为M 、N ，交于点F ，连接AD 、AE ．其中①四边形AMFN 是正方形；②△ABE ≌△ACD ；③CE 2+BD 2＝DE 2；④当∠DAE ＝45°时，AD 2＝DE •CD ．正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2020•禅城区模拟）菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，交BD 于F 点，下列结论：①BF 为∠ABE 的角平分线；②DF＝2BF；③2AB2＝DF•DB；④sin∠BAE=EF AF．其中正确的为（）A．①③B．①②④C．①④D．①③④14．（2020•龙岗区一模）如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=√2，则BF＝2；正确的结论有（）个A．4B．3C．2D．1 15．（2020•中山市校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④CHHF =23，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 16．（2020•香洲区校级一模）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①②③17．（2020•顺德区模拟）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF ⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM：S△DEC＝1：4．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．（2020•龙岗区二模）如图，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若AD＝24，BD＝6，则CD的长是（）A．8B．10C．12D．14 19．（2020•龙岗区模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是（）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2√5；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4√2−4．A ．①③④B ．①②⑤C ．①②③D ．②④⑤20．（2020•顺德区模拟）如图，D 、E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，∠ADE ＝∠ACB ，若AD ＝2，DB ＝7，EC ＝3，则AE 的长是（）A ．67B ．3C ．4D ．14321．（2020•顺德区模拟）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝8，DB ＝4，AE ＝6，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．422．（2020•福田区校级模拟）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝2，BC ＝3，DE ＝1.6，则EF ＝（）A ．2.4B ．1.8C ．2.6D ．2.823．（2020•福田区校级模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40cm ，EF ＝20cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米24．（2020•广东一模）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF=13CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个25．（2020•广东模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是a，则四边形BDEC的面积是（）A．a B．2a C．3a D．4a 26．（2020•高州市模拟）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A ．ED EA =DF AB B ．DE BC =EF FB C ．BC DE =BF BED ．BF BE =BC AE27．（2020•江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．1：16二．填空题（共21小题）28．（2018•广州）如图，CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E ．连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ：BE ＝2：3；④S 四边形AFOE ：S △COD ＝2：3．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）29．（2020•白云区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，在△ABC 的外部和内部（不包括边）分别取一点D ，E ，若AD ＝AE ＝4，BD ＝8，CE ＝2，∠CAD 的补角等于∠CAE ，则下列结论：①点A 在线段DE 的垂直平分线上；②△ACE ∽△BAD ；③∠ACB +∠ABC ＝∠BAD +∠CAE ；④BC 的最大值是14．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．30．（2020•高要区一模）已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，要使△AEF 与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）31．（2020•南海区校级模拟）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.5m ，测得AB ＝2m ，BC ＝6m ，则建筑物CD 的高是 m ．32．（2020•梅州模拟）如图，距离不远的两条电线杆高度均为3.2m．在阳光照射下，第一条电线杆在平坦广场上的影长AB＝4.8m，第二条电线杆离墙的距离CD＝3m，且第二条电线杆的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE长度为m．33．（2020•潮南区模拟）△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为．34．（2020•增城区一模）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＜S四边形OECF；①当BP＝1时，tan∠OAE=1316，其中正确结论的是．（请将正确结论的序号填写在横线上）35．（2020•宝安区二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为．36．（2020•湛江模拟）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①OH ⊥BE ：②△EHM ∽△FHG ：③BC CG =√2−1：④S △HOMS △HOG =2−√2，其中正确的结论是．37．（2020•番禺区模拟）如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，过点A 的直线l 交⊙O 于点D ，分别过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为点E 、F ，连接BD 、CD ．已知BE ＝3，CF ＝2，现在有如下4个结论：①∠CDF ＝60°；②△EDB ∽△FDC ；③BC =2√213；④S △ADB =23S △EDB ．其中所有正确结论的序号为．38．（2020•福田区校级模拟）如图，已知AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，以点C 为圆心，4为半径作圆．点D 是⊙C 上的一个动点，连接AD 、BD ，则AD +12BD 的最小值为．39．（2020•龙岗区校级模拟）若a 是2，4，6的第四比例项，则a ＝；若x 是4和16的比例中项，则x ＝．40．（2020•顺德区模拟）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，∠ABC ＝90°，且AB ＝3，点E 是边AB 上的动点，当△ADE ，△BCE ，△CDE 两两相似时，则AE ＝．41．（2020•福田区校级模拟）若a b =13，则a+b a 的值为．42．（2020•禅城区二模）如图，在矩形ABCD 中，E 是边CD 的延长线上一点，连接BE 交边AD 于点F ，若AB ＝40，BC ＝60，DE ＝20，则AF 的长为．43．（2020•顺德区模拟）有一个三角形的面积为1cm 2，把它的边长放大3倍后的三角形面积是 cm 2．44．（2020•惠来县模拟）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．45．（2020•罗湖区模拟）若m n =23，则m−n n = ．46．（2020•南海区一模）如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 长为 cm ．47．（2020•海珠区一模）如图，在△ABC 中∠A ＝60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM ＝PN ；②AM AB =AN AC ；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC ＝45°时，BN =√2PC ．其中正确的是．48．（2020•顺德区校级模拟）若3a ＝5b ，则a b = ．三．解答题（共2小题）49．（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），发现BE ＝DG 且BE ⊥DG ．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE ＝DG 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG 和菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG 与∠BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE ＝DG 仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且AE AG =AB AD =23，AE ＝4，AB ＝8，将矩形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图3），连接DE ，BG ．小组发现：在旋转过程中，DE 2+BG 2的值是定值，请求出这个定值．50．（2020•香洲区校级一模）如图，四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，点M为边AB 上一点（点M不与点A、B重合），连接CM，过点M作MN⊥MC，MN与边BD交于点N．（1）当点M为边AB的中点时，求线段BN的长；（2）直接写出：当DN最小时△MNB的面积为．。

