高二下期数学典卷三
2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高二(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN 与直线2x−y +3=0垂直，则m =( )A. −6B. 73C. 23D. 92.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A 为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B 为“取到的2个为事物谜”，则P(B|A)=( )A. 78B. 67C. 34D. 253.已知圆M ：(x−2)2+y 2=1，则下列说法错误的是( )A. 点(3,2)在圆外 B. 直线2x +y−4=0平分圆MC. 圆M 的周长为2πD. 直线x +3y =0与圆M 相离4.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，M 在线段OA 上，且OA =3AM ，点N 为BC 中点，则MN =( )A. 12a−23b +12c B. −23a +12b +12c C. 12a +12b−12c D. 23a +b−12c5.(x +4x −4)4展开式中的常数项是( )A. −256B. 256C. −1120D. 11206.圆O ：x 2+y 2−4=0与圆C ：x 2+y 2−4x +4y−12=0相交于A 、B 两点，则S △ACB =( )A. 2B. 22C. 32D. 67.直线l 过点(−1,0)且与曲线y =e x 相切，则直线l 的倾斜角为( )A. π6B. π4C. π3D. 3π48.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是( )A. 存在点E，使EF//平面ABCDB. 三棱锥B1−ACE的体积随动点E变化而变化C. 直线EF与AD1所成的角不可能等于30°D. 存在点E，使EF⊥平面AB1C1D二、多选题：本题共3小题，共18分。
高二文数学第二学期第三次试题及答案
高二数学文科答案考试时间120分钟，试卷满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．把答案填写在答题纸相应位置上．1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A. 0.05B. 0.35C. 0.7D. 0.95 【答案】A2．不等式2210x x -->的解集是（ ）A ．1(,1)2-B ． 1(,)(1,)2-∞-+∞C ．(1,)+∞D ． (,1)(2,)-∞+∞【答案】B3．命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( ) A ．若x 2≥1，则x≥1，或x≤－1 B ．若－1<x<1，则x 2<1 C ．若x≥1或x≤－1，则x 2≥1 D ．若x>1或x<－1，则x 2>1 【答案】C4．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 14【答案】C5．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为( )A. 0.0813ˆ.2yx =+ B. 1.235ˆy x =+ C. 1.234ˆyx =+ D. 1.2308ˆ.0y x =+ 【答案】D6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=【答案】A7．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ） A ．2b aa b+≥ B．a b +≥C．11a b +>D ． 222a b ab +>【答案】A8．抛物线24y x =的准线方程是( ) A. 1x = B. 1x =- C. 116y = D. 116y =- 【答案】D9 .若点 M(x,y) 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+2y 12x y x 上的一个动点，则y-x 的最大值是（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1 【答案】C10．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C11．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C12．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．【答案】314．一个长为1 m 、宽为1 m 的矩形纱窗，由于某种原因，纱窗上有一个半径为10 cm 的圆形小孔，一只蚊子随意撞到纱窗上，那么它恰好飞进屋的概率为________． 【答案】0.01π15．以双曲线221412x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________． 【答案】2211612x y += 16．已知集合1|28,2x A x x R ⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，{}|11,B x x m x R =-<<+∈，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．【答案】2+∞（，）一、选择题：二、填空题：13. 3 14. 0.01π15. 2211612x y += 16. 2+∞（，）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填写在答题纸相应位置上．17(10分)已知抛物线的顶点在原点，焦点与椭圆224520x y +=的焦点相同，（1）求椭圆的焦点坐标与离心率； （2）求抛物线的方程18．(12分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率． 【答案】（1）0.45；（2）0.7【解析】试题分析：（1）求出出租车司机答对题目数大于等于9的人数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．（2）求出从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人的情况总数和选出的两人中至少有一名女出租车司机的情况个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ， P (A )＝1－55100＝0.45. (2)设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种，记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P (M )＝710＝0.7. 19．(12分) 凉州区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如（2）利用（1）中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 将2018年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20.（本小题满分12分）椭圆)0(122>>=+b a by a x 的离心率是33，且它的短轴长为(1)求椭圆的方程.(2)求椭圆被直线01=--y x 截得的弦长．20题答案：(1)∵22322c a a b b ⎧⎧==⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩，， ∴椭圆方程为12322=+y x (2)将直线方程01=--y x 代入椭圆方程，消去y ，整理得25630x x --=依韦达定理得12126355x x x x +==-，∴12x =-==弦长 21．(12分)已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.【答案】解（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-==∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=； （2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +.由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.22．(12分)已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦． 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a 01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥1e +，得a ≥12e +， 又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2mina f x f e e e==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >． 综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
人教A版数学高二任意角的三角函数精选试卷练习(含答案)3
C． cos sin tan
D． cos tan sin
2
2．若点 P 在角 的终边上，且｜OP｜＝2，则点 P 的坐标是（ ）
3
A． (1, 3)
B． ( 3, 1)
C． (1, 3)
D． (1, 3)
sin cos 3． 若α是第三象限角，则 sin － cos ＝( )
2
标 x, y
46．设 sin 0 且 tan 0 ,确定角 是第几象限角.
