范文厦门初三数学期末考试卷
福建厦门2024届数学九上期末监测试题含解析
福建厦门2024届数学九上期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列式子中最简二次根式是（ ）A ．3B ．8C ．316D ．122．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．1，2，3 B ．2，3，4 C ．3，4，7 D ．5，2，83．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点()0,0O ，()8,0A，()0,6B ，以某点为位似中心，作出AOB ∆的位似图形CED ∆，则位似中心的坐标为（ ）A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2D ．()0,64．如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（0，3）．现将该三角板向右平移使点A 与点O 重合，得到△OCB’，则点B 的对应点B’的坐标是（ ）A ．（1，0）B 33）C ．（13D ．（-135．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1m ，则旗杆PA 的高度为( )A ．11sin α-mB ．11sin α+mC ．11cos α- mD ．11cos α+ m 6．已知二次函数(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0b <；②20b a -=；③240b ac ->；④()22a b b +<．其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③ 7．如图，抛物线22y x x =+与直线112y x =+交于A ，B 两点，与直线2x =交于点D ，将抛物线沿着射线AB 方向平移25个单位．在整个平移过程中，点D 经过的路程为（ ）A ．12116B ．738C ．152D ．68．已知O 与ABC 各边相切于点,,D E F ，5,3,2AD cm CE cm BF cm ===，则O 的半径（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．2cm9．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤10．图中几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，另一个根为 _______．12．方程290x 的解为________.13．如图，已知直线y ＝mx 与双曲线y ＝k x一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____．14．已知二次函数，当x _______________时，随的增大而减小．15．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．16．建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有____________排，每排有__________人．17．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为_____．18．如图，双曲线()20=>y x x经过Rt OAB ∆斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ．过点D 作DE OA ⊥于点E ，连接OC ，则OBC ∆的面积是__________．三、解答题(共66分)19．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1．（1）求抛物线顶点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）已知点A （0，3），B （2，3），若该抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围．20．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（3）若AC ＝6，AB ＝8，求菱形ADCF 的面积．21．（6分）（问题情境）（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，则：（1）AC²=AB·AD ；(2)BC²=AB·BD ；(3)CD² = AD·BD ；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD ．（结论运用）（2）如图2，正方形ABCD 的边长为3，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，①求证：△BOF ∽△BED ； ②若10BE =，求OF 的长．22．（8分）用配方法解方程:2220x x --=23．（8分）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE BC ∥，EF AB ∥，:1:3AD AB =.（1）当5DE =时，求FC 的长；（2）设AD a =，CF b =，那么FE =__________，EA =__________（用向量a ，b 表示）24．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AD 交AB 于E ，EF ∥BC 交AC 于F ．（1）求证：△ACD ∽△ADE ；（2）求证：AD 2＝AB•AF ；（3）作DG ⊥BC 交AB 于G ，连接FG ，若FG ＝5，BE ＝8，直接写出AD 的长．25．（10分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 在O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，,2AC PC COB PCB =∠=∠．()1求证:PC 是的切线； ()2求证:12BC AB =；()3点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若8AB =，求MN MC ⋅的值．26．（10分）如图，AB 是O 的直径，CD 切O 于点C ，AD 交O 于点E ，AC 平分BAD ∠，连接BE .（1）求证:CD ED ⊥；（2）若4CD =，2AE =，求O 的半径.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解题分析】根据最简二次根式的定义：被开方数是整数或整式，且不含开得尽方的因数或因式进行判断即可.【题目详解】B. ，不是最简二次根式，不符合题意；C. 被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意；D.故选A.【题目点拨】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.2、B【解题分析】根据三角形三边关系定理得出：如果较短两条线段的和大于最长的线段，则三条线段可以构成三角形，由此判定即可．【题目详解】A．1+2=3，不能构成三角形，故此选项错误；B．2+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；C．3+4=7，不能构成三角形，故此选项错误；D．5+2＜8，不能构成三角形，故此选项错误．故选：B．【题目点拨】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3、C【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心．【题目详解】如图所示，点P即为位似中点，其坐标为（2，2），故答案为：（2，2）．【题目点拨】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似中心的定义是解题关键．4、C【分析】根据A点的坐标，得出OA的长，根据平移的条件得出平移的距离，根据平移的性质进而得出答案.【题目详解】∵A（-1,0），∴OA=1, ∵一个直角三角板的直角顶点与原点重合,现将该三角板向右平移使点A与点O 重合，得到△OCB’,∴平移的距离为1个单位长度，∴则点B的对应点B’的坐标是（13.故答案为：C.【题目点拨】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点.5、A【解题分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=PCPB'，列出方程即可解决问题．【题目详解】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinα=PC PB'，∴1xx-=sinα，∴x-1=xsinα，∴（1-sinα）x=1，∴x=11sinα-．故选A．【题目点拨】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．6、C【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则可对①②进行判断；利用判别式的意义可对③进行判断；利用平方差公式得到（a+b）2-b2=（a+b-b）（a+b+b），然后把b=-2a代入可对④进行判断．【题目详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1， ∴b=-2a ＜0，所以①正确；∴b+2a=0，所以②错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，所以③正确；∵（a+b ）2-b 2=（a+b-b ）（a+b+b ）=a （a+2b ）=a （a-4a ）=-3a 2＜0，∴（a+b ）2＜b 2，所以④正确．故选：C ．【题目点拨】考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．7、B【分析】根据题意抛物线沿着射线AB 方向平移A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a ，令x=2,y=(a-114)²+716,由0≤a≤4,推出y 的最大值和最小值,根据点D 的纵坐标的变化情形，即可解决问题．【题目详解】解：由题意，抛物线沿着射线AB 方向平移A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵抛物线22y x x =+=(x+1) ²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位， 抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a 令x=2,y=(3-a) ²-1+12a, ∴y=(a-114)²+716, ∵0≤a≤4 ∴y 的最大值为8，最小值为716， ∵a=4时，y=2，∴8-2+2(2-716)=738故选：B 【题目点拨】本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D 的移动规律． 8、C【分析】根据内切圆的性质，得到OD OE OF r ===，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG ⊥AC 于点G ，然后求出BG 的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.【题目详解】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，作BG ⊥AC 于点G ，∵O 是ABC 的内切圆，∴OD OE OF r ===，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，∴AC=8，AB=7，BC=5，在Rt △BCG 和Rt △ABG 中，设CG=x ，则AG=8x -，由勾股定理，得：22222BG BC CG AB AG =-=-， ∴222257(8)x x -=--，解得：52x =， ∴52CG =， ∴225535()22BG =-=， ∵11()22ABC S AC BG AB AC BC r ∆=•=•++•， ∴53823875r ==++ 故选：C.【题目点拨】本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.9、A【分析】由抛物线的开口方向判断a 与2的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与2的关系，然后根据对称轴判定b 与2的关系以及2a+b=2；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞2．【题目详解】①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴ab ＜2，故正确； ②∵对称轴1,2b x a=-= ∴2a+b=2；故正确；③∵2a+b=2，∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜2，∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜2，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ，所以a+b≥m （am+b ）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于2．故错误．故选A ．【题目点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞2时，抛物线向上开口；当a ＜2时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞2），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜2），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（2，c ）． 10、D【解题分析】本题考查了三视图的知识找到从上面看所得到的图形即可．从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、3 4【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值；把m的值代入一元二次方程中，求出x的值，即可得出答案．【题目详解】解：把x=0代入方程（m+2）x2+3x+m2-4=0得到m2-4=0，解得：m=±2，∵m-2≠0,∴m=-2，当m=-2时，原方程为：-4x2+3x=0解得：x1=0，x2=34，则方程的另一根为x=34．【题目点拨】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出m的值是解此题的关键．12、3x=±【解题分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【题目详解】解：移项得x2=9，解得x=±1．故答案为3x=±．【题目点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．13、（﹣3，﹣4）【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可.【题目详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝kx的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．【题目点拨】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．14、＜2（或x≤2）．【解题分析】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大.根据性质可得：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小.考点：二次函数的性质15、1．【解题分析】∵22251213+=，由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形， ∴它的内切圆半径5121322r +-==， 16、14； 1【分析】先设三军女兵方队共有x 排，则每排有(11x +)人，根据三军女兵方队共352人可列方程求解即可．【题目详解】设三军女兵方队共有x 排，则每排有(11x +)人，根据题意得： ()112352x x ++=，整理，得2113500x x +-=．解得：121425x x ==-，(不合题意，舍去)，则11141125x +=+=（人）．故答案为：14，1．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．17、3【分析】根据正六边的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【题目详解】解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝32×23【题目点拨】此题考查的是正六边形的性质和正三角形的性质，掌握正六边形的性质和正三角形的性质是解决此题的关键． 18、1【分析】先证明△OED ∽△OAB ，得出相似比=12OD OB =，再根据反比例函数中k 的几何意义得出S △AOC =S △DOE =12×2=1，从而可得出△AOB 的面积，最后由S △OBC =S △AOB -S △AOC 可得出结果． 【题目详解】解：∵∠OAB=90°，DE ⊥OA ，∴DE ∥AB ，∴△OED ∽△OAB ，∵D 为OB 的中点D ，12OD OB ∴=，∴211()24ODE OAB S S ==． ∵双曲线的解析式是y=2x， ∴S △AOC =S △DOE =12×2=1， ∴S △AOB =4S △DOE =4，∴S △OBC =S △AOB -S △AOC =1，故答案为：1．【题目点拨】主要考查了反比例函数y=k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点．