2016届高三数学复习 第七章 第一节 不等关系与不等式
高考北师大版数学总复习课件：7.1不等关系与不等式
π π 5．(教材改编题)已知－ <α <β < ，则 α－β 的取值范围是 2 2 ________．
[答案] (－π，0) π π π π [解析] ∵－ <α<β < ，∴－ <α< ，α－β<0， 2 2 2 2
π π － <－β< ，∴－π<α－β<0 2 2
6． (2012· 盐城模拟 )已知 a<0，－ 1<b<0，那么 a， ab， ab2 的大小关系是________．
[答案] A
)
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵“a＋c>b＋d”⇒ / “a>b 且 c> d”， ∴充分性不成立； 又“a> b 且 c> d”⇒“a＋c>b＋d”， ∴必要性成立，故选 A.
2．(2012· 泉州模拟)若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的 是( ) A．若 a> b，则 ac2> bc2 B．若 a< b<0，则 a2> ab> b2 1 1 C．若 a< b<0，则 < a b b a D．若 a< b<0，则 > a b
知识梳理 1．比较两个实数大小的法则 设 a， b∈ R，则 (1)a>b⇔ a－b>0 ； (2)a＝ b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔ a－b<0 .
2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b， b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔a＋c>b＋c ； (4)a>b， c>0⇒ ac>bc； a>b， c<0⇒ ac<bc；
第一节 不等关系与不等式-高考状元之路
第一节 不等关系与不等式复习备考资讯◎考纲点击（一）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象一元二次不等式模型．(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式；对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：)0,(2≥≥+b a ab b a (1)了解基本不等式的证明过程，(2)会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．（二)推理与证明1.合情推理与演绎推理（1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的了解合情推理在数学发现中的作用，（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并用它们进行一些简单的演绎推理．（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异，2. 直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解法和分析法的思考过程和特点．（2）了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程和特点。
3．数学归纳法(1)了解数学归纳法的原理．(2)能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．考情分析1．不等关系与不等式以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题．常以选择题的形式考查不等式的性质，主要在其他知识交汇点处命题．2．一元二次不等式及其解法以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式，根的存在性等一元二次不等式经常与数列、函数、解析几何相结合考查参数的取值范围．以选择题、填空题为主，解答题中也会出现．3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题以考查线性目标函数的最值为重点，并同时考查代数式的几何意义（如斜率、距离、面积等）．主要以选择题和填空题的形式考查线性规划，以中、低档题为主，出现在解答题中常与实际问题相联系．4．基本不等式主要考查不等式的应用和不等式的证明，对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大．5．合情推理与演绎推理考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用，主要是以选择题和填空题的形式出现．难度不大，多以中低档题为主．6．直接证明与间接证明主要考查对综合法和分析法的理解和简单的应用，反证法一般不会单独命题．综合法和分析法在历年高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一．选择题、填空题的形式较少，主要是综合法、分析法的思想渗透到解答题中．7．利用数学归纳法证明简单数学命题是高考重点，其中归纳一猜想一证明是高考的热点，常与函数、不等式、数列等知识结合，在知识交汇处命题。
高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理
高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理【考纲要求】1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】、【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1.实数的符号任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。
2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③。
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。
不等式与不等关系不等式的性质基本性质的应用实际背景要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
要点二、不等式的基本性质１．不等式的基本性质（1）（2）（3）（4）２．不等式的运算性质（１）加法法则：（２）减法法则：（３）乘法法则：（４）除法法则：（５）乘方法则：（６）开方法则：要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
基本不等式可以在解题时直接应用。
要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。
2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式（值）的大小例1．已知：,比较和的大小.【解析】∵，，∴∴.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是()A. B. C. D.【解析】取特殊值，代入验证即可【答案】B【变式2】已知,试比较和的大小.【解析】∵，又∵即∴当时，；当时，.【变式3】且，比较与的大小.【解析】作差：(1)当，即时，，此时.(2)当，即(3)当，,此时，其中时取等号.(4)当即时，，此时例2．已知：、,且,比较的大小.【解析】∵、，∴，作商：（*）(1)若a>b>0,则，a-b>0,,此时成立；(2)若b>a>0,则,a-b<0，,此时成立。
第一节 不等关系与不等式
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0， a＋ba－b2 ∴ ≥0. a2b2 a b 1 1 ∴ 2＋ 2≥a＋b. b a a b 1 1 答案： 2＋ 2≥ ＋ b a a b
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m＋n＝4， 则 m－n＝－2， m＝1， 解得 n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10. 即 f(－2)的取值范围为[5,10]．
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第一节
