【最新】苏科版九年级数学上册导学案：1.3一元二次方程的根与系数的关系

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苏科版九年级上册 1.3一元二次方程根与系数的关系 (有答案)

苏科版九上1.3一元二次方程根与系数的关系班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.若关于x的方程x2+3ax−4=0有一个根为−1，则另一个根为()A. —2B. 2C. 4D. —32.下列方程中，两根之和为2的是()A. x2+2x−3=0B. x2−2x−3=0C. x2−2x+3=0D. 4x2−2x−3=03.已知x1、x2是一元二次方程x2−4x+1=0的两个根，则x1⋅x2等于()A. −4B. −1C. 1D. 44.已知方程x−5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2−x1x2的值为()A. −7B. −3C. 3D. 75.已知一元二次方程x2−2x−1=0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为A. 12B. 8C. 6D. .46.已知方程x2−4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式x12+2x1+x22−4x22+2011的值是()A. 2011B. 2012C. 2013D. 20147.已知m、n是关于x的方程x2−3x+a=0的两个根．若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为()A. −10B. 4C. −4D. 108.已知x≠y，且x2+2x=3，y2+2y=3，则xy的值为()A. −2B. 2C. −3D. 3二、填空题9.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根的值为_____．10.已知一元二次方程x2−2x−1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为 _____ ．11.若x1，x2是方程x2−3x−4=0的两根，则代数式2x1+2x2−x1x2的值是________．12.若α、β是方程x2+2x−2014=0的两个实数根，则α+β的值为________，α2+3α+β的值为________．13.设x1，x2是一元二次方程x2+5x−1=0的两个根，那么x13−11x1−3x22−16=______ ．14.已知α、β是方程x2−2x−4=0的两个实数根，则α2β+αβ2的值是________．15.若方程x2−kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______ ．三、解答题16.已知关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根;(2)若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．17.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．(1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18.已知x1，x2是方程2x2−3x−1=0的两个根，不解方程，求下列各式的值．(1)x12+x22(2)(x1+1x2)(x2+1x1)答案和解析1.C解：设方程另一个根为x1，∴x1×(−1)=−4，解得：x1=4．2.B解：A.△=22−4×(−3)>0，方程有实数解，两根之和为−2，故此选项错误；A.△=(−2)2−4×(−3)>0，方程有实数解，两根之和为2，故此选项正确；；C.△=(−2)2−4×3<0，方程没有实数解，故此选项错误；D.△=(−2)2−4×4×(−3)>0，方程有实数解，两根之和为1，故此选项错误．23.C解：根据题意得x1⋅x2=1．4.C解：∵x2−5x+2=0的两个解分别为x1，x2，∴由韦达定理，得x1+x2=5，x1x2=2；∴x1+x2−x1x2=5−2=3．5.C解：由x1，x2是方程x2−2x−1=0的根，则x1+x2=2，x1·x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=22−2×(−1)=6．6.D解：∵方程x2−4x+2=0的两根是x1，x2，∴x12+2=4x1，x22−4x2=−2，∴x12+2x1+x22−4x22+2011=4x1x1+−22+2011=4−1+2011=2014．7.C解：根据题意得：m+n=3，mn=a，∵(m−1)(n−1)=mn−(m+n)+1=−6，∴a−3+1=−6，解得：a=−4．8.C解：依题意可知，x、y可以看作是关于t的方程t2+2t−3=0的两个不相等的实数根，所以xy=−3．9.−1解：设方程的另一个根为m，根据题意得：−2+m=−3，解得：m=−1．10.2解：由题意可得：x1+x2=2．11.10解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−4，所以2x1+2x2−x1x2=2×3−(−4)=10．12.−2；2012解：∵α，β是方程x2+2x−2014=0的两个实数根，∴α+β=−2，α2+2α−2014=0，即α2+2α=2014，∴α2+3α+β=(α2+2α)+(α+β)，=2014−2，=2012，13.−99解：∵x1，x2是一元二次方程x2+5x−1=0的两个根，∴x12=−5x1+1，x22=5x2+1，x1+x2=−5，∴x13−11x1−3x22−16=−5x12+x1−11x1−3(−5x2+1)−16=−5(−5x1+1)−10x1+15x2−3−16=15(x1+x2)−5−3−16=−99，14.−8解：根据题意得：α+β=2，αβ=−4，α2β+αβ2=αβ(α+β)=−4×2=−8．15.5解：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2−kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据题意得a+b=−k，a+5+b+5=k，所以10−k=k，解得k=5．16.(1)证明：Δ=b2−4ac=(−4)2−4×(−m2)=16+4m2．∵m2≥0，即4m2≥0，∴16+4m2>0，∴b2−4ac>0，∴该方程有两个不相等的实数根；(2)解：∵方程x2−4x−m2=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1x2=−m2②.又∵x1+2x2=9③，∴联立①③，解得x1=−1，x2=5，∴x1x2=−5=−m2，解得m=±√5．故m的值为±√5．17.(1)解：设方程的另一根为t，根据题意得2+t=−a，2t=a−2，所以2+t +2t =−2，解得t =−43，所以a =−23；(2)证明：△=a 2−4(a −2) =a 2−4a +8 =(a −2)2+4， ∴△>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18. 解：∵x 1，x 2是方程2x 2−3x −1=0的两个根，∴x 1+x 2=− b a=32，x 1x 2= c a=−12，(1)原式==94+1 =134;(2)原式=x 1x 2+2+1x 1x 2=−12+2−2=−12．1、最困难的事就是认识自己。