三、解答题(共66分)19、（1）C （m ，﹣1）；（3）﹣3≤m≤0或3≤m≤3．【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C 的坐标；（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y ＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A 、点B 时，m 的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m 的取值范围．【题目详解】（1）y ＝x 3﹣3mx+m 3﹣1＝（x ﹣m ）3﹣1，∴抛物线顶点为C （m ，﹣1）．（3）把A （0，3）的坐标代入y ＝x 3﹣3mx+m 3﹣1，得3＝m3﹣1，解得m＝±3．把B（3，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，得3＝33﹣3m×3+m3﹣1，即m3﹣3m＝0，解得m＝0 或m＝3．结合函数图象可知：﹣3≤m≤0或3≤m≤3．【题目点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．20、（1）详见解析；（2）24【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC的面积=12AB•AC，结合条件可求得答案．【题目详解】（1）证明：∵E是AD的中点∴AE＝DE∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DBE在△AEF和△DEB中AFE DBEDEB AEF AE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF≌△DEB（AAS）∴AF＝DB∵D是BC的中点∴BD=CD=AF∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝12BC∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8∴S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S△ABC＝12AB•AC＝168242⨯⨯=．【题目点拨】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．21、（1）见解析；（2）①见解析；②35 5【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；（2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=10，利用△BOF∽△BED，即可求解．【题目详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，而∠A=∠A，∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC² = AB·AD；（2）①证明：如图2，∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD=90°，∴BC 2=BO•BD ，∵CF ⊥BE ，∴BC 2=BF•BE ，∴BO•BD=BF•BE ， 即BO BF BE BD=，而∠OBF=∠EBD ， ∴△BOF ∽△BED ；②∵在Rt △BCE 中，BC=3，，∴1=，∴DE=BC-CE=2；在Rt △OBC 中，OB=2BC=2， ∵△BOF ∽△BED ，∴OF BO DE BE =，即2OF =，∴OF=5. 【题目点拨】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大．22、x 1，x 2；【分析】先变形方程得到x 2-2x+1=3，然后利用配方法求解；【题目详解】x 2-2x+1=3，（x-1）2=3，，所以x 1，x 2；【题目点拨】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.23、（1）CF 10=；（2）2a -，12b a - 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用三角形法则求解即可．【题目详解】（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE=BF=5，∵AD ：AB=DE ：BC=1：3，∴BC=15，∴CF=BC-BF=15-5=1．（2）∵AD ：AB=1：3，∴22DB AD a == ，∵EF=BD ，EF ∥BD ，∴2FE DB a =-=- ，∵CF=2DE ， ∴1122ED CF b == ， ∴12EA ED DA b a =+=- . 【题目点拨】此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24、（1）见解析；（2）见解析；（3）13【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）证明△BAD ∽△DAF 可得结论．（3）求出AB ，AF ，代入AD 2＝AB•AF ，即可解决问题．【题目详解】（1）证明：∵DA 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠DAE ，∵DE ⊥AD ，∴∠ADE ＝∠C ＝90°，∴△ACD∽△ADE．（2）证明：连接DF．∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠B，∵∠ADE＝∠AFE＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠ADF＝∠AEF，∴∠B＝∠ADF，∴∠DAB＝∠DAF，∴△BAD∽△DAF，∴AB AD AD AF=，∴AD2＝AB•AF．（3）设DG交EF于O．∵DG⊥BC，AC⊥BC，∴DG∥AC，∴∠ADG＝∠DAC＝∠DAG，∴AG＝GD，∵∠AED+∠EAD＝90°，∠EDG+∠ADG＝90°，∴∠GED＝∠GDE，∴DG＝EG＝AG，∵∠AFE＝90°，∴FG＝EG＝AG＝DG＝5，∵OE∥BD，∴OG EG GD GB=，∴5 513 OG=，∴OG ＝2513， ∴OG ∥AF ．EG ＝AG ，∴OE ＝OF ，∴AF ＝2OG ＝5013， ∴AD 2＝AB•AF ＝18×5013， ∵AD ＞0，∴AD ． 【题目点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1．【分析】（1）根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90︒，即OC ⊥CP ，故PC 是⊙O 的切线；（2）连接MA ，MB ，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM ，进而可得△MBN ∽△MCB ，故2BM MN MC =⋅；代入数据即可求得答案．【题目详解】()1OA OC =，CAO ACO ∴∠=∠，又22COB CAO ACO ACO COB PCB ∠=∠+∠=∠∠=∠，，ACO PCB ∴∠=∠，又AB 是O 的直径，90ACO OCB ∴∠+∠=︒，90PCB OCB ∴∠+∠=︒，即OC CP ⊥， OC 是O 的半径，PC ∴是O 的切线；()2AC PC =，CAP P ∴∠=∠，CAP ACO PCB P ∴∠=∠=∠=∠，又,COB A ACO CBO P PCB ∠=∠+∠∠=∠+∠，COB CBO ∴∠=∠，BC OC ∴=， 12BC AB =∴； ()3连接MA MB ，，点M 是AB 的中点，∴AM BM =，ACM BCM ∴∠=∠，ACM ABM ∠=∠，BCM ABM ∠=∠∴，BMN BMC ∠=∠，MBNMCB ∴， BM MN MC BM ∴= 2BM MN MC ∴=⋅，又AB 是O 的直径，AM BM =，90,AMB AM BM ∴∠=︒=，8AB =，42BM ∴=232MN MC BM ∴⋅==．【题目点拨】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，证得2BM MN MC =⋅是解题的关键．26、（1）见解析；（2）17.【分析】（1）连接OC ，则OC DC ⊥，由角平分线的性质和OA OC =，得到OC AD ∥，即可得到结论成立； （2）由AB 是直径，得到∠AEB=90°，则四边形DEFC 是矩形，由三角形中位线定理，得到BE=2CD=8，由勾股定理，即可求出答案.【题目详解】（1）证明：连接OC ，交BE 于F ，由DC 是切线得OC DC ⊥；又∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠，∵DAC OAC ∠=∠，∴OCA DAC ∠=∠，∴OC AD ∥，∴90D OCD ∠=∠=︒，即CD ED ⊥.（2）解：∵AB 是O 的直径， ∴90AEB =︒∠，∵90D ∠=︒，∴AEB D ∠=∠，∴BE CD ∥， ∵OC CD ⊥，∴OC BE ⊥，∴EF BF =，∵OC ED ，∴四边形EFCD 是矩形，∴4EF CD ==，∴8BE =，∴222228217AB AE BE =+=+=∴O.【题目点拨】本题考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，三角形的中位线定理，以及勾股定理，解题的关键是掌握所学知识进行求解，正确得到AB的长度.。
初中数学厦门市九年级上期末考试数学考试卷含答案 .docx
xx 学校xx 学年xx 学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题（每空xx 分，共xx 分）试题1:下列各式中计算结果为9的是A.（－2）＋（－7）B.－32C.（－3）2D . 3×3－1试题2:如图1，点E 在四边形ABCD 的边BC 的延长线上，则下列两个角 是同位角的是A.∠BAC 和∠ACBB.∠B 和∠DCEC.∠B 和∠BAD D .∠B 和∠ACD 试题3:一元二次方程x 2－2x －5＝0根的判别式的值是A. 24B. 16C. －16D . －24 试题4:.已知△ABC 和△DEF 关于点O 对称，相应的对称点如图2所示， 则下列结论正确的是A. AO ＝BOB. BO ＝EOC.点A 关于点O 的对称点是点D D . 点D 在BO 的延长线上试题5:.已知菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则下列结论正确的是A.点O到顶点A的距离大于到顶点B的距离B.点O到顶点A的距离等于到顶点B 的距离C.点O到边AB的距离大于到边BC的距离D.点O到边AB的距离等于到边BC的距离试题6:已知（4＋）·a＝b，若b是整数，则a的值可能是A. B. 4＋ C.8－2 D . 2－试题7:已知抛物线y＝ax2＋bx＋c和y＝max2＋mbx＋mc，其中a，b，c，m均为正数，且m≠1.则关于这两条抛物线，下列判断正确的是A.顶点的纵坐标相同B.对称轴相同C.与y轴的交点相同 D .其中一条经过平移可以与另一条重合试题8:一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M 的衬衫，每包混入的M号衬衫数及相应的包数如下表所示.一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M号衬衫数不超过3的概率是A. B. C. D .M号衬衫数 1 3 4 5 7包数20 7 10 11 12试题9:已知甲、乙两个函数图象上的部分点的横坐标x与纵坐标y如下表所示.若在实数范围内，甲、乙的函数值都随自变量的增大而减小，且两个图象只有一个交点，则关于这个交点的横坐标a，下列判断正确的是A. a＜－2B. －2＜a＜0C. 0＜a＜2 D .2＜a＜4x－2 0 2 4y甲 5 4 3 2y乙 6 5 3.5 0试题10:一组割草人要把两块草地上的草割掉,大草地的面积为S，小草地的面积为S.上午，全体组员都在大草地上割草.下午，一半人继续留在大草地上割草，到下午5时将剩下的草割完；另一半人到小草地上割草,到下午5时还剩下一部分没割完.若上、下午的劳动时间相同，每个割草人的工作效率也相等，则没割完的这部分草地的面积是A. SB. SC. S D .S试题11:－3的相反数是.试题12:甲、乙两人参加某商场的招聘测试，测试由语言和商品知识两个项目组成，他们各自的成绩（百分制）如下表所示.该商场根据成绩在两人之间录用了乙，则本次招聘测试中权重较大的是项目.应聘者语言商品知识甲70 80乙80 70试题13:在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标是 . 试题14:飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t－1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是秒.试题15:.如图3，AB为半圆O的直径，直线CE与半圆O相切于点C，点D是的中点，CB＝4，四边形ABCD的面积为2AC，则圆心O到直线CE的距离是 .试题16:如图4，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE＋AF＝a，则线段EF的最小值为 .试题17:解方程x2＋2x－2＝0.试题18:如图5，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝12，AC＝13，∠ADC＝90°.求证：△ABC≌△ADC.试题19:2016年3月1日，某园林公司派出一批工人去完成种植2200棵景观树木的任务，这批工人3月1日到5日种植的数量（单位：棵）如图6所示.（1）这批工人前两天平均每天种植多少棵景观树木？（2）因业务需要，到3月10日必须完成种植任务，你认为该园林公司是否需要增派工人？请运用统计知识说明理由.试题20:如图7，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，m），B（2，n），C（4，t），且点B是该二次函数图象的顶点.请在图7中描出该函数图象上另外的两个点，并画出图象.试题21:如图8，圆中的弦AB与弦CD垂直于点E，点F在上，＝，直线MN过点D，且∠MDC＝∠DFC，求证：直线MN是该圆的切线.试题22:在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），其中m＞0.（1）若m＝1，且k＝－1，求点B的坐标；（2）已知点A（m，0），若直线y＝kx＋4m与x轴交于点C（n，0），n＋2p＝4m，试判断线段AB上是否存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，并说明理由.试题23:如图9，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P以2厘米/秒的速度从点A出发，沿△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周.设点P从A出发经x（x＞0）秒后，△ABP的面积是y.（1）若AB＝6厘米，BE＝8厘米，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式；（2）已知点E是BC的中点，当点P在线段ED上时，y＝x；当点P在线段AD上时，y＝32－4x.求y关于x的函数表达式.试题24:在⊙O中，点C在劣弧上，D是弦AB上的点，∠ACD＝40°. （1）如图10，若⊙O的半径为3，∠CDB＝70°，求的长；（2）如图11，若DC的延长线上存在点P，使得PD＝PB，试探究∠ABC与∠OBP的数量关系，并加以证明.试题25:已知y1＝a1(x－m)2＋5，点(m，25)在抛物线y2＝a2 x2＋b2 x＋c2上，其中m＞0.（1）若a1＝－1，点(1，4)在抛物线y1＝a1(x－m)2＋5上，求m的值；（2）记O为坐标原点，抛物线y2＝a2x2＋b2x＋c2的顶点为M．若c2＝0，点A(2，0)在此抛物线上，∠OMA＝90°求点M的坐标；（3）若y1＋y2＝x2＋16 x＋13，且4a2c2－b22＝－8a2，求抛物线y2＝a2 x2＋b2 x＋c2的解析式.试题1答案:C试题2答案:B试题3答案:A试题4答案:D试题5答案:D试题6答案:C试题7答案:B试题8答案:C试题9答案:D试题10答案:N试题11答案:3.试题12答案:语言.试题13答案:(－5，4).试题14答案:20.试题15答案:4－4.试题16答案:a.试题17答案:解：∵a＝1，b＝2，c＝－2，∴△＝b2－4ac＝12.∴x＝＝.∴x1＝－1＋，x2＝－1－．试题18答案:证明: 在Rt△ADC中，∵∠D＝90°，∴DC＝＝12．∴DC＝BC．又∵AB＝AD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC．试题19答案:（1）（本小题满分4分）解：＝220（棵）．答：这批工人前两天平均每天种植220棵景观树木．（2）解：这批工人前五天平均每天种植的树木为：＝207（棵）．估计到3月10日，这批工人可种植树木2070棵. 由于2070＜2200所以我认为公司还需增派工人. ……………………8分（也可应用前五天种植量的中位数202估计十天种植量为2020，在数据基础上，对是否需要增派工人进行合理解释即可）试题20答案:解：如图：试题21答案:证明：设该圆的圆心为点O，在⊙O中，∵＝，∴∠AOC＝∠BOF.又∠AOC＝2∠ABC，∠BOF＝2∠BCF，∴∠ABC＝∠BCF.∴AB∥CF.∴∠DCF＝∠DEB.∵DC⊥AB，∴∠DEB＝90°．∴∠DCF＝90°．∴DF为⊙O直径. 且∠CDF＋∠DFC＝90°.∵∠MDC＝∠DFC，∴∠MDC＋∠DFC＝90°.即DF⊥MN.又∵MN过点D，∴直线MN是⊙O的切线 .试题22答案:（1）（本小题满分4分）解: ∵一次函数y＝kx＋4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），∴ 2m ＝kp＋4m.∴kp＝－2m.∵m＝1，k＝－1，∴p＝2. ∴B（2，2）. 答：线段AB上存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长. 理由如下：由题意，将B（p，2m），C（n，0）分别代入y＝kx＋4m，得kp＋4m＝2m且kn＋4m＝0.可得n＝2p.∵n＋2p＝4m，∴p＝m .