47．(1)已知角α的终边经过点 P(4，－3)，求 2sinα＋cosα的值； (2)已知角α的终边经过点 P(4a，－3a)(a≠0)，求 2sinα＋cosα的值； (3)已知角α终边上一点 P 与 x 轴的距离与 y 轴的距离之比为 3∶4，求 2sinα＋cosα的值．
A． 2cos 2, 2sin 2
B． 2cos, 2sin
C． cos 2,sin 2 D． 4cos, 4sin
20．下列形式中，正确的是（）
A． 2k 45, k Z
B．
2k
2
2k
,
k
Z
为第二象限的角
C． cos1 tan1 sin1
D． cos1 sin1 tan1
9．点 Acos 2019,sin 2019 在平面直角坐标系中位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．已知角α的终边与单位圆的交点 P
，则 tanα＝( )
A．
B．±
C．
Hale Waihona Puke D．±11．若角α的终边落在 y=-x 上，则 tanα的值为( )
2022-2023学年陕西省西安市高二下学期第3次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年陕西省西安市高二下学期第3次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2log 1M x x =<，集合{}11N x x =-<<，则()M N ⋂=R ð（）A ．(][),11,2-¥-ÈB ．[)1,2C ．()(),11,2∞--⋃D ．()1,2【答案】B【分析】先解出M ，根据补集的运算求出N R ð，然后根据交集的运算，即可得出答案.【详解】解2log 1x <可得，02x <<，所以()0,2M =.又()1,1N =-，所以][(),11,N ∞∞=--⋃+R ð.所以()[)1,2M N ⋂=R ð.故选：B.2．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．5【答案】D【分析】根据复数的乘法运算和模的定义求解.【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以9165z =+=，故选:D.3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x +=-，()()2g x f x =-为奇函数，则()198f =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】由题意推出函数()f x 的周期以及满足等式()()4f x f x +-=，赋值求得()02f =，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为6，又()()2g x f x =-为奇函数，所以()()220f x f x -+--=，所以()()4f x f x +-=，令0x =，得()204f =，所以()02f =,所以()()()198063302f f f =+⨯==，故选：C.4．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA = ，则CE 与BD的夹角为（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°【答案】C【分析】根据给定条件，用向量CA CB,分别表示,CE BD ，再利用向量数量积的运算律求解作答.【详解】在ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，12CD CA =，如图，则12BD CD CB CA CB =-=-，又13BE BA = ，则11221()()33332CE CB BE CB CA CB CA CB CA CB =+=+-=+=+ ，所以2221121()()()032234CA CB CA CB CA C CB E BD ⋅+⋅-=-== ，即CE BD ⊥ ，所以CE 与BD的夹角为90︒.故选：C.5．从甲，乙等五名同学中随机选3人参加社区服务工作，则甲，乙中至少有一人入选的概率为（）A ．310B ．910C ．25D ．35【答案】B【分析】求出甲乙两人都没入选的概率后，由对立事件的概率公式可得结论．【详解】从甲，乙等五名同学中随机选3人的方法数为35C 10=，甲乙两人都没入选只有一种方法，概率为1110P =，因此甲、乙中至少有一人入选的概率为1911010P =-=．故选：B ．6．函数()21sin ()x xx x f x e e --=+的部分图象是（）A ．B ．C．D．【答案】D【分析】先判断()y f x =的奇偶性，排除A 、B ；再取特殊值，排除C ，即可得到正确答案.【详解】()21sin ()x xx x f x e e --=+定义域为R.∵()()()()()221sin 1sin (-)==x x x xx x x x f x f x e e e e ------=--++，∴()y f x =为奇函数，其图像关于原点对称，排除A 、B ；对于CD ，令()0f x =，解得：1231,0,1x x x =-==，即()y f x =有三个零点，如图示，取12x =，有21111222211311sin sin 22142()2f e e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==++，∵112201sin 0,20,e e -⎛⎫>>⎪⎝⎭> ，∴1()02f >.排除C ；故选：D【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．7．党的二十大报告提出了要全面推进乡村振兴，其中人才振兴是乡村振兴的关键．如图反映了某县2017-2022这六年间引入高科技人才数量的占比情况．已知2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量逐年成递增的等差数列，且这四年引入高科技人才的数量占六年引入高科技人才的数量和的一半，2018年与2019年引入人才的数量相同，2019、2021、2022这三年引入高科技人才的数量成公比为2的等比数列，则2022年引入高科技人才的数量占比为（）．A ．30％B ．35％C ．40％D ．45％【答案】C【分析】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m ，m d +，2m d +，3m d +，结合条件可得0.05m d ==，进而即得.【详解】由题可设2017、2018、2020、2021这四年引入高科技人才的数量占比为m ，m d +，2m d +，3m d +，则2019年引入高科技人才的数量占比为m d +，2022年引入高科技人才的数量占比为()23m d +，依题意有460.5m d +=，且()32m d m d +=+，解得0.05m d ==，所以2022年引入高科技人才的数量占比为()2380.4m d m +==．故选：C.8．设函数()()()()1210f x x x x x =+++ ，则(0)f '的值为（）A ．10B ．59C ．10921⨯⨯⨯⨯…D ．0【答案】C【分析】设()(1)(2)(10)g x x x x =+++ ，则()()f x xg x =，利用导数乘法法则求()f x '，由此可得结论.【详解】函数()(1)(2)(10)f x x x x x =+++ 的定义域为R ，设()(1)(2)(10)g x x x x =+++ ，则()()f x xg x =，所以()()()f x g x x g x ''=+⋅所以()()(0)00012...910f g g ''=+⨯=⨯⨯⨯⨯.故选：C.9．若4log 3a =，5log 4b =，0.052c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c<a<b B ．b<c<aC ．a b c<<D ．c b a<<【答案】C【分析】作商并利用基本不等式判断a 、b 大小，构造()21x f x x =--且(1,0)x ∈-，利用导数研究其单调性，进而可得21x x >+在(1,0)-上恒成立得0.0505120.->-+，结合10945>得0.9b >，即可得答案.【详解】由2244444log 3log 5(log 15)log 3log 5()124ab +=⨯<=<，则b a >，由1094104857651953125=<=，则91045<，故91055log 4log 50.9b =<=，对于0.052c -=，令()21x f x x =--且(1,0)x ∈-，则()2ln 21x f x '=-，所以12(,1),ln 2(0,1)2x∈∈，则()0f x '<，即()f x 在(1,0)x ∈-上递减，所以()(0)0f x f >=，故21x x >+在(1,0)-上恒成立，所以0.050.05021.95->-+=，即c b >.综上，a b c <<.故选：C10．已知双曲线C ：22221x y a b-＝（a >0，b >0）的离心率为5，左，右焦点分别为12F F ，，2F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（）A ．2B ．5C ．3D ．4【答案】D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF S S = 求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan bMOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，2222OM OF MF a =-=，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由5e =得5,2c b ==，所以1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯= ，故选：D11．已知函数32()2(1)2f x x x f '=++，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为α，则23sin ()sin()cos()22πππααα+-+-的值为A ．917B ．2017C ．316D ．2119【答案】B【详解】试题分析：2'()34'(1)f x x xf =+，则'(1)34'(1)f f =+，'(1)1f =-，2'()34f x x x =-，'(2)4f =，tan 4α=，23sin ()sin()cos()22πππααα+-+-22sin cos (sin )sin sin cos αααααα=--=+2222222sin sin cos tan tan 4420sin cos tan 14117αααααααα+++====+++．故选B ．【解析】导数的几何意义，诱导公式，同角间的三角函数关系．【名师点睛】已知角α的一个三角函数值求其他三角函数值时，可用同角关系求解，只是有用平方关系时要注意角的范围忆．而已知tan α，求sin cos sin cos a b c d αααα++、2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++的值时，可利用分子、分母同除以cos α、2cos α转化为tan α的表达式，再代入求值．12．已知直线l 1：310x my m +--=与l 2：310mx y m --+=相交于点M ，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且23AB =，则MA MB ⋅的最小值为（）A ．642-B ．32-C ．53+D ．51-【答案】A【分析】根据直线所过定点和12l l ⊥知0ME MF ⋅=，由此得M 轨迹是以()2,2G 为圆心，2为半径的圆（不含点()3,3），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得min ,CD MD ，结合向量数量积的运算律求得MA MB ⋅最小值.【详解】由圆的方程知：圆心()1,1C --，半径2r =；由1:310l x my m +--=得：()()130x m y -+-=，1l ∴恒过定点()1,3E ；由2:310l mx y m --+=得：()()310-+-=m x y ，2l ∴恒过定点()3,1F ；由直线12,l l 方程可知：12l l ⊥，ME MF ∴⊥，即0ME MF ⋅=，设(),M x y ，则()1,3ME x y =-- ，()3,1MF x y =--，()()()()13310ME MF x x y y ∴⋅=--+--= ，整理得：()()22222x y -+-=，即点M 的轨迹是以()2,2G 为圆心，2为半径的圆，又直线2l 斜率存在，M ∴点轨迹不包含()3,3；若点D 为弦AB 的中点，则2MA MB MD +=，位置关系如图：连接CD ，由23AB =知：()22231CD =-=，则()()22min min 21212121221MD MC CD CG =-=--=+++--=-，()()()2MA MB MD DA MD DB MD DA DB MD DA DB∴⋅=+⋅+=++⋅+⋅ ()2232213642MD =-≥--=- （当M 在()1,1处取等号），即MA MB ⋅的最小值为642-.