复变函数 复习讲义

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( r cos θ + ir sin θ )n = r n ( cos nθ + i sin nθ ) .
在几何上 , n z的n个值就是以原点为中心 , n r为半径 的圆的内接正 n边形的n个顶点.
五、区域及相关概念* 四、复平面与复球面
1. 用复数方程表示平面曲线 （给出平面曲线要求用复数方程表示，给出方程 要求描述曲线）
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三、Cauchy积分定理及其应用 １.Thm（柯西－古萨基本定理）
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
∫
z1 z0
f (ζ )dζ = G ( z1 ) − G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.
要求：会计算各初等函数，掌握其基本性质 注意：与实函数的区别
2、多值函数
第三章
a b = e bLna
复变函数的积分
Lnz=ln|z|+iArgz = lnz+2kπi
一、积分的计算法与性质 Thm 如果 f ( z ) 是连续函数而 C ：z = z( t )=x( t ) + iy( t )
(t ∈ （α，β ）α 为起点，β 为终点)是光滑曲线, 则积分
一、求Laplce变换
Laplace变换
+∞
1 +∞ f ( t ) = F −1 [ F (ω )] = F (ω )e jω t d ω (1.9) 2π ∫−∞ 2）、Fourier变换的性质
4、单位脉冲函数（狄拉克函数）的性质
1）、用Lapce变换式
F(s)= ℒ [f(t)] = ∫
0
f ( t )e − st d t
2、求Fourier变换 1）、用Fourier变换式
− jω t
1 ( a > 0) dτ = 常用公式 ∫0 e a + jb +∞ ∫ δ (t − t0 ) f (t )d t = f (t0 )
+∞ − ( a + jb )τ
F (ω ) = F[ f (t)] = ∫
∞ −∞
f ( t )e
要求：会计算各初等多值函数
∫
C
f ( z )dz 一定存在，且
∫
C
f ( z )dz = ∫ f ( z ( t )) z '( t )dt
α
β
2
二、解析函数的积分
(类似于牛顿-莱布尼兹公式)
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数, 那末
三、将函数展开成泰勒级数
间接法：熟记公式及灵活应用幂级数的性质 ∞ z2 zn zn 1) e z = 1 + z + + " + + " = ∑ , 2! n! n = 0 n! ∞
2)
四、洛朗级数
掌握间接法，注意洛朗级数的形式与展开域有 关
3) sin z = z −
z3 z5 z 2 n +1 + − " + ( −1)n + ", 3! 5! (2n + 1)! 2n z2 z4 z 4) cos z = 1 − + − " + ( −1)n + ", 2! 4! (2n)!
1 = 1 − z + z 2 − " + (−1)n z n + " = ∑ (−1)n z n , 1+ z n= 0
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1.根据函数所在的解析圆环确定级数形式 间接展开法步骤： 如函数f在0<|z -z0|<R解析，则
第五章
一、 孤立奇点
Def 如果函数
留数
f (z) =
e ( z − z0 ) , e ( z − z0 ) , 1
z0 为 f ( z ) 的孤立奇点.
1 1 ,sin ,cos 1 z − z0 z − z0 1− ( z − z0 ) 3.用已知展式展开整理，注意展式成立的条件
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
如何判定有限孤立奇点的类型? 孤立奇点 去心邻域内洛朗级数 可去奇点 无负幂项 含有限个负幂项
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问 可去奇点: Res[f ( z ), z0 ] = 0. 题⎧ ⎪ : ⎪ 本性奇点: Laurent级数求c-1 如⎪ ⎪ Laurent级数求c-1 何⎨ m>1: 1 求⎪ lim[( z − z0 )m f ( z )]( m −1) ( m − 1)! z → z 留 ⎪ m级极点: ⎪ 数⎪ lim( z − z0 ) f ( z − z0 ) z→z m=1: P ( z ) ? ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
第六章
Fourier变换
一、 Fourier变换
1、Fourier积分定理（Fourier积分表达式） 2、求Fourier变换
0
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
Q ′( z 0 )
0
2、求Fourier变换 1）、用Fourier变换式
∫c f ( z )dz = 0.
2. 复合闭路定理
3、Cauchy积分公式
定理 解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 n! f (z) 导数为 : f ( n ) ( z0 ) = ∫ ( z − z0 )n+1 dz ( n = 1,2,") 2π i C
其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线 , 而且它的内部全含于 D .
如何判确定有限极点的级?
lim f ( z )
z → z0
存在且为 有限值
∞
(1)由定义判别: Laurent series (2)由定义的等价形式判别 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) =
m级极点 关于( z − z0 )−1的最高幂
为 ( z − z0 ) − m
g( z ) ( z − z0 ) m 其中 g ( z )在 z0 的邻域内解析,且 g ( z0 ) ≠ 0.
( s ∈ C)
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δ (t ) ↔ 1
tn ↔
2）、一些函数的Laplace变换 1 e kt ↔ u( t ) ↔
s k n! s sin kt ↔ cos kt ↔ 2 s2 + k 2 s + k2 s n+1 3）、Laplace变换的性质 如：线性性质，像原函数的位移性质，微分性质
1 s−k
(2) 再判定解析
求函数导数的方法:
四、初等函数
1、单值函数
（a）定义
（b）求导法则
e z = exp z = e x (cos y + i sin y )
cos z = e iz + e − iz e iz − e − iz , sin z = . 2 2i
(c) f '( z ) = ux + iv x = v y − iu y
2. 复球面(引入复数∞)
六、复变函数
1.单(多)值函数的定义
2. 复变函数与自变量之间的关系
3、函数的极限与连续
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第二章
解析函数
函数解析的判定方法:
(1) 先判定可导
一、可导、可微与解析 二、解析函数的判定 三、解析函数的几个充要条件
（a）定义
（b）求导法则
(c) f ( z ) = u + iv 中 u,v 在 D 内 存在连续偏导数 并满足 C − R 方程
再利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成 z = re iθ 复数的指数表示式
三、乘积与商
1. 几何意义 2. 幂
3.方根
θ + 2kπ ⎞ ⎛ θ + 2kπ w = n z = r n ⎜ cos + i sin ⎟ n n ⎠ ⎝ ( k = 0,1,2,", n − 1变函数
二、复数的三角表示和指数表示
1. 复数的模(或绝对值) 2. 复数的辐角与辐角主值 3.复数的三角表示和指数表示 复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) 复数的三角表示式
一、复数的概念
复数不能比较大小.
2、复数的代数运算 1)和；2）积；3）商；4）共轭
2.对函数进行初等变形，使之含有形如以下项 −1 1 ,sin( z − z0 ),cos( z − z0 ), 1 − ( z − z0 )
n =−∞
∑ a (z − z )
n 0
∞
n
f ( z )在 z0不解析,但 f ( z ) 在 z0
的某一去心邻域 0 < z − z0 < δ 内处处解析, 则称
(3)零点与极点的关系 不存在 且不为 ∞
本性奇点
含无穷多个负幂项
练习: 设函数f(z)和g(z)分别以z=a为m,n级零点, 则f/g以z=a为＿＿＿. 答案: m>n时,m-n级零点; m<n时,n-m级极点; m=n时,可去奇点
二、留数定理
1.留数的计算方法 2.利用留数定理计算积分
留数定理是Cauchy公式的推广
第四章
级数
一. 级数和序列的基本性质 二. 幂级数 1.掌握收敛圆与收敛半径的求法
比值法 R= lim n →∞
cn cn + 1
根值法 R= lim1/ n cn