∴A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）.∵x B＝x A，∴AB⊥x轴，且OA＝AC＝m.∴对于线段AB上的点N，有NO＝NC.∴点N到坐标原点O与到点C的距离之和为NO＋NC＝2NO.∵∠BAO＝90°，在Rt△BAO，Rt△NAO中分别有OB2＝AB2＋OA2＝5m2，NO2＝NA2＋OA2＝NA 2＋m2.若2NO＝OB，则4NO2＝OB2.即4（NA 2＋m2）＝5m2.可得NA＝m.即NA＝AB. 所以线段AB上存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，且NA＝AB.试题23答案:解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°.又AB＝8,BE＝6，∴AE＝＝10.设△ABE中，边AE上的高为h，∵S△ABE＝AEh＝ABBE，∴h＝ .又AP＝2x，∴y＝x（0＜x≤5）.（2）（本小题满分6分）解: ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC, AD＝BC.∵E为BC中点，∴BE＝EC.∴△ABE≌△DCE.∴AE＝DE. 当点P运动至点D时，S△ABP＝S△ABD，由题意得x＝32－4x，解得x＝5. 当点P运动一周回到点A时，S△ABP＝0，由题意得32－4x＝0，解得x＝8.∴AD＝2×（8－5）＝6.∴BC＝6.∴BE＝3.且AE＋ED＝2×5＝10.∴AE＝5.在Rt△ABE中，AB＝＝4. 设△ABE中，边AE上的高为h，∵S△ABE＝AEh＝ABBE，∴h＝.又AP＝2x，∴当点P从A运动至点D时，y＝x（0＜x≤2.5）∴y关于x的函数表达式为：当0＜x≤5时，y＝x；当5＜x≤8时，y＝32－4x.试题24答案:（1）（本小题满分4分）解：连接OC，OB.∵∠ACD＝40°，∠CDB＝70°，∴∠CAB＝∠CDB－∠ACD＝70°－40°＝30°.∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴＝＝＝.（2）（本小题满分7分）解：∠ABC＋∠OBP＝130°.证明：设∠CAB＝α，∠ABC＝β，∠OBA＝γ，连接OC.则∠COB＝2α.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝β＋γ.∵△OCB中,∠COB＋∠OCB＋∠OBC＝180°，∴ 2α＋2(β＋γ)＝180°.即α＋β＋γ＝90°. ∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝40°＋β.∴∠OBP＝∠OBA＋∠PBD＝γ＋40°＋β＝(90°－α) ＋40°＝130°－α.即∠ABC＋∠OBP＝130°.试题25答案:解：∵a1＝－1，∴y1＝－(x－m)2＋5.将（1，4）代入y1＝－(x－m)2＋5，得4＝－(1－m)2＋5.m＝0或m＝2 .∵m＞0，∴m＝2 .解：∵c2＝0，∴抛物线y2＝a2 x2＋b2 x.将（2，0）代入y2＝a2 x2＋b2 x，得4a2＋2b2＝0.即b2＝－2a2.∴抛物线的对称轴是x＝1. 设对称轴与x轴交于点N，则NA＝NO＝1.又∠OMA＝90°，∴MN＝ OA＝1. ∴当a2＞0时， M（1，－1）；当a2＜0时， M（1，1）.∵ 25＞1，∴M（1，－1）解：方法一：由题意知，当x＝m时，y1＝5；当x＝m时，y2＝25，∴当x＝m时，y1＋y2＝5＋25＝30.∵y1＋y2＝x2＋16 x＋13，∴ 30＝m2＋16m＋13.解得m1＝1，m2＝－17.∵m＞0，∴m＝1. ∴y1＝a1 (x－1)2＋5. ∴y2＝x2＋16 x＋13－y1＝x2＋16 x＋13－a1 (x－1)2－5.即y2＝(1－a1)x2＋(16＋2a1)x＋8－a1.∵ 4a2 c2－b22＝－8a2，∴y2 顶点的纵坐标为＝－2.∴＝－2.化简得＝－2.解得a1＝－2.经检验，a1是原方程的解.∴抛物线的解析式为y2＝3x2＋12x＋10.方法二：由题意知，当x＝m时，y1＝5；当x＝m时，y2＝25；∴当x＝m时，y1＋y2＝5＋25＝30.∵y1＋y2＝x2＋16 x＋13，∴ 30＝m2＋16m＋13.解得m1＝1，m2＝－17.∵m＞0，∴m＝1. ∵ 4a2 c2－b22＝－8 a2，∴y2 顶点的纵坐标为＝－2 .设抛物线y2的解析式为y2＝a2 (x－h)2－2. ∴y1＋y2＝a1 (x－1)2＋5＋a2 (x－h)2－2.∵y1＋y2＝x2＋16 x＋13，∴解得h＝－2，a2＝3.∴抛物线的解析式为y2＝3(x＋2)2－2.（求出h＝－2与a2＝3各得2分）方法三：∵点（m，25）在抛物线y2＝a2 x2＋b2x＋c2上，∴a2 m 2＋b2 m＋c2＝25. （*）①∵y1＋y2＝x2＋16 x＋13，③②∴由②，③分别得b2 m＝16m＋2 m 2 a1，c2＝8－m 2 a1.将它们代入方程（*）得a2 m 2＋16m＋2 m 2 a1＋8－m 2 a1＝25.整理得，m 2＋16m－17＝0.解得m1＝1，m2＝－17.∵m＞0，∴m＝1. ∴解得b2＝18－2 a2，c2＝7＋a2. ∵ 4a2 c2－b22＝－8a2，∴ 4a2(7＋a2)－(18－2 a2)2＝－8a2.∴a2＝3.∴b2＝18－2×3＝12，c2＝7＋3＝10.∴抛物线的解析式为y2＝3x2＋12x＋10.。
2023-2024学年福建厦门九年级上学期数学期末考质检卷(一检Wood版)
准考证号：姓名：(在此卷上答题无效)2023—2024学年第一学期初中毕业班期末考试数学本试卷共6页.满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.3.可以直接使用2B 铅笔作图.一、选择题(本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确)1.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定性事件的是A. 向上一面的点数是2B. 向上一面的点数是奇数C. 向上一面的点数小于3D.向上一面的点数小于72.下列方程中，有两个不相等的实数根的是A.x²=0B.x²-3x-1=0C.x²-2x+5=0D.x²+1=03.如图1,△ABC 内接于◎0,直径AD交BC 于点P, 连接OB.下列角中，等于的是A. ∠OABB. ∠ACBC. ∠CADD. ∠OPB4.关于y=(x-2)²-1(x为任意实数)的函数值，下列说法正确的是图 1A.最小值是-1B.最小值是2C.最大值是-1D. 最大值是25.某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x, 可列方程A.5(1+x)=8B.5(1+2x)=8C.5(1+x)²=8D.5(1+2x)²=86.如图2,直线l 是正方形ABCD的一条对称轴，l 与AB,CD 分别交于点M,N.AN,BC 的延长线相交于点P, 连接BN.下列三角形中，与△NCP 成中心对称的是A.△NCBB.△BMN图2C.△AMND.△NDA数学试题第1页(共6页)7.某个正六边形螺帽需要拧4 圈才能拧紧，小梧用扳手的 卡口卡住螺帽，通过转动扳 手的手柄来转动螺帽(如图3 所示).以此方式把这个螺帽 拧紧，他一共需要转动扳手 的次数是A.4B.16图3C.24D.32 8.某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试.飞机着陆后滑行的距离s (单位：m) 关于滑行的时间t (单位：s )的函数解析式是,则t 的取值范围是A.O≤t≤600B.20≤t≤40C.O≤t≤40 二、填空题(本大题有8小题，每小题4分，共32分)9.不透明袋子中只装有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他 差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是10.抛物线y=3(x-1)²+4的对称轴是11.已知x=1 是方程x²+mx-3=0 的根，则m 的值为 12.四边形ABCD 内接于◎0,E 为 CD 延长线上一点，如图4所示，则D.O≤t≤20图4图中与∠ADE 相等的角是13. 如图5,在△ABC 中，AB=AC=5,BC=6,AD 是△ABC 的角平分线. 把△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF, 点B 的对应点是点E, 则点D 与点E 之间的距离是14.在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的对角线交于点0.若点A 的 图5 坐标为(-2,3),则点C 的坐标为 .15.为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该种农作物 的种子进行辐射，使其基因发生某种变异.表一记录了截至目前的试验数据.表一累计获得试验成功的种子数(单位：粒)1 4 6 8 10 12 14累计试验种子数(单位：千粒)15810.5 12.5 14.5 16.5该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还需要 准备用以辐射的种子数(单位：千粒): 16.有四组一元二次方程：①x²-4x+3=0和3x²-4x+1=0;②x²-x-6=0和6x²+x-1=0;③x²-4=0和4x²-1=0;④4x²-13x+3=0和3x²-13x+4=0. 这四组方程具有共同特征， 我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”.请写出一个 有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程：数学试题 第2页(共6页)三、解答题(本大题有9 小题，共86分)17.(本题满分8分解方程x²-5x+2=0.18.(本题满分8分)如图6,四边形ABCD是平行四边形，AC=AD,AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.证明AE=DF.图619.(本题满分8分)先化简，再求值：,其中m=√2+1.20.(本题满分8分)如图7,AB与◎0相切于点A,OB交O0 于点C,OC=8,AC的长为2π,求BC的长.图7数学试题第3页(共6页)21.(本题满分8分)在矩形ABCD中，点E 在AD边上，∠ABE=60°, 将△ABE 绕点B 顺时针旋转得到△FBG, 使点A的对应点F 在线段BE上.(1)请在图8中作出△FBG;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)FG 与BC交于点Q, 连接EQ,EC, 若EC=BQ, 请探究AE 与DE的数量关系.图822.(本题满分10分)某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车.每层的层高为6m, 横向排列30个车位，每个车位宽为3m, 各车位有相应号码，如：201 表示二层第1个车位.第二至四层每层各有一个升降台，分别在211,316,421,为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空.每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板(以第三层为例，如图9所示).该系统取车的工作流程如下(以取停在311的车子为例):①转运板接收指令，从升降台316 前空载滑行至311前；②转运板进311,托起车，载车出311;③转运板载车滑行至316前；④转运板进316,放车，空载出316,停在316前；⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车.316转图9 停车场第三层平面示意图升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1 m/s, 载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍.(1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421 前往401取车，升降台回到第四层40s 后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；(说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计)(2)在(1)的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率.数学试题第4页 (共6页)23.(本题满分10分)正方形的顶点T 在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T 悬正方形”.若直线l:y=x+t与“T 悬正方形”以T为端点的一边相交，且点T 到直线l的距离为√2(2-t),则称直线l 为该正方形的“T 悬割线”.已知抛物线M:y=-(x-1)²+m²-2m+4,其中,A(m,3),B(4-3m,3),以AB为边作正方形ABCD(点D在点A的下方).(1)证明：正方形ABCD是抛物线M的“A 悬正方形”;(2)判断正方形ABCD是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”,并说明理由；(3)若直线l 是正方形ABCD的“A悬割线”,现将抛物线M 及正方形ABCD进行相同的平移，是否存在直线l 为平移后正方形的“C 悬割线”的情形?若存在，请探究抛物线M 经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由.24.(本题满分12分)四边形ABCD是菱形，点O为对角线交点，AD边的垂直平分线交线段OD于点P(P 不与 0重合),连接PC,以点P 为圆心，PC 长为半径的圆交直线BC 于点E,直线AE 与直线CD 交于点F, 如图10所示.(1)当∠ABC=60°时，求证：直线AB与◎P 相切；(2)当AO=2,AF²+EF²=16时，求∠ABC 的度数；(3)在菱形ABCD的边长与内角发生变化的过程中，若点C 与E 不重合，请探究∠AFC与∠CAF 的数量关系.图10数学试题第5页(共6页)25.(本题满分14分)请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料：【背景】小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道：“你家附近不是已经有一个A 超市了吗?再开一个能吸引顾客吗?”这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣.【过程】为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素”为主题对该市居民展开随机调查.结果显示：超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素.大家根据调查进行了总结：①可以把“平均每周到超市购物次数p” 作为超市吸引力指标；②占地面积越大吸引力越大；③距离越大吸引力越小.在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相应超市的占地面积s (单位：m²) 及其与居民住处的距离r (单位：m), 并对p,s,r 之间的关系进行研究.一开始，同学们猜想p可能是的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大. 这时，小梧提出：“我联想到牛顿万有引力定律，这个定律揭示了两个物体之间的引力大小与各个物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比，可以表示为 (G是引力常数),我们是不是可以作个类比，试一下看p与的关系如何?”.按他的建议，同学们利用调查所得的数据在平面直角坐标系中绘制了p与对应关系的图11 r²散点图，如图11所示.根据阅读材料思考：(1)观察图11中散点的分布规律，请用一种函数来合理估计p与的对应关系，直接写出它的一般形式；(2)为了清晰表示位置，同学们选A 超市为原点，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1 m 长，则小梧家的坐标为(400,200). A 超市的占地面积为2000m², 规划中的B 超市在A 超市的正东方向.根据(1)中的对应关系，解决下列问题：① 若B 超市与A 超市距离600 m～800m,且对小梧家的吸引力与A 超市相同，求B超市占地面积的范围；②小梧家在东西向的百花巷，百花巷横向排列着较为密集的居民楼.现规划 B 超市开在距A 超市300m处，且占地面积最大为490m²,要想与A 超市竞争百花巷的居民，该规划是否合适?请说明理由.数学试题第6页(共6页)。