中考数学一轮复习课件第22讲相似三角形

如图,位似中心是
,
位似比是
.
自学检测2:(3+3分钟)
1.已知线段AB的长度为2,C是线段AB的黄金分
割点,则AC=
或
.
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交
于点P,点P是BD的黄金分割点(BP＞PD),
已知AD=1,则BC的长为
.
3.已知,△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2). (1)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使 △A2BC2与△ABC位似,且位似比为2:1,并直接写出 △A2BC2的面积.
e f
… m （k b+d+f…+n≠0）
n
则
K
自学检测1:(7分钟)
1.已知3x=4y(x≠0),则下列式子成立的是( )
A. x y 34
B. x y 43
C. x 3 y4
D. x 4 3y
2.已知线段AB=15 mm,CD=3 cm,则线段AB
与CD的比为
；
3.已知a,b,c,d是成比例线段,其中 a=4cm,b=2cm,c=8cm,则线段d的长为 .
边上的中线之比是
,周长之比是
.
2.有一个三角形的边长为3，4，5,另一个和它
类似的三角形的最小边长为7,则另一个三角形的
周长为
.
3.如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、
BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:S△ABF=4:25,
则DE:EC=
.
44..如如图图,,△△AABBCC被中线,D段F∥DEG、∥FBGC分且成A面D积=D相E等=B的E, 三则则为部D△E分A:FB,即GC:S.被B1C=分S=成2=的S三3,且部.D分E的∥面FG积∥比BSC1,:S2:S3

浙江新中考2014届中考数学总复习课件(22)图形的相似

考点二
相似多边形的性质
(2013· 枣庄 )如图，已知矩形 ABCD 中， AB ＝ 1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， AD ＝ 5＋ 1 . 2
【思路点拨】可设 AD＝ x，由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．解析：设 AD＝ x， ∵AB＝ 1， ∴ AF＝ 1， FD＝ x EF － 1， FE＝ 1.∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ∴ FD 1＋ 5 1－ 5 AD 1 x ＝，即＝，解得 x1＝，x2＝ (负值 2 2 AB x－ 1 1 1＋ 5 5＋ 1 舍去 )，经检验 x＝是原方程的解．故填 . 2 2
考点二段的比相等．
平行线分线段成比例定理
1．定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 AB 2．几何语言叙述：如图，当 l3∥ l4∥ l5 时，有＝ BC DE AB DE BC EF ，＝，＝等． EF AC DF AC DF
3．把这个定理应用到三角形中，会出现下面两种情况：
在图①中，把 l4 看成平行于△ABC 的边 BC 的直线；在图②中，把 l3 看成平行于△ABC 的边 BC 的直线，那么可以得到：平行于三角形一边的直线截其他两边(两边的延长线)，所得的对应线段的比相等．
考点三
相似图形
1．相似图形的有关概念 (1)形状相同的图形叫做相似图形． (2)对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形． (3)相似多边形的对应边的比称为相似比． 2．相似多边形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

九上数学第22讲第四单元图形的相似总复习

第22讲《图形的相似》培优训练第4单元图形的相似（总复习）相似三角形判断和性质讲义知识回顾1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且_____相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．中考复习--相似三角形1、比例对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d=(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若322=-y y x , 则_____=yx； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（）A ．2，5，10，25B ．4，7，4，7C ．2，0.5，0.5，4D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ；4．：若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a 5、已知023a b =≠，求代数式()225224a b a b a b -⋅--的值．2、平行线分线段成比例练习1、如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1，EM=1，MF=2，则 AM ∶AN=____，BN ∶NC=_____。

2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。

3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证：（1）AF ︰FD=AD ︰DB ；（2）AD 2=AF ·AB 。

3 、相似三角形的判定方法判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________．判定4.斜边和对应成比例的两个直角三角形相似.常见的相似形式：1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2.子母三角形（1）射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）(2)∠ABD=∠c则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．(A 型) （X 型）（子母型）（子母型）练习1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （）A BCAB CDAC = B CDBD ACAB = C CB CD AC ∙=2 D BD AD CD ∙=2 5.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（）6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（） A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个4 、相似三角形的性质与应用1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．练习1、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ） 20米的A 处，则小明的影子AM 长为米．A ．B ．C ．D ． ABCD第3题第2题第1题2、如图，在△ABC 中，M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，则△AMN 的面积与四边形MBCN 的面积比为( )．(A)12 (B) 13 (C) 14 (D) 233、如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=（）A ．B ．C ．D ．4、如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF 的面积为．5、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为．6.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是．7.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（）A ．2：5B ． 2：3C ． 3：5D ． 3：28、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角5、相似多边形（1）对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．（2）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（3）相似多边形对应边的比称为相似比．相似多边形面积的比等于相似比的平方．练习1.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（） A. 2cm 2 B. 4cm 2 C. 8cm 2 D. 16cm 22.（2011.潍坊）已知矩形ABCD 中，AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（） A ． 215- B ．215+ C ．3D ．23、如图，AB ∥EF ∥CD ，（1）AB ＝10，CD ＝15，AE ∶ED ＝2∶3，求EF 的长。

中考数学复习第一篇教材梳理第七章《图形的相似与解直角三角形》第22课时图形的相似课件

2．相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例； (2)对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比； (3)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
2021/12/5
第二十六页，共九十一页。
3．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．如图，△ADE∽△ABC．
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第三十八页，共九十一页。
已知四边形 ABCD∽ 四边形 A′B′C′D′ ，四边形
ABCD 与四边形 A′B′C′D′的周长分别为 24，36，则它们对角线 AC
与 A′C′的比为( A )
A．2∶3
B．3∶2
C．4∶9
D．9∶4
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第三十九页，共九十一页。
＝
k
＜0.5(0＜
k＜
0.5)．则 AE＝AC·k，CE＝AC－AE＝AC(1－k)，h1＝h2k.∵S1＝12AE·h1＝
1 2
AC·k·h1
，
S2
＝
1 2
CE
·
h2
＝
1 2
AC(1
－
k)h2
，
∴
3S1
＝
3 2
k2h2AC,
2S2 ＝ (1 －
k)·h2AC．∵0＜k＜0.5，∴32k2＜1－k，∴3S1＜2S2.故选 D．
考点三相似三角形的性质与判定 (2016·杭州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，
AC 上，∠AED＝∠B，射线 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且AADC＝CDGF.
(1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AADC＝12，求FAGF的值．

中考数学总复习第四单元三角形第22课时相似三角形

D.正五边形与正五边形
2. △ABC 与△A'B'C'是位似图形,且△ABC 与△A'B'C'的位似比
是 1∶2,已知△ABC 的面积是 3,则△A'B'C'的面积是( D )
A.3
B.6
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C.9
D.12
第十一页，共四十四页。
课前双基巩固
对点演练(yǎn liàn)
题组一
必会题
3. [九下 P59 练习第 2 题改编] 如图 22-1,