苏科初中数学九上《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》word教案 (1)

1.3一元二次方程的根与系数的关系教学目标：（1）掌握一元二次方程根与系数的关系。

（2）能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。

（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。

教学重点：一元二次方程根与系数的关系。

教学难点：运用韦达定理解决问题。

教学方法：（1）谈话法；（2）讨论法；（3）情景教学法等。

教学过程：一、创设情景。

同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。

好吗？二、互助探索新知。

2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：（1）已知方程x 2074-=-x 的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =（2）已知方程x 2+3x －5=0的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =3．猜想：如果方程0x 2=++n mx 的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =4．同学们，你们的猜想对不对，请同学们分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）5．同学们展示自己的证明。

6．（教师演示）如果方程0x 2=++n mx 的根是x 1和x 2，那么21x x +=－m ，21x x =n证明：方程0x 2=++n mx 的△=m 2n 4- 当△=m 2n 4-≥0时，方程的根是x 1=242n m m -+-，x 2=24-2nm m --7．（分组合作）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是x 1和x 2，那么21x x += ；21x x =三、精讲点拨。

例1．已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。

（方程的另一个根是－1，c=－3。

）例2．已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值：（1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +解. 21x x +=5，21x x =－6 （1）原式=31（2）原式 =637-四、练习巩固：1.填空：（1）已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += 21x x = （2）如果方程20542=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += ； 21x x = （3）已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b2. 已知方程032=+-c x x 的一个根是2，求另一个根及c 的值。

苏科版-数学-九年级上册-1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案

1.3 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题.（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想.（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用.教学过程：一、创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）电路中的电流、电压、电阻存在一定关系：U=IR-------------------欧姆定律（欧姆）而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：直角三角形的三边a,b,c满足关系：2a+2b=2c--------------------勾股定理（毕达哥拉斯）那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道. 设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望.二、探究规律先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法.一、得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx +c =0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = - b a 1x . 2x =c a特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明（师生合作完成）证明：∵a =1，b =p ，c =q∴△=p 2﹣4q∴x =即x 1=，x 2=， ∴x 1+x 2=+=﹣p ，x 1•x 2=.=q ．设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程.运用定理解决问题例1 求下列方程两根的和与两根的积：（1）x 2+2x -5=0；（2）2x 2+x =1.解：（1）设方程x 2+2x -5=0的两根分别是x 1.x 2.∵a =1,b =2,c =-5,∴x 1+x 2=-b a =-2, x 1·x 2=c a=-5. （2）把方程2x 2+x =1化成一般形式，得2x 2+x -1=0.设它的两根分别是x 1.x 2.∵a =2,b =1,c =-1,∴x 1+x 2=-b a =-12, x 1·x 2=c a =-12设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积,加深学生对根与系数关系的本质理解.例2 方程2x2-3x+1=0的两根记作x1，x2，不解方程，求x1-x2的值. 解：由韦达定理，得x1+x2 =32，x1x2=12.（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=（32）2-4×12=14.∴x1-x2=12 .设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用.二、课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨.三、课堂板书（略）四、课后作业1.教材练习题2. 已知x=1是关于x的方程ax2+bx﹣3=0（a＞0）的一根．（1）求a+b的值；（2）若b=2a，x1和x2是方程的两根，求x1+x2的值解：（1）依题意得，a+b﹣3=0，∴a+b=3；（2）由（1）得a+b=3，∵b=2a，∴a+2a=3，∴a=1，b=2，∴原方程是x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴x1+x2=﹣2．3. 关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的两根x1.x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）=6，求m的值．解：∵x1.x2是关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的两根，∴x1+x2=2m，x1•x2=m2﹣1，∵（2x1+x2）（x1+2x2）=6，∴2x12+4x1x2+x1x2+2x22=6，即2x12+5x1x2+2x22=6，∴2（x1+x2）2+x1x2=6，∴9m2+2m﹣7=0，解得m1=﹣1，m2=，当m1=﹣1，m2=时，方程有实数根，∴m的值为﹣1或．。