2022年福建省厦门第一中学九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．在平面直角坐标系中，将抛物线253y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( ) A ．()2514y x =-++ B ．()2512y x =-++ C ．()2512y x =--+D ．()2514y x =--+2．如图，在第一象限内，()23P ，，(,2)M a 是双曲线ky x=(0k ≠)上的两点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，连接OM 交PA 于点C ，则点C 的坐标为( )A ．(2,1)B ．32,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．42,3⎛⎫ ⎪⎝⎭3．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）A ．13B ．2C ．24D ．2234．2020的相反数是（ ） A ．12020B ．12020-C ．-2020D ．20205．关于x 的二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0.56．一张圆心角为α的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为4，已知4tan 3α=，则扇形纸板和圆形纸板的半径之比是（ ）A ．1304B ．22C ．23D ．6727．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如表：x1- 0 23 4y54-3-下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线2x =；③当04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若()()12,2,,3A x B x 是抛物线上两点，则12x x ≤，其中正确的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C .依此方式，绕点O 连续旋转2020次，得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为()2,0，那么点2020A 的坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()1,1C ．(2D ．()1,1-9．函数y ＝ax 2与y ＝﹣ax +b 的图象可能是（ ）A．B．C．D．10．如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户AB高1.5m，光亮区的顶端距离墙角3m，光亮区的底端距离墙角1.2m，则窗户的底端距离地面的高度(BC)为()A．1m B．1.2m C．1.5m D．2.4m二、填空题(每小题3分,共24分)11．若点P(2a+3b，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a﹣2b)，则(3a+b)2020＝______.12．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．13．用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设P 在__________．14．已知函数22(0)(0)x x xyx x⎧-+>=⎨≤⎩的图象如图所示，若直线y x m=+与该图象恰有两个不同的交点，则m的取值范围为_____．15．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共30个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在40%，则随机从口袋中摸出一个是红球的概率是_____．16．如图，A 是反比例函数(0)ky x x=>图象上的一点，点B 、D 在y 轴正半轴上，ABD ∆是COD ∆关于点D 的位似图形，且ABD ∆与COD ∆的位似比是1：3，ABD ∆的面积为1，则k 的值为____．17．已知关于x 的方程230x x m +-=的一个解为3-，则m=_______． 18．已知x-2y=3，试求9-4x+8y=_______ 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在△ABC 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，PA ⊥AB ，垂足为点A ，DP ⊥BC ，垂足为点P ，AP BPPD CD=．（1）求证：∠APD ＝∠C ；（2）如果AB ＝3，DC ＝2，求AP 的长． 20．（6分）解方程 （1）2x 2﹣7x +3=1； （2）x 2﹣3x =1．21．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1，2，3，每个小球除所标注数字不同外，其余均相同．小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率．22．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F ．（1）求证：BE DE=；（2）过点C作CG⊥BF于G，若AB＝5，BC＝25，求CG，FG的长．23．（8分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上。
2023届福建省厦门市第一中学九年级数学第一学期期末复习检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分) 1．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A ．△ABC 是等腰三角形 B ．△ABC 是等腰直角三角形 C ．△ABC 是直角三角形 D ．△ABC 是等边三角形 2．如图，A ,B ,C ,D 四点都在O 上，110BOD ∠=︒，则BCD ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．110︒C ．125︒D ．130︒3．已知二次函数y=mx 2+x+m （m-2）的图像经过原点，则m 的值为（ ） A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定4．如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，若∠AOD=120°，AB=6，则AC 等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．185．如果一个正多边形的中心角为60°，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．76．如图，点O 是△ABC 内一点、分别连接OA 、OB 、OC 并延长到点D 、E 、F ，使AD ＝2OA ，BE ＝2OB ，CF ＝2OC ，连接DE ，EF ，FD ．若△ABC 的面积是3，则阴影部分的面积是（ ）A ．6B ．15C ．24D ．277．如图，正比例函数y x =与反比例函数4y x=的图象交于A 、B 两点，其中(2,2)A ，则不等式4x x >的解集为（ ）A ．2x >B ．2x <-C ．20x -<<或02x <<D ．20x -<<或2x >8．三角形的两边分别2和6，第三边是方程x 2-10x+21=0的解，则三角形周长为（ ） A ．11B ．15C ．11或15D ．不能确定9．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表： 月用水量（吨） 4 5 6 8 13 户数45731则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A ．中位数是5B ．平均数是5C ．众数是6D ．方差是610．如图，四边形ABCD 与四边形GBEF 是位似图形，则位似中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点FD ．点D二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，点B 是反比例函数上一点，矩形OABC 的周长是20，正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，则反比例函数的解析式是_____．12．关于x 的方程kx 2-4x-=0有实数根，则k 的取值范围是 ．13．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.14．如图，C ，D 是抛物线y ＝56（x +1）2﹣5上两点，抛物线的顶点为E ，CD ∥x 轴，四边形ABCD 为正方形，AB 边经过点E ，则正方形ABCD 的边长为_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为_______.16．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-； 23(1)(1)1x x x x -++=-； 324(1)(1)1x x x x x -+++=-； 4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-则2019201820172222...221++++++=_______________________.17．如图，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，OA ＝4，点C 为弧AB 的中点，D 为半径OA 上一点，点A 关于直线CD 的对称点为E ，若点E 落在半径OA 上，则OE ＝______．18．已知23a b =，则a ba b +=-_______． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知抛物线经过()2,0A -，()3,3B -及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A 、O 、D ，E 为顶点，AO 为边的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．是否存在这样的点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与BOC ∆相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（6分）某校为了弘扬中华传统文化，了解学生整体阅读能力，组织全校的1000名学生进行一次阅读理解大赛．从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制了频数分布表和频数分布直方图：分组/分 频数 频率 50≤x ＜60 60.12 60≤x ＜70 a0.28 70≤x ＜80 16 0.32 80≤x ＜90 10 0.20 90≤x ≤10040.08（1）频数分布表中的a = ； （2）将上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，估计该校进入决赛的学生大约有 人． 21．（6分）已知关于x 的一元二次方程2310x x k -+-=有两个不相等的实数根．()1求k 的取值范围；()2若k 为负整数，求此时方程的根．22．（8分）如图，点,,A B C 都在O 上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图. （不写作法，保留作图痕迹）（1）在图1中，若45ABC ︒∠=，画一个O 的内接等腰直角三角形.（2）在图2中，若点D 在弦AC 上，且45ABD ︒∠=，画一个O 的内接等腰直角三角形.23．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°．在斜边AB 上取一点D ，使CD=CB ，圆心在AC 上的⊙O 过A 、D 两点，交AC 于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若13BC AC =，且AE =2，求CE 的长．24．（8分）如图所示，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系． （1）求OE 的长．（2）求经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式．（3）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ ． （4）若点N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，抛物线y =ax 2 +bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．26．（10分）如图，,C D 是半圆O 上的三等分点，直径4AB =，连接,,AD AC DE AB ⊥，垂足为,E DE 交AC 于点F ，求AFE ∠的度数和涂色部分的面积．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断三角形的形状。
2024届福建省厦门市名校九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024届福建省厦门市名校九年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②30a c +>；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =；⑤2404b aca-<；⑥若m ，()n m n <为方程()()3230a x x++=﹣的两个根，则3m <-且2n >，其中正确的结论有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图所示，Rt ABC ∆中，30B ∠=，3AC =，点M 为BC 中点，将ABC ∆绕点C 旋转，N 为11A B 中点，则线段MN 的最小值为( )A ．12B 332C ．15D ．3123．如果一个正多边形的中心角为60°，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．74．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( )A ．y ＝－12(x ＋1)2＋1 B ．y ＝－12(x ＋1)2－1 C ．y ＝－12 (x －1)2＋ 1 D ．y ＝－12(x －1)2－15．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC =3,AC =4，则sinA 的值为（ ）． A ．34B ．43C ．35D ．456．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为（） A ．（x ＋4）2＝17B ．（x ＋4）2＝15C ．（x －4）2＝17D ．（x －4）2＝157．若直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．8．抛物线y=ax 2+bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y…4664…观察上表，得出下面结论：①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax 2+bx+C 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x=；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．其中正确有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．方程05)1(22=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值不能是（ ） A ．0B ．12C ．±1D ．12-10．已知△ABC 的外接圆⊙O ，那么点O 是△ABC 的（ ）A ．三条中线交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线交点11．若ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：1612．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面AB 宽为80cm ，管道顶端最高点到水面的距离为20cm ，则修理人员需准备的新管道的半径为（ ）A ．50cmB ．503cmC ．100cmD ．80cm二、填空题（每题4分，共24分）13．若关于x 的方程x 2-2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．14．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.1．根据上述数据，估计口袋中大约有_______个黄球 15．二次函数y=x 2﹣2x+3图象的顶点坐标为_____．16．关于x 的方程260x x k ++=没有实数根，则k 的取值范围为____________ 17．抛物线()2219y k x k =++-开口向下，且经过原点，则k =________．18．如图，在⊙O 中，弦AC=23，点B 是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O 的半径R= ．三、解答题（共78分）19．（8分）先锋中学数学课题组为了了解初中学生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行调查，调查结果分为“重视”、“一般”、“不重视”、“说不清楚”四种情况（依次用A 、B 、C 、D 表示），依据相关数据绘制成以下不完整的统计表和统计图，请根据图表中的信息解答下列问题： 类别 频数 频率 重视a0.25一般 60 0.3 不重视 b c 说不清楚100.05（1）求样本容量及表格中a ，b ，c 的值，并补全统计图；（2）若该校共有2000名学生，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的学生人数． 20．（8分）（1）计算：04sin458(31)2-++-． （2）用适当方法解方程：29(2x 5)40--= （3）用配方法解方程：22x 4x 30--= 21．（8分）解方程:（1）用公式法解方程：3x 2﹣x ﹣4=1 （2）用配方法解方程：x 2﹣4x ﹣5＝1．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABO ∆的边AB 垂直于x 轴、垂足为点B ，反比例函数11(0)k y x x=<的图象经过AO 的中点C 、且与AB 相交于点D ．经过C 、D 两点的一次函数解析式为22y k x b =+，若点D 的坐标为(4-，1)．且3AD =． （1）求反比例函数的解析式；（2）在直线CD 上有一点P ，POB ∆的面积等于8．求满足条件的点P 的坐标； （3）请观察图象直接写出不等式12k k x b x>+的解集．23．（10分）已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两线交于点P．①求证：四边形CODP是菱形．②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．24．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．（1）求四边形ABCD的面积；（2）当y＞0时，自变量x的取值范围是．