1
1
6
(3) ∴ = =5,∴PE=5CD=5.
6
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综上所述,PE 的长为 3 或 .
5
第十五页，共四十四页。
2 =10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,
高频考向探究
探究(tànjiū)一
比例线段
【命题角度】
(1)由比例线段,结合等式的性质对比例进行变形;
(2)利用比例尺、比例线段、比例中项的概念解题;
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第九页，共四十四页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)七
相似三角形的应用
2. 相似三角形在实际生活中的应用
(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解;
(2)测量底部可以达到的物体的高度;
(3)测量底部不可以达到的物体的高度;
(4)测量不可以达到的河的宽度.
3. 在几何图形的证明与计算中的应用
±6
[解析] 由 x 是 3,12 的比例中项,得
x2=3×12.
km.
3. [答案] 2.8
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中考专题复习：第22课时相似三角形及其应用

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第四单元┃ 三角形考点6 位似
两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相位似图形定交于一点，对应边互相平行 (或在同一条直线义上)，像这样的两个图形叫做位似图形，这个中心点叫做位似________ 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形位似与相似不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对的关系应边互相平行或在一条直线上 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心相似比的距离的比等于________ 位似图形的 (2) 位似图形对应点的连线或延长线相交于一点性质 ________ 平行或在一条直线上 (3)位似图形对应边________________ (4)位似图形对应角相等
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第四单元┃ 三角形
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第四单元┃ 三角形
解：(1)证明：设 BC＝a(a>0)，则 AB＝2a，CD＝a. 2 2 在 Rt△ABC 中，AC＝ AB ＋BC ＝ 5a. ∴AE＝AD＝AC－CD＝( 5－1)a， AE （ 5－1）a 5 －1 ∴ ＝＝ . AB 2a 2
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判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3
判定定理 4 拓展
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第四单元┃ 三角形考点5 相似三角形及相似多边形的性质相似比 (1)相似三角形周长的比等于________
(2) 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三 ________ 角形 (3)相似三角形对应高、对应角平分线、相似比对应中线的比等于________ 相似多相似比 (1)相似多边形周长的比等于________ 边形 (2) 相似多边形面积的比等于相似比的平方 ________

中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练(全国通用)：专题22 相似三角形(解析版)

专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．相似三角形定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF.【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .参考答案1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC ＝DE BC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ，∴∠DE B ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC.即AE·BC ＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝12·DE·h △ADE 12·DE·h △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35.∵DE ＝6，∴BC ＝10.2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BO E ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ，所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC.3．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠A DB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)，∴△ABC ∽△DBA.∴AB AC ＝DB DA，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C.∴∠BDF ＝∠BAD.又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF.∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝1AB，连接EM并延长交BC4的延长线于点D.求证：BC＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．∴DF∥AE，且DF＝12AE.∴DF∥PE.∴∠BEP＝∠BFD.又∵∠EBP为公共角，∴△BEP∽△BFD.∴BE BF＝BP BD.∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE.∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴PQ QD＝AP DF.设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.∴PQ QD＝AP DF＝3 2.∴BP PQ QD＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC DAF ＝∠G ，ADF ＝∠CDG ，＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD.∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，(第4题①)∴∠FCD＝∠B.又∵∠D为公共角，∴△CDF∽△BDE.∴CF BE＝CD BD.∵点M为AC边的中点，∴AM＝CM.∵CF∥AB，∴∠A＝∠MCF.又∵∠AME＝∠CM F，∴△AME≌△CMF.∴AE＝CF.∵AE＝14AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE.∴AE BE＝13.∵CF BE＝CD BD，∴AE BE＝CD BD＝13，即BD＝3CD.又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C作CF∥DE，交AB于点F，∴AE AF＝AM AC.又∵点M为AC边的中点，∴AC＝2AM.∴2AE＝AF.∴AE＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC CD ＝2.∴BC ＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B.又∵∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14，∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MF MC.又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF BD.∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD.由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF.∴BF CF＝BD CM.又∵CM∥AD，∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.∴△ADE∽△CME.∴AE EC＝AD CM.∵D为AB的中点，∴BD＝AD.∴BD CM＝AD CM.∴BF CF＝AE EC.即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴EF DF＝CE DG，AB BC＝AD DG.∵AD＝CE，∴CE DG＝AD DG.∴AB BC＝EF DF.即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴A E∥D C，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E.∴△FCD∽△DAE.∴DC AE＝CF AD.4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴AM MD＝ME AM.即AM2＝MD·ME.5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BP CN＝BM CP.即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE.即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DG DE＝DE DF.即DE2＝DG·DF.∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠AB G＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AE DE＝PE BE.即AE·BE＝PE·DE.又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AE CE＝CE BE.即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.∴△BDF∽△BAE.∴BD AB＝BF BE.∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA.∴AB BC＝BD AB.∴BF BE＝AB BC.9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN.∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC.10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE.∴AD AB ＝AE AD.即AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC.∴AE·AB ＝AF·AC.∴AE AF ＝AC AB.11．证明：连接PC ，如图所示．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB.∴BP ＝CP.∴∠1＝∠2∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC.∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线，∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP.又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC PA.即PA 2＝PB·PC.∵PA ＝PD ，∴PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵DE //AB ，∴32CE CD AE BD ∴CE CA 的值为35．故答案为A ．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC 中，//DE BC ，9AD ，3DB ，2CE ，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC ，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ，∴AD AE DB EC ，即932AE ，∴6AE ，∴628AC AE EC ．故选C ．【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE B ．AB BC AD DE C ．B D D ．C AED【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、若AB AC AD AE ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项A 不符合题意；B 、若AB BC AD DE ，且∠DAE=∠BAC ，无法判定△ABC ∽△ADE ，故选项B 符合题意；C 、若∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项C 不符合题意；D 、若∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S 四边形，则ABC S （）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【答案】D【提示】首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ：ABC S =1：4，则BCED S 四边形：ABC S =3：4，题中已知15BCED S 四边形，故可得ADE S =5，ABC S =20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB BE CD CE.∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴ 906012045AB m故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案．【详解】由位似变换的性质可知，//,//AB DE AC DF 12OA OB OD OE12AC OA DF OD △ABC 与△DEF 的相似比为：1∶2△ABC 与△DEF 的面积比为：1∶4故选C ．【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x ＝2：5,解得x ＝20.故选:A .相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD ，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:3【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．【详解】解：∵∥DE BC ，∴ADE B ，∵A A ，∴ABC ADE ∽，∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∴13ADE ABC C C ：：，即ADE 与ABC 的周长比为1：3．故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得AEC △∽ADB ，AEC △∽FEB ，AEC △∽FDC △，可求解．