稳态温度场求解
二维稳态温度场控制方程
二维稳态温度场控制方程二维稳态温度场控制方程是描述二维空间内物体温度分布的方程，它是热传导定律的数学表达形式。
稳态温度场意味着物体内部的温度分布不随时间变化，只与空间位置有关。
此外，控制方程还考虑了边界条件和材料性质。
二维稳态温度场的控制方程可以用偏微分方程形式表示，对于矩形区域内的二维空间来说，控制方程如下：【注】用户在问题陈述中可能会给出具体的条件，如热源和边界条件，因此，参考以下方程时可以结合具体情况适当添加这些条件。
热传导方程：∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0热传导方程是一个椭圆型偏微分方程，它描述了温度分布在空间中的流动和变化。
其中T表示温度，x和y分别表示空间坐标。
边界条件：1.第一类边界条件：指定边界上的温度值。
可以是恒定的温度，如T(x,y)=T0，表示边界上的温度值为常量T0。
2.第二类边界条件：指定边界上的温度梯度。
可以是传热率，如q_n = -k * ∂T/∂n，表示边界上的传热速率等于热传导率乘以温度梯度，其中q_n是与边界垂直的热通量；k是材料的热传导率；∂T/∂n是温度沿着边界法向量方向的梯度。
材料性质：材料性质包括热扩散率和热导率。
其中热扩散率表示材料对热的传递速度的能力，热导率表示材料在单位时间内单位面积的热流量，两者通常用D和k表示。
通过数值解法，可以求解出二维稳态温度场控制方程的解析解。
数值解法中常用的方法有有限差分法和有限元法。
有限差分法将偏微分方程离散化为差分方程，通过迭代计算得到数值解。
有限元法将二维空间划分为小的有限元单元，并通过插值计算得到节点上的温度值，然后利用元素之间的关系求解整个二维区域内的温度分布。
在实际应用中，二维稳态温度场控制方程被广泛应用于热传导、传热分析、热工程和工业制造等领域。
例如，它可以用于预测电子设备中的热分布，优化散热系统设计。
也可以用于分析材料加工过程中的温度变化，以便提高生产效率和产品质量。
ANSYS稳态和瞬态分析步骤简述..
ANSYS稳态和瞬态热模拟基本步骤基于ANSYS 9。
0一、稳态分析从温度场是否是时间的函数即是否随时间变化上，热分析包括稳态和瞬态热分析。
其中，稳态指的是系统的温度场不随时间变化，系统的净热流率为0，即流入系统的热量加上系统自身产生的热量等于流出系统的热量：（3-1）=0+-q q q流入生成流出在稳态分析中，任一节点的温度不随时间变化.基本步骤:（为简单起见，按照软件的菜单逐级介绍）1、选择分析类型点击Preferences菜单,出现对话框1。
对话框1我们主要针对的是热分析的模拟，所以选择Thermal.这样做的目的是为了使后面的菜单中只有热分析相关的选项.2、定义单元类型GUI：Preprocessor>Element Type〉Add/Edit/Delete 出现对话框2对话框2点击Add，出现对话框3对话框3在ANSYS中能够用来热分析的单元大约有40种，根据所建立的模型选择合适的热分析单元。
对于三维模型，多选择SLOID87:六节点四面体单元。
3、选择温度单位默认一般都是国际单位制，温度为开尔文(K）.如要改为℃，如下操作GUI：Preprocessor>Material Props>Temperature Units选择需要的温度单位。
4、定义材料属性对于稳态分析,一般只需要定义导热系数，他可以是恒定的，也可以随温度变化。
GUI: Preprocessor〉Material Props> Material Models 出现对话框4对话框4一般热分析，材料的热导率都是各向同性的，热导率设定如对话框5.对话框5若要设定材料的热导率随温度变化,主要针对半导体材料。
则需要点击对话框5中的Add Temperature选项，设置不同温度点对应的热导率，当然温度点越多，模拟结果越准确.设置完毕后,可以点击Graph按钮,软件会生成热导率随温度变化的曲线。
对话框5中，Material菜单，New Model选项，添加多种材料的热参数。
密度锁内无扰动时稳态温度场分析
Ｈ／ ｍ ｍ
图 ２ 不 同温差 下实验段 内温度分 布图
Ｆｉ ． Ｔ ｍｐ ｒ ｔ ｒ ｓｒｂ ｔ ｎ ｉ ｅ ｔ ｅ ｔ ｎ ｗｉ ｇ２ ｅ ｅ ａｕ ｅＤｉ ｉ ｕ ｉ Ｔ ｓ ｃ ｉ ｔ ｔ ｏ ｎ Ｓ ｏ ｈ Ｄｉ ｅ ｅ ｔ ｅ ｅ ａｕ ｅ ｆ ｒ ｎ ｍｐ ｒｔ ｒ Ｔ
用于维持冷源温度 ， 水温为环境温度。实验 中温 度测量采用 ２ 根直径为 Ｏ ｍ 的微细铠装热电 ０ ．ｍ ５ 偶 ，将其布置于密度锁模型径向中心位置 。热 电
特性进行 了研究 。研究结果表 明，密度锁工作时 上方存在一定扰动 ，使得密度锁上方存在一混合 层 ，混合层 内传热主要 以对流为主；但在扰动作 用消失后 ， 工质问的传热方式转变为导热【引 ４ 。因 ， 此 ，研究混合层以下工质 即无扰动条件下工质 的 传热特性 ，对于密度锁的传热特性研究有着重要 的意义。本文通过实验研究了密度锁内无扰动时 稳态温度场分布 ，并对密度锁结构进行合理的简 化 ，用肋片导热模型 、Ｆｕｎ 流体计算软件和半 ｌ ｔ ｅ 无限大平板导热模型对其进行 了理论分析 ，为分 析密度锁 内传热性 能及设计密度锁结构奠定 了
第 ３ 卷 第 １期 ｌ
２ Ｏ Ｏ １
核 动 力 工 程
Ｎｕ ｌａ ｏ ｒ ｇ ｎ ｅ ｉｇ ｃ ｅ ｒ ｗｅ Ｐ Ｅｎ ｉ ｅ ｒ ｎ
Ｖ １ ｏ ＿ ．３１ ．ＮＯ １ ． Ｆ ｂ ｌ ｅ ．２ ０ Ｏ
年 ２ 月
文章编号 ：０ ５ －９ ６２ １） １ ０ ８０ ２ ８０ ２ （０ ００ － ３ －５ ０
６０ ｍ。圆筒上方为不锈钢筒盖 ， ０ ｍ 筒盖上安装了
收稿 日期 ：２０ —２２ ；修 回 日期 ：２ ０－４２ ０８１—９ ０９０ —８
汽车轮胎二维稳态温度场的数值分析
汽车轮胎二维稳态温度场的数值分析李杰魏建华赵旗(吉林大学汽车动态模拟国家重点实验室)摘要: 通过对滚动轮胎进行合理假设，在MSC.Patran系统中建立了国产9.00-2012PR尼龙斜交轮胎二维稳态温度场有限元分析模型，用MSC.Nastran热分析求解器计算了轮胎的温度场分布，计算结果反映了轮胎的温度分布。
通过拟合得到最高温升与车速的基本线性关系，该公式可以用来简单预测轮胎不同车速稳态的最高稳升，对轮胎结构设计与使用有一定的指导意义。
1 前言对轮胎生热及其温度场的研究有试验法和数值计算法[1-3]。
试验法是通过试验直接测量轮胎温度场的分布，这种方法有一定的局限性。
随着有限元技术和计算机技术的发展，越来越多的研究者采用数值计算法获得轮胎温度场的分布，以便在设计之初就能优化轮胎结构和进行配方设计，提高轮胎的使用寿命。
本文应用MSC.Patran系统对汽车轮胎二维稳态温度场进行数值分析，通过计算得到轮胎达到生热与散热平衡时的温度场，以便为轮胎寿命预测提供依据。
2 汽车轮胎二维稳态温度场的有限元建模2.1 汽车轮胎二维稳态温度场的基本假设汽车轮胎温度场分析是一个非常复杂的课题，为了简化计算，对轮胎温度场模型提出如下假设：（1）轮胎形状是轴对称，不计花纹的影响。
（2）轮胎滚动过程中，其周向方向不存在温度梯度，任一微元体从地面所吸收的功，被均匀分配到整个圆周上，即周向无温度梯度假设。
（3）轮胎在定载和定压状态下工作，由橡胶组成，且材料为各向同性。
（4）轮胎在连续行驶一段时间后，达到热平衡状态，可看作稳态热传导问题。
（5）忽略接触摩擦生热和辐射换热。
根据上述假设，可将汽车轮胎温度场分析问题简化为通过对称轴的一个子午线平面来计算模拟轮胎内部温度分布的二维平面问题。
2.2 MSC.Nastran的热分析功能MSC.Patran系统中链接的求解器MSC.Nastran具有较强的传热分析能力，提供了一维、二维、三维、轴对称等传热分析单元，可求解各种形式的传热问题：传导、对流和辐射，可以进行稳态或瞬态传热分析，线性和非线性传热分析。
传热学-稳态导热例题
专题二 稳态热传导
【解】
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】29 （北京科技大学2012） 【计算题】考察一管长6m, 内、外径分别为7.4cm、
8.0cm，导热系数为14W/(m·℃)的压缩空气管道。管的外表 面由总功率为300W的电阻带均匀加热，外包绝热层，通过 绝热层的散热损失为15％。管内空气的平均温度为−10℃ ， 管道内表面的对流换热系数为30 W/(m2·℃)。试：
专题二 稳态热传导
温度场分布：
r=r2 处有最高温度：
t2
tf
q h
t2
150 ℃ 1.05105 3 500
q 2 (t1 t2 ) 2
t1
q 2 2
t2
186.30C
燃料层控制方程： 料层边界条件：
燃料层温度分布：
t
Φ
21
1
2
2
x2
t1
燃料层最高温度：
t0
t1
1 22
21
196.8℃