九年级数学上册第1章一元二次方程1.3一元二次方程的根与系数的关系教案新版苏科版

九年级数学上册第1章一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案(新版)苏科版-(新版

一元二次方程的根与系数的关系教学目标【知识与能力】了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用.【过程与方法】能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识. 【情感态度价值观】积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验. 教学重难点【教学重点】了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用.【教学难点】了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用.教学过程探索发现观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？20++=x1 x2ax bx c2320-+= 1 2x x2320x x++=－1 －22560-+= 2 3x x2560++=－2 －3x x230x x-=0 3解释规律你能解释刚才的发现吗？一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），如果b2－4ac ≥0，它的两个根分别是x1、x2．总结发现一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），如果b2－4ac ≥0，它的两个根分别是x1、x2． 12b x x a +=-，12c x x a ⋅=．例题精讲例求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x －5＝0；（2）2x2＋x ＝1．需要解方程吗？尝试与交流小明在一本课外读物中读到如下一段文字：“一元二次方程x2－ x ＝0的两根是23+和23-”，你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？达标练习课本练习P23练习1、2．总结1．一元二次方程根与系数的关系是什么？2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；3．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac ≥0时，才能应用根与系数的关系．。

苏科版九年级数学上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系教案

初三数学教案课题：1.3 一元二次方程的根与系数的关系教学目标:1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用；2.能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．教学重点：了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用．教学难点：能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．教学过程：一、探索发现．二、解释规律你能解释刚才的发现吗？一般地，在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，如果b 2－4ac ≥0，那么它的两个根分别是x 1、x 2．12x x +=2b b a -+-=22b a -=b a-=．12x x ⋅=()22244b b ac a--=244ac a =c a =．三、总结发现一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），如果b 2－4ac ≥0，它的两个根分别是x 1、x 2．12b x x a +=-，12c x x a⋅=．四、例题精讲求下列方程两根的和与两根的积：（1）x 2＋2x －5＝0；（2）2x 2＋x ＝1．需要解方程吗？练习：1.求下列方程的两根之和与两根之积（1）x 2+2x-5=0 （2）5x-1=4x 2 （3）x 2=4 （4）2x 2=3x2. （口答）下列方程中，两根之和与两根之积各是多少？(1)x 2-2x+1=0 (2)x 2-9x+10=0 (3)2x 2-9x=-5(4)4x 2+1=7x (5)2x 2-5x=0 (6)x 2-1=0五、应用拓展：1.若一元二次方程x 2-4x+2=0的两根是x 1,x 2,求下列各式的值（1）2111x x + （2）2221x x +2.若一元二次方程x 2+ax+2=0的两根满足：x 12+ x 22=12,求a 的值3.(1)已知一元二次方程2x 2+bx+c=0的两根是-1，3，则b= ,c=(2)已知关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根互为相反数，则p= ;若两根互为倒数，则q=(3)已知关于x 的一元二次方程x 2+kx-2=0的一根是1，则另一根是，k 的值是(4)若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有有两个正根；当m 时一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.4.小明在一本课外读物中读到如下一段文字：一元二次方程x 2－ x ＝0的两根是和你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？5.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(2m+1)x+m 2+1=0的两个实数根，当x 12+x 22=15时，求m 的值。

苏科课标版初中数学九年级上册第一章1.3一元二次方程的根与系数的关系学案(无答案)