故选：A.二、填空题13．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X （单位：分）服从正态分布()280,N σ，且成绩在[]80,90上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为.【答案】8【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X （单位：分）服从正态分布()280,N σ，知正态密度曲线的对称轴为80x =，成绩在[]80,90上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24168-=.故答案为：814．若函数()()π202e ln1cos d e 1x x f x x x x x=+++++⎰在区间[],(0)k k k ->上的值域为[m ,n ]，则m n +的值是．【答案】2【分析】化简函数()f x ()2e 1ln11e 1xx x x -=+++++，分析函数()()1g x f x =-的奇偶性，结合对称性可求出结果.【详解】因为()()π202e ln1cos d e 1xx f x x x x x =+++++⎰()2e 1ln11e 1x x x x -=+++++，令()()1g x f x =-()2e 1ln1e 1xx x x -=++++，定义域为x ∈R ，()()22e 1e ()ln()1ln1()e 1e 11x x x x g x x x x x g x ----=+-+-=--++=--++，所以()g x 为奇函数，显然在[],(0)k k k ->上连续，由奇函数对称性知：()g x 的最大、最小值关于原点对称，即max min ()()0g x g x +=，所以max min ()()110g x g x m n +=-+-=，则 2.m n +=故答案为：215．已知向量(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，其中0x >，0y >，若a b ⊥ ，则12x y+的最小值为．【答案】4【分析】根据向量运算可得22x y +=，再由均值不等式求解即可.【详解】a b ⊥，(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，220x y ∴-+=，即22x y +=，由0x >，0y >，则121121414(2)4+424222y x y xx y x y x yx y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y x x y=，即21y x ==时等号成立，故12x y+的最小值为4.故答案为：416．如图，已知a ，b 是相互垂直的两条异面直线，直线AB 与a ，b 均相互垂直，且23AB =，动点P ，Q 分别位于直线a ，b 上，若直线PQ 与AB 所成的角π6θ=，三棱锥A BPQ -的体积的最大值为.【答案】233/233【分析】根据直线,,a b AB 三条直线两两垂直，将图形还原为长方体APFE BCDQ -，再根据//AB PC ，可得PQC ∠即为直线PQ 与AB 所成的角的平面角，由此可求得CQ ，从而可得22BC BQ +，再根据棱锥的体积公式结合基本不等式即可得解.【详解】因为直线,,a b AB 三条直线两两垂直，如图，将图形还原为长方体APFE BCDQ -，因为//AB PC ，所以PQC ∠即为直线PQ 与AB 所成的角的平面角，则π6PQC ∠=，因为PC ⊥平面BCDQ ，CQ ⊂平面BCDQ ，所以PC CQ ⊥，在Rt PCQ △中，由23PC AB ==，得2CQ =，所以224BC BQ +=，22113323323323A BPQ P ABQBC BQ V V AB BQ PA BC BQ --+==⨯⨯⋅⋅=⋅≤⋅=，当且仅当2BC BQ ==时，取等号，所以三棱锥A BPQ -的体积的最大值为233.故答案为：233.【点睛】关键点点睛：根据直线,,a b AB 三条直线两两垂直，将图形还原为长方体APFE BCDQ -，从特殊几何体入手是解决本题的关键.三、解答题17．已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且323cos a b c B +=，(1)求cos C 的值；(2)若25,26c a b =+=，求ABC 的面积.【答案】(1)2cos 3C =-(2)5【分析】（1）利用正弦定理与正弦函数的和差公式即可得解；（2）利用余弦定理，结合题设条件求得ab ，从而利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）因为323cos a b c B +=，所以由正弦定理得3sin 2sin 3sin cos A B C B +=，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，所以s 3ssin cos 3sin co 2sin 3in cos B C B B C C B +=+，则3sin cos 2sin 0B C B +=，因为0πB <<，则sin 0B ≠，所以2cos 3C =-.（2）由（1）知2cos 3C =-，由余弦定理得222222242cos ()33c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-，因为25,26c a b =+=，所以202243ab =-，解得6ab =，又0πC <<，则25sin 1cos 3C C =-=，所以ABC 的面积si 12n 5S ab C ==.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当2PD AB =，E 为PB 的中点时，求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)63.【分析】（1）证明出AC ⊥平面PBD ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设1AB =，则2PD =，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，PD ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则AC PD ⊥，BD PD D ⋂=Q ，AC ∴⊥平面PBD ，AC ⊂ 平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PBD .（2）解：设1AB =，则2PD =，因为PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,0,2P 、()0,1,0C 、112,,222E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，()1,0,0CB = ，()0,1,2CP =- ，则020m CB x m CP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2y =，可得()0,2,1m = ，112,,222AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴26cos ,313AE m AE m AE m ⋅===⨯⋅ ，因此，直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为63.19．已知函数()y f x =，若在区间()2,2-内有且仅有一个0x ，使得()01f x =成立，则称函数()f x 具有性质M .(1)若()sin 2f x x =+，判断()f x 是否具有性质M ，说明理由；(2)若函数()2221f x x mx m ++=+具有性质M ，试求实数m 的取值范围.【答案】(1)()f x 具有性质M ，理由见解析(2)23m ≤-或>2m 或0m =【分析】（1）根据定义检验()1f x =在()2,2-内是否有唯一解即可判断.（2）根据()1f x =在()2,2-有解结合根分布可求实数m 的取值范围.【详解】（1）令()sin 21f x x =+=即sin 1x =-，而()2,2x ∈-，故π2x =-，故()f x 具有性质M .（2）由题设22211x mx m +++=在()2,2-上有唯一解，故2220x mx m ++=在()2,2-上有唯一解，设()222h x x mx m =++，若()()220h h -<，因2220x mx m ++=在()2,2-上有唯一解，故()()46420m m +-<，故23m <-或>2m .若()20h -=或()20h =，则23m =-或2m =，而当23m =-时，244033x x --=的另一个根为()22,23x =-∈-，故23m =-符合.当2m =时，2440x x ++=仅有一个根()22,2x =-∉-，故2m =不符合.当()()220h h ->时，因2220x mx m ++=在()2,2-上有唯一解，故()220(2)0Δ48022h h m m m ⎧->⎪>⎪⎨=-=⎪⎪-<-<⎩，整理得到24204602022m m m m m ->⎧⎪+>⎪⎨-=⎪⎪-<<⎩，解得0m =，综上，23m ≤-或m>2或m 0=.20．强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，23，m ，其中01m <<．(1)若23m =，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m 的取值范围．【答案】(1)38，718(2)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二项分布概率的计算公式，以及独立事件求概率的方法，即可求解恰好通过一门科目的概率；（2）考生报考甲大学通过的科目数X 服从二项分布，期望可直接利用公式()E X np =求解，而考生报考甲大学通过的科目数Y 需求出分布列，再求期望，根据()()E Y E X >即可求出m 的取值范围【详解】（1）解：设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A ，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B ，根据题意可得213113()C 228P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，211521217()2636335418P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭.（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X ，报考乙大学通过的科目数为Y ，根据题意可知，1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13()322E X =⨯=，515(0)(1)(1)6318P Y m m ==⨯-=-，115251111(1)(1)(1)636363183P Y m m m m ==⨯-+⨯-+⨯=-，12115211(2)(1)63636392P Y m m m m ==⨯-+⨯+⨯=+，121(3)639P Y m m ==⨯=，则随机变量Y 的分布列为Y 0123P 5(1)18m -111183m -1192m +19m 111215()183936E Y m m m m =-+++=+，若()()E Y E X >，则5362m +>，故213m <<，即m 的取值范围是2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A .(1)求椭圆C 的方程和长轴长；(2)点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点.【答案】(1)椭圆C 的方程为：22163x y +=，长轴长为26(2)证明见解析【分析】（1）利用离心率、椭圆上的点和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，从而得到椭圆方程及长轴长；（2）由AM AN ⊥可得到()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-；假设直线MN 方程，与椭圆方程联立后得到韦达定理的形式，代入垂直关系得到等式中，可整理得到,m k 关系，代入直线MN 方程后可确定所过定点.【详解】（1）由题意得：2222222411a b c c e a a b ⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得：2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为：22163x y +=，长轴长为26；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥ ，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--= ，整理可得：()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-①，当直线MN 斜率k 存在时，设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()222124260k x kmx m +++-=，由()()222216412260k m k m ∆=-+->得：22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+，()()22221212122612m k y y k x x km x x m k -=+++=+，代入①式化简可得：()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=-，则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，当直线MN 斜率k 不存在时，则1221,x x y y ==-，此时22111144y x x -+=-+-，即2211145y x x =-+，又2211163x y +=，解得123x =或2（舍去），此时直线MN 的方程为23x =，过点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点.22．已知函数()1ln f x x x=+，()()g x f x ax =-，其中0a >．(1)证明：()1f x ≥；(2)讨论函数g (x )的单调性；(3)数列{}(N )n a n *∈满足()11)0,1,(n n a a f a +∈=，证明：当1a =时，12230n n n n a a g a a ++++⎛⎫-< ⎪-⎝⎭．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数研究()f x 的单调性，即可证结论；（2）由题得()221,(0)ax x g x x x -+->'=，然后分类讨论，根据导数与函数单调性的关系即得；（3）根据条件及函数的单调性得21n n a a ++<，进而得12230n n n n a a a a ++++->->，然后再结合函数的单调性即得.【详解】（1）由21()x f x x -'=且定义域为()0,∞+，则(0,1)上()0f x '<，()1,+∞上()0f x '>，所以()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，则()(1)1f x f ≥=，得证.（2）函数()1ln g x x ax x =+-的定义域为()0,∞+，且()221,(0)ax x g x x x-+->'=，0a >，由()2210ax x g x x-+-'==，可得210ax x -+-=，Δ14a =-，（i ）当Δ140a =-≤，即14a ≥时，()()0,g x g x '≤在()0,∞+上单调递减；（ii ）当Δ140a =->，即104a <<时，令()0g x '=，得1212114114,,022a a x x x x a a--+-==<<，当x 变化时，()g x '，()g x 变化如下，x 1140,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭114114,22a a a a ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭114,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()g x '-+-()g x 减函数增函数减函数综上：当1a 4≥时，()g x 在()0,∞+上单调递减；当10a 4<<时，()g x 在1141140,,,22a a a a ∞⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减；在114114,22a a a a ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭上单调递增；（3）由题意知1a =时，()()1ln g x f x x x x x=-=+-，由（2）知，()g x 在()0,∞+上单调递减，且()10g =，当()1,x ∈+∞时()()10g x g <=，由（1）知：()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，因为()10,1a ∈，所以()()2111a f a f =>=，()()3211,,1n n a f a a f a +=>=> ，当()1,x ∈+∞时，()()()10f x x g x g -<==，所以()21110n n n n a a f a a ++++-=-<，即21n n a a ++<，又函数()g x 在[)1,+∞时单调递减，所以()()21n n g a g a ++>，即22112111ln ln n n n n n n a a a a a a +++++++->+-，即32210n n n n a a a a ++++>->-，12230n n n n a a a a ++++∴->->，即12231n n n n a a a a ++++->-，所以12230n n n n a a g a a ++++⎛⎫-< ⎪-⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
高二数学下册(必修三)导数 单元测试卷及答案解析
高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分） 若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4． 故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4， 设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ， 可得切线的斜率为k =4m 3−4=0， 解得m =1，n =−3.即A(1,−3)． 故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1， 对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件． 故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)， 所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2， 设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ， 则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)， 即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0， 即2a 3−9a 2+4a =0， 则a(a −4)(2a −1)=0， 解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ， 当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ， 当a =0时，对应的直线方程为y =2x ， 故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)， 即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ， 所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立， 所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数， 则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ； （2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号， 此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。
新疆2020年高二数学第二学期期末模拟考试卷(三)
范文新疆2020年高二数学第二学期期末模拟考试卷(三)1/ 7新疆高二第二学期期末模拟考试卷（三）（考试时间 120 分钟满分 150 分）一、选择题（共 12 道小题，每题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 A={x|x2﹣1≥0}，B={x||x|=1}，则A∩B=（）A．{x|x≥1 或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{﹣1，1}D．? 2．复数 z= ，则 z2 的虚部是（） A．1 B．﹣1 C．i D．0 3．已知命题 p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是（） A．p∨q 为真，p∧q 为真，￢p 为假 B．p∨q 为真，p∧q 为假，￢p 为真 C．p∨q 为假，p∧q 为假，￢p 为假 D．p∨q 为真，p∧q 为假，￢p 为假 4．执行如图所示的程序框图，若输出的 S=88，则判断框内应填入的条件是（） A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4 5．若 x，y 满足约束条件，则 z=x﹣y 的最小值是（） A．﹣3 B．0 C． D．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B．2π C． D． 7．已知函数 y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（） A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣ C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣ 8．（ex+2x）dx 等于（） A．1 B．e﹣1 C．e D．e+1 9．在等差数列{an}中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（） A．58 B．88 C．143 D．176 10．过椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D． 11．A、B、C、D、E 共 5 人站成一排，如果 A、B 中间隔一人，那么排法种数有（） A．60 B．36 C．48 D．24 12．在区间（0，）上随机取一个数 x，则事件“sinx ”发生的概率为（）A． B． C． D．3/ 713．设 F1，F2 是双曲线 =1 的两个焦点，P 在双曲线上，当△F1PF2 的面积为 2 时，的值为（） A．2 B．3 C．4 D．=0.95x+a，以此预测当 x=2 时，y= ． 17．已知 M（2，5），N（3，﹣2），点P 在直线上，且满足 =3 ．则点 P 的坐标为． 18．已知球面上有 S，A，B，C 四点，且SA⊥平面 ABC，∠ABC=90°，SC=2．则该球的表面积为． 19．已知函数 f（x）=x3+x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0 恒成立，则 x 的取值范围为．三、解答题（共 70 分） 20．已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 2（a2+b2﹣c2）=3ab；（1）求；（2）若 c=2，求△ABC 面积的最大值． 21．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且an 是 Sn 与 2 的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点 P（bn，bn+1）在直线 x﹣y+2=0 上．（1）求 a1 和 a2 的值；（2）求数列{an}，{bn}的通项 an 和 bn；（3）设 cn=an?bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 22．通过随机询问某景区 110 名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意单位：名男女总计满意 50 30 80 不满意 10 20 30 总计 60 50 110 （I）从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5 的样本，闷样本中浦意与不满意的女游客各有多少名？（II）从（I）中的 5 名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；（III》很招以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关． 23．如图 ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．求证：（1）PA∥平面 BDE；（2）平面PAC⊥平面 BDE．（3）若 PO=1，AB=2，则异面直线 OE 与 AD 所成角的余弦值． 24．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，且过点 B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线 l：y=k（x+2）交椭圆于 P、Q 两点，若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内，求实数 k 的取值范围． 25．已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m 在什么范围取值时，对于任意的 t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？5/ 726．已知曲线 C 的参数方程为（α 为参数），以直角坐标系原点为极点， Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线 C 的极坐标方程（2）若直线 l 的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．参7/ 7。
高二数学下学期第三次月考试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年贵州省遵义航天中学高二（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•柳州校级一模）已知i为虚数单位，则复数=（） A． 2+i B． 2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：=，故选：C．点评：本题考查复数复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）（2015•兰山区校级二模）设函数f（x）=ln（﹣）的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N等于（）A． {x|x＜0} B． {x|x＞0且x≠1} C． {x|x＜0且x≠﹣1} D．{x|x≤0且x≠﹣1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求函数的定义域，利用交集运算进行求解即可．解答：解：由﹣＞0，得x＜0，即M={x|x＜0}，由1+x≠0得x≠﹣1，即N={x|x≠﹣1}∴M∩N={x|x＜0且x≠﹣1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出函数的定义域是解决本题的关键．3．（5分）（2015•雅安模拟）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（） A． 4 B．﹣4 C． 2 D．﹣2考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．4．（5分）若，则a，b，c大小关系为（） A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞b＞a D． b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：阅读型．分析：由指数函数和对数函数的性质可以判断a、b、c和0、1 的大小，从而可以判断a、b、c的大小解答：解：由对数函数的性质可知：＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，b＞1∴b＞a＞c故选D点评：本题考查利用插值法比较大小，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和取值的特点是解决本题的关键．5．（5分）（2015•郴州模拟）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A． 4 B． 16 C． 256 D． log316考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当a=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=4，当a=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=16，当a=16时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=256，当a=256时，满足退出循环的条件，故输出的a值为256，故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．（5分）（2015•贵州模拟）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．解答：解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD的左视图为③，四面体ABCD的俯视图为②，故四面体ABCD的三视图是①②③，故选：B点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，难度不大，属于基础题．7．（5分）（2015•海淀区模拟）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．8．（5分）春节期间，某单位要安排3位行政领导从初一至初六值班，每天安排1人，每人值班两天，则共有多少种安排方案？（）A． 90 B． 120 C． 150 D． 15考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；探究型．分析：三位领导从初一至初六值班，每天安排1人，每人值班两天，实际上是一个排列问题，可先从6天中任取两天给其中的一人安排，再从剩余的4天中任取两天安排给第二位领导，最后剩余的两天自然安排给第三位．解答：解：设三位领导分别记为A、B、C，则A可从6天中任取两天值班，有中方案，B 从剩余的4天中任取两天，有中方案，剩余的两天安排C，有种方案，根据乘法原理，所以安排方案共有（种）．故选A．点评：本题考查的是排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是明白安排的方案与排序有关，此题也可以先把6天平均分组，然后让三位领导全排列有=90（种）．9．（5分）（2015•佳木斯一模）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A． B． C． 1 D． 2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，PA=3，AB=2，则PA与平面PBC所成角的余弦值为（） A． B． C． D．考点：余弦定理的应用；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间角．分析：设D为BC中点，则A点在平面PBC的射影G在直线PD上，从而∠APD即为PA与平面PBC所成角，在△APD中，由余弦定理可得结论．解答：解：设D为BC中点，则BC⊥平面PAD过A作AG⊥PD，∵BC⊥AG，PD∩BC=∩∴AG⊥平面PBC∴∠APD即为PA与平面PBC所成角在△APD中，AP=3，AD=，PD=2由余弦定理得cos∠APD==故选C．点评：本题考查线面角，考查余弦定理的运用，确定∠APD即为PA与平面PBC所成角，是解题的关键．11．（5分）（2014•郑州模拟）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（1，） C．（1，1+） D．（1+，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为钝角三角形只要∠AF2B为钝角即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选D．点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．12．（5分）（2013•青岛一模）如果f（x）=ax3+bx2+c（a＞0）导函数图象的顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（） A． B． C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．专题：导数的综合应用．分析：由二次函数的图象可知最小值为﹣，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥﹣，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：根据题意得f′（x）≥﹣则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥﹣结合正切函数的图象由图可得α∈[0，）∪[，π），故选D．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13．（5分）二项式的展开式中的常数项为60 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：求出二项式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可得到展开式中的常数项．解答：解：二项式的通项公式为 T r+1=C6r 2r x﹣r=2r C6r，令3﹣=0，解得 r=2．故常数项为4C62=60，故答案为 60．点评：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）（2015•秦安县一模）求函数在区间[]上的最大值．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的正弦与余弦将f（x）=sin2x+sinxcosx转化为f（x）=sin（2x﹣）+，再利用正弦函数的性质即可求得在区间[，]上的最大值．解答：解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+．又x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，∴sin（2x﹣）+∈[1，]．即f（x）∈[1，]．故f（x）在区间[，]上的最大值为．故答案为：．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．15．（5分）（2015春•遵义校级月考）若过点A（0，﹣1）的直线l与曲线x2+（y﹣3）2=12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为．考点：直线与圆相交的性质．分析：用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，再考虑二次项系数为0与不为0讨论，即可求得直线l的斜率的取值范围解答：解：设直线方程为y=kx﹣1（k≠0），根据题意：，消去y整理得（1﹣k2）x2﹣8kx+4=0，当1﹣k2=0即k=±1时，方程有解．当1﹣k2≠0时，∵△≥0，即64k2﹣16（1﹣k2）≥0，∴k∈（﹣∞，﹣]∪]，+∞）．故答案是：．点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．