2007、年华中师范大学量子力学考研真题

(NEW)华中师范大学《836量子力学》历年考研真题汇编

2010年华中师范大学825量子力学考研真题
2014年华中师范大学量子力学考研真题
2003年华中师范大学量子力学考研真题
2004年华中师范大学345量子力学考研真题
2005年华中师范大学473量子力学考研真题
2006年华中师范大学455量子力学考研真题
2007年中师范大学438量子力学考研真题
目录
2003年华中师范大学量子力学考研真题
2004年华中师范大学345量子力学考研真题
2005年华中师范大学473量子力学考研真题
2006年华中师范大学455量子力学考研真题
2007年华中师范大学438量子力学考研真题
2008年华中师范大学840量子力学考研真题
2009年华中师范大学830量子力学考研真题
2008年华中师范大学840量子力学考研真题
2009年华中师范大学830量子力学考研真题
2010年华中师范大学825量子力学考研真题
2014年华中师范大学量子力学考研真题

《量子力学》22套考研自测题+答案

⎜⎝ 0 3λ 3 + 2λ ⎟⎠ 的本征值至 λ 的二次项，本征矢至 λ 的一次
项。
五、（10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作
用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几
个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
QQ：704999167
QQ：704999167
En
=
−
Z 2e2 2a
， ψ 100 =
1
⎜⎛
Z
⎟⎞ 3 /
2
− Zr
ea
π ⎝a⎠
，计算时，可利用积分公式
∫∞ xe−2ax dx = 1 。
0
4α 2
五、（本题 20 分）
设一维谐振子的能量本征函数为ψ n (x) ，求：
QQ：704999167
HY制作
HY制作
HY制作
量子力学自测题（5）
一、填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
10. n 为 Lz 的本征态，本征值为 n 。求在 L z 的本征态 n 下， Lx
和 Ly 的平均值。
11. 氢原子处于状态
⎜⎛
ψ
(r
,
s
z
)
=
⎜ ⎜
⎜− ⎝
1 2
R
21
Y 11
3 2 R 21 Y10
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=

华中师范大学2007–2008学年第二学期期末考试试卷(B卷)答案

3 3
则原问题转化成如下 Cauchy 问题：
vt vxx 0, x , t 0, 2 v( x, 0) x 1, x ,
由泊松公式可知 (1) 的解为
v x, t 1 2
(1)
t

e

x y 2
4t
y
3
得分
评阅人
三、解答题：（共 1 题，共 25 分）
用分离变量法求解初边值问题：
utt 16u xx 0, 0 x , t 0, x , ut x, 0 0, 0 x , u x, 0 2 u 0, t u , t 0, t 0.
ut u xx 3t 2u, x , t 0, 2 u x, 0 x 1, x .
解：令 u x, t v x, t et ，则
3
ut vt 3t 2 v et , u xx vxx et .
第 3 页(共 3 页)
期末考试试卷（B 卷）答案
课程名称偏微分方程题型分值得分基础题 20 课程编号 42121900 计算题 40 解答题 25 任课教师朱长江证明题 15 总分 100
学生姓名：
学号：
得分
评阅人
一、基础题：（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
年级：
1 2 1. 指出 u x, y 满足的方程 u xy 0 u x 0 u xx
的古典解，证明 u x, t 0. 证明：将方程两边同时乘以 ut 并关于 x 在 0, l 上积分得到

l
0

量子力学试卷B(2007级)

2,2- （C ）2,,,2-- （D ）2,,0,,2-- 、在光的照射下，原子从低能级跃迁到高能级，这种现象称为（））自发和受激吸收（C ）光的吸收（D ）自发辐射 f E 与电子气密度ρ的关系为：（）2f E ρ∝ （C ）1/3f E ρ∝ （D ）f E ρ∝ˆp= ，ˆr= ）线性厄米算符的本征值必为）线性厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此、具有半整数自旋的全同粒子体系用反对称波函数来描述，这种粒子遵循统计，、在利用正则方程处理电磁场中带电荷为P 与粒子的机械动量p 之间的关系式为正则量子化程序，应该把动量变成算符。

、变分原理在于：根据具体问题在物理上的特点，先提出能量平均值，最后对能量平均值求。

分，要有具体证明步骤，否则不给分））在一维谐振子中，可以引入升降算符来计算系统的本征值，已知升降算符的表达式为表示写振子的能量本征态。

证明：ˆzi L 题各15分，第、在一维无限深势阱〔0,a 〕中，粒子处于第一激发态，即的平均值x 、的平均值p 、的粒子组成的系统由等效哈密顿量：12BS S ⋅ 1S ，2S 是二个自旋，1z S ，求该哈密顿量的所有能级。

0时刻，氢原子处于状态 ψ()r 为氢原子的第武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ B 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分）装 1.C 2.B 3. D 4.C 5.A| 二、填空题 (每空2分，共20分）1. i -∇，p i ∇2. 实数正交3. 费米－狄拉克费米子4. qp P A c=-正则动量 5. 试探极值三、证明题（共15分）（1）证明：令1a n n λ+=+ 则其共轭式为*1n a n λ=+，与上式两边分别作用得（2分） *11n aa n n n λλ+=++利用a a n n n += ,1a a +⎡⎤=⎣⎦和mn m n δ= （5分）等式左边=111n a a n n n n n ++=+=+ 等式右边=()2221111n n n n λλλ++=++=故λ=1a n n +=+ （3分）（2）证明：ˆˆˆx z y L yp zp =- ˆˆˆy x z L zp xp =- ˆˆˆzy x L xp yp =- （2分）[][][][][]()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,ˆˆˆˆˆˆˆ,00,x y z y x z z x z z y x z z zxyzyxzL L yp zp zp xp yp zp yp xp zp zp yp xp y pz p p z p x i xp yp i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=--+=-=利用动量分量彼此对易和[]ˆ,z z pi= （3分）四计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解：一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态的波函数为 ()22x x a πψ⎛⎫=⎪⎝⎭（2分）（1）粒子坐标的平均值：()()*2220022sin 2a x a x x x x dx x dx a a πψψ∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()2*2222222002211sin 38a x x x x x dx x dx a a a πψψπ∞⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰x ∆== （5分）（2）动量的平均值：()()()()**22220ˆ0d p x p x dx x ix dx dx ψψψψ∞∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()()()2222*2*2222222004ˆd p x px dx x x dx dx a πψψψψ∞∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰2p aπ∆==（5分）（3）粒子动能为22p E m=，则有2222422p E m ma π== （3分） 2、解：（1）Hamilton 量满足的本征方程为2102101201200003003a a a b b b c c c λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪=⇒-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭非零解的条件为()()221012031003λλλλλ--=--=- （6分）即123λλ== 31λ=是可能的能量本征值，能量有简并。

2007级-量子力学试卷A答案

2007级材料物理(1) (2)《量子力学》试卷A 答案及评分标准一、填空（共25分） 1、1.220A (3分)2、21c ,22c (4分, 每空2分) 3、二度简并的(2分) 4、厄密算符 (2分) 5、球谐函数()ϕθ,lm Y (3分)6、xx i x P P x n nxx n∂∂=- ˆˆ (4分) 7、i s ;ˆ2ˆσ = (4分，每空2分) 8、1和3(3分) 二、简答题（共13分） 1、（7分）答：量子力学中用波函数()t z y x ,,,ψ描述微观粒子的运动状态，波函数的统计解释是波函数是一种概率波，()2,,,t z y x ψ代表粒子在t 时刻在空间一点(x,y,z)处出现的几率。

波函数与声波和光波的主要区别在于波函数乘以一个常数，波函数描述的概率波不变，即其描写的粒子的状态并不改变；而声波和光波乘以一个常数后体系的状态完全改变。

2、（6分）答：量子力学中的测不准关系是：2≥∆⋅∆x p x 。

其表明坐标和它所对应的动量的不确定度两者相互制约，其中一个量测量的越准确，另一个量就越测不准。

如果两个算符不对易，那么这两个算符没有共同的本征函数，因此这两个算符代表的力学量不能同时有确定值。

三、证明题（12分）1、（5分）证明：自由粒子平面波函数为()Et x P iPx x Ae-=ψ()x x P x Et x P ixp x P Ae dx d i P ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=- ˆ，符合本征方程。

2、（7分）证明：设m 为ZL ˆ的本征态，与其相对应的本征值为 m ，则 m m m L Z =ˆ （1）（1）式的共轭式为m m L m Z=+ˆ （2） +=Z Z L L ˆˆ ∴（2）式改写为m m L m Z=ˆ 利用基本对易关系：X y Z Z y L i L L L L ˆˆˆˆˆ =- 在m态下求X L：m L m L X X ˆ=m L i m L i X X ˆ =m L L m m L L m L i y Z Z y X ˆˆˆˆ-= m L m m m L m m Z y ˆˆ -= 0= 0=∴x L四、计算题（50分） 1、（15分）解： (a)对BC-CB=iA分别右乘B 和左乘B ，利用B 2=1，得 BCB －CB 2 = BCB －C = iAB ① B 2C －BCB =C －BCB = iBA ② ①＋②得：AB+BA = 0类似有 AC+CA = 0 （5分） (b)由于A 2= 1，可知其本征值为1±。

量子力学A卷真题2007年

2007年硕士学位研究生入学统一考试试题量子力学A卷一、在一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中运动的粒子受到微扰作用。

试求基态能量的一级修正。

(x) 中。

试证明粒子所受势场二、粒子在势场V(x) 中运动并处于束缚定态ψn作用力的平均值为零。

三、1．考虑自旋为的系统。

试在表象中求算符的本征值及归一化的本征态。

其中是角动量算符，而A，B为实常数。

2．假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。

四、两个无相互作用的粒子(质量均为m) 置于一维无限深方势阱(0＜x＜a) 中。

对下列两种情况写出：两粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。

1．两个自旋为的可区分粒子；2．两个自旋为的全同粒子。

五、一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。

不存在其它势，求粒子的基杰能量和归一化波函数。

2007年量子力学A卷参考答案一、解：能级，n=1，2，3…。

相应的能量本征函数为因此基态能量的一级修正为二、解：粒子所受势场作用的力算符为三、解：a) 设，则在表象中有设本征值为设为归一化的本征态，a2+b2=1，则由本征方程解得本征态为b) 在表象中的本征态为故发现的概率为。

四、解：a) 对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。

其基态：总能量为2F1，而波函数为，有4重简并。

第一激发态：总能量为E1+E2，其波函数为有8重简并。

b) 自旋的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。

故基态：总能量为2E1，波函数为，非简并。

第一激发态：总能量为E1+E2，波函数为四重简并。

其中，代表二粒子自旋单态，代表自旋三重态。

五、解：波函数可设为，则u(r) 满足约化径向方程，其中。

对于基态l=0，则方程变为，其中。

其通解为u(r) =Asin(kr+δ) ，。

由边界条件可以定解。

因此归一化的径向波函数为又由，最后求得归一化的总波函数为。

量子力学试卷A(2007级)

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分）装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）1. 单值的，平方可积的2. 线性算符，厄米算符3. 平均值几率分布4. 4 200ψ，211ψ，210ψ，211ψ-5. 平均场积三、证明题（共15分）证明：（1）[][]ˆˆ,1111ˆˆˆˆ2222ˆˆˆˆ,,122a a p p p p p p i i x p p x +⎡⎤⎫⎫⎡⎤=-⎥⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎥⎭⎭⎦⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦=-=-其中利益[]ˆˆ,xp i = （6分）（2）[],,,a a a a a a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4分）（3）可以求得：)ˆxa a +=+)ˆpa a +=-系统Hamilton 为()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H xa a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭ （5分）四计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=（2分）利用三角函数积化和、差，将()x ψ改写 ()2cos x x x a a ππψ=21cos x x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦22sin 2sin cos x x x a a a πππ⎤=+⎥⎦3sin sin xx a a ππ⎤=+⎥⎦3x x a a ππ⎤=+⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ （4分） ()x ψ是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在()1xx aπψ=出现几率为12，能量为22122E ma π=部分处在()33xx aπψ=，出现几率为12，能量为223292E ma π= （2分） (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E ma π=+= （3分）（3）粒子随时间变化的波函数为 ()229223,n i i iE t t t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎫==⎪⎪⎪⎪⎭⎭∑（4分） 2、解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（3分）cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭，其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b ee ϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- （4分）当1λ=时，对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时，对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭ （2分）（2）在ˆz s本征态1/2χ下，n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭（3分）故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（3分）3、解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1）根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E （2分）又二级能量公式是： 2'(2)(0)(0)nkknk nn kH E E E ≠=-∑（2分）所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEEEEE ==+=----∑（2分）2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n n n H H H aE EE E E E E E E ==+=----∑ （2分）22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H H b a E EEEEEEEEEE==+=+-----∑（2分）4．解：（1）利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）（2）证明：2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x ψ= ，本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x ψ= ，本征值为z p -∞<<∞ （4分）（3）选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P （2分）。