习题1：独立完成，规范格式，组内互批，错例展悟！
五
尝试交流
课本22页下半页ห้องสมุดไป่ตู้
剖析思绪，规范解题进程，展现分享〔可以组合哟〕！
六
稳固练习2
课本23页
习题2：独立完成，规范进程，小组交流，发散思想，抽查展现！
〔也可以自荐展现，一人或多人？随你！好等候哟！〕
七
课堂小结
总结本节课知识点和相关数学思想方法，交流收获与感受！
苏科课标版初中数学九年级上册第一章1
学习目的
1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能停止复杂的运用；
2. 阅历一元二次方程的根与系数的关系的探求进程，加深对一元二次方程及其根的看法。
编号
知识板块
对应内容
效果组及要求
一
实际探求
课本21页
效果1：
〔1〕把书上的表格扩大两列如反面〝表一〞，计算后填表；
〔2〕观察与的值与对应一元二次方程系数之间的关系，能得出云图里的结论吗？
效果2：
〔1〕你发现云图中小丽、小明的分工不同了吗？他们想引导你发现什么？你发现了吗？
〔2〕把〝表一〞再添两列并变换方程如反面〝表二〞，填表并检验刚才的发现！〔是不是有些成就感了！〕
〔3〕对比〝表1〞、〝表2〞中方程有什么不同？能用〝效果1〞中的结论解释〝效果2〞吗？！
效果3：按要求完成！〔也可以自选方程，然后求解验证！〕
▲4、、是方程的两个根，那么：
〔1〕 =；〔2〕 =；〔3〕 =。
二
计算推理
课本22页上半页
〔1〕自学推导进程，清楚每一步所用的知识点；
〔2〕归结〝一元二次方程根与系数的关系〞！
三
例题教学
课本21页中间

苏科版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系(课件)

一般地，在一元二次方程ax2 bx c 0a 0中，如果
b2 4ac 0,那么它的两个根分别是
x1 b
b2 4ac 2a
、
x2 b
b2 4ac . 2a
于是可得
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
2b b 2a a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
特别提示
：
在已知根的条件下，可以用韦达定理根据根的值求一元二次方程的系数
达标测试2 ：
1已知方程x2 bx c 0的两根分别是 2 1、2 1，
则b _____2__2____, c _____1______ .
2已知方程2x2 mx 50 0的一个根是10，
5
则另一个根是_____2_____,m ____1_5___
探索1：填写表1
表1
x2 px q 0
x1
x2
p x1 x2
x1 x2
q
x2 3x 2 0
1
2
3
3
2
2
x2 3x 2 0
1
2
3
3
2
2
x2 5x 6 0
2 x1 x32 5
5
x2 5x 6 0
2
3
5
5
xx22 3x3x0 4 0 0来自333
6
6
6
6
0
0
结论1：若一元二次方程x2 px q 0 p2 4q 0 根为x1、x2，则
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
复习提纲：
1.一元二次方程的一般情势是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？

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新苏科版九年级数学上册导学案：1.3一元二次方程的根与系数的关系
一、学习目标：
1.观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，理解其理论依据；
2.会运用根与系数关系解决有关问题；
3.培养去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
二、学习内容：
1.导学预习
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程
的系数有什么联系？
⑴ x2 + ２x = 0 ⑵ x2 + ３x －４= 0 ⑶ x2 －５x + ６= 0

方程 x1 x2 x1 + x2 x1·x2

2.小组讨论
（1）．若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与a、b、c
有何关系？请你写出关系式

（2）.请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

3.展示提升:
(1)．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
(2)．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，
x1x2=________；
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．
注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________

4.质疑拓展:
１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：
① x2 + 3x -1= 0 ② x2 + 6x +2= 0

③ 3x2 －4x+1= 0 (4)x2 + 3x +3= 0
2.已知关于x的方程x2 + ｋx －6= 0的一个根是2，求另一个根及ｋ的值

5.学习小结：

6．达标测试

1．若关于x的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（）
A. B.
C. D.
2．若方程的两根是2和-3，则p，q分别为（）
A. 2,-3 B. -1,-6 C. 1,-6 D. 1,6

3．方程，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，
两根互为倒数。

4．如果-2和是一元二次方程的两根，那么该一元二次方程为___________;
5．一元二次方程的两根为，则=______。
6．若是方程的两根，且，求
k的值。

7．关于x的方程有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说
明理由。
7.学习反思