25．（12分）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为 .（1）求反比例函数的解析式；（2）求点的坐标.参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、C【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断． 【题目详解】解：抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-∴抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-和()2,0，且a b =由图象知：0a <，0c >，0b <∴0abc >故结论①正确；抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-∴90a b c -+=a b =∴6c a =- ∴330a c a +=->故结论②正确； 当12x <-时，y 随x 的增大而增大；当102x -<<时，y 随x 的增大而减小 ∴结论③错误；20cx bx a ++=，0c >∴210c bx x a a++= 抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-和()2,0∴20ax bx c ++=的两根是3-和2 ∴1b a =，6ca=- ∴210c bx x a a ++=即为：2610x x ++=-，解得113x =-，212x =； 故结论④正确；当12x =-时，2404ac b y a-=>∴2404b ac a-<故结论⑤正确；抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-和()2,0，∴()()232y ax bx c x x =+++-m ，()n m n <为方程()()3230a x x +-+=的两个根∴m ，()n m n <为方程()()323a x x +-=-的两个根∴m ，()n m n <为函数()()32y x x =+-与直线3y =-的两个交点的横坐标结合图象得：3m <-且2n > 故结论⑥成立； 故选C ． 【题目点拨】本题主要考查二次函数的性质，关键在于二次函数的系数所表示的意义，以及与一元二次方程的关系,这是二次函数的重点知识. 2、B【分析】如图，连接CN ．想办法求出CN ，CM ，根据MN ≥CN−CM 即可解决问题． 【题目详解】如图，连接CN ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠B ＝30°， ∴AB ＝2AC ＝2 3BC 3＝3，∵CM ＝MB ＝12BC ＝32， ∵A 1N ＝NB 1，∴CN ＝12A 1B 1， ∵MN ≥CN−CM ，∴MN 32，即MN 32，∴MN 32，故选：B ． 【题目点拨】本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 3、C【解题分析】试题解析：这个多边形的边数为：36060 6.÷= 故选C. 4、B【解题分析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：21y x+112=-－（）.5、C【分析】根据勾股定理求出AB ，并根据正弦公式：sinA=BCAB求解即可. 【题目详解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4∴5AB ===∴3sin 5BC A AB == 故选C. 【题目点拨】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可. 6、C【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【题目详解】解：∵2810x x --=， ∴2816116x x -+=+，即2(4)17x -=， 故选：C ． 【题目点拨】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键．7、A【分析】首先根据线y=kx+b 经过第一、二、四象限，可得k ＜0，b ＞0，再根据k ＜0，b ＞0判断出直线y=bx+k 的图象所过象限即可．【题目详解】根据题意可知，k ＜0，b ＞0， ∴y=bx+k 的图象经过一，三，四象限. 故选A. 【题目点拨】此题主要考查了一次函数y=kx+b 图象所过象限与系数的关系： ①k ＞0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限； ②k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限； ③k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限； ④k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限． 8、C【解题分析】从表中可知，抛物线过（0,6），（1,6），所以可得抛物线的对称轴是x=，故③正确.当x=-2时，y=0，根据对称性当抛物线与x 轴的另一个交点坐标为x=×2+2=3.故①；当x=2时，y=4，所以在对称轴的右侧，随着x增大，y 在减小，所以抛物线开口向下.故其在顶点处取得最大值，应大于6，故②错，④对.选C. 9、C【题目详解】解：05)1(22=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则210m -≠，解得m ≠±1 故选C ． 【题目点拨】本题考查一元二次方程的概念，注意二次项系数不能为零． 10、C【分析】根据三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，即可求得.【题目详解】已知⊙O 是△ABC 的外接圆，那么点O 一定是△ABC 的三边的垂直平分线的交点， 故选：C ． 【题目点拨】本题考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题. 11、C【分析】根据相似三角形的性质解答即可.【题目详解】解：∵ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，∴ABC ∆与DEF ∆的周长比为：1：4.故选：C.【题目点拨】本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.12、A【分析】连接OA 作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．【题目详解】解：如图，过点O 作 OC AB ⊥于点C ，边接AO ，11804022AC AB ==⨯= 20CO AO =-，在R t AOC △中，222AO AC OC =+，22240(20)AO AO =+-，解，得AO=50故选：A【题目点拨】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、30°【解题分析】试题解析：∵关于x 的方程22sin 0x x α+=有两个相等的实数根， ∴()2241sin 0，α=--⨯⨯= 解得：1sin 2α=， ∴锐角α的度数为30°； 故答案为30°． 14、2【题目详解】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.1，设黄球有x 个，∴0.1（x+10）=10，解得x=2．答：口袋中黄色球的个数很可能是2个．15、（1，2）．【分析】先把此二次函数右边通过配方写成顶点式得：y=（x-1）2+2,从而求解.【题目详解】解：y=x 2﹣2x+3y=x 2﹣2x+1+2y=（x-1）2+2，所以，其顶点坐标是（1，2）．故答案为(1，2)【题目点拨】本题考查将二次函数一般式化为顶点式求二次函数的顶点坐标，正确计算是本题的解题关键．16、9k >【分析】根据题意利用根的判别式进行分析计算，即可求出k 的取值范围.【题目详解】解：∵关于x 的方程260x x k ++=没有实数根，∴2246413640b ac k k ∆=-=-⨯⨯=-<，解得9k >.故答案为：9k >.【题目点拨】本题考查根的判别式相关，熟练掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，当∆<0时，方程没有实数根是解答此题的关键．17、3-【解题分析】把原点（0，0）代入y =（k +1）x 2+k 2﹣9，可求k ，再根据开口方向的要求检验．【题目详解】把原点（0，0）代入y =（k +1）x 2+k 2﹣9中，得：k 2﹣9=0解得：k =±1．又因为开口向下，即k +1＜0，k ＜﹣1，所以k =﹣1．故答案为：﹣1．【题目点拨】主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．18、6．【分析】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了．【题目详解】∵∠ABC=45°，∴∠AOC=90°，∴OA1+OC1=AC1．∴OA1+OA1=（13）1．∴OA=6．故⊙O的半径为6．故答案为：6．三、解答题（共78分）19、（1）样本容量为200，a＝50，b＝80，c＝0.4，图见解析；（2）800人【分析】（1）由“一般”的频数及其频率可得样本容量，再根据频率＝频数÷样本容量及频数之和等于总人数求解可得；（2）用总人数乘以样本中“不重视”对应的频率即可得．【题目详解】（1）样本容量为60÷0.3＝200，则a＝200×0.25＝50，b＝200﹣50﹣60﹣10＝80，c＝80÷200＝0.4，补全条形图如下：（2）估计该校“不重视阅读数学教科书”的学生人数为2000×0.4＝800（人）．【题目点拨】本题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图和利用样本估计总体等知识.20、（1）3;(2) x 1=176,x 2=136；(3) x 1＝，x 2＝1 【解题分析】（1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂和绝对值的意义逐项化简，再合并同类二次根式或同类项即可；（2）用直接开平方法求解即可；（3）先把-3移项，再把二次项系数化为1，两边都加1，把左边写成完全平方的形式，两边同时开平方即可.【题目详解】解：（1）原式=4×2 +1+2 =3； （2）（2x-5）2=49 ， 2x-5=±23， 所以x 1=176,x 2=136； (3) 解：∵2x 2-4x-3=0，∴2x 2-4x=3，∴x 2−2x ＝32， ∴x 2−2x+1＝32+1， ∴(x −1)2＝52，∴x -，∴x 1＝，x 2＝1． 【题目点拨】本题考查了实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握二次方程的解法是解答本题的关键.21、（1）x 1=43，x 2=-1；（2）x 1＝5，x 2＝-1.【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式得出a 、b 、c 的值，利用公式法即可得答案； （2）先把常数项移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得完全平方式，直接开平方即可得答案.【题目详解】（1）3x 2﹣x ﹣4=1∵a=3，b=－1，c=－4，∴17x 6±== ∴x 1=43，x 1=－1. (2)x 2﹣4x ﹣5＝1x 2﹣4x+4＝5+4（x ﹣2）2＝9∴x －2＝3或x －2＝－3∴x 1＝5，x 2＝－1.【题目点拨】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.22、（1）y 1=4x-；（2）P(2，4)或(﹣14，﹣4)；（3）x ＜﹣4或﹣2＜x ＜1． 【分析】（1）把D （-4，1）代入11k y x =(x ＜1)，利用待定系数法即可求得； （2）根据题意求得C 点的坐标，进而根据待定系数法求得直线CD 的解析式，根据三角形的面积求得P 点的纵坐标，代入直线解析式即可求得横坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．【题目详解】(1)把(﹣4，1)代入11k y x =(x ＜1)， 解得：k 1=﹣4，∴反比例函数的解析式为：y 1=4x-； (2)由点D 的坐标为(﹣4，1)，且AD=3，∴点A 的坐标为(﹣4，4)，∵点C 为OA 的中点，∴点C 的坐标为(﹣2，2)，将点D(﹣4，1)和点C(﹣2，2)代入y 2=k 2x+b ，得k 2=12，b=3，即y 2=132x +， 设点P 的坐标为(m ，n)∵△POB 的面积等于8，OB=4，∴142n ⨯⨯=8， ∴4n =即4n =±，代入y 2=132x +， 得到点P 的坐标为(2，4)或(﹣14，﹣4)；(3) 观察函数图象可知：当x ＜﹣4或﹣2＜x ＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式12k k x b x>+的解集为：x ＜﹣4或﹣2＜x ＜1． 【题目点拨】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求得C 点的坐标．23、①证明见解析；(2)S 菱形CODP ＝24.【解题分析】① 根据DP ∥AC ，CP ∥BD ，即可证出四边形CODP 是平行四边形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出结论；② 利用S △COD ＝S 菱形CODP ，先求出S △COD,即可得.【题目详解】证明：①∵DP ∥AC ，CP ∥BD∴四边形CODP 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，OD ＝BD ，OC ＝AC ，∴OD ＝OC ，∴四边形CODP 是菱形．②∵AD ＝6，AC ＝10∴DC ＝＝8∵AO ＝CO ，∴S △COD ＝S △ADC ＝××AD×CD ＝12 ∵四边形CODP 是菱形，∴S △COD ＝S 菱形CODP ＝12，∴S 菱形CODP ＝24【题目点拨】本题考查了矩形性质和菱形的判定，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC=OD ．24、（1）4；（2）x ＞3或x ＜1．【分析】（1）四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）＝12×2×（3+1）＝4； （2）从图象可以看出，当y ＞0时，自变量x 的取值范围是：x ＞3或x ＜1，即可求解．【题目详解】（1）函数y ＝x 2﹣4x +3图象与x 轴分别交于点B 、D ，与y 轴交于点C ，顶点为A ，则点B 、D 、C 、A 的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）＝12×2×（3+1）＝4； （2）从图象可以看出，当y ＞0时，自变量x 的取值范围是：x ＞3或x ＜1，故答案为：x ＞3或x ＜1．【题目点拨】本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意将四边形的面积转化为三角形的面积进行计算，四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）. 25、（1）m ＝8，反比例函数的表达式为y ＝8x ；（2）当n ＝3时，△BMN 的面积最大． 【解题分析】（1）求出点A 的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）构造二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【题目详解】解：（1）∵直线y=2x+6经过点A （1，m ），∴m=2×1+6=8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A （1，8）， ∴8=1k ， ∴k=8，∴反比例函数的解析式为y=8x． （2）由题意，点M ，N 的坐标为M （8n ，n ），N （62n -，n ）， ∵0＜n ＜6， ∴62n -＜0， ∴S △BMN =12×（|62n -|+|8n |）×n=12×（﹣62n -+8n ）×n=﹣14（n ﹣3）2+254， ∴n=3时，△BMN 的面积最大．26、（1）反比例函数的解析式是y=6x；（2）（﹣1，﹣6）．【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．【题目详解】（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，则A的坐标是（3，2）．把（3，2）代入y=kx得k=6，则反比例函数的解析式是y=6x；（2）根据题意得2x﹣4=6x，解得x=3或﹣1，把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．。
【初三数学】厦门市九年级数学上期末考试检测试卷(含答案解析)
