2020-2021学年人教A版数学选修2-2专题强化训练3 数系的扩充与复数的引入
新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入3-1-2
3.1.2复数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B2复数z=+i2对应的点在复平面内的()A.第一象限B.实轴上C.虚轴上D.第四象限解析因为z=+i2=-1∈R,所以z对应的点在实轴上.故选B.答案B3复数z与它的模相等的充要条件是()A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数解析因为z=|z|,所以z为实数,且z≥0.故选D.答案D4在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是() A.4+8i B.8+2iC.2+4iD.4+i解析由题意得点A(6,5),B(-2,3).由C为线段AB的中点,得C(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.答案C5已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)解析|z|=.∵0<a<2,∴0<a2<4.∴1<,即1<|z|<.故选B.答案B6已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3.故所求的轨迹为一个圆,故选A.答案A7复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.解析因为|z|==13,所以z对应的点到原点的距离为13.答案138已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是.解析由已知得解得1<x<2.答案(1,2)9若复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,求实数x的取值范围.分析根据复数的模的意义及题设中复数模的范围,建立关于实数x的不等式求解即可.解由题意,可得,。
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数》整合提升
整合提升知识网络知识回顾1.复数的分类2.复数相等a+bi=c+dia=c 且b=d.a+bi=0a=b=0(a\,b\,c\,d ∈R).3.复数的运算法则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a+bi)÷(c+di)=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++(c+di≠0) 4.共扼复数设z 是z 的共扼复数.(1)z 与z 在复平面内对应的点关于实轴对称.(2)z 是实数z=z.z 是纯虚数z+z=0且z≠0.注：(1)复数与复平面内的点一一对应.z=a+bi→←Z(a ，b)→←.(2)两个复数不一定能比较大小.本章高考中重点考查复数的加减乘除运算.典例精讲【例1】 复数z 满足什么条件时，z 2+4z+3是实数？解：设z=x+yi(x 、y ∈R)，则z 2+4z+3=(x+yi)2+4(x+yi)+3=x 2-y 2+4x+3+2y(x+2)i.∵z 2+4z+3为实数，∴2y(x+2)=0.∴x=-2或y=0，即当z 是实数或z 的实部为-2时，z 2+4z+3为实数.温馨提示在复数范围内，数z 可写为z=x+yi （x 、y ∈R ）的形式.【例2】 已知方程x 2+4x+C=0(C ∈R)的一个根为x 1=-2+i ，求C 的值及方程的另一个根. 解:∵x 1=-2+i 为方程x 2+4x+C=0的一个根，∴（-2+i ）2+4（-2+i ）+C=0，即4-4i+i 2-8+4i+C=0.∴C=5.∴方程x 2+4x+C=0可写成x 2+4x+5=0.由求根公式得 x=244i ±-=-2±i. ∴方程的另一个根为-2-i.∴C 的值为5，方程的另一个根为-2-i.温馨提示对于复数方程通常在求解时，设变量x=a+bi(a 、b ∈R),然后代入方程转化为两复数相等的条件来解决.本题亦可用此法.而本题的方程是关于x 的二次方程，因而可用求根公式x 1，2=ai b 2||∆±-来解决. 【例3】 已知z=1+i,如果122+-++z z b az z =1-i,求实数a 、b 的值. 解:z=1+i,则z 2-z+1=(1+i)2-(1+i)+1=12+2i+i 2-1-i+1=i.∴z 2+az+b=2i+a(1+i)+b=a+b+(2+a)i.ii a b a )2(+++ a+b+(2+a)i=i(1-i)=1+i,∴⎩⎨⎧=+=+.12,1a b a .∴⎩⎨⎧=-=.2,1b a 温馨提示本题主要考查复数的基本运算及两复数相等的条件，两复数相等，当且仅当两复数的实部和虚部分别相等.【例4】 已知z 是复数，z+2i 、z2-i 均为实数（i 为虚数单位），且复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.解:设z=x+yi(x 、y ∈R ），由z+2i=x+(y+2)i 为实数，∴y=-2.i i x i z --=-222=51(x-2i)(2+i). =51(2x+2)+51(x-4)i. 由题意得x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a 2)+8(a-2)i,根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+,0)2(8,04122a a a 解得2＜a ＜6.∴实数a 的取值范围是（2，6）.温馨提示复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数集中的问题.因而，需熟记各种转化条件.【例5】 设z 是虚数，w=z+z1是实数，且-1＜w ＜2. （1）求|z|的值及z 的实部的取值范围；（2）设u=zz +-11，求证：u 为纯虚数； （3）求w-u 2的最小值.（1）解:设z=a+bi(a 、b ∈R ，且b≠0），则w=z+z 1=a+bi+22ba bi a +- =)()(2222b a b b b a a a +-+++ （a+aa 2+b 2)+(b-ba 2+b 2)i.∵w 是实数，∴b-22b a b +=0. 由b≠0，得a 2+b 2=1,即|z|=1.∵|z|=1,∴z·z=|z|2=1.∴w=z+1z=z+z=2a.由已知-1＜w ＜2，即-1＜2a ＜2，解得21-12＜a ＜1. （2）证明：11111111+-++-=+-++-=+z z z z z z z z u u =0， ∵z≠1（否则w=2矛盾），∴u≠0.从而u 为纯虚数.（3）解：u=abi bi a bi a z z +-=+++-=+-1)(1)(111,w-u 2=2a-(abi +-1)2 =2a-22)1(a b +- =2a-22)1(1a a +- =2a+aa ++11 =2(1+a)+a+12-3. ∵21-＜a ＜1,∴21＜1+a ＜2. ∴4≤2(1+a)+a +12＜5. ∴w-u 2的最小值为4.温馨提示一个复数是实数的条件是共轭复数是其本身；一个复数为纯虚数的条件是与其共轭复数的和为零，本题通过设复数z=a+bi(a 、b ∈R ）将复数问题转化为实数问题解决.。
高中数学人教A版选修22第三章数系的扩充与复数的引入练习题含答案详解
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且>，则＋>＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i B．3＋3iC．3－i D．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1 B.1C.i-D.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则z z－－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz=-（i为虚数单位），则z z z⋅+= .12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OCu u u r＝λOAu u u r＋μOBuuu r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组 三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1．16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=．18．（10分）设是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设z zM +-=11，求证：为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2) 答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝＝，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要<0，且>0，即 <－1且 >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ ＝|cos 2－sin 2|＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]． 在中，∈R 且|－1i|<2，∴ |＋i|<2，∴2＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i ＜( 2－4＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得10,=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ 3.当＝3时，原不等式成立． 