【详解】解：A A ∵，90AEC ADB ，AEC ∽ADB ，ACE ABD ，又90AEC BEC ∵，AEC ∽FEB ，ACE ACE ∵，90AEC ADB ，AEC ∽FDC △，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：由题意得DE 为△ABC 的中位线，那么DE ∥BC ，DE ：BC =1：2．∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的周长之比为1：2，∴△ADE 与△ABC 的面积之比为1：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BADB ．BAC BDA C ．AC AD BC AB D ．2AB BD BC【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ，B B ，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ，B B ，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC AD BC AB，但无法确定ACB 与BAD 是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC 即AB BC BD AB，B B ，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．5．已知ABC ∽A B C ，AD 和A D 是它们的对应角平分线，若8AD ，12A D ，则ABC 与A B C 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】ABC ∵ ∽A B C ，AD 和A D 是它们的对应角平分线，8AD ，12A D ，两三角形的相似比为：:8:122:3AD A D ，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9．故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．【答案】5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，从而可以解答本题．【详解】∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴AEB ADC ，ABE ACD ，又∵A A ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝BE CD，∵BE ＝1.5m ，AB ＝3m ，AC ＝10m ，∴3 1.510CD，解得，5CD ，即建筑物CD 的高是5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】ADE B【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC 与ADE V 相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B ，A A∵ABC ADE～故答案为：ADE B ．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若DE =4，求BC 的长．【答案】(1)见解析(2)BC =6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠A =∠A ，AD :AB =AE :EC =2:3，即23AD AE AB EC ，∴△ADE ∽△ABC ；（2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴AD DE AB BC ，243BC ，∴BC =6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∥CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BFB ．EF DF AD DBC ．EF DF CD BF D ．EF DF CD DB【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD ∥BF ，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵EF ∥CD ，∴EF ∥AB ，∴DE DF AE BF ，△DEF ∽△DAB ，∴EF DF AB DB，∵AB =AD =CD ，∴EF DF AD DB ，EF DF CD DB，∴选项A 、B 、D 正确；选项C 错误；故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD ，16AF ，14DF ，8BF ，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据三角形ABC 是正三角形，可得∠A =∠B =60°，△AFD ∽△BFG ，即可求出FG =7，而AD =10，DF =14，BF =8，可得AB =32=AC ，故CG =AC -AF -FG =9．【详解】解：∵三角形ABC 是正三角形，60A B ，AFD BFG ∵，AFD BFG ∽， DF AF FG BF ，即14168FG ，7FG ，10AD ∵，14DF ，8BF ，32AB ，32AC ，321679CG AC AF FG ；故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明AFD BFG ∽，从而求出FG 的长度．3．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．2【答案】B 【分析】先过点A 作AC x 轴于点C ，过点B 作BD x 轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x 轴于点C ，过点B 作BD x 轴于点D ，则90ACO ODB ，90B BOD ，90AOB Q ，90AOC BOD ，B AOC ，ACO ∽ODB △，AC CO OD DB，又A ∵的坐标是 2,1 ，点B 的横坐标是2，∴AC ＝1，CO ＝2，OD ＝2，122DB，即4DB ， :B 的纵坐标是4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．4．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EFB ．AF DF AE EBC ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B 【答案】D【分析】根据DF BE ∥，DE BC ∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【详解】解：DF BE ∵∥，AD AF BD EF，故A 选项比例式正确，不符合题意；DF BE ∵∥，ADF ABE △∽△，DF AF EB AE，故B 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∵∥，AD AE AB AC，故C 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∵∥，DE AF BC FEAF AC 故D 选项比例式不正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m ，同一时刻一根长为1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．【答案】9【分析】设地面影长对应的树高为m x ，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x ，然后加上墙上的影长CD 即为树的高度．【详解】解：设地面影长对应的树高为m x ，由题意得，140.5x ，解得8x ，∵墙上的影子CD 长为1m ，树的高度为 819m ．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD ，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF ，那么DEG 与CFG 的面积之比等于______．【答案】16:7##167【分析】根据ADG FCG ∽和ADE FBE ∽，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：AD BC ∵ ，ADG FCG ∽，2AD AG CF GF， ADG 与CFG 的面积之比4:1，AD BC ∵ ，ADE FBE ∽，25AD AE BF EF ，令GF a ，则2AG a ，设,2AE x EG a x ，:(2)2:5x a a x ，67x a ，68,77AE a EG a ，:3:4AE EG ，DEG 与ADE 的面积之比是4:3，DEG 与CFG 的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键．三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．【答案】(1)12(2)CH 【分析】（1）由正方形的性质得出AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，证出ADK FGK V :V ，得出比例式求出3342GK DG ，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出AM =4，FM =2，∠AMF =90°，根据正方形性质求出∠ACF =90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CH AF ，根据勾股定理求出AF ，即可得出结果．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK V :V ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ，∴312tan 32GK GFK FG ；（2）解：∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，∴AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，如图所示：则AM =BC +CE =1+3=4，FM =EF-AB =3-1=2，∠AMF =90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，∴∠ACD =∠GCF =45°，∴∠ACF =90°，∵H 为AF 的中点，∴12CH AF ，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：22224225AF AM FM ，∴152CH AF ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ．(2)若13CE ，求tan FEA 的值．【答案】(1)见解析93【分析】（1）由相似可得FAB BCE ，再由矩形的性质得AD BC ∥90DAB ABC ，，从而可求得180FAD DAB DAC ，则有FAD BAC ，即可求得FAD 的度数；（2）结合（1）可求得73AE ，再由相似的性质求得33AF tan FEA 的值．（1）ABF ∵ ∽CEB ，FAB BCE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC DAB ABC ∥，，DAC ACB ，180BCE ACB ∵，180FAB DAC ，即180FAD DAB DAC ，90180FAD DAC ，90FAD DAC ，90DAB ∵，90BAC DAC ，FAD BAC ，在Rt ABC中，tan 3BC BAC AB ∵，30BAC ，30FAD ；（2）由（1）得9030ABC BAC ，，2212AC BC ，17233AE AC CE，ABF ∵ ∽CEB ，AF AB BC CE，即113AF，AF 由（1）得：90FAD DAC ，则90FAE ，在Rt FAE中，tan 73AF FEA AE 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得FAD BAC ．。