九年级上册数学期末考试试题【答案】一．选择题（满分30分，每小题3分）1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3D．x（x+2）＝0，∴x+2＝02．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝04．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（）A．B．C．D．5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E 恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数7．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2）B．图象位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小8．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣29．若圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（）A．60 B．60πC．65 D．65π10．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD＝60°，则弦CF的长等于（）A．6 B．6C．3D．9二．填空题（满分18分，每小题3分）11．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为．12．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，若S△MBC：S△CMN＝3：1，则S△AMN：S△ABC＝．13．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行20分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是海里．14．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有个．15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与正比例函数y＝kx、y＝x（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是．16．设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AI•ID＝．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示，需要化简）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？18．（6分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．19．（6分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．20．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．21．（7分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE 于F，连接BD，若BC＝2EF，试证明△BED是等腰三角形．22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，求证：DG＝DA；（3）若∠A＝30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．23．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？24．（10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．25．（13分）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；（3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0．解：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0．所以第一个正确．故选：A．【点评】此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力．2．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，则tan∠BAC＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a 与邻边b的比叫做∠A的正切．3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0【分析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论．解：A、∵△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；B、∵△＝（﹣36）2﹣4×1×36＝1152＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；C、∵△＝42﹣4×4×1＝0，∴该方程有两个相等的实数根，C符合题意；D、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．4．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可作出判断．解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E 恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．6．下列事件中必然发生的事件是（）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．7．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2）B．图象位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可．解：A、图象必经过点（﹣3，2），故A正确；B、图象位于第二、四象限，故B正确；C、若x＜﹣2，则y＜3，故C正确；D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键．8．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．若圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（）A．60 B．60πC．65 D．65π【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．解：该圆锥的侧面面积＝•2π•5•13＝65π．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD＝60°，则弦CF的长等于（）A．6 B．6C．3D．9【分析】连接DF，根据垂径定理得到＝，得到∠DCF＝∠EOD＝30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．解：连接DF，∵直径CD过弦EF的中点G，∴＝，∴∠DCF＝∠EOD＝30°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴CF＝CD•cos∠DCF＝12×＝6，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为x2＜x＜x3．【分析】根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便．12．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，若S△MBC：S△CMN＝3：1，则S△AMN：S△ABC＝1：9 ．【分析】根据三角形的面积得出MN：BC，进而利用相似三角形的性质解答即可．解：∵S△MBC：S△CMN＝3：1，∴MN：BC＝1：3，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴S△AMN：S△ABC＝1：9，故答案为：1：9．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形的面积得出MN：BC．13．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行20分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是海里．【分析】作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC＝20°，∠DBA＝50°，BC＝60×＝20海里，∠NCA＝10°，则∠ABC＝∠ABD﹣∠C BD＝30°．由BD∥CN，得出∠BCN＝∠DBC＝20°，那么∠ACB＝∠ACN+∠BCN＝30°＝∠ABC，根据等角对等边得出AB＝AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM＝BC＝10海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得出AC＝，代入数据计算即可．解：如图，作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC＝20°，∠DBA＝50°，BC＝60×＝20海里，∠NCA＝10°，则∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝50°﹣20°＝30°．∵BD∥CN，∴∠BCN＝∠DBC＝20°，∴∠ACB＝∠ACN+∠BCN＝10°+20°＝30°，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∴AB＝AC，∵AM⊥BC于M，∴CM＝BC＝10海里．在直角△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，∴AC＝＝＝（海里）．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出CM＝BC＝10海里是解题的关键．14．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有15 个．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.25，∴＝，解得：x＝15，即白球的个数为15个，故答案为：15．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与正比例函数y＝kx、y＝x（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 2 ．【分析】根据AB两点分别在反比例函数和正比例函数图象上，且存在相同k值，可先证明点A 横坐标和B纵坐标相等，利用旋转知识证明△AOB面积为△A′OB的面积，再利用反比例函数k的几何意义．解：如图，过B作BD⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C设点A横坐标为a，则A（a，）∵A在正比例函数y＝kx图象上∴＝ka∴k＝同理，设点B横坐标为b，则B（b，）∴＝∴∴∴ab＝2当点A坐标为（a，）时，点B坐标为（，a）∴OC＝OD将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′∵BD⊥x轴∴B、D、A′共线∵∠AOB＝45°，∠AOA′＝90°∴∠BOA′＝45°∵OA＝OA′，OB＝OB∴△AOB≌△A′OB∵S△BOD＝S△AOC＝2×＝1∴S△AOB＝2故答案为：2【点评】本题为代数几何综合题，考查了三角形全等、旋转和反比例函数中k的几何意义．解答的切入点，是设出相应坐标，找出相关数量构造方程．16．设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AI•ID＝2R•r．【分析】如图作IF⊥AB于F，设△ABC的外心为O，作OM⊥BD于M，连接OB、OD．由△AFI∽△OMD，推出＝，可得DM•AI＝R•r，再证明DI＝DB＝2DM即可解决问题；解：如图作IF⊥AB于F，设△ABC的外心为O，作OM⊥BD于M，连接OB、OD．∵OM⊥BD，OB＝OD，∴∠BOM＝∠DOM，BM＝DM，∵∠BAD＝∠BOD，∴∠FAI＝∠MOD，∵∠AFI＝∠OMD＝90°，∴△AFI∽△OMD，∴＝，∴DM•AI＝R•r，∵∠BAI＝∠CAI，∠CAI＝∠DBE，∠ABI＝∠CBI，又∵∠BID＝∠ABI+∠BAI，∠DBI＝∠DBC+∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴DB＝DI＝2DM，∴DM＝DI，∴DI•AI＝R•r，∴AI•DI＝2R•r．故答案为2R•r．【点评】本题考查三角形的外心与内心、相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是100+200x斤（用含x的代数式表示，需要化简）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（斤）；故答案为：100+200x（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x＝或x＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．4﹣1＝3，答：老板需将每斤的售价定为3元．【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．18．（6分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为＝．【点评】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．19．（6分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．20．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的关系式；（2）将y＝20代入y＝，即可得到a的值；（3）要想喝到不超过40℃的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10；解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）代入y＝k1x+b，得k1＝10，b＝20，所以当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，设y＝，将（8，100）代入，得k2＝800，所以当8＜x≤a时，y＝；故当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；（2）将y＝20代入y＝，解得a＝40；（3）8：10﹣8分钟＝8：02，∵10x+20≤40，∴0＜x≤2，∵≤40，∴20≤x＜40．所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40℃的热水，则需要在7：50～8：10时间段内接水．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出两个函数的解析式．21．（7分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，BC的延长线交DE 于F，连接BD，若BC＝2EF，试证明△BED是等腰三角形．【分析】根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，即可证得BF是DE的垂直平分线，据此即可证得．证明：∵将Rt△ABC绕直角顶点A逆时针旋转90°得到△ADE，∴DE＝BC，∠ADF＝∠ABC，∵BC＝2EF，∴DF＝EF，∴DE＝2EF，∵在直角△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝∠ADE，∴∠ACB+∠ADE＝90°．∵∠FCD＝∠ACB，∴∠FCD+∠ADE＝90°，∴∠CFD＝90°，∴BF⊥DE，∵EF＝FD，∴BF垂直平分DE，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，求证：DG＝DA；（3）若∠A＝30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠AEO，∠B＝∠BEF，于是得到∠OEG＝90°，即可得到结论；（2）根据含30°的直角三角形的性质证明即可；（3）由AD是⊙O的直径，得到∠AED＝90°，根据三角形的内角和得到∠EOD＝60°，求得∠EGO＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．解：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠AEO+∠BEF＝90°，∴∠OEG＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠AED＝90°，∠A＝30°，∴ED＝AD，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠BEF＝60°，∵∠BEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝30°，∵∠ADE+∠A＝90°，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE＝∠EGD+∠DEG，∴∠DGE＝30°，∴∠DEG＝∠DGE，∴DG＝DE，∴DG＝DA；（3）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°，∵阴影部分的面积＝×r×r﹣＝2﹣π．解得：r2＝4，即r＝2，即⊙O的半径的长为2．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y＝4000代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定销售单价应控制在什么范围内．解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500，∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．24．（10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD＝CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM＝∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC＝∠BAC＝90°，即可证得BD⊥CF；②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM＝AB＝，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．解（1）BD＝CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAF＝∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD＝CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM．∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC＝∠BAC＝90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD＝DE＝，∴AE＝＝2，∴AN＝FN＝AE＝1．∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，∴CN＝AC﹣AN＝3，BC＝＝4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN＝＝．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝tan∠FCN＝．∴AM＝AB＝．∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，BM＝＝＝．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG＝．∴在Rt△BGC中，BG＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．25．（13分）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；（3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证OP＝CD，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：△AOP≌△OCD；已知的条件有：∠AOP＝∠OCD＝90°，OA＝OC＝4，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以发现∠OAP、∠HAP是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证．（2）点P在x轴上运动，那么就需分三种情况讨论：①点P在x轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明△AOP、△OCD全等，那么得到的条件是OP＝CD，然后用t表示OP、BD的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时t的值，要注意t的正负值的判断；②点P在线段OC上时；由于OP、CD都小于等于正方形的边长（即OA、AB），所以只有OP＝BD时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出t的值；③点P在点C的右侧时；方法同①．（3）这道题要分两种情况讨论：①线段PC为平行四边形的对角线，那么点Q、D关于PC的中点对称，即两点的纵坐标互为相反数，而QP∥CD，即Q、P的横坐标相同，那么先用t表示出Q点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定t的值；②线段PC为平行四边形的边；先用t表示出PC的长，把点D向左或向右平移PC长个单位就。
福建省厦门市2021-2022学年九年级(上)期末考数学试卷及参考答案
准考证号: 姓名: _________（在此卷上答题无效）2021—2022学年第一学期初中毕业班期末考试数学本试卷共5页.试卷满分:150分.注意事项:1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.3.全卷三大题，26小题，试卷共5页.4.可以直接使用2B铅笔作图.一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.图1是抛物线y = ax2 + bx + c的示意图，则a的值可以是A.1B.0C. - 1D. - 22.如图2，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD.下列角中，是AB̂所对圆周角的是A.∠APBB.∠ABDC.∠ACBD.∠BAC3.抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是A. = ba B.x =- baC.x = b2aD.x=-baa4.方程（x-1)2 = 0的根是A.x = - 1B.x1 = x2 = 1C.x1 =x2= - 1D.x1 = 1，x2 = -15.在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是A.（ - 1， - 3）B.（ - 1，3）C.（1， - 3）D.（3，1）6.如图3，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF.下列角中，是旋转角的是A.∠DAEB.∠EABC.∠DABD.∠DAF7.某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆.该爆竹点燃后离地高度h（单位:m）关于离地时间t（单位:s）的函数解析式是h = 20 t - 5 t2，其中t的取值范围是8.某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一:根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是A.0.92B.0.905C.0.903D.0.99.某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P. A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图4所示.该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B 原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小.人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是A.20 mB.20√2mC.（20√2 - 20）mD.（40 - 20√2）m10.在平面直角坐标系中，点M的坐标为（m，m2 - bm），b为常数且b > 3.若m2 - bm > 2 - √2b，m < b2，则点M的横坐标m的取值范围是A.0 < m < √2B.m < √2C.√2 < m < 32 D.m < 32二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.抛物线y =(x-2)2 + 3的顶点坐标是 _________ .12.不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是 _________ .13.如图5，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点，图中与∠ADE相等的角是 _________ .14.如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N.若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 _________ .15.阅读下列材料:早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究:在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法:开方除之.其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值.用该方法求解的过程如下（如图7）:第一步:构造已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形.第二步:推理根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2= x 2+ 2 × 17x + 172. 由原方程x 2+ 34x - 71000 = 0，得x 2+ 34x = 71000. 所以（x+17）2= 71000 + 172. 所以（x+17）2 = 71289. 直接开方可得正根x = 250.依照上述解法，要解方程x 2+ bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容: 与第二步中“（x+17）2= 71000 + 172n相应的等式是 _________ .16.在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的00交BC 边于点D .要使得00与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ .（写出所有正确答案的序号）①∠B .AC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > 12AB ；④ 12AB < DE <√2 2AB .三、解答题（本大题有10小题，共86分） 17.（本题满分7分） 解方程:x 2- 4x - 1 = 0.18.（本题满分7分）如图8，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 是对角线AC 的三等分点，连接BE ，DF .证明BE = DF .19.（本题满分7分） 先化简，再求值:（a + 1 a−2） ÷(a−1)2 a+1，其中a = √3 + 2.20.（本题满分7分）2021年是中欧班列开通十周年.某地自开通中欧班列以来，逐渐成为我国主要的集贸区域之一.2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列.求该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率.21.（本题满分8分）如图9，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 在BA 的延长线上，连接BC ，PC .若AB = 6，AC ̂的长为π，BC = PC .求证:直线PC 与⊙O 相切.某生物制剂公司以箱养的方式培育一批新品种菌苗，每箱有40株菌苗.若某箱菌苗失活率大于10%，则需对该箱菌苗喷洒营养剂.某日工作人员随机抽检20箱菌苗，结果如表二:（1）抽检的20箱平均每箱有多少株失活菌苗?（2）该日在这批新品种菌苗中随机抽取一箱，记事件A为:该箱需要喷洒营养剂.请估计事件A的概率.23.（本题满分9分）如图10，在△ABC中，P是BC边的中点，∠BAP = α（α为锐角）.把点P绕点A顺时针旋转得到点Q，旋转角为2α.（1）在图10中求作以A，B，P，D为顶点的四边形，使得点Q是该四边形AD边的中点；（要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AD = BC，探究直线PQ与直线BD的位置关系.24.（本题满分10分）我们将平面内点与多边形的位置关系分为三类:①点在多边形的内部；②点在多边形的边上；③点在多边形的外部.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y = ax2 - 2ax - 3a（a > 0）与y轴交于点A，过顶点B作BC⊥x 轴于点C，P是BC的中点，连接OP.将线段OP平移后得到线段O’P’.（1）若平移的方向为向右，当点P’在该抛物线上时，判断点C是否在四边形OPP’O’的边上，并说明理由；（2）若平移的方向为向下，平移的距离是（a + 1）个单位长度，其中a < 1.记抛物线上点A，B之4间的部分（不含端点）为图象T，M是图象T上任意一点，判断点M与四边形OPP’O’的位置关系，并说明理由.如图11，在四边形ABCD中，BA = BC，AC⊥BD，垂足为O.P是线段OD上的点（不与点O重合），把线段AP绕点A逆时针旋转得到AQ，∠OAP = ∠PAQ，连接PQ，E是线段PQ的中点，连接OE交AP于点F.（1）若BO = DO，求证:四边形ABCD是菱形；（2）探究线段PO，PE，PF之间的数量关系.26.（本题满分12分）行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某公司设计了M，N两款型号的新型汽车，它们在平坦路面上的“刹车距离”y（单位:m）与车速x（单位:km/h）之间的函数关系分别可以用二次函数y1 = ax2 + 3100 x（0≤x≤200），y2 = 1500x2 + b100+c（0≤x≤200，b≥1）近似地表示.为了估计a的值，公司综合考虑各种路面情况，选择了六种有代表性的路面进行刹车试验，具体的数据如表三:（1）依据上述数据，合理估计a的值，并求M款型号汽车的“刹车距离”为3.15 m时所对应的车速；（2）当50≤x≤200时，是否存在实数b，使得在相同的车速下N款型号汽车的“刹车距离”始终比M款型号汽车的“刹车距离”小?若存在，求出相应的b的取值范围；若不存在，请说明理由.2021—2022 学年第一学期初中毕业班期末考试数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分. 一、选择题 （本大题共 10 小题， 每小题 4 分， 共 40 分）二、填空题 （本大题共 6 小题， 每题 4 分，共 24 分）11. (2 ，3). 12. 13. ∠B .15.（1）已知小正方形边长为 x ，将其边长增加，得到大正方形； 16.②④.14.4＋4 .（2）(x ＋) 2＝－c ＋三、解答题（本大题有 10 小题， 共 86 分） 17. （本题满分 7 分）解法一：a ＝1 ，b ＝－4 ，c ＝－ 1.因为△＝b 2 －4ac ＝20＞0，………………………… 3 分 所以方程有两个不相等的实数根： －b ±2a4±＝＝2± ．…………………………5 分 即 x 1＝2＋，x 2＝2－．…………………………7 分解法二：由原方程得 x 2 －4x ＝1 ．…………………………1 分 x 2 －4x ＋4＝5 ．…………………………3 分 (x －2) 2＝5 ．…………………………4 分 可得 x －2＝±…………………………5 分 x 1＝2＋，x 2＝2－．…………………………7 分＝ x 3 .2118. （本题满分 7 分）解法一： 证明：∵ E ，F 是对角线AC 的三等分点，13 B ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB ＝CD .………………………………3 分 ∴ ∠BAE ＝ ∠DCF . ………………………………4 分 ∵ AB ＝CD ， ∠BAE ＝ ∠DCF ，AE ＝CF ，∴ △BAE ≌△DCF . ∴ BE ＝DF . ………………………………6 分 ………………………………7 分A DC解法二： 证明：分别连接 DE ，BF ，BD ，BD 交AC 于点 O ， ∵ E ，F 是对角线AC 的三等分点，13 B ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA ＝OC ，OB ＝OD .……………………………3 分 又∵ AE ＝CF ，∴ OA －AE ＝OC －CF ，∴ OE ＝OF ， ……………………………4 分 ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形，…………………6 分 ∴ BE ＝DF . ……………………………7 分A DC19.（本题满分 7 分） 解： (a ＋ )÷＝ · ……………………………2 分＝ · ……………………………3 分＝ · ……………………………4 分＝ ………………………………………5 分 当 a ＝＋2 时， 原式＝＋2＋1 ＋2 －2＝＋33 ＝1＋…………………………7 分EE Oa －2 (a －1)2 a 2 －2a ＋1 a ＋1 a －2 a ＋1a (a －2)＋1 a ＋1 a －2 (a －1)2 (a －1)2 a ＋1 a －2 (a －1)21 (a －1)2a ＋1a －2 ∴ AE ＝CF ＝ AC . ………………………………1 分∴ AE ＝CF ＝ AC . (1)分解：设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x ，依题意得： ……………………1 分500 (1＋x )2＝1280. ……………………4 分解方程，得： x 1＝－2.6(不合题意， 舍去)，x 2＝0.6 ． ……………………6 分 答： 该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为为 0.6 ．…………………………7 分21.（本题满分 8 分）证明： 连接 OC .∵ AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，∴ OA ＝3. ………………………1 分设∠AOC ＝n °. ∵ AC 的长为 π， 3πn180∴ n ＝60，即∠AOC ＝60°. ………………………3 分 ∵ ∠B 与∠AOC 所对的弧都是AC， ∴ ∠B ＝ ∠AOC ＝30°. ………………………5 分∵ BC ＝PC ， ∴ ∠P ＝ ∠B ＝30°，………………………6 分 ∴ 在△OCP 中， ∠OCP ＝180° － ∠AOC －∠P ＝90°， ∴ OC ⊥CP ．………………………7 分 ∵ OC 是⊙O 的半径， ∴ 直线 PC 与⊙O 相切．………………………8 分BOAPC22.（本题满分 8 分）解：（ 1）（本小题满分 5 分） 抽检的 20 箱平均每箱中失活菌苗数为0×6＋1×2＋2×5＋3×4＋5×2＋6×1 x→20＝2 ． ………………………5 分 （2）（本小题满分 3 分） 估计事件 A 的概率为………………………4 分答：（ 1）抽检的 20 箱平均每箱中失活菌苗数为 2；（2）事件 A 的概率为 ………………8 分20．20.＝ 2 3 31︵ ︵∴ ＝π，解：（ 1）（本小题满分 4 分）如图四边形ADBP 即为所求.…………………4 分解法 1（作等角）：DQAB P C解法 2（作全等三角形）：ADB P C解法 3（作轴对称点）：AB P C（2）（本小题满分 5 分） 直线PQ 与直线 BD 互相平行．