河南省南阳市第一中学2014届高三上学期第三次周考(11月)试题

河南省南阳一中2014届高三上学期第三次周考（11月）文科数学试题时间：2013年11月23日一、选择题（每小题5分，共60分）1、若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则=( )A ．1(,)+∞B ．(1,)+∞ C ．1[0,][1,)+∞D ．1(,][1,)-∞+∞3、函数x e y sin =(π-≤x ≤π)的大致图象为 ( )4、已知函数4sin(2)y x π=-，则其图象的下列结论中，正确的是（ ）A ．关于点()8,1π-中心对称 B ．关于直线8x π=轴对称 C ．向左平移8π后得到奇函数 D ．向左平移8π后得到偶函数5、过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 （ ）A ．2 B ．3C ．12D ．136、由等式43223144322314)1()1()1()1(b x b x b x b x a x a x a x a x ++++++++=++++ 定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(f （ ）A .10B .7C . -1D .07、已知A ，B ，C ，D 是函数sin()(0,0)2y x πωω=+Φ><Φ<一个周期内的图象上的四个点，如图所示，(,0),6A π-B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则,ωΦ的值为（ )A .2,3πω=Φ= B .2,6πω=Φ=C .1,23πω=Φ=D .1,26πω=Φ=8、在△ABC 中，AB=4，∠ABC=30°，D 是边BC 上的一点，且⋅=⋅, 则AD 的值等于（ ）A ．—4B ．0C ．4D ．8 9、若20πα<<，02-<<βπ，31)4cos(=+απ，33)2-4cos(=βπ，则=+)2cos(βα（ ） A． B．C．D．-10、若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率（ ） A ．332π B .325π C .163π D .165π11、已知ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是（ ）A .18B .21C .24D .1512、设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于（ ）A . 13B . 5C . 223c +2cD . 222b +2b第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13、已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，则tan 2α的值为14、已知函数()f x 是R 上的奇函数，若对于0x ≥，都有()2()f x f x +=，[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时，())2014(2013f f +-的值为15、某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如右图)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为16、已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项,m n a a 使得1144,a m n=+则的最小值为 三、解答题（本大题共7题，共70分）17、（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边长，已知22223b c a ac --＝。

（Ⅰ）求cosB 及tan 2A C ＋的值；（Ⅱ）若b ＝，△ABC的面积为sinA ＋sinC 的值18. （本小题满分12分）如图，从A 1（1,0,0），A 2（2,0,0），B 1（0,1,0,）B 2（0,2,0），C 1（0,0,1），C 2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。

（1） 求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； （2） 求这3点与原点O 共面的概率。

19、（本小题满分12分）已知函数3()f x x mx =-+在（0，1）上是增函数， （Ⅰ）实数m 的取值集合为A ，当m 取集合A 中的最小值时，定义数列{}n a 满足13,a =且0,n a >1n a +=，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =,数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：34n S >.20、（本小题满分12分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC ． （Ⅰ）设∠MOD ＝30°,求三角形铁皮PMN 的面积； （Ⅱ）求剪下的铁皮三角形PMN 的最大面积21、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝－13x 3＋a2x 2－2x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求函数f (x )的单调区间； (2)若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f ′(x )<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围；(3)若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22、(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点， D 是OB 延长线上一点，且BD=OB ，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC ，MB ，OT ．（I ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；（II ） 若 60=∠DOT ，试求BMC ∠的大小．23、(本小题满分10分) 已知函数()1f x x =- （I ）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （II ）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a .南阳市一中2013年秋期第三次周考文科数学试题答案一、选择题二、填空题 13、43 14、-1 15、400 16、32三、17、解：(Ⅰ)由b 2－c 2＝a 2－23ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13. 由0＜B ＜π知sin B ＝1－cos 2B ＝223. tan A ＋C 2＝tan π－B 2＝sin （π2－B 2）cos （π2－B 2）＝cos B 2sin B 2＝2cos 2B 22sin B 2cosB 2＝1＋cos B sin B＝ 2. (5分)(Ⅱ)由12acsin B ＝2，ac ＝3，由b 2－c 2＝a 2－23ac ，得(a ＋c)2＝b 2＋83ac ＝16，即a ＋c ＝4.由正弦定理得sin A ＋sin C ＝a ＋c b ×sin B ＝43.(10分)19、解：（1）由题意得f′（x ）=﹣3x 2+m ， ∵f （x ）=﹣x 3+mx 在（0，1）上是增函数，∴f′（x ）=﹣3x 2+m≥0在（0，1）上恒成立， 即m≥3x 2，得m≥3，-----------------------------2分 故所求的集合A 为[3，+∞）；所以m=3，∴f′（x ）=﹣3x 2+3，∵，n a ＞0，∴=3n a ，即=3，∴数列{n a }是以3为首项和公比的等比数列，故nn a 3=； -------------------------------6分 （2）由（1）得，bn=na n =nn 3⋅， ∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n ① 3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n +1 ② ①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n ﹣n•3n +1=﹣13+⋅n n化简得，Sn=＞．----------------------------12分20、（本小题满分12分）21、【解析】(1)当a ＝3时，f (x )＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f ′(x )＝－x 2＋3x －2.因为f ′(x )＝－x 2＋3x －2＝－(x －1)(x －2)，所以当1<x <2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x <1或x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(2)方法一：由f (x )＝－13x 3＋a 2x 2－2x ，得f ′(x )＝－x 2＋ax －2.因为对于任意x ∈[1，＋∞)都有f ′(x )<2(a －1)成立， 即对于任意x ∈[1，＋∞)都有－x 2＋ax －2<2(a －1)成立，即对于任意x ∈[1，＋∞)都有x 2－ax ＋2a >0成立．令h (x )＝x 2－ax ＋2a ，要使h (x )对任意x ∈[1，＋∞)都有h (x )>0成立，必须满足Δ<0，或⎩⎨⎧Δ≥0，a2≤1，h即a 2－8a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8a ≥0，a2≤1，1＋a >0.所以实数a 的取值范围为(－1,8)．方法二：由f (x )＝－13x 3＋a2x 2－2x ，得f ′(x )＝－x 2＋ax －2.因为对于任意x ∈[1，＋∞)都有f ′(x )<2(a －1)成立，即对于任意x ∈[1，＋∞)都有f ′(x )max <2(a －1)．因为f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a2.①当a 2<1，即a <2时，f ′(x )在[1，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )max ＝f ′(1)＝a －3.由a －3<2(a －1)，得a >－1，此时－1<a <2；②当a 2≥1，即a ≥2时，f ′(x )在⎣⎡⎦⎤1，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递减，所以f ′(x )max ＝f ′⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24－2.由a24－2<2(a －1)，得0<a <8，此时2≤a <8.综上①②可得，实数a 的取值范围为(－1,8)．(3)设点P ⎝⎛⎭⎫t ，－13t 3＋a 2t 2－2t 是函数y ＝f (x )图象上的切点，则过点P 的切线的斜率为k ＝f ′(t )＝－t 2＋at －2，所以过点P 的切线方程为y ＋13t 3－a 2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(x －t )．因为点⎝⎛⎭⎫0，－13在切线上，所以－13＋13t 3－a 2t 2＋2t ＝(－t 2＋at －2)(0－t )，即23t 3－12at 2＋13＝0.若过点⎝⎛⎭⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，则方程23t 3－12at 2＋13＝0有三个不同的实数解．令g (t )＝23t 3－12at 2＋13，则函数y ＝g (t )与t 轴有三个不同的交点．令g ′(t )＝2t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a 2.因为g (0)＝13，g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－1243＋13，所以g⎝⎛⎭⎫a 2＝－124a 3＋13<0，即a >2. 所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)．22、（1）证明：因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理DM DT DN ⋅=2，DA DB DN ⋅=2，得DA DB DM DT ⋅=⋅，设半径OB=)0(>r r ，因BD=OB ，且BC=OC=2r ， 则233r r r DA DB =⋅=⋅，23232r rr DC DO =⋅=⋅， 所以.DC DO DM DT ⋅=⋅------------------5分（2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠， 故DTO ∆∽CM D ∆，所以DMC DOT ∠=∠；根据圆周角定理得，DMB 2DOT ∠=∠，则.30=∠BMC --------10分。