14.4,5,3 解析：2,,,z z z z-=四个为虚数；22,,,,z z z z z z--⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等.三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋b i(a , b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-2222(1)(1)a b a b +-+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1.16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ， 由条件知121222z z z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线， 所以122z z +=．18.（1）解：设＝＋i （，）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2，－1<ω<2， 所以.所以的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 121< < - a 12 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 iba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0, ≠ ∈ b R（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为 ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为∈（－1,21），所以＋1>0，所以2M -ω≥2×2－3＝1.当＋1＝11+a ，即＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1. 19.证明：原方程化简为,设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得根据上式可得整理得051282=+-x x .方程无实数解.原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。
人教A版选修2-2章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5iB ．a ＝0⇔|a |＝0C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0【解析】 A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.【答案】 B 2．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A.12i B ．－12i C.12D ．－12【解析】 i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.【答案】 C3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1【解析】 由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】 法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i ，∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i. 【答案】 D 5．复数i1－i的共轭复数为( ) 【导学号：62952118】A ．－12＋12i B.12＋12i C.12－12iD ．－12－12i【解析】 ∵i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，∴其共轭复数为－12－12i.故选D. 【答案】 D6．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4【解析】 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ， ∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题为p 2，p 4. 【答案】 C7．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i【解析】设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得⎩⎪⎨⎪⎧2＋(－2)2＝3＋x 2，3＋(－3)2＝2＋y2，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，∴D (－3，－2)，∴对应复数为－3－2i. 【答案】 B8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )【导学号：62952119】A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】 要使复数不是纯虚数，则有⎩⎨⎧a 2－a －2≠0，|a －1|－1≠0，∴解得a ≠－1. 【答案】 C9．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 复数对应点的坐标为(a 2－6a ＋10，－b 2＋4b －5)， 又∵a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0， －b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0. 所以复数对应的点在第四象限．故选D. 【答案】 D10．如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3， 3)【解析】 因为|z －2|＝|3＋a i －2|＝|1＋a i|＝1＋a 2<2，所以a 2＋1<4，所以a 2<3，即－3<a < 3.【答案】 D11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1【解析】 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.【答案】 B12．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误． 选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知i 是虚数单位，计算1－i(1＋i )2＝________. 【解析】1－i (1＋i )2＝1－i 1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i (1－i )－2i 2＝－i －12＝－12－12i. 【答案】 －12－12i14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝__________. 【解析】a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3. 又a 为正实数，所以a ＝ 3.【答案】 315．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．【解析】 a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8. 【答案】 816．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|≤2可得x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】 2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1)(2＋2i)2(4＋5i)； (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016.【解】 (1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i)＝－20＋16i. (2)2＋2i (1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 008＝－1＋i ＋(－i)1 008 ＝－1＋i ＋1 ＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，求实数a ，b 的值． 【解】 由①得⎩⎨⎧2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4，将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ， 所以⎩⎨⎧5＋4a ＝9，－(6＋b )＝－8，所以a ＝1，b ＝2.19．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积.【导学号：62952120】【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D .(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB→＝2 AP →，求点P 对应的复数．【解】 (1)∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5， 即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上，即A ，B ，C ，D 四点共圆． (2)∵A (0，5)，B (2，－3)， ∴AB→＝(2，－3－5)． 设P (x ，y )，则AP→＝(x ，y －5)，若AB→＝2 AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)， ∴⎩⎨⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ →1，OZ →2分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R .若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ →1·OZ →2的值．【解】 由题意，得z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ， 则z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小， 所以z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 所以OZ →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ →2＝(－1,1)． 所以OZ →1·OZ →2＝38×(－1)＋1×1＝58.。
人教A版高中数学选修2-2作业：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 课后
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。
人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
数学教案 人教a版选修2_2 同步练习-第3章数系的扩充与复数的引入
数系的扩充和复数的概念[A 组 学业达标]1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案：A2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R∩I B ．R∩I＝{0} C ．R ＝C∩ID ．R∩I＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R∩I＝∅.选D. 答案：D3．若复数z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.答案：A4．复数z ＝(a ＋1)＋(a 2－3)i ，若z ＜0，则实数a 的值是( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－1D ．1解析：由题意得a 2－3＝0，解得a ＝±3，而a ＋1＜0，故a ＝－ 3. 答案：B5．若复数z ＝a 2－3＋2ai 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________． 解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，所以a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－36．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________．解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.答案：37．x ，y 为实数，如果x －1＋yi 与i －3x 为相等复数，则x ＋y ＝________.解析：由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1，所以x ＋y ＝54.答案：548．已知m ∈R ，复数z ＝mm ＋2m －1＋(m 2＋2m －1)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．解析：(1)因为z ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1± 2.(2)因为z 是虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1≠0，m －1≠0，解得m≠－1＋2，m≠－1－2且m≠1.(3)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，m 2＋2m －1≠0，解得m ＝0或m ＝－2.9．已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a 的值． 解析：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.[B 组 能力提升]10．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3 解析：由条件知，cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，所以cos α＝－1或12.因为0＜α＜2π，所以α＝π，π3或5π3.故选D. 答案：D11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，1解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，所以4sin 2θ＝λ＋3sin θ，所以λ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝38时，λ取得最小值－916；当sin θ＝－1时，λ取得最大值7. 所以－916≤λ≤7，即λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 答案：C12．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a)i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a)i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________． 解析：因为z 1＞z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，所以a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案：{0}13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y ＋3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y ＋(3－y)i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.由(2x ＋ay)－(4x －y ＋b)i ＝9－8i 可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay ＋9，4x －y ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.14．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解析：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.因此当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m≠－2且m≠－1，解得m≠－2且m≠－1，因此当m≠－2且m≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝－2，m≠－1且m≠－2.解得m ＝0.因此当m ＝0时，z 为纯虚数.复数的几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的个数为( ) ①|z|＝2；②z 的虚部为i ；③z 在复平面上对应点在第一象限． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：|z|＝12＋12＝2，故①正确；z 的虚部为1，故②错误；z 在复平面上对应点是(1,1)，在第一象限，故③正确． 答案：C2．复数z ＝cos 2π3＋isin π3在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因cos 2π3＜0，sin π3＞0，故复数z ＝cos 2π3＋isin π3对应的点在第二象限．答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋i B ．2＋4i C ．8＋2iD ．4＋8i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，且C 为线段AB 的中点，根据中点坐标公式可得C(2,4)，则点C 对应的复数是2＋4i. 答案：B4．若复数z 满足方程|z ＋1－3i|＝2，则z 在复平面上表示的图形是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线D ．双曲线解析：原方程可化为|z －(－1＋3i)|＝2，其几何意义表示z 的坐标和(－1,3)之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆． 答案：B5．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.答案：D6．已知3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －yi|，|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋－52＝26，|x －yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.因为20＜5＜26，所以|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|. 答案：|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|7．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________． 解析：由z ＝3＋4i 知，OZ →＝(3,4)，所以直线的斜率：k ＝43.答案：438．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i ＝(y －x)＋(2x －y)i.由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以x ＋y ＝5.答案：59．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点： (1)位于虚轴上？ (2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？解析：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m(4－m 2)＞0，解得m ＜－2或0＜m ＜2. 故满足条件的实数m 的取值范围为(－∞，－2)∪(0,2)．(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋4－m 22＝4，即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.10．复数i,1,4＋2i 分别对应平面上A ，B ，C 三点，另取一点D 作平行四边形ABCD ，求BD 的长． 解析：由题意得向量AB →对应的复数为1－i ，设D 对应的复数为x ＋yi(x ，y ∈R)，则DC →＝(4－x,2－y)，由AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝4－x ，－1＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以D 对应的复数为3＋3i ，所以BD →＝(2,3)，则|BD →|＝13，即BD 的长为13.[B 组 能力提升]11．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z|＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为π＜α＜2π，所以π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z|＝－2cos α2.故选B.答案：B12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆D ．椭圆解析：设z ＝x ＋yi ，因为|z －i|＝|3＋4i|，所以x 2＋y －12＝5.则x 2＋(y －1)2＝25，所以复数z 对应点的轨迹是圆． 答案：C13．若t ∈R ，t≠－1，t≠0，则复数z ＝t 1＋t ＋1＋tt i 的模的取值范围是________．解析：|z|2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2·t 1＋t ·1＋t t ＝2.(当且仅当t 1＋t ＝1＋t t ，即t ＝－12时，等号成立)．所以|z|≥ 2.答案：[2，＋∞)14．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R)，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．解析：因为log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0， 整理得 log 22m 2－3m －3m －32＝0， 所以2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9， 即m 2＝15，m ＝±15.又因为m －3＞0且m 2－3m －3＞0， 所以m ＝15. 答案：1515．已知复数z 1＝3－i ，z 2＝co s θ＋isin θ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？ 解析：(1)|z 1|＝32＋－12＝2，|z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括圆)． 16．已知复数z 0＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P(x ，y)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，①b ＝y ＋2.②因为z 0＝a ＋bi ，|z 0|＝2，所以a 2＋b 2＝4. 将①代入②得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.所以点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆.复数代数形式的加、减运算及其几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，所以z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.所以点Z 位于复平面内的第一象限． 答案：A2．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若1＋xi ＝(2－y)－3i ，则|x ＋yi|＝( ) A.10 B ．3 C. 5D. 2解析：1＋xi ＝(2－y)－3i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2－y ＝1，x ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，则|x ＋yi|＝10.答案：A3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( ) A.115B ．3i C.115＋3i D.115＋23i 解析：设这个复数为a ＋bi(a ，b ∈R)，则|a ＋bi|＝a 2＋b 2. 由题意知a ＋bi ＋a 2＋b 2＝5＋3i ， 即a ＋a 2＋b 2＋bi ＝5＋3i所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3，解得a ＝115，b ＝ 3.所以所求复数为115＋3i.答案：C4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( ) A ．2＋4i B ．－2＋4i C ．－4＋2iD ．4－2i解析：在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →＝OA →－OB →，故CD →对应的复数是3＋i －(－1＋3i)＝4－2i ，故选D. 答案：D5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →，则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|，依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|. 所以以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形，所以△AOB 是直角三角形．故选B. 答案：B6．设复数z 满足z ＋|z|＝2＋i ，则z ＝________. 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|z|＝x 2＋y 2. 所以x ＋yi ＋x 2＋y 2＝2＋i.所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.答案：34＋i7．已知复数z 1＝2＋ai ，z 2＝a ＋i(a ∈R)，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．解析：∵复数z 1－z 2＝2＋ai －a －i ＝(2－a)＋(a －1)i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2.答案：(2，＋∞)8．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a)i ＝－1＋(3＋a)i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，3＋a ＝8，a －3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝5，c ＝2.答案：5 －1 29．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R)，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋bi. 解析：z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋a ＋1i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.[B 组 能力提升]10．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i(a ∈R)在复平面内对应的点位于虚轴上，则z －1－i 等于( ) A ．－1－3i 或－1－i B ．－1－iC ．－1－3iD ．－1＋i 或－1＋3i解析：因为复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上，所以复数z 的实部为0，所以a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，z ＝－2i ，z －1－i ＝－2i －1－i ＝－1－3i ；当a ＝2时，z ＝0，z －1－i ＝0－1－i ＝－1－i.综上，z －1－i ＝－1－3i 或z －1－i ＝－1－i.故选A. 答案：A11．如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B ． 2 C ．2D. 5解析：设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，|Z 1Z 2|＝4，所以复数z 的集合为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值．因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，|ZZ 3|取得最小值|Z 0Z 3|＝1，故选A. 答案：A12．已知在复平面内的正方形ABCD 有三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则第四个顶点对应的复数是________．解析：设复平面内正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则OA →＝(1,2)，OB →＝(－2,1)，OC →＝(－1，－2)，设OD →＝(a ，b)．∵AB →＝OB →－OA →＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(1，－3)，且1×(－3)＋(－1)×(－3)＝0， ∴AB →⊥BC →，∴AB →＝DC →，即向量AB →与DC →对应的复数相等， ∴－3－i ＝－1－a －(2＋b)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝－1，－1－a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴OD →＝(2，－1)．故第四个顶点对应的复数是2－i. 答案：2－i13．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________． 解析：法一：设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R)， 则|(a －1)＋bi|＝|(a ＋1)＋bi|， 所以a －12＋b 2＝a ＋12＋b 2，即a ＝0，所以z ＝bi ，b ∈R ，所以|z －1|min ＝|bi －1|min ＝(－12＋b 2)min ，故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 法二：因为|z －1|＝|z ＋1|，所以z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1. 答案：114．已知|z|＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则由|z|＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y)到点(－1，－3)的距离，点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.15．已知在复平面内的平行四边形ABCD 中，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解析：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，又AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ∵OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵BD →＝BA →＋BC →，∴向量BD →对应的复数为(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i. ∵OB →＝OA →－BA →，∴向量OB →对应的复数为(2＋i)－(1＋2i)＝1－i. ∵OD →＝OB →＋BD →，∴向量OD →对应的复数为(1－i)＋(4＋i)＝5， 故点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ， 又BA →＝(1,2)，BC →＝(3，－1)， ∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152，∴sin B ＝752，∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×752＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7.复数代数形式的乘除运算[A 组 学业达标]1．已知复数f(n)＝i n(n ∈N *)，则集合{z|z ＝f(n)}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．无数解析： f(n)＝i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N ，故集合中有4个元素．答案：A2．如果x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C.34D ．－34解析：∵x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.则x ＋y ＝－34.答案：D3．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz ＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以zz＝±i.故选D.答案：D 4．复数z ＝32－ai ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14解析：由z ＝32－ai ，a ∈R 得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×ai＋(ai)2＝34－a 2－3ai ，因为z 2＝12－32i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.故选C.答案：C5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题； C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D.当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．故选D. 答案：D6．设复数z ＝－2＋i ，若复数z ＋1z的虚部为b ，则b 等于________．解析：∵z ＝－2＋i ，∴z ＋1z ＝－2＋i ＋1－2＋i ＝－2＋i ＋－2－i －2＋i －2－i ＝－2＋i －25－15i ＝－125＋45i ， ∴b ＝45.答案：457．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ＝3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z|＝ 5. 答案： 58．若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i ＝3＋bi 1＋i 1－i 1＋i ＝3－b ＋3＋b i 2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案：39．计算下列各题： (1)1＋i 71－i ＋1－i71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i；(2)()2＋2i 4i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7. 解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－82i1＋ii＝8＋8－16－16i ＝－16i. (2)原式＝42i 2i＋1i＋i 7＝16i －i －i ＝14i. 10．已知z 1＝2＋i ，z 1·z 2＝6＋2i. (1)求z 2；(2)若z ＝z 1z 2，求z 的模．解析：(1)设z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R)，因为z 1·z 2＝6＋2i ，所以(2－i)(a ＋bi)＝6＋2i ，即(2a ＋b)＋(2b－a)i ＝6＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝6，2b －a ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以z 2＝2＋2i.(2)因为z ＝z 1z 2＝2＋i 2＋2i ＝2＋i2－2i 2＋2i 2－2i ＝6－2i 8＝34－14i ，所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝104.[B 组 能力提升]11．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，所以a ＋b i 是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a ＋bi 为纯虚数，a＋bi ＝a －bi ，所以a ＝0且b≠0，所以ab ＝0，是必要条件．故选B. 答案：B12．已知z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z 1，z 2)＝||z 1－z 2||.给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D(z)＞0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D(z )＝D(z)恒成立； (3)若D(z 1)＝D(z 2)(z 1，z 2∈C)，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2∈C ，结论D(z 1，z 2)＝D(z 2，z 1)恒成立． 则其中的真命题是( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4)D ．(2)(3)解析：对于(1)，由定义知当z ＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ；选C. 答案：C13．如果z ＝21－i ，那么z 100＋z 50＋1的值是________．解析：z ＝21－i ＝1＋i2，z 100＋z 50＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 250＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 250＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 225＋1＝i 50＋i 25＋1＝i 2＋i ＋1＝i. 答案：i14．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i可化为x 1＋i 1－i 1＋i＋y 1＋2i1－2i 1＋2i＝51＋3i1－3i 1＋3i，即x ＋xi 2＋y ＋2yi 5＝5＋15i10，从而5(x ＋xi)＋2(y ＋2yi)＝5＋15i ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：4 15．设复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a.解析：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋a z 是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝mi(m ∈R 且m≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋mi 1－i ＝－2i ＋mi －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，所以a ＝4i.16．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z|的值及z 的实部的取值范围； (2)设μ＝1－z1＋z ，求证：μ为纯虚数．解析：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R ，且y≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋yi)＋1x ＋yi ＝x ＋yi ＋x －yi x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.(1)因为ω是实数，且y≠0，所以y －yx 2＋y2＝0， 即x 2＋y 2＝1.所以|z|＝1，此时ω＝2x.又－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，所以 －12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z1＋z＝1－x ＋yi1＋x ＋yi＝1－x－yi1＋x－yi1＋x2＋y2＝1－x2－y2－2yi 1＋2x＋x2＋y2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－y1＋xi. 因为y≠0，所以μ为纯虚数．章末测试卷(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限． 答案：D2．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i ＜5iB ．a ＝0⇔|a|＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝±bD ．a 2≥0解析：A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1＜0.故选B. 答案：B 3.1＋2i1－i2的虚部为( ) A ．－12iB ．12i C.12 D ．－12解析：1＋2i 1－i 2＝1＋2i－2i＝1＋2ii 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故其虚部为12.答案：C4．已知集合M ＝{1,2，zi}(i 为虚数单位)，N ＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M∩N＝{4}，知4∈M ，故zi ＝4，故z ＝4i ＝4ii 2＝－4i.答案：C 5.1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝( )A ．－12B ．12 C.12i D ．－12i解析：因为(1±i)2＝±2i，所以1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝1－i 2i 2＋1＋i－2i2＝1－i －4＋1＋i －4＝－12. 答案：A6．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3 C. 2D ．1解析：a ＋i i ＝a ＋i ·－i i·－i ＝1－ai ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－ai|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案：B7．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.故选A. 答案：A8．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(－2，－1)，故OB →对应的复数为－2－i.故选A. 答案：A9．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a＝1”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，所以点M 在第四象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0，即－2＜a＜2，所以“a＝1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝zi ＋z ＝z(1＋i)＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝4＋2i 1－i 2＝4＋2－2i 2＝3－i.故选A. 答案：A11．已知复数z ＝(x －2)＋yi(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B ．33 C.12D. 3 解析：因为|(x －2)＋yi|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心， 3为半径的圆上，如图，令yx ＝k ，kx －y ＝0，则|2k|k 2＋1＝3，得k ＝± 3.由平面几何知识得－3≤yx ≤ 3.所以最大值为3，故选D. 答案：D12．在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”，定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，i 为虚数单位)，“z 1＞z 2”当且仅当“a 1＞a 2”或“a 1＝a 2且b 1＞b 2”．给出下面命题：①1＞i ＞0；②若z 1＞z 2，z 2＞z 3，则z 1＞z 3；③若z 1＞z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ＞z 2＋z ；④对于复数z ＞0，则z·z 1＞z·z 2.其中真命题是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③D ．①②③④解析：对命题①，1的实部是1，i 的实部是0，故①正确；对命题②，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由已知得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，a 2＞a 3或a 2＝a 3且b 2＞b 3，显然有a 1≥a 3，若a 1＞a 3，则z 1＞z 3，若a 1＝a 3，则a 1＝a 2＝a 3，b 1＞b 2＞b 3，也有z 1＞z 3，故②正确；对命题③，设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z 1＞z 2得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，从而a 1＋a ＞a 2＋a 或a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b ＞b 2＋b ，∴z 1＋z ＞z 2＋z ，故③正确；对命题④，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，z ＝2i ，则有z 1＞z 2，但z·z 1＝－2＋2i ，z·z 2＝4，显然有z·z 2＞z·z 1，故④错误． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若复平面上的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数为________．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，两式相加，可得2AD →＝AC →＋BD →＝2＋14i ，所以DA →＝－1－7i.法二：如图，把向量BD →平移到向量EA →的位置，可得DA →＝12CE →＝－12(AC →＋BD →)＝－1－7i. 答案：－1－7i14．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，a ＝－1. 答案：－115．若复数z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan θ＝________.解析：因为z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34.答案：－3416．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b 的最小值为________．解析：因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数， 所以2a ＋b ＝2，所以4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1＝222a ＋b －1＝2 2.当且仅当a ＝14，b ＝32时取等号．答案：2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知(2＋i)z ＝7＋i ，求z 及z z .解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi.所以 (2＋i)(a －bi)＝7＋i ， 所以(2a ＋b)＋(a －2b)i ＝7＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，a －2b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以z ＝3＋i.所以z ＝3－i ，所以zz ＝3＋i 3－i＝3＋i 210＝45＋35i. 18．(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b ∈R)是复平面上的四个点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2. (1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求z 1，z 2；(2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数，求a ，b 的值．解析：向量AB →＝(a －1，－1)，CD →＝(－3，b －3)对应的复数分别为z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i. (1)若z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ＝1＋i. 所以a －4＝1，b －4＝1. 解得a ＝b ＝5.所以z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i. (2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数， 所以a －42＋b －42＝2，(a ＋2)＋(2－b)i ∈R ，所以2－b ＝0，解得b ＝2， 所以(a －4)2＋4＝4，解得a ＝4. 所以a ＝4，b ＝2.19．(本小题满分12分)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a ∈R. (1)若|z 1－z 2|＝5，求a 的值；(2)若复数z ＝z 1·z 2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a 的值． 解析：由复数的几何意义可知z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋3i. (1)因为|z 1－z 2|＝5，所以|－2－a －2i|＝－2－a2＋－22＝5，即(a ＋1)(a ＋3)＝0，解得a＝－1或a ＝－3.(2)复数z ＝z 1·z 2＝(－2＋i)(a －3i)＝(－2a ＋3)＋(a ＋6)i.由题意可知，点(－2a ＋3，a ＋6)在直线y ＝－x 上，所以a ＋6＝－(－2a ＋3)，解得a ＝9.20．(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数； (3)求△APB 的面积．解析：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →＝(－2,2)． 即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →＝(3,2)－(－2,2)＝(5,0)． 即DB →对应的复数是5.(3)由于PA →＝12CA →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PB →＝12DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，于是PA →·PB →＝－54，而|PA →|＝172，|PB →|＝52，所以172×52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|PA →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.21．(本小题满分12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值． 解析：法一：设ω＝z －3＋4i ，所以z ＝ω＋3－4i ， 所以z ＋1－i ＝ω＋4－5i ， 又|z ＋1－i|＝1， 所以|ω＋4－5i|＝1.可知ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆，如图(1)所示，所以|ω|max ＝41＋1，|ω|min ＝41－1.图(1) 图(2)法二：由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1. 22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0. (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根． 解析：(1)原方程可化为x 2－xtan θ－2－(x ＋1)i ＝0，设方程的实数根为x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－x 0tan θ－2＝0，x 0＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，tan θ＝1.又θ是锐角，故θ＝π4.(2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi ，b≠0，b ∈R ，则－b 2－(tan θ＋i)bi －(2＋i)＝0，即－b2－ibtan θ＋b －2－i ＝0，可得－b 2＋b －2＝0，解得b ＝1±7i 2，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根．。
高中数学人教A版选修2-2练习第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1 Word版含解析
第三章级基础巩固一、选择题．若复数满足＋(－)＝，则的虚部是( )．－．．－．[解析]＝－(－)＝－＋，故选．．若＝＋，＝＋(∈)，且＋所对应的点在实轴上，则的值为( )．．．－．[解析]＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋(＋).∵＋所对应的点在实轴上，∴＋＝，∴＝－.．复平面上三点，，分别对应复数＋，则由，，所构成的三角形是( )．等腰三角形．直角三角形．钝角三角形．锐角三角形[解析]＝－＝，＝＋＝，＝，∴＝＋.故选．．□中，点、、分别对应复数＋、＋、－，则点对应的复数是( )．＋．－．＋．－[解析]对应的复数为(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝－＋，设点对应的复数为，则对应的复数为(－)－.由平行四边形法则知＝，∴－＋＝(－)－，∴＝(－)－(－＋)＝(＋)＋(－－)＝－.故应选．二、填空题．已知关于的方程＋(＋)＋＋＝有实根，则这个实根以及实数的值分别为(\\(＝()，＝－()，))或(\\(＝－()，＝()))[解析]方程的实根必然适合方程，设＝为方程的实根，代入整理后得＋＝的形式，由复数相等的充要条件，可得关于和的方程组，通过解方程组可得及的值．．已知＝α＋α，＝β－β且－＝＋，则(α＋β)的值为[解析]∵＝α＋α，＝β－β，∴－＝(α－β)＋(α＋β)＝＋，∴(\\(α－β＝() ①α＋β＝() ②))①＋②得－(α＋β)＝，即(α＋β)＝.三、解答题．已知平行四边形中，与对应的复数分别是＋与＋，两对角线与相交于点()求对应的复数；()求对应的复数；()求△的面积．[解析]()由于是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(＋)－(＋)＝－＋，即对应的复数是－＋.()由于＝－，而(＋)－(－＋)＝，即对应的复数是.()由于＝＝－＝，＝＝，于是·＝－，而＝，＝，所以··∠＝－，因此∠＝－，故∠＝，故△＝∠＝×××＝.即△的面积为.级素养提升一、选择题．(·福州高二检测)已知复数＝(－)－，＝＋(＋)，若＋是纯虚数，那么实数的值为( )．．．－或．－[解析]由＋＝－＋＋(－＋)是纯虚数，得(\\(－＋＝，－＋≠))⇒＝－.．设复数满足－－＝，则的最大值是( )．．．．[解析]因为－－＝，所以复数所对应点在以()为圆心，半径为的圆上，由几何性质得的最大值是＋＝.。
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专题强化训练(三) 数系的扩充与复数的引入
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．]
2．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5i B ．a ＝0⇔|a |＝0 C ．若|a |＝|b |，则a ＝±b D ．a 2≥0
B [A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；
C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i 或12－32
i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.]
3．复数
i
1－i
的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B ．12＋12i C ．12－12i D ．－12－12i
D [
i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )
＝－1＋i 2＝－12＋12i ，共轭复数为－12－12i.故选D.] 4．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( )
A ．3－4i
B ．3＋4i
C ．4－3i
D ．4＋3i
A [由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.] 5．如果复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 等于( ) A ．1
B ．－1
C ． 2
D ．－ 2
B [∵(m 2＋i)(1＋m i)＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i 是实数，m ∈R ，∴由a ＋b i(a ，b ∈R )是实数的充要条件是b ＝0，得m 3＋1＝0，即m ＝－1.]
二、填空题
6．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 3 [∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.] 7．复数z 满足方程z i ＝1－i ，则z ＝________.
－1＋i [∵z i ＝1－i ，∴z ＝1－i i ＝(1－i )i i·
i ＝－i(1－i)＝－1－i ，∴z ＝－1＋i.]
8．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限，则实数k 的取值范围是________．
(－6，－2)∪(2，6) [由已知得⎩⎨⎧
－6＋k 2＜0，k 2－4＞0，∴4<k 2<6.
∴－6<k <－2或2<k < 6.] 三、解答题 9．计算：
(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i (1＋i)；
(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
21－i 2 020
.
[解] (1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32
i ＋12i －32i 2(1＋i)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2 ＝－1＋3i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＋32i
＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i ＝－1＋3i.
(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
21－i 2 020
＝()－23＋i i
(1＋23i )i
＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫
2－2i 1 010
＝(－23＋i )i i －23
＋1
i 1 010＝i ＋
1
－1
＝i －1. 10．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，求复数z . [解] 设z ＝b i (b ∈R ，b ≠0)，
则(z ＋2)2－8i ＝(2＋b i)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i ， ∵(z ＋2)2－8i 为纯虚数， ∴4－b 2＝0且4b －8≠0. ∴b ＝－2.∴z ＝－2i.
1．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0
D ．若z 是纯虚数，则z 2<0
C [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧
ab ＝0，a 2≥b 2，
故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2
＋2ab i<0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2＜b 2
，则⎩⎨⎧
a ＝0，
b ≠0，
故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧
a ＝0，
b ≠0，
则z 2＝－b 2<0，正确．]
2．复数z ＝
m －2i
1＋2i
(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
A [z ＝
m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )
＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为1
5(m －4)，虚部为－2
5(m ＋1)，
由⎩⎨⎧ m －4＞0，－2(m ＋1)＞0，得⎩⎨⎧
m ＞4，m ＜－1.
此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．] 3．已知i 为虚数单位，则复数z ＝
1－3i
3＋i
的虚部为________． －1 [z ＝1－3i 3＋i ＝(1－3i )(－i )
(3＋i )(－i )
＝－i ，因此虚部为－1.]
4．已知复数z 1＝i(1－i)3，若|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________． 22＋1 [|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1.]
5．已知z ，w 为复数，(1＋3i)z 为实数，w ＝z
2＋i
且|w |＝52，求z ，w . [解] 设z ＝x ＋y i ，(x ，y ∈R )， 所以(1＋3i)z ＝(x －3y )＋(3x ＋y )i ，
又(1＋3i)z 为实数，所以3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ， 所以w ＝z
2＋i ＝(x ＋y i )(2－i )5
＝1
5[(2x －3x )＋(－6x －x )i] ＝－x
5(1＋7i)，又因为|w |＝52，
所以|x
5|1＋7
2＝52，所以x＝±5.
当x＝5时，z＝5－15i，
当x＝－5时，z＝－5＋15i.w＝±(1＋7i)．。