理由如下： 方法一： ∵ 把点 P 绕点A 顺时针旋转得到点 Q ，旋转角为2α， 又∵ ∠BAP ＝α，∴ AQ ＝AP ， ∠QAB ＝α ． …………………5 分∵ P 是 BC 边的中点，12 ∵ Q 是AD 边的中点，∴ AQ ＝DQ ＝2AD ． ∵ AD ＝BC ，∴ AQ ＝DQ ＝BP ． …………………6 分 ∴ AP ＝BP ．DAB P CQQD1∴ BP ＝BC ．Q∴ ∠ABP ＝ ∠BAP ＝α． ∴ ∠ABP ＝ ∠QAB ． ∴ AD ∥BC ,即 DQ ∥BP ． …………………7 分∴ 四边形BPQD 为平行四边形． …………………8 分 ∴ BD ∥PQ ．…………………9 分 方法二：设 PQ 与AB 交点为 M . ∵ 把点 P 绕点A 顺时针旋转得到点 Q ，旋转角为2α， 又∵ ∠BAP ＝α， ∴ AQ ＝AP ， ∠QAB ＝α ． …………………5 分∵ P 是 BC 边的中点，12 ∵ Q 是AD 边的中点， ∴ AQ ＝2AD ． ∵ AD ＝BC ，∴ AQ ＝BP ． …………………6 分 ∴ AP ＝BP ，∴ ∠ABP ＝ ∠BAP ＝α． ∴ ∠ABP ＝ ∠QAB ．∴ AD ∥BC ． …………………7 分 ∴ ∠QAM ＝ ∠PBM ， ∠AQM ＝ ∠BPM ． 又∵ AQ ＝BP ，∴ △AQM ≌△BPM ． ∴ AM ＝BM ，即 M 为线段 AB 中点． ∵ Q 是AD 边的中点，∴ QM 是△ABD 的中位线． …………………8 分 ∴ BD ∥QM ．∴ BD ∥PQ ． …………………9 分DABP C Q1∴ BP ＝BC ．24.（本题满分 10 分）（1）（本小题满分 5 分）解： 点 C 在四边形 OP P ′O ′的边上． 理由如下： 因为y ＝ax 2 －2ax －3a ＝a （x －1）2 －4a ， 所以抛物线顶点 B 的坐标为（ 1 ，－4a ）． 因为 BC ⊥x 轴于点 C ，所以点 C 的坐标为（1 ，0）． 因为点 P 是 BC 的中点，所以点 P 的坐标为（1 ，－2a ）．………………………………1 分………………………………2 分 因为将线段 OP 向右平移得到线段 O ′P ′，且点P ′在此抛物线上， 所以当y ＝－2a 时，－2a ＝a （x －1）2 －4a ． 解得 x ＝1±．所以x P ′＝1＋ ． ………………………………3 分 即 P ′（1＋ ，－2a ）．所以线段 OP 向右平移个单位． 所以点 O ′的坐标为（，0）．因为 0＜ 1＜，所以 点 C 在线段 OO ′上． 即点 C 在四边形 OP P ′O ′的边上． ………………………………4 分……………………………5 分（2）（本小题满分 6 分） 解法一：将线段 OP 向下平移a ＋1 个单位， 得到 O ′(0 ，－a －1)，P ′(1 ，－3a －1)． …………………………6 分 又因为 A (0 ，－3a )，B (1 ，－4a )，0＜a ＜4， 所以y O ′－y B ＝( －a －1)－( －4a )＝3a －1＜0， y A －y P ＝－3a －( －2a ) ＝－a ＜0． 所以y O ′＜y B ，y A ＜y P ．由 O (0 ，0)，P (1 ，－2a )，可得线段 OP 的函数表达式为y ＝－2ax （0＜a ＜4 ，0≤x ≤1）． 因为－2a ＜0， 所以y 随x 的增大而减小， 所以当x ＝1 时，该函数的最小值为y P ． 因为线段 OP 向下平移a ＋1 个单位得到线段 O ′P ′，所以线段 O ′P ′的函数表达式为y ＝－2ax －a －1 （0＜a ＜4 ，0≤x ≤1）． 同理， 当 x ＝0 时， 该函数的最大值为y O ′． 对于函数y ＝a （x －1）2 －4a ，（0＜a ＜4 ，0≤x ≤1）， 因为a ＞0 ，抛物线开口向上，当 0≤x ≤1 时， y 随x 的增大而减小． 所以y B ≤y ≤y A ．所以对于图象 T 上的任意一点 M ，有 y B ＜y M ＜y A ． …………………………9 分 又因为y O ′＜y B ，y A ＜y P ，11 11所以y O ′＜y M ＜y P ． 因为 0＜x M ＜1， 点 M 在四边形 OP P ′O ′的内部． …………………………10 分解法二： 解：将线段 OP 向下平移a ＋1 个单位，得到O ′(0 ，－a －1)，P ′(1 ，－3a －1)． …………………………6 分由 O (0 ，0)，P (1 ，－2a )，可得线段 OP 的函数表达式为y ＝－2ax （0＜a ＜4 ，0≤x ≤1）． 所以线段 O ′P ′的函数表达式为y ＝－2ax －a －1 （0＜a ＜4 ，0≤x ≤1）．由题可设点 M 的横坐标为 m (0＜m ＜1)，过点 M 作 x 轴的垂线分别交线段 OP ，O ′P ′于点 N ，Q ， 则y M ＝am 2 －2am －3a ，y N ＝－2am ，y Q ＝－2am －a －1． 所以y M －y N ＝am 2－3a ，y M －y Q ＝am 2 －2a ＋1． 令 t ＝am 2－3a ，因为a ＞0 ，抛物线 t ＝ am 2－3a 开口向上， 当 0＜m ＜1 时， t 随m 的增大而增大． 当 m ＝1 时， t ＝－2a ＜0． 所以 t ＜0． 也即y M ＜y N ．令 q ＝am 2 －2a ＋1，因为 a ＞0，抛物线 q ＝am 2 －2a ＋1 开口向上， 当 0＜m ＜1 时， q 随m 的增大而增大． 当 m ＝0 时， q ＝－2a ＋1． 因为 a ＜4， 所以 q ＞2＞0．所以y M ＞y Q ． …………………………9 分所以对于图象 T 上的任意一点 M ，都有y Q ＜y M ＜y N ． 又因为 0＜m ＜1， 所以点 M 在四边形 OP P ′O ′的内部． …………………………10 分1 1 11A 25. （本题满分 11 分）（1）（本小题满分 5 分） 证明： 方法一：∵ BA ＝BC ，AC ⊥BD ，∴ AO ＝CO . …………………………2 分 ∵ BO ＝DO ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. ……………………4 分又∵ AC ⊥BD ，∴ 四边形ABCD 是菱形. 方法二：∵ AC ⊥BD ，BO ＝DO ， ∴ BA ＝DA ，BC ＝DC . ∵ BA ＝BC ，∴ BA ＝BC ＝DA ＝DC . ∴ 四边形ABCD 是菱形.（2）（本小题满分 6 分）…………………………5 分…………………………3 分…………………………4 分 …………………………5 分 解： PO 2＋PF 2＝4PE 2.理由如下： 连接AE ，FQ ，设∠OAP ＝ ∠PAQ ＝α， ∵ AC ⊥BD ， ∴ ∠AOP ＝90°． ∵ AP ＝AQ ， ∴ ∠APQ ＝ ∠AQP ＝2 (180°－ ∠PAQ )＝90°－2α．QEFB DO PCQAEFB DO PC又∵ E 是线段 PQ 的中点， ∴ AE ⊥PQ ， ∠PAE ＝2∠PAQ ＝2α ． …………………………6 分 ∴ ∠AEP ＝90°．∴ A ，O ，P ，E 在以AP 为直径的圆上．…………………………7 分 ∴ ∠AOE ＝ ∠APQ ＝90°－2α ， ∠POE ＝ ∠PAE ＝2α ． …………………………8 分 ∵ 在△AOP 中， ∠AOP ＝90°，∠OAP ＝α， ∴ ∠APO ＝90°－α．∴ ∠AFO ＝ ∠APO ＋∠POE ＝90°－ α．∴ ∠AOE ＝ ∠AFO ． ∴ AO ＝AF ．又∵ ∠OAP ＝ ∠PAQ ，AP ＝AQ ， ∴ △AOP ≌△AFQ ．…………………………9 分…………………………10 分∴ FQ ＝PO ， ∠AFQ ＝ ∠AOP ＝90°． ∴ ∠PFQ ＝90°．∴ 在 Rt △PFQ 中， FQ 2＋PF 2＝PQ 2． ∴ PO 2＋PF 2＝PQ 2． 又∵ PQ ＝2PE ， ∴ PO 2＋PF 2＝4PE 2 ． …………………………11 分1 1 1 111 2 126 （本题满分 12 分）（1）（本小题满分 5 分） 解法一： 解： 当车速 x ＝100 时， 综合考虑各种路面情况， 可估计“刹车距离”为 y 1 ＝ 6 ＝28 ．………………………………2 分 把 x ＝100，y 1＝28 代入y 1＝ax 2＋100x （0≤x ≤200），得 a ·1002＋ ×100＝28．解得a ＝400 ． ……………………………………………………………4 分 所以y 1＝400x 2＋100x （0≤x ≤200）． 当y 1＝3.15 时， 可得400x 2＋100x ＝3.15．解得 x 1＝30，x 2＝－42（不合题意， 舍去）． 所以 M 款型号汽车的 “刹车距离”为 3. 15 m 时所对应的车速是 30 km/h ．……………………5 分解法二：解：在路面一中， 当x ＝100 时， y 1＝26.5， 代入y 1＝ax 2＋100x （0≤x ≤200），得 a ·1002＋100×100＝26.5．解得a ＝0.00235 ．…………………………………………………………………………………2 分 同理可得， 在路面二至路面六中， 相应的 a 的值依次为 0.00242，0.00245，0.00245，0.00262，0.00271． 综合考虑各种路面情况， 此时 a ＝ 6 ＝0.0025 ＝ ……………………………………………………………………………………………4 分所以y 1＝400x 2＋100x （0≤x ≤200）． 当y 1＝3.15 时， 可得400x 2＋100x ＝3.15．解得 x 1＝30，x 2＝－42（不合题意， 舍去）． 所以 M 款型号汽车的 “刹车距离”为 3. 15 m 时所对应的车速是 30 km/h ．……………………5 分（2）（本小题满分 7 分）结合实际情境可知， 当车速 x ＝0 时，“刹车距离”y 2＝0，可得 c ＝0 ．…………………………6 分 要使得当 50≤x ≤200 时， 在相同的车速下 N 款型号汽车的“刹车距离”始终比 M 款型号汽车的“刹 车距离”小，即当 50≤x ≤200 时， y 2－y 1＜0．0.00235+0.00242+0.00245+0.00245+0.00262+0.00271400． 1 3 26.5+27.2+27.5+27.5+29.2+30.11 31 31 310033 3 3 111 b 1 32000 100 ＝2000[－x 2＋20(b －3) x ] ．令 t ＝－x 2＋20(b －3) x ，其中 50≤x ≤200 ，b ≥1. 因为－1＜0，所以抛物线开口向下． 因为对称轴 x ＝10(b －3)， 所以当 x ＜10(b －3)时， t 随 x 的增大而增大；当 x ＞10(b －3) 时， t 随x 的增大而减小．且当 t ＝0 时， x 1＝0，x 2＝20(b －3) ．①若 x ＝10(b －3) ≤0，即 1≤b ≤3， 当x ＞0 时， t 随x 的增大而减小． 此时 t ＜0， 所以当 50≤x ≤200 时， t ＜0． 即y 2－y 1＜0． ②若 x ＝10(b －3) ＞0，即 b ＞3．………………………………8 分………………………………10 分11 11111＝－ x 2＋ x ………………………………………7 分y 2－y 1 ＝500x 2＋100x －400x 2 －100x 1 b － 3当x＞10(b－3)时，t随x的增大而减小，此时，若x2＝20(b－3) ＜50，即b＜2 ，也即3＜b＜2 ，当50≤x≤200时，t随x的增大而减小，且t＜0．即y2－y1＜0．综上所述，b的取值范围是1≤b＜2 ．…………………………………………………12 分。
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福建省厦门市2012—2013学年度
初三数学期末考试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
考生须知：
1．解答内容一律写在答题卡上，否则不得分.交卷时只交答题卡，本卷不交.
2. 答题一律用0.5毫米的黑色签字笔，．．．．．．
否则不得分.
一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分）
1．－1的绝对值是（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
3．一元二次方程2x
A ．x ＝2
．x ＝ D 1 4．下列判断正确的是（ ）
A ．掷一次骰子，向上的一面是6点
B ．抛一枚硬币，落地后正面朝上
C ．抛掷1枚硬币，掷得的结果不是正面朝上就是反面朝上
D ．“掷一枚硬币正面朝上的概率是12
”表示每抛掷硬币2次就必有1次反面朝上 5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝5，截面圆圆心为O ，
当水面宽AB ＝8时，水位高是多少（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．等腰三角形的两边长分别为2和3，则周长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．7或8
7．如图，直线y ＝－33
x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕 点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ）
A ．(4，23)
B ．(23，4)
C ．(3，3)
D ．(23＋2，23)
二、填空题（本大题有10小题，每题4分，共40分） A B
C D 第5题 第7题
8．（1）计算：2a －a ＝ ． （2）22___)(_______3-=+-x x x ．
9．已知∠A ＝110°，则∠A 的补角的度数是 ．
10．用科学记数法表示：150000＝ ．
11．二次根式22-x 有意义，则x 的取值范围是____________．
12．点P （a ，-1）关于原点对称的点P'（b ，1），则a +b =______．
13．方程x 2－ax ＋1＝0有且只有一个实根，则a
14．如图，AB 与CD 都是⊙O 的直径，∠AOC =50°，则∠C 的度数为_______．
15．从分别标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是_________．
16．已知x ＝－1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2－2mn ＋n 2的值为__________．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-3，0），B （0，4），对△AOB 连续作旋
转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O 最远距离的
三、解答题（本大题有9小题，共89分）
18．（本题满分18分) （1）计算：|－1|＋
128＋(－3.14)0－(12)－1． （2）解方程：01622=--x x ．
（3）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 和延长线与DC 的延长线相交于点F ．证明：△ABE ≌△FCE ．
19．（本题满分7分） 抛掷一枚均匀的硬币2次，请用列表
或
画树状图的方法抛掷的结果都是正面朝上的概率．
20．（本题满分8分）若ab ＝4，则称a 与b 是关于2的“比
例数”；
（1）2关于2的比例数是________；5—2与___________是关于2的比例数；
（2）若x 1、x 2是方程x 2+(m-4)x +m 2+3=0的两根，且x 1、x 2是关于2的比例数，
试求m 的值． 21．（本题满分8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC 的三个顶点都在格点上，
结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC 向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，
画出两次平移后的△A 1B 1C
1；
（2）将△A 1B 1C 1绕C 1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A 2B 2C 1， 第14题
求线段B 1C 1旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
22．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的半圆O 分别交AB 、BC 于点D 、E ．
（1）求证：点E 是BC 的中点；
（2）若∠COD ＝80°，求∠BED 的度数.
23．（本题满分8分）某商店准备进一批小电风扇，单价成本价
40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1
元，销售量将减少10个；反之，定价每下降1元，销售量将增加10个.
（1）设定价增加x 元，则增加后的价格为 元，单价利润是 元，销售量为 个；
（2）若商店预计获利2000元，在尽可能让利给顾客的前提下，定价应调整为多少元？
（3）通过调整定价，商店能否获利2260元的利润？若能，求出调整后的定价；若不能，请说明理由.
24．（本题满分9分）已知：关于x 的一元二次方程mx 2-（3m +2）x+2m +2=0（m ＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根分别为x 1，x 2（x 1＜x 2）．若y 是关于m 的函数，且122x x y -=，
求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，m y 2≤．
25．（本题满分11分）
与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点．
（1）判断点M （l ，2），N （4，4 （2）若和谐点P （a ，3）在直线y =-x +b （b 26．（本题满分12分）一个反比例函数的图像经过点A （1）点B 是反比例函数图像上一点，过点B 做BC 的周长为8，求OB 长. （2）作直线OA 交反比例函数图像于点A '，在反比例函数图像上是否存在点P （记横坐标为m ）使得△APA '面积为2m ？若存在，求P 的坐标，若不存在，请说明理由.
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