高一数学竞赛培训题(四)
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。
A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。
A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。
A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。
A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。
A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。
高一数学竞赛辅导
高一数学竞赛辅导一、选择题：1．设有三个函数，已知第一个函数是y=f(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，则第三个函数的解析式为（）A．y=f( x B．y f x C．y=f(x) D．y f x2．已知x1, x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，那么x12+x22的最大值为（）A．19 B．17 C ．D．183．已知f(x)=，则和f()+f()+…+f()+f()+f()+…+f()+…+f()+f()+…+f()的值等于（）A．10000 B．5000 C．1000 D．1004．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910----等于（）A．125B．21C．2011D．1075．如图：已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，交于顶点A的三条棱长别为AD=3，AA1=4,AB=5. 一天，小强观察到在A处有一只蚂蚁,发现顶点C1处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．74B．25C．54D．1036．如图:正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°7．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：()O P O A AB ACλ=++，λ∈（0，∞），则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心8．△ABC的三边a、b、c分别对应角A、B、C，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则两直线aAyAxl=+sinsin:21与直线cCyBxl=+sinsin:22的位置关系是（）A．不垂直的相交B．平行C．垂直相交 D．重合二、填空题：1．已知：a、b、c都不等于0，且|abc|abc|c|c|b|b|a|a+++的最大值为m，最小值为n，则(m+n) 2004＝_________.A BCD1A1B1C1D2．Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2007)f is equal to _____________.3．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。
高一数学竞赛培训教材试题
高一数学竞赛培训教材制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
(一)集合与容斥原理集合是一种根本数学语言、一种根本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的根底。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的程度上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或者不等式(组)的解、表示充要条件，描绘排列组合，用集合的性质进展组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(一样或者不一样)数加起来得到的一个和数，此题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.那么X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：〔1〕一切奇数属于M;〔2〕4k-2(k∈Z)不属于M;〔3〕M中任意两个数的积仍属于M。
3.函数f〔x〕=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)假设A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素确实定例2．集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，那么(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2021＋1/Y2021)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 1D. x = 4答案：B2. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数是：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 6x + 5C. 6x^2 - 3x + 4D. 6x^2 - 3x + 5答案：A3. 以下哪个数列不是等差数列？A. 2, 5, 8, 11, ...B. 1, 3, 6, 10, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 5, 10, 15, 20, ...答案：B4. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，圆心坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：66. 函数y = 1 / (x - 2)的渐近线方程为________。
答案：x = 27. 等比数列的前三项为2, 6, 18，则该数列的公比为________。
答案：38. 一个圆的直径为10cm，那么它的面积为________平方厘米。
答案：78.54三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果一个数列的前n项和为S_n，且S_n = n^2，则该数列是等差数列。
证明：设数列的第n项为a_n，则S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
由题意知S_n = n^2，因此S_{n-1} = (n-1)^2。
两式相减得a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1。
由此可知，a_n - a_{n-1} = 2，即数列的相邻两项之差为常数2，因此该数列是等差数列。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(0)的值为：A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 对于不等式x^2 - 6x + 8 < 0，其解集为：A. (2, 4)B. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)C. (-∞, 4) ∪ (2, +∞)D. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)答案：A4. 已知集合A={x|x^2 - 5x + 6 = 0}，B={x|x^2 - 3x + 2 = 0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D5. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a与向量b的数量积为：A. 8B. 10C. 6D. 2答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(2)的值为______。
答案：38. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为______。
答案：189. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的导数表达式为______。
答案：3x^2 - 6x10. 已知复数z=1+i，求|z|的模长为______。
答案：√2三、解答题（每题20分，共50分）11. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：首先对方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0，所以解为x=2或x=3。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。
解：将函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x-2)^2 - 1。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
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高一数学竞赛培训题（四）
函数的图象和性质
1．作出下列函数的图象（1）22xxy；（2）22xxy
2．设函数2)()(,1)()(,)(12010xfxfxfxfxxf，求函数)(2xfy的图象与x轴所围成的
封闭部分的面积．
3．k为何实数时，方程kxx322有四个互不相等的实数根．
4．设*,7|NppaaA ，在A上定义函数f如下：设Aa，则)(af表示a的数字之和，
例如6)42(,7)7(ff．设函数f的值域是集合M，求证：2,|*nNnnM
5．设实数yx,满足1)1(2001)1(1)1(2001)1(33yyxx，求yx的值．
6．设函数)(xf对任意实数x满足：0)0(),7()7(),2()2(fxfxfxfxf．求证：
0)(xf
的根在区间]30,30[上至少有13个，且)(xf是以10为周期的周期函数．
7． 已知121),1(2210,21)(xxxxxf，定义*,)))((()(Nnxfffxfnn个（１）求)152(2001f
（２）设]1,0[,)(|15xxxfxB，求证：B中至少含有9个元素．
8．函数)(xf的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x，在定义域中存
在21,xx，使得)()(,2121xfxfxxx，且满足以下三个条件：（１）21,xx是定义域中的数，
)()(21xfxf
或axx2021，则)()(1)()()(122121xfxfxfxfxxf；（２）1)(af（a是一个正
常数）；（３）当ax20时，0)(xf．求证：（１）)(xf是奇函数；（２）)(xf是周期函数，
并求出其周期；（３）)(xf在)4,0(a内为减函数．