2.41离散型随机变量的均值与方差(理)(基础

2.41 离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …np n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。

（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：①()E E E ξηξη+=+；②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(；b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：：η的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ∴b aE b a E +=+ξξ)(。

要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。

2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-⋅＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．要点诠释：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。

3.期望和方差的关系：22()()D E E ξξξ=-4.方差的性质：若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2()D D a b a D ηξξ=+=；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-证明：∵(0)P q ξ==,(1)P p ξ==,01p <<,1p q += ∴01E q p p ξ=⨯+⨯=22(0)(1)(1).D p q p p p p ξ=-⋅+-⋅=-2、二项分布：若离散型随机变量ξ服从参数为,n p 的二项分布，即~(),B n P ξ，则 期望E nP ξ= 方差(1-)D np p ξ=期望公式证明：∵kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ，∴001112220012......n n n k k n k n n n n n n n E C p q C p q C p q k C p q n C p q ξ---=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 0011n n C p q--＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q p C n n n --- np q p np n =+=-1)(．3、几何分布：独立重复试验中，若事件A 在每一次试验中发生的概率都为p ，事件A 第一次发生时所做的试验次数ξ是随机变量，且1()(1)k P k p p -ξ==-，0,1,2,3,,,k n = ，称离散型随机变量ξ服从几何分布，记作：~()()P k k P ξξ==g ，。

若离散型随机变量ξ服从几何分布，且~()()P k k P ξξ==g ，，则期望1.E pξ=方差21-pD pξ=要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。

4、超几何分布：若离散型随机变量ξ服从参数为,,N M n 的超几何分布，则期望()nME Nξ=要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量ξ的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望、方差的定义求出E ξ、D ξ、σξ：1122n n E x p x p x p ξ=++++()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξ=-ξ+-ξ++-ξ+σξ=注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

方差越大数据波动越大。

③对于两个随机变量1ξ和2ξ，当需要了解他们的平均水平时，可比较1ξE 和2ξE 的大小。

④1ξE 和2ξE 相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1ξD 和2ξD ，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关． 【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E ξ＝8.9，则y 的值为________．【思路点拨】分布列中含有字母x 、y,应先根据分布列的性质，求出x 、y 的值，再利用期望的定义求解； 【解析】x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解， 举一反三：【变式1】（2015春 金台区期末）设ξ～B （18，p ），又E （ξ）=9，则p 的值为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．23【答案】A∵ξ～B （18，p ），E （ξ）=9， ∴18p=9，∴12p =， 故选：A 。

【变式2】随机变量ξ的分布列为，则E(5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3【答案】A 由已知得：E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是A.706元 C ．754元 D ．720元【答案】A节日期间预售的量：E ξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)， 则期望的利润：η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴E η＝3.4E ξ－450＝3.4×340－450＝706. ∴期望利润为706元．【变式4】设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，且()P k ak b ξ==+（1,2,3,4k =），3E ξ=，则a b += ；【答案】0.1；由分布列的概率和为1，有()(2)(3)(4)1a b a b a b a b +++++++=， 又3E ξ=，即1()2(2)3(3)4(4)3a b a b a b a b ⋅++⋅++⋅++⋅+=， 解得0.1a =，0b =，故0.1a b +=。

例2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。

（1）求X 的可能取值，即求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200=－100分，答对2道题得2×100－100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况． 【解析】（1）X 的可能取值为－300，－100，100，300． P （X=－300）=0.23=0.008。

P （X=－100）=13C ×0.22×0.8=0.096，P （X=100）=23C ×0.2×0.82=0.384，P （X=300）=0.83=0.512． 所以X 的概率分布为∴E（X ）=(－300)×0.008+(－100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180． （2）这名同学总得分不为负分的概率为P （X≥0）=P （X=100）+P （X=300）=0.384+0.512=0.896． 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表． 举一反三：【变式1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望【答案】因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．【答案】设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当0ξ=时，即第一次取得正品，试验停止，则93(0)124p ξ===当1ξ=时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则(1)p ξ==449119123=⨯ 当2ξ=时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则(2)p ξ==2209109112123=⨯⨯ 当3ξ=时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则(3)p ξ==220199101112123=⨯⨯⨯ ∴ξ分布列为∴39012344422022010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【变式3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【答案】(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2； (Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元） 故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟例3．(2014 辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(Ⅰ)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (Ⅱ)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【答案】(Ⅰ) 0.108，(Ⅱ) E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72．【解析】(Ⅰ)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”， 因此P(A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A 2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108，(Ⅱ)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：)0(=X p =064.0)6.01(303=-C , 288.0)6.01(6.0)1(213=-==C X p , 432.0)6.01(6.0)2(223=-==C X p , 216.06.0)3(333===C X p ，随机变量X 的分布列为因为X ～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72．【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值． 举一反三：【变式1】 英语考试有100道选择题，每个题有4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望． 【答案】设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X ～B （80，0.25），Y ～B （20，0.25），∴E （X ）=80×0.25=20，E （Y ）=20×0.25=5．故甲、乙的数学期望成绩分别为40分和85分．【变式2】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ， （1）求X 的概率分布； （2）求X 和Y 的数学期望．【答案】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．（1）3311(0)28P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， 31313(1)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，32313(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33311(3)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭。