三角形的内角和
三角形的内角和
由平行线的性质，得 ∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，
内错角相等）
因为E、A、F在直线EF上（所作） 得∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的意义)
所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）
三角形的内角和性质：
三角形的内角和等于180°
√
√
例1、在△ABC中，已知∠B=35°，∠C=55°， 求∠A的度数，并判断△ABC的类型. 例2、在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:3， 求∠A、∠B、∠C的度数.
解：根据题意，可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、 2x、3x. 因为∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角 (已知)， 所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于 180°）， 即 x+2x+3x=180. 解得 x=30. 所以 ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°.
作业：课本练习14.2(1) 练习册14.2(1)
练习2、在△ABC中，已知角平分线BD、CE相交于 点F，如果∠A=50°，求∠BFC的度数.
A E F D
BCΒιβλιοθήκη 14.2(1) 三角形的内角和
老师的问题
问题1、等边三角形的三个角分别是多少？三个内角的 和为多少？
问题2、一副三角尺的两个三角形的三个角分别是多少？ 三个内角的和是多少？
猜想 ：三角形的内角和等于180°
动动手
说理验证
猜想：三角形的内角和等于180°
已知：△ABC. 试说明：∠A +∠B +∠C=180°
想一想
一个三角形 最多有几个锐角？几个直角？几个钝角？ 一个三角形最多有 3 个锐角. 最多有 1 个直角. 最多有 1 个钝角.
三角形的内角和
三角形的内角和在我们的数学世界中，三角形是一个极其基础且重要的图形。
而三角形的内角和，更是一个具有关键性质的知识点。
让我们先从最基本的概念说起。
什么是三角形呢？三角形就是由三条线段首尾相连所组成的封闭图形。
这三条线段就叫做三角形的边，而它们两两相接的点则被称为三角形的顶点。
那三角形的内角又是什么呢？内角就是三角形相邻两边所夹的角。
一个三角形有三个内角。
现在，重点来了，三角形的内角和究竟是多少呢？答案是 180 度。
可能你会问，为什么三角形的内角和一定是 180 度呢？为了更直观地理解这个结论，我们可以通过一些简单的实验和推理来证明。
我们可以准备一个纸质的三角形，然后把三个角剪下来。
将这三个角的顶点拼在一起，你会发现它们恰好可以拼成一个平角，也就是 180 度。
这就直观地展示了三角形的内角和为 180 度。
再从数学推理的角度来看。
我们知道，平行线的性质在证明三角形内角和中起着关键作用。
假设三角形的三个顶点分别为 A、B、C，我们过点 A 作一条平行于 BC 的直线。
根据平行线的内错角相等，我们可以得到角 B 和角 B'相等，角 C 和角 C'相等。
而平角 BAC'是 180 度，所以角 A ＋角 B ＋角 C 也就是三角形的内角和，就是 180 度。
三角形内角和为 180 度这个性质在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
比如在几何证明题中，如果已知三角形的两个内角的度数，我们就可以很容易地求出第三个内角的度数。
又比如在实际生活中，三角形内角和的知识也有不少用处。
工程师在设计桥梁、建筑等结构时，常常需要考虑三角形的稳定性和角度关系，这其中就涉及到三角形内角和的知识。
在数学的学习过程中，理解三角形内角和不仅有助于我们解决与三角形相关的具体问题，还能帮助我们建立更深入的几何思维和逻辑推理能力。
当我们进一步拓展思维，会发现三角形内角和的概念还可以延伸到更复杂的图形中。
比如，由多个三角形组成的多边形，其内角和可以通过三角形内角和的知识来计算。
三角形的内角和
在一个三角形中，已知∠1=1400，∠3=250， 求∠2的度数？ 1800－1400－250 =400－250 =150
答：∠2的度数为150。
判断下列说法对吗?
①钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内 角和。（ × ） ②在直角三角形中，两个锐角的和等于90 º 。 （√ ） ③在钝角三角形中，两个锐角的和大于90 º 。 （×） ④三角形中有一个角是60 º ，那么这个三角形 一定是个锐角三角形。（ ×） ⑤一个三角形中一定不可能有两个钝角。（ ） √
4个三角形： 180°×4＝720°
总结：通过今天的学习， 大家有什么收获？
三角形内角和180°。
量
380
钝角三角形 0
260
116
1160＋260＋380=1800
量
640
直角三角形
260
900
260＋640＋900＝1800
方法二：
撕一撕 拼一拼
拼
3
1
2
3 平角：1800
方法三：
折一折
拼一拼
1
2
2
钝角三角形
1 1
2 2 2
2
3
3
直角三角形
锐角三角形
1
1
3
3
3
3
1
结论:
三角形的
内角和是180°
1、什么是三角形的内角？ ∠1， ∠2， ∠3 2、什么是三角形的内角和？ ∠1+∠2+∠3
1
2
3
90 +60 +30 =180
30° 90 +45 +45 =180 45°
三角形三个内角正弦值的和的范围
三角形三个内角正弦值的和的范围下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角形的内角和
∵ ∠1+∠2 +∠ AC B+ = 180° ﹙平角定义﹚
∴ ∠A C B +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚ 17
证法三
已知：△A B C.
证明：
求证：∠A +∠B +∠C =180°
EA
F
过A 作E F∥B C.
则∠E A B =∠B.
