复变函数08-09试卷A
复变函数历年考试真题试卷
河南理工大学 2009-2010 学年第 二 学期《复变函数论》试卷（A 卷）一、选择题（每题5分，共25分）⒈ 已知 8)11(ii z +-=，则223366-+z z 的值为( ) A. ;i - B. 1; C. ;i D. -1.⒉ 函数iv u z f w +==)(在点0z 处解析,则命题( )不成立A. v u ,仅在点0z 处可微且满足C-R 条件；B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ，v u ,在)(0z U 内满足C-R 条件；C. v u ,在)(0z U 内可微；D. B 与C 同时成立.3. 设11:=-z C ,则=+-⎰Cz z dz 33)1()1(( ) A. i 83π; B. i 83π-; C. i 43π; D. i 43π- 4. 若幂级数∑∞=-0)1(n n n z a 在3=z 发散,则它必在( )A. 1-=z 收敛;B. 23-=z 发散;C. 2=z 收敛;D. 以上全不正确5. =+-=)1)((1Re 2z i z s i z ( ) A.4i B. 4i - C. 41 D. 41- 二、 填空题（每题5分，共25分）1. =+6)1(i .2． 若z i e i = ,则=z Re .3. =++⎰=dz z z z 243)1(1 .4. 4. 幂级数()∑∞=-11n n n z i 的收敛半径为R= 5.=++⎰+∞∞-dx x x x 54cos 2 . 三、 计算题（每题10分，共40分）1、设y e vpx sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(。
2、计算积分dz z z e I C z ⎰-=3)1(，其中C 为不经过点0与1的闭路。
3、求函数)1)(2(5222+-+-z z z z 在圆环域20<<z ，+∞<<z 2内的洛朗级数.4、求出332)(sin )2)(1()(z z z z f π--= 在扩充复平面内的所有奇点并指明其类型，极点请指出其阶数。
复变函数试卷试题及含答案
1、复数 12 2i 的指数形式是2、函数 w = 1将 S Z 上的曲线 x 1 2y 21 变为 S W ( w uiv ) 上z的曲线是3. 若1e z 0 , 则 z ＝4、 1 i i =5、积分2 i 2 2 dz =2z6、积分1sin z dz2 iz 1z7、幂级数1 i n z n 的收敛半径 R=n 08、 z 0 是函数e z1 1 的 奇点1 z9、 Re se zz2 1z110、将点 ,i,0 分别变为 0,i,的分式线性变换 w二、单项选择题（每题 2 分）1、设为随意实数，则 （ ）1 =A 无心义 B等于 1C 是复数其实部等于 1 D是复数其模等于 12、以下命题正确的选项是（ ）A i 2iB零的辐角是零C 仅存在一个数 z, 使得1z D1z izzi3、以下命题正确的选项是（）A 函数 f z z 在 z 平面上到处连续B 假如 fa 存在 , 那么 f z 在 a 分析C 每一个幂级数在它的收敛圆周上到处收敛D 假如 v 是 u 的共轭调解函数 , 则 u 也是 v 的共轭调解函数4、根式3 1 的值之一是（）A 13 i B 3 i C 3 i D 1 3 i 2 2 2 2 2 2 2 25、以下函数在 z 0 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）1 1 zA B cos C e ctg 1sin 1 zz6、以下积分之值不等于0 的是 ( )D LnzA dzB dzC dzD dz3 1z 1 z z 1 z z 1 z 2 2z 4z 1 cosz2 27、函数f z arctan z 在z 0处的泰勒展式为（）A 1 n z 2n （ z <1）B 1 n z2 n 1（z <1）n 0 2n 1 n 0 2nC 1 n z2 n 1 （ z <1）D 1 n z2n （ z <1）n 0 2n 1 n 0 2n8、幂级数( 1) n 1 z2 n在z 1内的和函数是（）n 01B 1C1 1A1 z2 z2 1 D1 z2 1 z 29、设 a i ， C： z i =1，则z cos z2dz （）C a iA 0B 2i C 2 ie D icosi e10、将单位圆 z 1共形映照成单位圆外面w 1 的分式线性变换是（）A w e i z a( a 1) B w e iz a( a 1) 1 az 1 azC w e i z a( a 1) D w e iz a( a 1) z a z a三、判断题（每题 2 分）1、（）对任何复数 z, z22z 建立2、（）若 a 是 f z 和 g z 的一个奇点,则 a 也是 f z g z 的奇点3、（）方程 z7 z3 12 0 的根全在圆环1 z 2 内4、（） z= 是函数f zz52 的三阶极点1 z5、（）分析函数的零点是孤立的四、计算题（每题 6 分）1、已知f z x2 axy by 2 i (cx2 dxy y 2 ) 在 S z上分析,求a,b,c,d 的值2、计算积分5z 22 dzz 2 z(z 1)3、将函数 f z z 1在 z 1 的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围z 14、计算实积分I=x 2dx 0(x 2 1)( x2 4)5、求f (z) 1 在指定圆环 2 z i 内的洛朗展式z216、求将上半平面 Im z 0 共形映照成单位圆w 1的分式线性变换w L z ，使切合条件 L i 0 ， L i 0五、证明题（每题7 分）1、设（ 1）函数f (z)在地区 D 内分析（2）在某一点z0 D 有 f (n) (z0 ) 0 ，（ n 1,2,）证明： f ( z) 在D内必为常数2、证明方程e z 5z n 1 0 在单位圆z 1内有n个根一填空题（每题 2 分，视答题状况可酌情给 1 分，共 20 分）5 i 11 4e6 ，2 u (2k+1) i ,(k=0,1, 2) ，4，32e i ln 2 e4 2k) (k=0, 1, 25 i6 0 , 71, 8 可去，9e， 101 ,2 2 z 3二（每小 2 分，共 20 分）1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A三判断（每小 2 分，共 10 分）1 2 3 4 5四算（每小 6 分，共 36 分）1 解：u x2 axy by 2, v cx 2 dxy y 23 分u x v y 2x ay dx 2yu y v x ax 2by 2cx dy ⋯5 分解得 : a d 2,b c 1 6分2 解：被函数在周的z 2 内部只有一极点z=0及二极点 z=1 2 分Re s f (z) 5z 2 2( z 1) 2 z 0z 0Re s f (z) 5z 2 225分z z 2z 1 z 1z 15z 2 2 dz = 2i(-2+2)=0 6 分z2 z(z 1)3 解： f zz 1z 12 1 1n= 1 1 1 z 1 n ⋯ 4 分z 1 1 z 1 n 0 22（ z 1 <2）⋯6分4 解: 被 函数 偶函数在上半z 平面有两个一 极点 i,2iI=1x 2dx2( x 2 1)( x24)=12 i Re s f (z) Re sf (z)2z iz 2 i=iz 2z iz 22i) z 2i( zi)( z 24)(z 2 1)( z=65 解： f ( z)1( zi )( z i)=1122i(z i ) 1z i=1 i )2( 1) n( 2i ) n2 z i(z n 0 (z i) n6 解 :w =L(i)=k z iz iwk 2ii) 2( zw L (i) 0k iz i w iz i五 明 （每小 7 分，共 14 分）⋯ 1 分⋯ 2 分⋯ 3 分 ⋯ 5 分⋯6 分⋯1 分⋯3 分⋯6 分2 分⋯3 分⋯4 分⋯6 分1 明 : k : z z 0R(k D )f (z) 在 z 0 分析由泰勒定理f (z)f ( n) (z 0 ) ( z z 0 ) n ( z k D ) ⋯2 分n 0n! 由 f (n) (z 0 ) 0 f (z)f (z 0 ) ， ( zkD ) ⋯4 分由独一性定理f ( z) f ( z 0 ) ( z D )⋯ 7 分2 明：令 f ( z) 5z n， ( z) e z 1 2 分(1 ） f z 及z 在z 1分析(2 ） z 1上，f z 5z n 5z e z 1 e z 1 e z 1 e 1 <5 4 分故在 z 1上 f z z ，由儒歇定理在 z 1内N ( f z z , z 1) N ( f z , z 1) n ⋯ 7 分一、填空（每小 2 分）1、 cos5 i sin 52 的指数形式是cos3 i sin 3 32、i i =3、若 0<r<1，分ln 1 z dzz r4、若v是u的共和函数，那么v 的共和函数是5、 z 0 函数f (z) = z3 sin z3的m零点，m =6、z a 函数 f z 的 n 极点，那么 Re s f z=z a f z7、数z n 的收半径 R=n 0 n!8、 z 0 是函数z5sin 1 的奇点z9、方程z7 z3 12 0 的根全在内10、将点,i,0 分成 0,i, 的分式性 w二、（每小 2 分）1、若函数 f z 在地区D内分析，函数 f z 在地区D内（）A 在有限个点可B存在随意数C 在无多个点可D存在有限个点不行2、使z22建立的复数是（）zA 不存在B 独一的C 纯虚数D 实数3、cos z dz （）z2 (1 z)2A － i sin1B i sin1C －2 i sin1D 2 i sin14、根式3i的值之一是（）A3 iB3 iC iD i2 2 2 25、z 是 sin z 的（）zA 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 实质奇点6、函数f z 1 ，在以 z 0 为中心的圆环内的洛朗展式z z 1 z 4有m个，则 m=( )A 1B 2C 3D 47、以下函数是分析函数的为（）A x2 y 2 2xyiB x2 xyiC 2( x 1) y i( y2 x 2 2x)D x3 iy 38、在以下函数中， Res f z 0 的是（）z 0A fe z 1B f zsin z 1 zz z z2C fsin z cos zD f z1 1zz e z 1 z9、设 a i ， C： z i =1，则z cos z2dz （）C a iA 0B 2 iC 2 ieD icosie10、将单位圆 z 1共形映照成单位圆外面w 1 的分式线性变换是（）A w eiz a( a1)Bw eiz a ( a1)1az1 azC w eiz a( a1)Dw eiz a( a1)z az a三、判断题（每题 2 分）1、（ ）幂级数n 0 z n 在 z <1 内一致收敛2、（ ） z= 是函数1cos z 的可去奇点z 23、（ ）在柯西积分公式中，假如 aD ，即 a 在 D 以外，其余条件不变，则积分 1f zdz 0， z D2 i C z a4、（ ）函数 f zctg1 0 的去心邻域内可展成洛朗级数ez在 z 5、（ ）分析函数的零点是孤立的四、计算题（每题6 分）1、计算积分x y ix 2 dz ， C ： i 1+ i 的直线段C2、求函数 f zz2 在全部孤立奇点（包含）处的留数z 1 z 13、将函数 f z1 z 1 在 z i 的去心邻域内展成洛朗级数 , 并指出收敛域z i i4、计算积分Cz 2dz, C: x 2 y 2 2y 1，z 2 15、计算实积分 I=2d(a 1)acos6、求将单位圆 z1共形映照成单位圆 w1的分式线性变换 w L z使切合条件 L10 ， L 112五、证明题（每题7 分）满分14得分1、设函数 f z 在地区 D 内分析，证明：函数 i f z 也在 D 内分析2、明：在 z 0 分析，且足的 f 11 1， f 11（ n 1,2 ）的2n 2n 2n 2n 函数 f z 不存在一填空（每小 2 分，答状况可酌情 1 分，共 20 分）2k1 e i19，2 e2 (k=0, ±⋯)，3 0 ，4 u ，5 96 n，7 ，8 本，9 1 z 2 ， 10 1 z二（每小 2 分，共 20 分）1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A三判断（每小 2 分，共 10 分）1234 5四算（每小 6 分，共 36 分）1 解： C 的参数方程： z=i+t, 0 t 1 dz=dt 3分x y ix 2 dz＝t 1 it2 dt = 1 i 6 分1C 0 2 32 解: z 1 f z 一极点 1 分z 1 f z二极点 2 分Re s f zz11z 1z 1z4Re s f zz12 z 1z 1 z 14Re s f z 0z3 解： f z1 1 = 1 1 1ziz iz i2iz i12i=11 n z i nz i n2i n 1（0< zi <2）4 解：在 C 内 f z 有一个二 极点 z ＝ 0 和一个一 极点 z iRe s f z1z 21z 0z 0Res f z1 12 ( z i ) z i2iz iz3 分5 分⋯6 分⋯2分⋯5分 ⋯6分⋯ 1 分⋯ 3 分⋯5分因此原式＝ 2 i 01⋯6 分2i5 解：令 ze iI1dz1z z 1izza2=2a 2dzi z 1 z ( a 1) z ( aa 2 1)被 函数在 z1内的有一个一 极点 zaa 2 1⋯ 1 分⋯3 分Re s f ( z)1⋯5 分2zaa 212 a 1I=2 2 12 ⋯6 分i2 a 21a 2 1i1z1 z 16 解： wL k 2 k2 2 分21 z2z11211L 1 k21 因此 k 24 分2k121z 2z 1w2 2于是所求分z 2z62五 明 （每小 7 分，共 14 分）1 明：f(z)=u （x ，y ）+iv （ x ， y ）f (z) = u （x ，y ）-iv（x ，y ）i f ( z) = v （x ，y ）-i u （x ，y ）2 分f （ z ）在 D 内分析， u xv y ,u yv xi f (z) 四个偏 数 v x ， v y ，-u x ，-u y4 分比 f （z ）的 C －R 方程 i f (z) 也 足 C-R 方程且四个偏 数在 D 内i f (z) 在 D 内分析 7 分2 明：假 在 z 0 分析的函数 f z 存在且 足 f1 11 ， f 1 1（ n 1,2）2 分2n 2n2n2n点列 1 = 1以 z0 聚点2n 2n在点列1 1 1 2n上, f2n2n由分析函数的独一性定理在 z 0 的邻域内 f z = z5 分但在这个邻域内又有 f1 11矛盾2n 2n在 z 0分析的函数 f z 不存在 7 分。
08 09第二学期复变函数积分变换复习卷(答案)
08 09第二学期复变函数积分变换复习卷（答案）08-09第二学期复变函数积分变换复习卷（答案）2022-2022学年第二学期复变函数（本科）复习卷参考答案一、填空题1.复数Z？1.I=2（COS？4？Isin？4？）的三角表达式；复指数表达式=2E4。
i2、复数z?1?6?3i的z=2；argz?5??3?2k?；argz??3；z?1?3i。
1.1.我23、?；? 我1.1.1.我10?? i3i？3.E3i？？十、3岁？1.454、? 1.2i？十、3.5i？Y1.3i通过解方程，x？。
，Y2倍？5y？？31111? 5、 f？Z3z2？Z1.那么f我6、功能6。
Lnz？奇点Z？1z（Z？1）2？0，z？？我3iln2(63ii2ki；ln(ie)?1??2i。
7.我我1.2.艾莉？2k，e1？？e2（1-3i）8、3?8?2(cos??2k?3?isin??2k?3)；k?0,1,2。
1.4.2k？4.伊辛？？4.2k？4） k？0,1,2,3；方程z?1?i?0的根：z?e?1441?i?(2)4(cos?9、sini??e2i；cos?2i?12?2?(e?e2)；10、z?1dzz?2z?42?0；Z1dzz？12? 2.我11、设f(z)?1?coszz3，则z?0是（一级极点）；res[1?coszz3,0]?12。
二、确定以下函数可以从何处派生？在哪里解析？找出可以导出的导数。
（1）f?z??x?iy；2222解决方案：u？x、 v？YU十、2倍，？UY0伏？十、0伏？Y2Y，一阶偏导数连续，因此当ux?vy,uy??vx时，即x?y时可导，在z平面处处不解析。
f?(z)?ux?ivx?2x。
（2）f?z??zrez；一解：f(z)?zrez?(x?yi)x?x2?xyi，于是u?x2,v?xy,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?y,?v?y?x，什么时候？vy，uy？？什么时候VX，x？0，y？0是可微的，不能在z平面的任何地方解析。
2008-2009(1)第二学期复变函数期末考试试题
2008－2009第二学期复变函数期末考试试题一 填空题（每小题4分）1. 复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在点0z 解析与在0z 点（ ）等价A 可导B 邻域内能展开成幂级数C v u ,满足柯西-黎曼条件D v u ,可微 2．若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-C n dz a z z f 1)()(等于（ ） A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n i n π 3．函数()()21-=z z z f 在以原点为中心的圆环域内的洛朗展式，有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 44．0=z 是函数3sin zz 的（ ） A 可去奇点 B 二级极点 C 三级极点 D 本性奇点5．设()z Q 在点0=z 处解析，()00≠Q ,()()()1-=z z z Q z f ,则()]0,[Re z f s 等于（ ）A.()0Q B ．()0Q - C ．()0Q ' D ．()0Q '- 二 填空题（每小题4分）1 设()1001i z +=，则z Im ＝___________。
2 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，y y x v =),(，则_______)(='z f 。
3 ()i Ln 43--的实部是 ，虚部是 。
4 0=z 是函数z z sin -的__________阶零点。
5 函数]1)(z 11z 1[1z 1)(5+++++=z f 在点0=z 处的留数为__________________。
三 完成下列各题（每题10分）（1）试证：当0→z 时，()zz z f Re =的极限不存在。
大学《复变函数》试卷及答案
---------------------------- 6分
2．函数 在复平面内何处可导，何处解析，并求
解：设 ， 则
．四个偏导数在复平面上都连续，
由C—R方程得： ．
故 仅在直线 上可导，在复平面上处处不解析．
--------------------------- 4分
且因为点 在曲线 上，所以 ．
大学《复变函数》试卷及答案
一.判断题(每小题2分,共10分.
正确打“√”，错误打“×”.）
评
分
阅
卷
人
1． ．（）
2．若 在 不解析，则 不存在．（）
3． 为函数 的孤立奇点．（）
4．级数 收敛．（）
5． 在点 处不连续．（）
二.填空题(每小题2分,共10分.
将正确结果填在横线上.）
评
分
阅
卷
人
1.复参数方程 （t为参数）的直角坐标方程为
3.下列结论错误的是（）
（A） 是函数 的二阶极点．（B） 是函数 的可去奇点．
（C） ．(D) 是函数 的本性奇点．
4.下列结论错误的是（）
（A）C为不通过原点的简则 也为解析函数．
(C)在点 解析的函数一定可以在点 的邻域内展开成泰勒级数．
(D)对于任意的复数 ．
解：由于 在平面上处处解析，所以积分
与路径无关，又 的一个原函数为 ，
---------------------------- 5分
故
＝ ．
------------------------ 7分
2． ．
解： 在 内有两个不解析点， 分别为简单极
点、二级极点
，
------------------------ 5分
复变函数试卷及答案
复变函数及答案一、填空题（每题3分，共15分）1.计算ln(1)i +=2.设3232()3(3)f z y x y i x xy =-+-，计算()f z '=3.25|z|=1sin d (2)zezz z =-⎰4..求留数3sin R e [,0]z z s z-＝______________5. 幂级数11nnn z n∞=∑的收敛半径R=______________二、单项选择题（每题3分，共15分， 每题只有一个正确答案，请将答案填在题后的方框内，错选或多选均不得分 ）. 1、设211()sinf z z z z=-，则Re s[(),0]f z 为( )A ．1，B ．2，C ．0，D ．2i π。
2、复数 23412i i ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的模为 ( )A.5； B. 5； C. 55； D ．253、复数 i 31-- 的主辐角为 ( )A. 3arctan ；B. π+3arctan ；C. arctan 3π--;D. arctan 3π- 4、方程 220z i -= 的根为 ( )A. 121,1z i z i =+=--；B. 121,1z i z i =+=-+；C. 121,1z i z i =+=-;D. 121,1z i z i =-=-- 5、设 22()2()f z x y i y x =+-，则 ()f z '= ( )A. 22x y i +；B. 22y x i -；C. 22x y i -；D. 22x y i -- 三、(20分) 求下列积分的值:(1) 2sin d ,(1)Czz zz -⎰ :||2C z =的正向. （10分）(2) 21sin d Cz z z ⎰ , 其中:1,C z = 且方向为正向. (10分)四、(15分) 将函数)2()1(1)(--=z z z f在0z =点展开为洛朗 (Laurent) 级数．.五、(15分) 由2(1),(2)u x y f i =-=- 求出解析函数()f z u iv =+关于z 的表达式.六、(15分)利用Laplace 变换求解微分方程组：()()1,(0)0,()(),(0) 1.x t y t x x t y t t y '+==⎧⎪⎨'-==⎪⎩七、 (5分) 求积分11d 2z z z =+⎰ ，从而证明：012cos d 0.54cos πθθθ+=+⎰.一、填空题（每题3分，共15分）1.1ln(1)ln 224i iπ+=+2. 2()3f z iz '= 3.25|z|=1sin d 0(2)zezz z =-⎰4.. 3sin R e [,0]0z z s z-= 5. R=+∞二、单项选择题（每题3分，共15分， 每题只有一个正确答案，请将答案填在题后的方框内，错选或多选均不得分 ）.1、B.2、B3、D4、A5、B 三、(20分) 求下列积分的值: (1) 解：令)1(sin)(22-=z z zz f ，在2||=z 内，函数)(z f 有两个奇点．=z 为可去奇点，0]0),([Res =z f ，1=z 为一阶极点，)()1(lim ]1),([Res 1z f z z f z -=→1sin sin 2122===z zz，原式1sin 2])1),([Res ]0),([Res (22i z f z f i ππ=+= (2)解：令21()sinf z z z =，在||1z =内，0=z 为)(z f 的本性奇点，21sinz z2357111111()1!3!3!5!7!z zzzzz =-+-+=-⋅+，原式22R es [(),0]3!3i ii f z πππ==-=-四、解：)2()1(1)(--=z z z f 2111-+--=z z zz---=2111，在复平面上以原点为中心分为三个解析环：1||0<≤z ， 2||1<<z ，+∞<<||2z ．(1) 在 1||0<≤z 内，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212111)(z zz f∑∑+∞=+∞=-=221n nn n nz z ∑+∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211n nn z ．(2) 在 2||1<<z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121111)(z z z z f∑∑+∞=+∞=--=022111n nn n nz zz∑∑+∞=++∞=+--=01121n n nn n z z．(3) 在 +∞<<||2z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=z z z z z f 211111)(∑∑+∞=+∞=+-=02111n nn n nzzzz∑+∞=+-=11)12(n n nz．五、解： 2(1),(2)u x y f i =-=- 2,2(1)u u y x xy∂∂==-∂∂(,)(0,0)(,)d d x y yxv x y u x u y C=-++⎰(,)(0,0)2(1)d 2d x y x x y y C=--++⎰222(1)d 2d 2xyx x y y C x x y C =-++=-++⎰⎰.又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.故221,(,)21C v x y x x y ==-++. 从而222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+另解： 2(1),u x y =- 由2,y x v u y == 得2d (),y v v y y x ϕ==+⎰又()2(1)x y v x u x ϕ'==-=- 即()2(1)x x ϕ'=-由此得2()2x x x C ϕ=-+所以222v y x x C=+-+又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.于是有222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+六、解：对方程两边取拉氏变换并代入初值得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+.1)1)(()(,1)()(2s s sY s X ss Y s X s 求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1)(,)1(1)(222s ss Y s s s X 求拉氏逆变换得⎩⎨⎧=-=.cos )(,sin )(t t y t t t x七 (8分).证明： 因为11d d 22(sin cos )(2cos sin )d (2cos sin )(2cos sin )12cos 12cos d 2d 54cos 54cos i iz iez z e i i i i i i θπθππππππθθθθθθθθθθθθθθθθ=---=++-++-=+++-++==++⎰⎰⎰⎰⎰又因11d 02z z z ==+⎰所以12cos d 054cos πθθθ+=+⎰。
(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)
a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
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08-09
第一 复变函数(A) 数理学院
通信071-2信息
（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、 选择题（每小题2分，共12分）
1、下列命题正确的是__________.
A. sin 1z ≤
B. n Lnz nLnz =
C. 1=
D.
2z k i z e e π+=（k 是整数） 2、复数z =的三角形式为________. A. 554(cos sin )66i ππ- B. 554(cos sin )66
i ππ+ C. 4(cos sin )66i ππ- D. 4(cos sin )33
i ππ- 3、 若f()z 在圆环域0r z z R <-<内解析，则f()z 可以展成洛朗级数
0()n n n c z z +∞=-∞-∑，其
中n c =________. A.()0()!n f z n B. 101f()dz 2()n C
z i z z π+-⎰ ，C 为圆环域内围绕0z 的简单闭曲线 C. 02()!i f z n π D. 101f()dz 2()
n C z i z z π+-⎰ ，C 为围绕0z 的简单闭曲线 4、=⎰ _______，其中C ：23
z =正向圆周. A. i 5、若函数f()(,)(,)z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则下列命题错误的是____.
课程考试试题
学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:
A ．),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微 B. ()f z '在区域D 内解析
C ．u v y x ∂∂=-∂∂ D. c 0f(z)dz 0z-z =⎰ ，其中C 为
D 内任意一条包围0z 的闭曲线
6、0z =是函数3sin z
z e z
⋅的__________. A ．可去奇点 B 二级极点 C ．三级极点 D.本性奇点
二、 填空题（每小题3分，共18分）
1、1=i _____________.
2、设复数(1911)(1)1119i i z i
+-=-， =___________z 则. 3、设C 为正向圆周||3z =，则z
2c e dz z (1)(4)z z ++⎰ =_________.
4、设C 为围绕0z 的任意简单闭曲线，n 为整数，则1c 0dz ()n z z +-⎰ =_________.
5、1
0sin dz ________z z =⎰.
6、设f()z 在扩充复平面内有三个孤立奇点1,2,∞，且它在奇点1,2的留数分别是1,e -，则函数211f ()
z z 在零点的留数211Res[f(),0]_________z z
=. 三、 是非判断题（每小题2分，共10分）
1、352i i +<+. ( )
2、解析函数的实部与虚部互为调和函数.（ ）
3、若f()z 在0z 点的导数存在，则f()z 在0z 点解析. （ ）
4、级数0(1)n n i +∞
-=+∑是绝对收敛的.（ ） 5、21z e z
-的孤立奇点0z =是一级极点.（ ）
四、 计算题（每小题10分，共50分）
1、计算积分22
52dz (1)z z z z =--⎰ . 2、函数2f ()z x y i =-在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数.
3、求函数ln(1)z +在0z =的泰勒展式，并指出其泰勒级数的收敛范围.
4、将函数21(1)
z z z +-在圆环域1z <<+∞内展为洛朗级数. 5、利用留数定理计算
220dx cos 1
x π
+⎰. 五、 证明题（10分）
若f ()z 在0||z z R -≤解析，证明：20001
f ()f (Re )d θ2i z z π
θπ=+⎰.。