16．（5分）（2015•渝中区校级一模）已知函数f（x）=若a＜b＜c，且f （a）=f（b）=f（c），则3ab+的取值范围是（13，15）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：画出图象得出当f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c时，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化简3ab+=3+c，即可求解范围．解答：解：函数f（x）=，f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，∴3ab+=3+c，13＜3+c＜15，故答案为：（13，15）点评：本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，不等式的运用，属于中档题．三、解答题：（本大题共7个小题，70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．（1）求角B的大小；（2）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：解三角形；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）由两向量共线，得到向量的坐标表示列出一个关系式，根据三角形的内角和定理得到A+C=π﹣B，利用诱导公式化简这个关系式后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到tan2B的值，又三角形为锐角三角形，由B的范围求出2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）根据余弦定理表示出b2=a2+c2﹣2accosB，把（1）求出的B的度数与b的值代入得到一个关于a与c的式子，变形后，根据基本不等式即可求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式，由ac的最大值及sinB的值，表示出三角形ABC的面积，即为三角形面积的最大值．解答：解：（1）∵向量、共线，∴2sin（A+C）（2﹣1）﹣cos2B=0，又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB﹣cos2B，即sin2B=cos2B，∴tan2B=，又锐角△ABC，得到B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，故B=；（2）由（1）知：B=，且b=1，根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，∴1+ac=a2+c2≥2ac，即（2﹣）ac≤1，ac≤=2+，∴S△ABC=acsinB=ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴△ABC的面积最大值为．点评：此题考查了平面向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变形，余弦定理及三角形的面积公式．学生作第二问时注意利用基本不等式求出ac的最大值是解本题的关键．18．（12分）（2015•雅安模拟）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立的实数λ的范围．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，得到，求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式．（2另一类消费求出数列的和，然后结合不等式求出λ≥2016即可．解答：解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，∴当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分）当n≥2时，=6n﹣5…（5分）当n=1时，6n﹣1=1符合∴…（6分）（2）∵，∴=…（10分）∴2T n＜1又∵2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣2015故λ≥2016…（12分）点评：本题考查等差数列的判定，数列求和的方法，数列与函数相结合，以及不等式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2015•秦安县一模）某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率．（2）ξ可取0，1，2，3，4，分别求出其概率，能求出ξ的分布列和期望．解答：解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P（ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P（ξ=2）=++=；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（12分）（2015•秦安县一模）如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；转化思想．分析：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间上角坐标系，（1）设平面SAB的法向量为，利用，得，设SC与平面SAB所成角为θ，通过，求出SC与平面SAB所成角的正弦值为．（2）设平面SAD的法向量为，利用，得．利用，求出平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．解答：解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC=120°，∴∠SDE=30°，又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．则有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）（1）设平面SAB的法向量为，∵．则有，取，得，又，设SC与平面SAB所成角为θ，则，故SC与平面SAB所成角的正弦值为．（9分）（2）设平面SAD的法向量为，∵，则有，取，得．∴，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．（14分）点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．21．（12分）（2015•重庆校级二模）已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0，利用坐标原点到直线AB的距离，以及，可得椭圆的方程．（2）求出椭圆的左焦点，设直线，点M（x1，y1）、N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用点P（x1+x2，y1+y2）在椭圆上，求出m，可得直线l的方程．解答：解：（1）设直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0，坐标原点到直线AB的距离为，又，解得，故椭圆的方程为（2）由（1）可求得椭圆的左焦点为，易知直线l的斜率不为0，故可设直线，点M（x1，y1）、N（x2，y2），因为四边形MONP为平行四边形，所以，联立⇒，因为点P（x1+x2，y1+y2）在椭圆上，所以，那么直线l的方程为．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，设而不求是简化解题的策略．22．（12分）（2015•秦安县一模）已知函数g（x）=f（x）+﹣bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由f′（x）=1+，利用导数的几何意义能求出实数a的值；（2））由已知得g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围；（3）由g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g （x1）﹣g（x2）的最小值．解答：解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∵x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，则μ（0）=[ln（x1+x12﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+x22﹣（b﹣1）x2] =ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（x12﹣x22）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）=ln﹣（﹣），∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣（1+）=＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，由x1+x2=b﹣1，x1x2=1，可得t+≥，∵0＜t＜1，∴由4t2﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0得0＜t≤，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣4）=﹣2ln2，故g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣2ln2．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．。
2022-2023学年高二下学期第三次阶段检测数学试卷
石港中学高二年级2022-2023学年（下）第三次阶段检测数学试卷制卷人： 试做人： 审核人; 满分：150分 答题时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知a 为实数，则“”是“”的( )1a <2a <A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A 【解析】 【分析】本题考查了充分条件和必要条件的判断问题，是基础题． 分别判断充分性和必要性是否成立即可． 【解答】解：因为a 为实数，时满足，充分性成立； 1a <2a <当时不能得出，所以必要性不成立； 2a <1a <“”是“”的充分不必要条件． 1a <2a <故选：.A2.设复数满足，则的虚部是( )z z?(1+2i)=5z A.B. C. D.?2i 22i 【答案】 A 【解析】 【分析】本题考查了复数的概念及复数的运算，属基础题． 【解答】解：由，得， z?(1+2i)=5z =51+2i =5(1?2i )(1+2i )(1?2i )=1?2i 则复数的虚部为．z ?23.平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则a ?b ?a =(6,?8)|?b |=5?b (1,0)?b =( )A. B. C. D.(?3,?4)(4,3)(?4,3)(?4,?3)【答案】 D 【解析】 【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模的坐标运算，属于基础题． 设，则由题意得，解出方程，检验即可． b =(x,y){6x?8y =0x 2+y 2=25【解答】解：设，则由题意得，即，b =(x,y){a ?b=0x 2+y 2=5{6x?8y =0x 2+y 2=25解得或，{x =4y =3{x =?4y =?3设，当时，此时，c =(1,0)?b =(4,3)cos b ,?c ?=b ?c|b||?c|=45>0又因为向量夹角范围为，故此时夹角为锐角，舍去 [0,π];当时，此时，故此时夹角为钝角，b =(?4,?3)故选D ．4.学校音乐团共有人，其中人只会弹吉他，人只会打鼓，人只会唱歌，另有人既能104231弹吉他又会打鼓，现需要名主唱，名吉他手和名鼓手组成一个乐队，则不同的组合方案11共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种36788790【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查两个计数原理、组合的综合应用，属于中档题． 【解答】解：分两种情况考虑：被安排吉他手只会弹吉他，鼓手只会打鼓：，(1)被安排吉他手和鼓手有人既会打鼓又会弹吉他：，(2)1所以安排的方法为． 36+42=785.下列命题错误的是( )A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1B. 设，且，则C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 ^y =^b x +^a(x?,?y )（ D. 随机变量，若，则n =90【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及相关系数，正态分布，回归直线，二项分布等，属于基础题．根据相关系数， 正态分布的特征，线性回归直线的性质，二项分布∽的期望及方差ξB(n,p)计算公式，逐一判断即可． 【解答】解：对于，根据相关系数的意义可知选项正确； A A 对于，，且，B 则，可知B 错误；对于，根据回归直线的性质可知C 正确； C 对于，，可知D 正确．D 故选B ．6.如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的P ABCD?A'B'C'D'BD'∠PDC =60°.λ值为( )A.B.C. D.12222?13?2 2【答案】 C 【解析】【分析】本题考查利用空间向量的夹角求实数值，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是基础题．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐D DA x DC y DD'z 标系，利用向量法能求出的值 λ【解答】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直D DA x DC y DD'z 角坐标系，设正方体的棱长为，ABCD?A'B'C'D'1点在正方体的对角线上，且，P ABCD?A'B'C'D'BD'∠PDC =60°，，则，，，，，A(1,0,0)C(0,1,0)D'(0,0,1)B(1,1,0)，，DC =(0,1,0)，，由，解得．故选：．C7.已知函数满足，且当时，成立，若()f x ()()f x f x =-(,0)x ∈-∞()()0f x xf x +'>，，0.20.2(3)(3)a f =⋅(ln 2)(ln 2)b f =⋅3311(log )(log 99c f =⋅则a ，b ，c 的大小关系是( )A.B. C. D.a b c >>c b a >>c a b >>a c b >>【答案】 A 【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、考查函数的奇偶性、构造法，属于中档题． 令，，可得函数的奇偶性与单调性，进而得出大小关系． ()()g x xf x =x R ∈()g x 【解答】解：令，，()()g x xf x =x R ∈，()()f x f x =- ，即为奇函数， ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--=-=-()g x 当时，，(,0)x ∈-∞()()()0g x f x xf x '=+'>在上单调递增，()g x ∴(,0)-∞又因为为奇函数，函数在R 上为增函数，()g x ∴()y g x =，0.20.20.2(3)(3)(3)a f g =⋅= ，(ln 2)(ln 2)(ln 2)b f g =⋅=，3311(log (log )(2)99c f g =⋅=-即 0.220ln 23.-<<<0.231log 0ln 23.9<<<.a b c ∴>>故选： .A8.概率论起源于博弈游戏世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两.17人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金枚金币，先赢.48局者可获得全部赌金但比赛中途因故终止了，此时甲赢了局，乙赢了局问这枚金币3;21.96的赌金该如何分配数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( ).A. 甲枚，乙枚 B. 甲枚，乙枚 80167224C. 甲枚，乙枚D. 甲枚，乙枚64324848【答案】 B 【解析】 【分析】本题考查相互独立事件概率的应用，难度一般．由题意求出甲获胜的概率是，乙获胜的概率为确定赌金应按来分配，即可求出甲获得34143:1枚金币，乙获得枚金币． 7224【解答】解：根据题意，前三局比赛中，博弈水平相当的甲、乙，即两人获胜的概率均为， 12假设两人继续进行比赛：甲获取枚金币的概率，96乙获取枚金币的概率，96则甲应该获得枚金币；乙应该获得枚金币；二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
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高二下期数学典卷三一．填空题（共2小题）1．（2011秋•迎泽区校级月考）如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA 为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点p的极坐标的轨迹方程．2．（2014秋•信阳期中）已知函数g（x）=lnx+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴（Ⅰ）确定a与b的关系（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性（Ⅲ）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞++…+成立．二．解答题（共25小题）3．（2013•山东）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM 交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．4．（1）在极坐标系中，求以点（1，1）为圆心，半径为1的圆C的方程；（2）将上述圆C绕几点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．5．（2014春•三亚校级期末）点P在椭圆=1上，求点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离．6．（2011春•湖北校级期中）已知直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线（y﹣3）2﹣x2=1交于A、B两点．（I）求线段AB的长；（II）求点P（﹣1，3）到线段AB中点Q的距离．7．（2014•新课标I）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．8．曲线y=x2+1上在点P的切线与曲线y=﹣2x2﹣1相切，求点P的坐标．9．已知曲线y=x3，求（1）过点B（1，1）且与曲线相切的直线方程；（2）过点C（1，0）且与曲线相切的直线方程．10．若一物体运动方程如下（位移：m，时间：s）s=求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；（2）物体的初速度V0；（3）物体在t=1时的瞬时速度．11．（2008•安徽）设函数（x＞0且x≠1）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．12．（2014秋•周口校级月考）已知函数f（x）=3ax4﹣2（3a+1）x2+4x（1）当时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在（﹣1，1）上是增函数，求a的取值范围．13．（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=e x（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣2，﹣1]上，恒成立，求实数a的取值范围．14．（2008•浙江）已知a是实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．15．设a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：．16．（2014秋•临河区校级期中）已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．17．设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．18．（2015春•蠡县校级期末）已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．19．（2010•荔湾区校级模拟）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+）（b+）≥．20．已知S n=1++++…+（n＞1，n∈N*）．求证：S2n＞1+（n≥2，n∈N*）．21．已知复数z=（2x+a）+（2﹣x+a）i，x，a∈R，且a为常数，试求|z|的最小值g（a）的表达式．22．已知α，β满足，试求α+3β的取值范围．23．已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（|φ|＜），且函数y=f（2x+）得图象关于直线x=对称（1）求φ的值；（2）若＜α，且f（α）=，求cos4α得值；（3）若0＜θ＜时，不等式f（θ）+f（θ+）＜|m﹣4|恒成立，试求实数m得取值范围．24．（2015•丹东一模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．25．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C上任意一点到它两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设0为原点．点A为圆C上一点，点B的坐标为（t，2），t∈R，且OA⊥OB，判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明．26．（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．27．（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．高二下期数学典卷三参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的极坐标方程为ρcosθ=5，设A（ρ0，θ0），P（ρ，θ），因点A在直线ρcosθ=5上，故ρ0cosθ0=5，（1）又因三角形OPA为等腰三角形，且∠OPA为120°，而|OP|=ρ，|OA|=ρ0，以及∠POA为30°，∴ρ0=，且θ0=θ﹣30°，（2）把（2）代入（1）得，点P的极坐标的轨迹方程．2．解：（Ⅰ）g（x）=lnx+ax2+bx，则g′（x）=+2ax+b，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，得g′（1）=1+2a+b=0，则b=﹣2a﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g′（x）=，∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴①当a≤0时，2ax﹣1＜0在（0，+∞）上恒成立，由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；②当a＞0时，令g′（x）=0得x=1或x=，若＜1，即a＞时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，由g′（x）＜0得＜x＜1，即函数g（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）单调递减；若＞1，即0＜a＜时，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，由g′（x）＜0得1＜x＜，即函数g（x）在（0，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）单调递减；若=1，即a=时，在（0，+∞）上恒有g′（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a≤0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当0＜a＜时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在（1，）单调递减；在（，+∞）上单调递增；当a=时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞时，函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x2﹣3x在（1，+∞）单调递增，∴lnx+x2﹣3x≥g（1）=﹣2，即lnx≥﹣x2+3x﹣2=﹣（x﹣1）（x﹣2），令x=1+，则ln（1+）＞﹣，∴ln（1+1）+ln（1+）+…+ln（1+）＞1﹣+﹣+…+﹣，∴ln（1+n）＞+++…+．二．解答题（共25小题）3．解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．又，联立得解得，∴椭圆C的方程为．（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，又t+n=2a=4，消去t得到，化为，∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．∴m的取值范围；．（3）证明：设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，则=，∴k==．∵，，∴=，∴==﹣8为定值．4．解：（1）在对应的直角坐标系中，圆心的坐标为（cos1，sin1），∴圆的直角坐标方程为：（x﹣cos1）2+（y﹣sin1）2=1，即x2+y2﹣2xcos1﹣2ysin1=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：ρ2=2ρcos1cosθ+2ρsin1sinθ，∴ρ=2（cos1cosθ+sin1sinθ）=2cos（θ﹣1）．即圆C的方程ρ=2cos（θ﹣1）；（2）将圆C绕极点逆时针旋转，得到圆D：，即ρ=2sin（θ﹣1）．5．解：设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x﹣4y=24的d==，故d的最大值为，最小值为．6．解：（Ⅰ）把直线的参数方程的对应坐标代入曲线方程并化简得6t2+2t﹣1=0…（2分）设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，…（4分）∴线段AB的长为=…（6分）（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得Q对应的参数为=，…（8分）∴点P（﹣1，3）到线段AB中点Q的距离为…（12分）7．解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．8．解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1﹣x02，而此直线与曲线y=﹣2x2﹣1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2﹣x02=0的判别式△=4x02﹣2×4×（2﹣x02）=0．解得x0=±，y0=．∴P点的坐标为（，）或（﹣，）．9．解：（1）设切点为（x0，y0），由题意得y=3x2，y0=x03，则切线的斜率k=3x02，∴切线方程是：y﹣x03=3x02（x﹣x0），①∵切线过点（1，1），∴1﹣x03=3x02（1﹣x0），化简得，2x03﹣3x02+1=0，2（x03﹣1）﹣3（x02﹣1）=0，则（x0﹣1）（2x02﹣x0﹣1）=0，解得x0=1或x0=﹣，代入①得：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0，∴切线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．（2）设切点为（m，n），y=x3的导数为y′=3x2，则切线的斜率为k=3m2，切线的方程为y﹣n=3m2（x﹣m），代入点（1，0），可得n=3m2（m﹣1），又n=m3，即有m3=3m2（m﹣1），解得m=0或1.5，即有切线的斜率为0或6.75．则过点（1，0）且与曲线相切的切线方程为y=0或54x﹣8y﹣54=0．10．解：（1）由已知在t∈[3，5]时，其时间变化量为△t=2，其位移变化量为△s=s（5）﹣s（3）=3×25+2﹣（3×9+2）=48，故所求平均速度为==24m/s；（2）当0≤t＜3时，s=29+3（t﹣3）2=3t2﹣18t+56，由物体做匀变速直线运动的位移公式，可得物体的初速度V0为﹣18m/s；（3）===3△t﹣12，故物体在t=1时的瞬时速度为=（3△t﹣12）=﹣12m/s．11．解：（Ⅰ），若f′（x）=0，则列表如下极大值（Ⅱ）在两边取对数，得，由于0＜x＜1，所以（1）由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，，为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当，即a＞﹣eln212．解：（I ）a=，f（x）=对函数求导可得，f′（x）=2x3﹣6x+4=2（x﹣1）2（x+2）当x＞﹣2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增x＜﹣2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减x=﹣2是函数的极小值f（﹣2）=﹣12，没有极大值（II）∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax3﹣4（3a+1）x+4≥0在（﹣1，1）上恒成立而f′（x）=4（x﹣1）（3ax2+3ax﹣1）∴3ax2+3ax﹣1≤0在（﹣1，1）上恒成立令g（x）=3ax2+3ax﹣1则或或a=0∴或或a=0∴13．解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣e x x2，f（1）=﹣e．f′（x）=﹣（x2+2x）e x，则k=f′（1）=﹣3e．∴切线方程为：y+e=﹣3e（x﹣1），即y=﹣3ex+2e．（Ⅱ）由，得：a．f′（x）=e x（ax2+2ax+a+1）=e x[a（x+1）2+1]．∵a，∴f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，要使恒成立，则，解得a．14．解：（I）f'（x）=3x2﹣2ax．因为f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0．又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1）化简得3x﹣y﹣2=0．（II）令f'（x）=0，解得．当，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f max=f（2）=8﹣4a．当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f max=f（0）=0．当，即0＜a＜3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，f max=．15．证明：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴，∴，∴，∴=即（a=b=时取等号）．16．解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2﹣2x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k﹣1，又因为方程g（x）=x2﹣2x+k有实数解，那么k﹣1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2．（Ⅲ）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+＞1，（n∈N*，n≥2），∴f（1+）＜f（1）=1，∴1+ln（1+）＜1+，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴lnn=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+lnn﹣ln（n﹣1）＜1+++…+，即1+lnn＜2+++…+，而n•f（n）=1+lnn，∴nf（n）＜2+++…+结论成立．17．解：（1）∵f（1）=0，且f′（x）=，∴f（x）=lnx，∴g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+，g′（x）=﹣=，故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故g min（x）=g（1）=1；（2）令F（x）=g（x）﹣g（）=lnx+﹣（ln+x）=2lnx+﹣x，故F′（x）=﹣﹣1=﹣≤0，故F（x）=g（x）﹣g（）在（0，+∞）上是减函数，且当x=1时，F（x）=0，即g（x）=g（），故当0＜x＜1时，g（x）＞g（）；当x＞1时，g（x）＜g（）．18．解：（1）计算得；；；．（2）猜测：．下面用数学归纳法证明①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即．那么，当n=k+1时，S k+1=1﹣（k+1）a k+1，即S k+a k+1=1﹣（k+1）a k+1．又，所以，从而．即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．19．解：因为已知a+b=1，a＞0，b＞0，∴根据基本不等式a+b≥2，∴0＜ab≤，又≥（取等号时a=b=）∴即得．20．证明：（1）当n=2时，左边=1+++=，右边=1+=2，∴左边＞右边（2）假设n=k（k≥2）时不等式成立，即=1++++…+≥1+，当n=k+1时，不等式左边S2（k+1）=1++++…++…+＞1+++…+＞1++=1++=1+，综上（1）（2）可知S2n＞1+对于任意的n≥2正整数成立．21．解：∵复数z=（2x+a）+（2﹣x+a）i，x，a∈R，且a为常数，∴|z|==，∵t=2x+2﹣x≥2，当且仅当x=0时取等号．∴|z|=，∴|z|的最小值g（a）=．22．解设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．比较α、β的系数，得，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．23．解：（1）函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），则y=f（2x+）=sin（4x++φ）=cos（4x+φ），由于函数y=f（2x+）=cos（4x+φ）图象关于直线x=对称，所以：+φ=kπ，解得：φ=kπ﹣，由于|φ|＜，所以：当k=1时，φ=﹣．（2）由（1）得：函数的解析式为：f（x）=sin（2x﹣），由于：，，且f（α）=，所以：sin（2=，cos（2=﹣，则：cos2α=cos（）=﹣=．所以：cos4α=2cos22α﹣1=；（3）f（θ）+f（θ+）=+sin（2=，当0＜θ＜时，，所以：=，不等式f（θ）+f（θ+）＜|m﹣4|恒成立，只需满足|m﹣4|即可．所以：．24．解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，∴不等式的解集为．…（5分）（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…（10分）25．解：（1）∵椭圆C上任意一点到它两焦点的距离之和为4，∴由椭圆的定义可知，2a=4，∴a=2，∵e=，∴c=，∴b=，∴C的方程为=1．（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴=0，即tx0+2y0=0，解得t=﹣．当x0=t时，y0=﹣，代入椭圆C的方程，得t=±．故直线AB的方程为x=±，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y﹣2=（x﹣t），即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又x02+2y02=4，t=﹣．故d==．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．26．解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．27．解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1•k2==﹣1，∴x02+y02=13．把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．。