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第一节 备考基础· 查清 1．a>b a＝b a<b 2.b<a an>bn n
不等关系与不等式 a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc
a＋c>b＋d [试一试]
ac>bd
n a> b
1．解析：由性质知选 D. 答案：D 2．解析： 答案：< b＋c a＋c [练一练] > a＋c b＋c
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(2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0， a b ac＋bd ∴ ＋ ＝ ＜0，故②正确． d c cd ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选 C. 法二：取特殊值． 答案：(1)D
高考数学总复习 第七章 不等式 第1节 不等式的性质与一元二次不等式教案 文(含解析)
第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2B.1a <1bC.b a >a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a <b <0，∴a 2>ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析 由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立， 若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0， 综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一 不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析 法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示， 当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二 一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析 因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析 取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析 原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析 由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1， 所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( )A.log 2a >0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析 由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，0<b <1，所以－1<－b <0，又a <b ，所以－1<a －b <0，所以12<2a －b<1，B 错误；因为0<a <b ，所以a b ＋ba >2a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析 因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解 因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式课件 文
类型一 建立不等关系
(2016·湖南模拟)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 108 m2， 靠墙的一边长为 x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为 ________．
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解：设矩形靠墙的一边长为 x m，
5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一 般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商 法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比 较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对 各个参变数的限制．
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解：a，b，c 是实数，若 a＞b＞c＞0，不等式 a＋b＞c 成立；a，b，c 是实数，若 a＞0＞b＞c，不等式 a＋b＞c 成 立；a，b，c 是实数，若 0＞a＞b＞c，a＋b＝c，不等式 a＋ b＞c 不成立，一组整数 a，b，c 的值为负数，依次为－1， －2，－3.故填－1，－2，－3.
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(1)若角 α，β 满足－π2<α<β<π2，则 2α－β 的取值 范围是________．
解：因为－π2＜α＜β＜π2，所以－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2， －π2＜－β＜π2，而 α＜β，所以－π＜α－β＜0，所以 2α－β＝(α
－β)＋α∈－32π，π2.故填－32π，π2.
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类型三 不等式性质的应用
(1)若 1<α<3，－4<β<2，则α2－β 的取值范围是________．
解：由 1＜α＜3 得12＜α2＜32，由－4＜β＜2 得－2＜－β
《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)课件第7章第1节不等式的性质及解法
典例探究学案
不等式的性质
•
适当增加不等式条件使下列命题成
立： • ①若a>b，则ac≤bc； 2>bc2，则a2>b2； • ②若 ac ③若 a> b，则 lg(a＋1)>lg(b＋1)；
a b ④若 a>b，c>d，则d>c .
• [分析] 可对照不等式的性质找出缺少条件．
[解析] ①不等式 a>b 的两边同乘以一个负数，则不等号 改变方向，故若 c≤0 则 ac≤bc 故可增加条件“c≤0”． ②由 ac2>bc2 可得 a>b，但只有 b≥0 时，才有 a2>b2，故可 增加条件“b≥0”． ③由 a>b 可得 a＋1>b＋1 但作为真数，应有 b＋1>0，故应 增加条件“b>－1”． a b ④d>c 成立的条件有多种(如 a>b>0，c>d>0)与性质 6 相关 的一个是 a>b>0，c>d>0 因此，可增加条件“b>0，d>0”．
x>0 x>0，z<0.所以由 y>z
可得 xy>xz，故选 C．
• (4)分类讨论 • (2014·广东东莞一模)设a，b∈R，若a＋ |b|<0，则下列不等式中正确的是( ) • A．a－b>0 B．a3＋b3>0 • C．a2－b2<0 D．a＋b<0 • [答案] D • [解析] 当b≥0时，a＋b<0，当b<0时，a－ b<0，∴a<b<0，∴a＋b<0，故选D．
1 1 (理)(2013· 上海十三校联考)已知a<b<0，给出下面四个不等 式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.其中不正确的不等 式的个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
第7章第1讲 不等关系与不等式
第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式基础知识整合1．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔01a >b ；a －b ＝0⇔02a ＝b ；a －b <0⇔03a <b .另外，若b >0，则有a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab <1⇔a <b .2．不等式的性质(1)对称性：04a >b ⇔b <a ； (2)传递性：05a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c 06>b ＋c ；a >b ，c >d ⇒07a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒08ac >bc ；a >b ，c <0⇒09ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒10ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒11a n >b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a >b >0⇒12na >nb (n ∈N ，n ≥2)．1．a >b ，ab >0⇒1a <1b . 2．a <0<b ⇒1a <1b . 3．a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .4．0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .5．若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .故选A.2．(2019·河南洛阳模拟)若a <b <0，则下列结论不正确的是( ) A.1a >1b B.a －b a >0 C ．a 2<b 2 D ．a 3<b 3答案 C解析 ∵a <b <0，且y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，故a 2>b 2，C 错误．故选C.3．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n D ．m <－n <n <－m答案 D解析 (取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确． 4．(2019·衡阳模拟)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列结论正确的是( ) A ．ac 2<bc 2 B.1a <1b C.b a >a b D ．a 2>ab >b 2答案 D解析 ∵c 为实数，∴取c ＝0，得ac 2＝0，bc 2＝0，此时ac 2＝bc 2，故A 不正确；1a －1b ＝b －a ab ，∵a <b <0，∴b －a >0，ab >0，∴b －a ab >0，即1a >1b ，故B 不正确；∵a <b <0，∴取a ＝－2，b ＝－1，则b a ＝－1－2＝12，a b ＝2，此时b a <ab ，故C 不正确；∵a <b <0，∴a 2－ab ＝a (a －b )>0，∴a 2>ab ，又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，故a 2>ab >b 2，D 正确．故选D.5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<bc 2，则a <b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)． 答案 ②③解析 ①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －bc 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c >0知命题正确．故正确命题的序号为②③.核心考向突破考向一 不等式的性质 例1 (1)(2019·豫西南联考)如果a >0>b 且a 2>b 2，那么以下不等式中正确的个数是( )①a 2b <b 3；②1a >0>1b ；③a 3<ab 2.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 由⎩⎨⎧a 2>b 2，b <0，得a 2b <b 3，①正确；∵a >0，∴1a >0，又b <0，∴1b <0，∴1a >0>1b ，②正确；由⎩⎨⎧a 2>b 2，a >0，得a 3>ab 2，③不正确．故选C.(2)已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使ab >1成立的必要不充分条件是( ) A ．a >b －1 B ．a >b ＋1 C ．|a |>|b | D ．ln a >ln b 答案 C解析由ab>1⇔ab－1>0⇔a－bb>0⇔(a－b)b>0⇔a>b>0或a<b<0⇒|a|>|b|，但由|a|>|b|不能得到a>b>0或a<b<0，即得不到ab>1，故|a|>|b|是使ab>1成立的必要不充分条件．故选C.解决此类题目常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)利用特殊值法排除错误答案．(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．[即时训练] 1.(2019·山西联考)下列选项中，a>b的一个充分不必要条件是()A.1a>1b B．lg a>lg bC．a2>b2D．e a>e b答案 B解析由函数y＝lg x的单调性知lg a>lg b⇔a>b>0⇒a>b，但a>b⇒/lg a>lg b，如a＝1，b＝0.故选B.2．(2019·安徽淮北模拟)若a<b<0，给出下列不等式：①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③1a＋b >1 a>1b.其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析因为a<b<0，所以|a|>|b|>0，所以a2>b2，所以a2＋1>b2，故①正确．又因为－a>－b>0，所以－a＋1>－b＋1>0，所以|1－a|>|b－1|，故②正确．因为a＋b<a<b<0，所以1a＋b >1a>1b，故③正确．所以三个不等式都正确．故选D.精准设计考向，多角度探究突破考向二比较两个数(式)的大小角度1作差法例2(1)(2019·河北邯郸一模)已知a>b>0，m>0，则()A.ba＝b＋ma＋mB.ba>b＋ma＋mC.ba<b＋ma＋mD.ba与b＋ma＋m的大小关系不确定答案 C解析ba －b＋ma＋m＝b(a＋m)－a(b＋m)a(a＋m)＝m(b－a)a(a＋m).因为a>b>0，m>0，所以b－a<0，a＋m>0，所以m(b－a)a(a＋m)<0，即ba－b＋ma＋m<0，所以ba<b＋ma＋m.(2)若x>0且x≠1，p，q∈N＋，则1＋x p＋q与x p＋x q的大小关系为________．答案1＋x p＋q>x p＋x q解析1＋x p＋q－(x p＋x q)＝(1－x p)(1－x q)．若x>1，则1－x p<0,1－x q<0，∴(1－x p)(1－x q)>0，即1＋x p＋q>x p＋x q；若x<1，则1－x p>0,1－x q>0，∴(1－x p)(1－x q)>0，即1＋x p＋q>x p＋x q.综上，1＋x p＋q>x p＋x q.角度2作商法例3 (1)设a ，b 都是正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a 的大小关系是________． 答案 a a b b >a b b a解析 a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b .若a >b ，则ab >1，a －b >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ； 若a <b ，则a b <1，a －b <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a .(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“>”或“<”)． 答案 <解析 易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89>1，所以b >a . 角度3 特殊值法例4 (1)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 采用特值法进行求解验证即可，若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .(2)若实数x ，y 满足x 2<y 2，则下列不等式成立的是( ) A ．x <y B ．－x <y C.1x <1yD ．|x |<|y |答案 D解析当x＝1，y＝－2时，有x2<y2，但x>y，故A错误；当x＝－1，y＝－2时，有x2<y2，但－x>y，故B错误；当x＝1，y＝－2时，有x2<y2，但1x>1y，故C错误；若x2<y2，则有x2<y2，即|x|<|y|，故D正确．故选D.角度4中间量法例5(1)(2019·四川宜宾模拟)已知实数a＝ln (ln π)，b＝ln π，c＝2ln π，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案 A解析因为e<π<e2，所以ln π∈(1,2)，即b∈(1,2)．由ln π∈(1,2)，得a＝ln (ln π)∈(ln 1，ln 2)，而ln 2<ln e＝1，所以a∈(0,1)．由2ln e<2ln π<2ln e2，得c∈(2,4)．所以a<b<c.故选A.(2)若0<a<b<1，则a b，log b a，log 1a b的大小关系是________．答案log1a b<ab<log b a解析∵0<a<1，∴1a>1.又0<b<1，∴log1a b<log 1a1＝0.∵0<ab<a0＝1，log b a>log b b＝1，∴log1a b<ab<log b a.角度5单调性法例6(1)已知实数a，b∈(0,1)，且满足cos aπ<cos bπ，则下列关系式成立的是()A．ln a<ln b B．sin a<sin bC.1a<1b D．a3<b3答案 C解析 因为a ，b ∈(0,1)，则a π，b π∈(0，π)，而函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，因为cos a π<cos b π，所以a π>b π，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝x 3在(0,1)上均为增函数，知只有C 正确．(2)(2019·江南十校模拟)若b >a >3，f (x )＝ln xx ，则下列各结论中正确的是( ) A ．f (a )<f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 B ．f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (b ) C ．f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (a ) D ．f (b )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (ab ) 答案 D解析 因为b >a >3，所以3<a <ab <a ＋b 2<b .又f ′(x )＝1－ln xx 2，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，又3>e ，则有f (b )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<f (ab )<f (a )，故选D.(1)作差法的步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法的步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特殊值法比较大小的思路利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选择项两数(式)大小是确定的，如果出现两数(式)大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值进行检验；赋值应该满足前提条件；当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．(4)中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f (x )＝log a x 的单调性判断其与f (1)，f (a )的大小．(5)①利用函数的性质比较数、式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；②通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较；③导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式，同时增大了解题难度，值得我们关注和重视．[即时训练] 3.(2019·大庆模拟)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则() A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a答案 A解析∵a＝log3π>log33＝1，b＝log23<log22＝1，∴a>b，又bc＝12log2312log32＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.故选A.4．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________．答案T1<T2解析T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0，所以T1<T2.5．已知a>0，b>0，且a≠b，试比较a a b b与(ab)a＋b2的大小．解∵a>0，b>0，∴a a b b(ab)a＋b2＝a(a－a＋b2)b(b－a＋b2)＝aa－b2bb－a2＝⎝⎛⎭⎪⎫aba－b2，若a >b >0，则ab >1，a －b >0. 由指数函数的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1；若b >a >0，则0<ab <1，a －b <0. 由指数函数的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.∴a a b b (ab )a ＋b 2>1，∴a a b b>(ab )a ＋b 2.考向三 不等式性质的应用例7 (1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2解析 因为－π2<α<β<π2，所以－π2<α<π2，－π2<β<π2，－π2<－β<π2，而α<β，所以－π<α－β<0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.(2)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．答案 (3,8)解析 解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ， 对应系数相等，则⎩⎨⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3,8)． 解法二：令⎩⎨⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2.∴2x －3y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3,8)．利用不等式性质求代数式的取值范围由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围．[即时训练] 6.若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．答案 27解析 解法一：由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，得2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.解法二：设x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y m (xy 2)n，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以⎩⎨⎧ 2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－1.又16 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值为27.7．已知12<a <60,15<b <36，求a －b 与ab 的取值范围． 解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45.∵15<b <36，∴136<1b <115， ∴1236<a b <6015，∴13<a b <4.∴a －b 和a b 的取值范围分别是(－24,45)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.课时作业1．(2019·绵阳诊断)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >bd B.a c <bd C.a d >b c D.a d <b c答案 D解析 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c >0，所以a d <bc ，故选D.2．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .故选B.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (c －a )>0答案 C解析 由题意知c <0，a >0，则A ，B ，D 一定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C.4．设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A ．2a －b B.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析 解法一：(特殊值法)取a ＝2，b ＝1，代入验证，可得D 选项中⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b <1.解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<ba <1. 由指数函数性质知，D 成立．5．已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a 答案 D解析 由于每个式子中都有a ，故先比较1，b ，b 2的大小．因为－1<b <0，所以b <b 2<1.又因为a <0，所以ab >ab 2>a .故选D.6．(2019·河北石家庄模拟)设x ，y ∈R ，则“x >y >0”是“xy >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为x >y >0，所以1y >0，所以x ·1y >y ·1y ，即x y >1，所以“x >y >0”是“x y >1”的充分条件；当x ＝－2，y ＝－1时，x y >1，但x <y <0，所以“x >y >0”不是“xy >1” 的必要条件．故选A.7．(2019·武汉二模)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又因为d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .8．(2019·烟台市高三上学期期末)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a <1b B.1a －b >1bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．a 3>b 3答案 C解析 若a <b <0，则1a >1b ，A 错误；a －b <0，则a －b 与b 大小关系不确定，B 错误；由指数函数的性质，知⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 成立，C 正确；由幂函数的性质，知a 3<b 3，D 错误．故选C.9．有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db >0； ②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；∵ab >0，c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，c a －d b >0，即bc －ad ab >0，∴ab >0，∴③正确．故选D.10．(2019·广西联考)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <y <zB ．z <y <xC ．y <z <xD ．y <x <z答案 D解析 显然0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>1，所以y <x <z ，故选D.11．(2019·福州模拟)下面四个条件中，使a >b 成立的充要条件是( ) A ．|a |>|b | B.1a >1b C ．a 2>b 2 D ．2a >2b 答案 D解析 解法一：a >b ⇒/ |a |>|b |，如a ＝2，b ＝－5，故A 错误；a >b ⇒/ 1a >1b ，如a ＝2，b ＝1，故B 错误；a >b ⇒/ a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－3，故C 错误．选D.解法二：∵y ＝2x 是单调增函数，∴a >b ⇔2a >2b .故选D.12．(2019·重庆模拟)已知a ＝x 2＋x ＋2，b ＝lg 3，c ＝e －12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 答案 D解析 a ＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋2－14>1，b ＝lg 3<lg 10＝12，c ＝e －12＝1e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.所以b <c <a .故选D. 13．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．答案 ①④ 解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.14．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.又1<α<3，∴－3<α－|β|<3. 15．(2019·甘肃兰州模拟)设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是________．答案 c解析 解法一：b －a ＝1＋x －2x >1＋x －2x ＝(x －1)2≥0，∴b >a ，c －b ＝11－x －(1＋x )＝x 21－x>0，∴c >b ，∴c >b >a .所以c 最大． 解法二：取x ＝18，则a ＝12，b ＝1＋18，c ＝87＝1＋17，显然c 最大． 16．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．答案 (1)130 (2)15解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x ＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元)．(2)由题意知，当x 确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.17．(2020·湖北龙泉中学模拟)已知1≤lg (xy)≤4，－1≤lg xy≤2，求lgx2y的取值范围．解令lg x2y ＝m lg (xy)＋n lg xy＝lg (x m y m)＋lg x ny n＝lg xm＋ny n－m.∴⎩⎨⎧m＋n＝2，m－n＝－1，解得m＝12，n＝32.∴lg x2y ＝12lg (xy)＋32lgxy.∵1≤lg (xy)≤4，∴12≤12lg (xy)≤2.又－1≤lg xy≤2，∴－32≤32lgxy≤3，∴－1≤12lg (xy)＋32lgxy≤5，∴－1≤lg x2y≤5.故lg x2y的取值范围是[－1,5]．。
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第一节 不等关系与不等式
A组 专项基础测试
三年模拟精选
一、选择题
1．(2015·北京昌平区期末)已知a>b>0，则下列不等式成立的是( )
A．a2
C．|a|<|b| D．2a>2b
解析 利用不等式的性质，选D.
答案 D
2．(2015·威海一模)若a>b，则下列不等式成立的是( )
A．ln a>ln b B．0.3a>0.3b
C．a12>b12 D.3a>3b
解析 因为a>b，而对数函数要求真数为正数，所以ln a>ln b不成立；
因为y＝0.3x是减函数，又a>b，则0.3a<0.3b，故B错；
当a＞b＞0时，a>b，则a12＞b12，故C错；
y＝x13在(－∞，＋∞)是增函数，又a>b，则a13>b13，即3a>3b
成立，选D.
答案 D
3．(2014·景德镇4月模拟)设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lge，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析 0 又b＝(lg e)2 logb1b 解析 若1 A.－12，32 B.－32，12 －4y－3＜0，解得－12＜y＜32，故选A. A．a＋1b>b＋1a B.ba>b＋1a＋1 C．a－1b>b－1a D.2a＋ba＋2b>ab 故选A. 8．(2015·江西师大模拟)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为( ) ①a>b⇒an>bn(n∈N*)；②a>|b|⇒an>bn(n∈N*)；③a ③a 解析 ∵－π2<α<β<π2， ∴ab2＋ba2≥1a＋1b. 解 由1≤lg xy≤2，2≤lg x3y≤3变形， ∴lg x33y的取值范围是2615，3.
答案 B
二、填空题
4．(2014·福建厦门4月调考)设a>b，(1)ac2>bc2；(2)2a>2b；(3)1a<1b；(4)a3>b3；(5)a2>
b
2
中正确的结论有________．
解析 若c＝0，(1)错；若a，b异号或a，b中有一个为0，(3)(5)错．
答案 (2)(4)
5．(2014·三门峡二模)给出下列条件：①1
故条件②成立；若0
答案 ②
一年创新演练
6．在R上定义运算“*”：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)＜1对一切实数x恒成
立，则实数y的取值范围是( )
C．(－1，1) D．(0，2)
解析 由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]＜1对一切实数x恒成立，所以
－x2＋x＋y2－y－1＜0对于x∈R恒成立，所以12－4×(－1)×(y2－y－1)＜0，所以4
y
2
答案 A
B组 专项提升测试
三年模拟精选
一、选择题
7．(2014·武汉二模)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
解析 检验法：取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－1x是(0，
＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋1x在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增．所以，当
a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立．但g(a)>g(b)未必成立，所以a－1a>b－1b⇔a＋1b>b
＋1a，
答案 A
A．pq D．p≥q
解析 因为p－q＝b2a＋a2b－a－b＝（b－a）2（b＋a）ab≤0，所以p≤q，选B.
答案 B
二、填空题
9．(2014·青岛质检)给出以下四个命题：
其中真命题的序号是________．
解析 ①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，①不成立；②a>|b|，得a>0，∴an>bn成立；
答案 ②③
10．(2014·聊城模拟)若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．
∴－π<α－β<0.又－π2<α<π2，
∴－3π2<α＋(α－β)<π2，
即－3π2<2α－β<π2.
答案 －3π2，π2
11．(2014·南昌模拟)已知a＋b>0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．
解析 ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2
＝(a－b)1b2－1a2＝（a＋b）（a－b）2a2b2.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴（a＋b）（a－b）2a2b2≥0.
答案 ab2＋ba2≥1a＋1b
一年创新演练
12．已知1≤lg xy≤2，2≤lg x3y≤3，求lg x33y的取值范围．
得1≤lg x－lg y≤2，2≤3lg x－12lg y≤3，
令lg x－lg y＝a，3lg x－12lg y＝b，
解得lg x＝2b－a5，lg y＝2b－6a5.
∴lg x33y＝3lg x－13lg y
＝3·2b－a5－13·2b－6a5
＝1615b－15a.
由1≤a≤2，2≤b≤3，
得－25≤－15a≤－15，3215≤1615b≤165.
∴2615≤1615b－15a≤3，
即2615≤lg x33y≤3.