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第22讲图形的相似考纲要求命题趋势 1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题． 2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题． 3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.

相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明.

知识梳理一、比例线段 1．比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________． 2．比例线段的基本性质 ab＝cd⇔ad＝bc.

3．黄金分割把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把

线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点. AC＝5－12AB≈0.618AB，BC＝

3－5

2AB

二、相似多边形 1．定义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等． 2．性质 (1)相似多边形的对应角________，对应边成________； (2)相似多边形周长的比等于________； (3)相似多边形面积的比等于__________．三、相似三角形 1．定义各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形． 2．判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与________相似； (2)两角对应________，两三角形相似； (3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似； (4)三边对应成________，两三角形相似； (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质 (1)相似三角形的对应角________，对应边成________； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________； (3)相似三角形周长的比等于________； (4)相似三角形面积的比等于____________．四、位似变换与位似图形 1．定义取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP的______等于常数k(k＞0)，点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫做________，常数k叫做________，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形． 2．性质两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________． 3．画位似图形的步骤 (1)确定位似________； (2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)； (3)按位似比进行取点； (4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．自主测试 1．若相似△ABC与△DEF的相似比为1:3，则△ABC与△DEF的面积比为( ) A．1:3 B．1:9 C．3:1 D．1:3 2．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )

A．EDEA＝DFAB B．DEBC＝EFFB C．BCDE＝BFBE D．BFBE＝BCAE 3．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．

4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F. 求证：(1)△ACB∽△DCE； (2)EF⊥AB.

考点一、相似图形的性质【例1】如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )

A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2 解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得S阴影S原矩形＝482，S阴影4×8＝14，S阴影＝8 cm2. 答案：C 方法总结相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积．触类旁通1 如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )

A．87° B．60° C．75° D．120° 考点二、相似三角形的性质与判定【例2】如图，在ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中相似三角形共有( )

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对解析：依据题中的条件，平行四边形的对边平行，由AD∥BC，可得△HED∽△HBC，由AB∥CD，可得△HED∽△BEA，△HFG∽△BAG.根据相似的传递性，可得△HBC∽△BEA，一共

有四对相似三角形．答案：C 方法总结判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．触类旁通2 已知如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )

A．都相似 B．都不相似 C．只有(1)相似 D．只有(2)相似考点三、位似图形【例3】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于

矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是( )

A．(3,2) B．(－2，－3) C．(2,3)或(－2，－3) D．(3,2)或(－3，－2) 解析：分两种情况计算，即矩形OABC和矩形OA′B′C′在原点的同侧和两侧．答案：D 方法总结位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．位似图形所有对应点的连线相交于位似中心．触类旁通3 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )

A．－12a B．－12(a＋1) C．－12(a－1) D．－12(a＋3) 考点四、相似三角形的应用【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm. 乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm. 丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.

任务要求： (1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； (2)如图(3)，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)

解：(1)如题图，△ABC∽△DEF，∴ABDE＝ACDF.

∵AB＝80 cm，AC＝60 cm，DF＝900 cm，∴80DE＝60900. ∴DE＝1 200 cm，即DE＝12 m. 故学校旗杆的高度是12 m. (2)如题图(3)，连接OM，设⊙O的半径为r cm.

与(1)类似得ABGN＝ACGH，即80GN＝60156. ∴GN＝208 cm. 在Rt△NGH中，根据勾股定理得NH2＝1562＋2082＝2602，∴NH＝260 cm. ∵NH切⊙O于M， ∴OM⊥NH. 则∠OMN＝∠HGN＝90°.又∠ONM＝∠HNG，

∴△OMN∽△HGN.∴OMHG＝ONHN. 又∵ON＝OI＋IN＝OI＋(GN－GI)＝r＋8， ∴r156＝r＋8260，解得r＝12. ∴景灯灯罩的半径是12 cm. 方法总结应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解．触类旁通4 一个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm,30 cm,36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm,45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有( ) A．0种 B．1种 C．2种 D．3种

1．(2012贵州铜仁)如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是( )

A．∠E＝2∠K B．BC＝2HI C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL 2．(2012山东聊城)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是( )

A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC C．ADAE＝ABAC D．S△ABC＝3S△ADE 3．(2012山东泰安)如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是( )

A．4 B．3 C．2 D．1 4．(2012重庆)已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC