第02讲 逻辑函数的化简：代数法
逻辑函数代数法化简
A B AB AB A B
逻辑函数代数法化简
代数法化简方法：
• 消项法： 利用A+AB=A消去多余的项AB
• 消元法： 利用
消去多余变量A
• 并项法： 利用A(A+B)=AB AB+AB=A并项
• 配项法： 利用
和互
补律、重叠律， 先增添项，再化简：
例1： 化简逻辑函数 F AB AC ABC
F AB AC ABC
A(B C BC) …提取公因子A A(B C B C) …应用摩根定律
AB AB A
A
…消去互非变量，并项。
逻辑函数代数法化简
例2： 利用公式A+A=A配项
F ABC ABC ABC ABC (ABC ABC ) (ABC ABC ABC ABC) AB AC BC
小结
代数法化简函数，就是借助于公式、定理、 规则实现函数化简。适用于变量较多的函数。 但是没有一定的规律可循，要熟记公式，凭 借经验。
数字电子技术
数字电子技术
逻辑函数代数法化简
1、逻辑函数化简意义
1）所用的元器件少 2）器件间相互连线少
成本低，速度高
3）工作速度高
这是中小规模逻辑电路设计的基本要求。
逻辑函数代数法化简
2、逻辑函数化简方法
方法
代数法化简
最简标准：1）乘积项最少 2）每一项因子最少
卡诺图法化简
逻辑函数代数法化简
基本公式
A AB A A(A B) A A (AB) A B
逻辑函数化简(代数化简法)
4）最第二简章或逻非辑-或代数非基表础达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或 非表达式。
Y = AB + AC = (A+B)(A+C) = (A+B)(A+C) = A+B+A+C
②两次取反
①求最简或与-或与表达式
③用摩根定律去 掉下面的大非号
５）最简与或非表达式
第二章 逻辑代数基础
第四讲
逻辑函数表达式的化简
第二章 逻辑代数基础
上讲内容回顾
• 逻辑函数表达式的标准形式
最小项 最大项
• 逻辑函数表达式的转换
第二章 逻辑代数基础
本讲内容
内容： 逻辑函数的公式化简法
目的与要求： 理解化简的意义和标准； 掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用； 掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。
②A+AB＝A ③A+AB＝A+B
· A+AB=A(1+B)=A 1=A · A+AB=(A+A)(A+B)=1 (A+B)=A+B
④AB+AC+BC＝ AB+AC
原式=AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) AB+AC
第④式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC
第二章 逻辑代数基础
（3）摩根定律 又称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。 A•BAB ABA•B
第二章 逻辑代数基础
第二章 逻辑函数及其简化
L 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 求函数 L AC B D 的反函数：
解： L ( A C) ( B D) 例 求函数 解：
L A B D
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；
A B
如：串联开关电路
逻辑符号和表达式
A B C
P
P = A ·B · C=A×B ×C = A B C
&
真值表：列出输入的所
有状态和输出值。
逻辑1: 表示开关”闭”,灯的” 亮”. 逻辑0: 表示开关”断”,灯的”
A B
断 断 断 闭 闭 断 闭 闭
P
灭 灭 灭 亮
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
B
逻辑符号和表达式
A B C ≥1
真值表：
A B 0 0 0 1 P 0 1 1 1
P = A + B+ C
或逻辑也称逻辑加运算，相当于 集合中的并集，根据并集的概念， 不难确定逻辑加的运算规则： A+B = P 0+ 0 = 0 0+ 1 = 1 1+ 0 = 1
A B P 00 0 0 1 1 1 0 1
第二章 逻辑函数及其简化
2.1 基本概念
2.2 逻辑代数 2.3 逻辑函数的表示方法 2.4 代数法化简逻辑函数 2.5 逻辑函数的卡诺图化简
2.1 基本概念
逻辑门电路：在数字电路中，实现逻辑运算功能的电路。 如：与门、或门、非门。 逻辑状态：在数字电路中；把一个状态分为两种，一种 状态叫逻辑1，另一种状态叫逻辑0 。
名称
用代数法化简逻辑函数
用代数法化简逻辑函数一、引言逻辑函数是计算机科学中的重要概念之一，它是由一个或多个逻辑变量构成的表达式。
在实际应用中，我们需要对逻辑函数进行化简，以便更好地理解和优化电路设计。
本文将介绍代数法化简逻辑函数的方法。
二、基本概念1. 逻辑变量：指只能取两个值（真或假）的变量。
2. 逻辑运算：指对逻辑变量进行操作的运算符，包括非（NOT）、与（AND）、或（OR）等。
3. 逻辑表达式：由逻辑变量和逻辑运算符组成的表达式。
三、代数法化简方法1. 布尔代数定律布尔代数定律包括以下几种：（1）结合律：A AND (B AND C) = (A AND B) AND C；A OR (B OR C) = (A OR B) OR C。
（2）交换律：A AND B = B AND A；A OR B = B OR A。
（3）分配律：A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C)；A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C)。
（4）吸收律：A OR (A AND B) = A；(A OR B) AND A = A。
（5）恒等律：A AND 1 = A；A OR 0 = A。
（6）补充律：A OR NOT A = 1；A AND NOT A = 0。
2. 化简步骤化简逻辑函数的基本步骤如下：（1）将逻辑函数写成标准形式；（2）应用布尔代数定律进行化简；（3）使用代数运算法则进行化简；（4）使用卡诺图进行化简。
四、例子假设有一个逻辑函数F(A,B,C)=AB+BC+AC，要将其化简为最简形式。
步骤如下：（1）将逻辑函数写成标准形式：F(A,B,C)=(A AND B) OR (B AND C) OR (A AND C)。
（2）应用布尔代数定律进行化简：F(A,B,C)=(A AND B) OR (B AND C) OR (A AND C)=(A AND B) OR (B AND C)=(B AND (A OR C)) OR (A AND B)（3）使用代数运算法则进行化简：F(A,B,C)=(B AND (A OR C)) OR (A AND B)=(AB OR BC) OR AC=AB+BC+AC因此，原来的逻辑函数F可以被化简为最简形式AB+BC+AC。
第2章逻辑函数及其化简
2.1.1 逻辑代数的基本运算
• 逻辑代数的基本运算有三种：与（AND）、或（OR）和非（NOT）运算 1．与逻辑 • 一个事件受到若干条件影响，如果决定事件的所有条件具备，其事件
才会发生，有一个条件不具备，事件也不会发生，这样的逻辑关系称 为“与”逻辑，也叫逻辑乘。 • 开关A、B闭合为1、断开为0、灯Y亮为1、灯灭为0。开关与灯之间的 对应关系称为与逻辑。 • 与逻辑的运算规律为0·0 = 0， 0·1 = 0， 1·0 = 0， 1·1 = 1。 • 与逻辑真值表
• 每一个最小项只有一组变量取值使其为1，其余变量的取值组合都使 其为0。使 ABC 为1的变量取值为010。
（2）最小项的性质 • 最小项的性质： • ① 对于n个变量的任意一组取值组合，每个最小项都有一个取值组合
使其值为1，其余取值组合均使该最小项为0。 • ② 任意两个不同最小项的乘积为0。 • ③ n个变量的所有最小项之和为1。 • ④ 相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有一个
因为BC项是多余项，所以包含BC的乘积项都可以被吸收。
【例2.6】 证明等式 AB AC (A C)(A B)
解：右边
(A C)(A B) AA AB AC BC
AB AC BC AB AC
成立。
右边右边等于左边，证明等式成立。
2.2.2 逻辑代数运算的基本规则
• 只有开关A、B都断开时，灯Y才熄灭。
• 或逻辑的运算规律为0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1
• “+”号表示逻辑加，或运算。
• 或逻辑的表达式
• 或逻辑真值表
Y AB
AB
逻辑函数的公式法化简
=AB + ABC
=AB + C
数字电路与逻辑设计
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School of Electronic Engineering
厚夜博学
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
数字电路与逻辑设计
! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
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第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
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1.1 逻辑函数的代数(公式)化简法
逻辑函数的代数（公式）化简法代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。
因此化简时，没有固定的步骤可循。
现将经常使用的方法归纳如下：①吸收法：根据公式A+AB=A 可将AB 项消去，A 和B 同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。
()F A A BC A BC D BC =+⋅⋅+++例：化简()()()()()()F A A BC A BC D BCA A BC A BC D BCA BC A BC A BC D A BC=+⋅⋅+++=+++++=+++++=+解:现将经常使用的方法归纳如下：②消因子法：利用公式A+AB=A +B 可将AB 中的因子A 消去。
A 、B 均可是任何复杂的逻辑式。
1F A AB BEA B BE A B E=++=++=++例：2()F AB AB ABCD ABCDAB AB AB AB CDAB AB AB ABCDAB AB CD=+++=+++=+++=++现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(1)：运用公式A B +AB=A 可以把两项合并为一项，并消去B 和B 这两个因子。
根据代入规则，A 和B 可以是任何复杂的逻辑式。
例：化简F BCD BCD BCD BCD=+++()()()()F BCD BCD BCD BCDBCD BCD BCD BCD BC D D BC D D BC BC B=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：1()1F ABC ABC BCA A BC BCBC BC =++=++=+=现将经常使用的方法归纳如下：③合并项法(2)：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。
例：2()()()()F A BC BC A BC BC ABC ABC ABC ABCAB C C AB C C AB AB A=+++=+++=+++=+=现将经常使用的方法归纳如下：例：1()()()()()(1)(1)()F AB AB BC BCAB AB C C BC A A BCAB ABC ABC BC ABC ABCAB ABC BC ABC ABC ABC AB C BC A AC B B AB BC AC=+++=+++++=+++++=+++++=+++++=++④配项法:将式中的某一项乘以A+A 或加A A ，然后拆成两项分别与其它项合并，进行化简。
逻辑函数的代数法化简
逻辑函数的代数法化简一、逻辑函数的最简形式在开展逻辑运算时同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。
例如：逻辑式越是简单，它所表示的逻辑关系越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个函数。
因此常常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式。
表达式“繁——简”区分标准：u 积之和式：和项越少越好，每个积项中变量个数越少越好u 和之积式：积项越少越好，每个和项中变量个数越少越好由于逻辑代数的基本公式和常用公式多以与——或形式给出，用于化简与——或逻辑函数比较方便，所以一般主要讨论与——或逻辑函数的化简。
有了最简与——或逻辑函数后，再通过公式变换就可以得到其他类型的函数式了。
终究应该将函数式变换成什么形式，要视所用门电路的功能类型而定。
但必须注意，将最简与——或式直接变换为其他形式逻辑式时，得到的结果不一定也是最简的。
二、常用的化简方法代数（公式）化简法的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式得最简形式。
公式化简法没有固定的步骤。
现将经常使用的方法归纳如下。
1. 并项法利用公式可以将两项合并为一项，并消去这一对因子。
而且，根据代入定理可知, 都可以是任何复杂的逻辑式。
例：2. 吸收法利用公式可将项消去。
和同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。
例：3. 消项法利用公式及将或消去。
其中A、B、C、D都可以是任何复杂的逻辑式。
例：4. 消因子法利用公式可将中的消去。
均可以是任何复杂的逻辑式。
例：5. 配项法u 根据基本公式中的可以在逻辑函数式中重复写入某一项，有可能获得更加简单的化简结果。
例：。
解：若在式中重复写入，则可得到u 根据基本公式中的可以在逻辑函数式中的某一项上乘以，然后拆成两项分别于其他项合并，有时能得到更加简单的化简结果。
例：。
解：利用配项法可将Y写成u 在化简复杂的逻辑函数时，往往需要灵活、交替地综合运用上述方法，才能得到最后的化简结果。
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用与门、或门和非门进行逻辑综合
行号 0 1 2 3 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f(x,y) 0 1 1 1
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
优化结果
f xy xy xy
(1 16)
f x y
(1 17)
公式法化简逻辑函数
f1 x2 x3
逻辑代数的基本规则（续）
反演规则：德·摩根定律的一般形式称为反 演规则
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
x n x n1 ... x i ... x 2 x 1 x n x n1 ... x i ... x 2 x 1
0 0
x2
0
x3
0 1 0 1
f0
1 0 1 1
x3
0 1 0 1 0 1 0 1
f 0
1 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1
0
1 1 0 0
f 0 x2 x3 x2 x3 x2 x3
x1 x2
0
x3
0 1 0 1
f1
0 0 1 0
1
1 1
1
0 1 1
f x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x（ x（ 1 x2 x3 x2 x3 x2 x3 ） 1 x2 x3） x1 f 0 x1 f1
（配项法，式1 - 5b）
( 结合律，式1 7b ) ( 吸收率，式1 10b）
公式法化简逻辑函数（续）
优点：
用逻辑表达式描述数字电路的功能，是理论上的 重大贡献。 优化逻辑表达式 优化逻辑电路。 化简过程无一定规律可循，需要经验和技巧，灵 活、交替地使用各种方法。 不易判断是否已经达到最简形式 。 需要寻找更好的方法。
5. 配项法：利用互补律，基本公式（1－5b）
f xy xyz yz x y x y z y z( x x) xy xyz xyz xyz (xy x y z) (x y z x y z) xy xz
（吸收律合并乘积项， 式 1 - 11a）
逻辑代数的基本规则
对偶规则的应用 ：
① 设函数 f 的对偶式记作 f′，函数 g 的对偶式记作g′。若函数 f 与g 等 价，则其对偶式 f′与 g′也等价。 ② 对函数 f 执行2 次对偶变换，将得到函数 f 本身。
代入规则：
对于一个已经成立的等式，若将其中某个变量 x 用另一个逻辑表达 式 f 代替，则等式仍然成立。
逻辑代数的基本公式和运算规则
逻辑代数的基本公式：
逻辑代数的基本公式
逻辑代数的基本公式
逻辑代数的基本公式与对偶性
上述公式具有对偶性：
把 a 组公式中的运算符“·”替换成“+”，把运算符“+” 替换成 “·”，把常数 0 替换成 1，把常数 1 替换成 0，将 得到 b 组的对应公式。 对 b 组中的公式作同样的替换，将得到 a 组的对应公式。
【证】
x y xz y z x y x z [ x ( y z) x ( y z) ] [ x y x ( y z ) ] [ x z x ( y z )] [ ( x y ) ( x y ) z ] [ ( x z ) ( x z) y ] x y xz [根据公式（1 11a） ] [根据公式（ 1 7 b） ] [根据公式（ 1 6a） ] [根据公式（ 1 10b） ]
子函数（f0, f1）的变量个数减少！
xi f 0 ( x1 , x2 , ... , xi 1 ,0, xi 1 , ... , xn ) xi f1 ( x1 , x2 , ... , xi 1 ,1, xi 1 , ... , xn )
逻辑代数的基本规则
分解规则应用举例：
x1 x1 x2
0 1 1 1
x
0
y
0 1 0 1
g x y
0 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1
（a）函数 f 的真值表
（b）函数 g 的真值表
公式证明举例
【例1.3】 用公式法证明公式（1- 13a）的正 确性。
x y x z y z x y x z （ 1-13a)
求最简的“积之和”表达式：足上述条件下，每个乘积项所含变量个数最 少。
举例：
1. 合并乘积项法：利用基本公式（1－11a）
f x y z x y z (x y ) z (x y ) z (x y ) x y
2. 吸收法：利用基本公式（1－10b）
f xyz xyz xyz xyz (x y z x y z x y z ) x y z x y z x y z （x y z x y z ) ( x y z x y z ) ( x y z x y z ) xy x z y z （添加项） （结合律，式1 7b）
公式证明举例
【例1.2】 用真值表法证明公式（1- 9b）的正 （ 1- 9b) 确性。 x ( x y ) x y 令等式两边的逻辑表达式分别用函数 f 和 g 表 示： f x x y , g x y
完全相同
x
y
x
1 1 0 0
xy
0 1 0 0
f xxy
f x y x y z( w v ) ( x y ) ( x y ) [ z ( w v ) )] ( x y ) x y
3. 消去法：利用基本公式（1－9b）
f xy (xy ) z xy z
公式法化简逻辑函数（续）
举例：
4. 添加项法：利用基本公式（1－4b）
缺点：
香农展开定理（Shannon’s Expansion Theorem）可称为分解规 则，即任何一个逻辑函数 f ( x1 , x2 , ... , xi1 , xi , xi1 , ..., xn ) 都可以重新表示为
分解规则：
f ( x1 , x2 , ... , xi 1 , xi , xi 1 , ... , xn )
数字逻辑设计
代数法
学习要点
逻辑函数
规则、公式、推导方法 概念、应用
卡诺图（K图）
逻辑函数
逻辑函数的表示方法 ： 真值表； 由变量、常量以及逻辑运算符构建的逻辑表达式 。 逻辑函数的等价性判断： 真值表形式具有唯一性：若函数 f 与 g 的真值表相同， 则 f 与 g 等价。反之，二者不等价。 逻辑表达式不具有唯一性：若函数 f 与 g 的逻辑表达 式相同，则 f 与 g 等价；反之，若函数 f 与 g 的逻 辑表达式不同，则 f 与 g 可能等价也可能不等价。