B
C
∠F A C = ∠C ﹙两直线平行,内错角相等﹚ ∵ ∠B A C + ∠E A B +∠C A F =180°
如图：R t △A B C 中， ∠C =90° 则∠A +∠B =90 °
21
例1、 已知：在△ABC中，
∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高， 求 ∠DBC的度数。
分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求
∠DBC的度数,只要求出∠C的度数即可。 A
解：设∠A= X，则∠C=∠ABC=2X.
1
1 2 3
2
1 2 3
3
1 2 3
4
1 2 3
5
6
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于1800
已知：Δ ABC 求证：∠A+∠B+∠C=1800
A
B
C
7
已知：△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180° A
B
C
8
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
A
∴ ∠B A C + ∠B +∠C= 180°﹙等量代换﹚
18
一、填空.
（1）在△ABC中，∠A=500, ∠B=800, 则∠C= 500
三角形内角规律及关系
三角形内角规律及关系如下：
1.三角形内角和为180度，即三角形三个内角大小之和为180
度。
2.在三角形中，有一个角是直角，则该三角形为直角三角形；如
果一个角大于90度，则该三角形为钝角三角形；如果一个三
角形中最大的角小于90度，则该三角形为锐角三角形。
3.三角形内角之间存在以下关系：
•如果一个三角形的两个内角相等，则第三个内角也相等，这个三角形是等边三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于第三个内角，则这个三角形是直角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之差等于第三个内角，则这个三角形是钝角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于180度减去第三个内角的度数，则这个三角形是锐角三角形。
三角形的内角和
4 、一个等腰三角形的顶角是３0 °,它的 一个底角是( ７５ )度.
判断题:
1、大三角形的内角和一定大于小三角形 的内角和. ( × ) 2 、直角三角形中一个锐角是70°,另一个 锐角一定是20 °. ( √ ) ３ 、一个三形中最多只能有一个钝角或 直角. ( √ ) ４、把一个三角形分成两个三角形，其 中一个三角形的内角和应是９０度。（× ）
根据三角形的内角和是180°,你 能求出下面的图形的内角和吗?
(图一)
(图二)
１８０×２出你所剪的纸三角形中三个角的度数，
请你告诉老师其中两个角的度数，看老 师能否猜出第三个角的度数。
三角形的内角和是180 °。
例
在三角形中，已知∠1=78°， ∠ 2=44 ° ，求∠ 3的度数。
∠ 3 =180 ° - 78 °- 44 °
=58 °
填空:
1、三角形中, ∠1=140°, ∠ 3=25 °. ∠ 2=( １５ )度. 2 、一个等腰三角形的一个底角是70 °, 它的顶角是( ４０ )度. 3 、等边三角形的一个角是( ６０ )度.
三角形的内角和
一个等腰三角形的风筝, 它的一个底角是700，它 的顶角是多少度？
已知等腰三角形的风筝， 一个底角70°，顶角多少度？
180°－70°－70°=40° 180°－70°×2=40° 70° 70°
答：顶角的度数是400。
恭喜你过关啦！~ ＞▽＜
三角形的内角和是180°。
√
）
③钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和（×）
× ④红领巾有一个底角是30度，那么它的顶角是150度（ ）
⑤任何一个三角形的内角和都是180度。（ √ ）
23Βιβλιοθήκη 在一个三角形中，已知∠1=1400，∠3=250， 求∠2的度数？
1800－1400－250==150
1800－(1400+250 )=150
不对。我有一个 大钝角，所以我 的内角和才最大！ 我的三角形最 大，所以内角 和也就最大！ 我的三角形小， 难道我的内角 和就小吗？
三角形的内角和
提示： 可以用拼一拼、量一量、折一折 的方法探究三角形的内角和。
结论
三角形的内角和是180°。
我们的内角和都是180°
判断正误
①三角形越大，它的内角和就越大。 ②直角三角形的两个锐角和是90度。（ （ × ）
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60°+30°+90°=180°
45°+45°+90°=180°
2、你能猜想得到什么结论？
量 一 量
（1）四人为一小组 （2）一人为组长，组长负责填好表格 （3）其他三人负责用量角器测量一个三角形三个 角的度数 （4）量的同学，量出每个角的度数，把每个角的 度数写在三角形里面。 （5）记录的同学要监督其他同学是否量的准确 （6）看看哪个小组完成的最快
1
从刚才拼角和折角的 过程你能想出证明的办 法吗?
2
2
1
3
3
学以致用
（二）求下面各角的度数。
A ？
75
C
？
A
28
35
°
B
°
°
A C
20
B
°
C
45
°
？ B
通过本节课的学习，相信你有 很大的收获，那请你谈谈你的 收获。
北大实验学校徐素菊
什么是三角形的内角？
三角形里面的三个角都是三角形的内角。为了方 便研究，我们把每个三角形的3个内角分别标上∠1、 ∠2、∠3。
三角形内角和： 三角形的三个角的 度数的和，就是三角 形的内角和。 2
1
3
1、如下图所示是我们常用的三角板, 它们的三个角之和为多少度?
1 2 3 2
1
小组活动记录表 三角形形 姓名 状
直角三角 形 锐角三角 形 钝角三角 形
每个内角度数
三个内角 和
发现 每个三角形的三个内角的和都在180°左右
拼 一 拼
三角形的三个内角和是多少? 180° 你有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看？
同学们，还有其它 的办法吗？
折 一 折
我们是这样折的