【计算题】一长为L的长圆柱内热源为 ，常物性，导 热系数为λ，左端面和侧面都绝热，右端与流体接触，温 度为tf，表面传热系数为 h，求
①写出微分方程和边界条件 ②温度分布 ③最大温度tmax
【解】 控制方程:
边界条件:
第一次积分:
第二次积分:
x L,
tL
Φ 2λ
L2
c2
tf
L ; h
c2 =t f
L h
Φ 2λ
L2
温度分布: 当x=0时，取得最大温度:
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】 25（北京科技大学2011） 【计算题】考察一功率为800W的家用电熨斗
第二章导热基本定律及稳态导热
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
第二章--稳态热传导(导热理论基础)
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
ANSYS导体热生成计算——稳态温度场和瞬态温度场
ANSYS 导体热生成计算——稳态温度场和瞬态温度场APDL 命令流含注释目录简介： (1)附件1 稳态温度场APDL 命令流 (2)附件2 瞬态温度场APDL 命令流 (5)简介：导热热生成计算，分为稳态温度场和瞬态温度场计算。
稳态温度场就是无限长时间后导体的温度场分布，瞬态温度场则可以模拟通电后的温度变化。
ANSYS 施加的载荷的是生热率载荷。
MNMX XYZ 5082.138315.0511********.918013.821246.724479.727712.6附件1 稳态温度场APDL命令流!注1：本例温度单位为℃，其余物理量采取国际单位制。
!注2：导热系数、比热等物性参数是假定的，请根据实际情况更改! ***************环境设置************************finish/clear/filn,Heat_generation/title,!基本参数h1=160e-3 !导体块体长，本例为块体X轴方向尺寸h2=100e-3 !导体块体宽，本例为块体Z轴方向尺寸h3=100e-3 !导体块体高，本例为块体Y轴方向尺寸d1=5e-3 !PC壳体厚度temp_1=0 !第一个温度点温度temp_2=50 !第二个温度点温度temp_3=100 !第三个温度点温度kxx_1_1=0.5 !导体块体在第一个温度点的导热系数kxx_1_2=0.6 !导体块体在第二个温度点的导热系数kxx_1_3=0.7 !导体块体在第三个温度点的导热系数kxx_2_1=0.21 !PC壳体在第一个温度点的导热系数kxx_2_2=0.22 !PC壳体在第二个温度点的导热系数kxx_2_3=0.23 !PC壳体在第三个温度点的导热系数C_1_1=4e3 !导体块体在第一个温度点的比热容C_1_2=4e3 !导体块体在第二个温度点的比热容C_1_3=4e3 !导体块体在第三个温度点的比热容C_2_1=1.2e3 !PC壳体在第一个温度点的比热容C_2_2=1.2e3 !PC壳体在第二个温度点的比热容C_2_3=1.2e3 !PC壳体在第三个温度点的比热容U=36 !电压伏R=60e-3 !电阻欧姆e_size=10e-3 !单元边长，此变量可以调整模型规模temp_air=20 !空气温度conv_air=25 !空气自然对流换热系数!导出参数h4=h1+2*d1 !PC壳体外部尺寸,长h5=h2+2*d1 !PC壳体外部尺寸,宽h6=h3+2*d1 !PC壳体外部尺寸,高QR=U**2/R/(h1*h2*h3) !热生成率!****************前处理*************************** /prep7et,1,70 ! 定义1号单元类型tref,20 !基准温度mptemp,1,temp_1,temp_2,temp_3 !一个温度序列mpdata,Kxx,1,1,kxx_1_1,kxx_1_2,kxx_1_3 mpdata,C,1,1,C_1_1,C_1_2,C_1_3mpdata,Kxx,2,1,kxx_2_1,kxx_2_2,kxx_2_3 mpdata,C,2,1,C_2_1,C_2_2,C_2_3!*******************建模************************** block,-h4/2,h4/2,-h6/2,h6/2,0,-h5/2wpoff,,,-h2/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,,90wpoff,,,h1/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,,90wpoff,,,-h1/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,90wpoff,,,h3/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,90wpoff,,,-h3/2vsbw,allwpcsys,-1,0nummrg,allnumcmp,all!*******************分网************************** vsel,s,,,18vatt,1allsel,allvsel,u,,,18vatt,2allsel,alllesize,all,e_size !设定单元尺寸vsweep,14vsweep,2vsweep,10vsweep,5vsweep,6vsweep,1vsweep,18vsweep,13vsweep,12vsweep,11vsweep,17vsweep,7vsweep,3vsweep,15vsweep,8vsweep,9vsweep,16vsweep,4!*******************边界条件************************** asel,s,loc,x,-h4/2 !选择PC壳体外壁asel,a,loc,x,h4/2asel,a,loc,y,-h6/2asel,a,loc,y,h6/2asel,a,loc,z,-h5/2sfa,all,,conv,conv_air,temp_airallsel,allvsel,s,mat,,1bfv,all,hgen,QRallsel,all!*******************求解**************************/soluANTYPE,STATIC !稳态热分析solve附件2 瞬态温度场APDL命令流!注1：本例温度单位为℃，其余物理量采取国际单位制。
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T
s
TW
TW x , y , z , t
s
• 第二类边界条件： • 又称为传导边界条件，指物体边界上的热 流密度已知。 • q T q
s
n
s
W
q s
T n
s
qW x , y , z , t
• 式中，n为物体边 界的外法线方向，并 规定热流密度的方向 与边界的外法线方向相同。
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
• 瞬态温度场： 温度场随时间变化。 • 稳态温度场：温度场不随时间变化。
• 三维稳态热传导方程为：
T T T y x z Q 0 x x y y z z
• 二维稳态热传导方程为：
• 式中，ρ为材料的密度（kg/m3）；c为材料 的比热容（J/(kg•K)）；t为时间（s）；λx、 λy、λz分别是材料沿x，y，z方向的热导率 （W/(m•K)）；Q是物体内部的热源密度 （W/kg）。
• 对于二维问题，瞬态热传导方程为：
T T y Q 0 c x t x x y y T
• 第三类边界条件： • 又称对流边界条件，指物体与其周围环境介 质间的对流传热系数k和介质的温度Tf为已 知。
q
s
T n
s
k T T f
• 式中，k和Tf可以是 已知的常数，也可以 是某种已知的分布函 数。
• 例题：对于各向同性二维稳态导热方程，如 果物体内部热源密度为0，方程可写成如下 形式： 2 T 2 T
稳态温度场求解
• 傅立叶导热方程 • 在稳态条件下，
qx T x
• 式中qx是x方向的热流密度（W/m2）, λ是材 料的热导率（W/(m• K)）。 • T x 是x方向上的温度梯度，负号表示传 热的方向与温度梯度的方向相反。
• 在一般三维问题中，瞬态温度场满足方程：
T T T y c x z Q 0 t x x y y z z T
T T y Q 0 x x x y y
• 初始条件和边Biblioteka 条件 • 瞬态温度场：初始条件，t = 0的温度场分布。
T T0
T T x, y, z
• 瞬态温度场和稳态温度场：边界条件
t0
t0
• 第一类边界条件： • 指物体边界上的温度或温度分布函数已知。