气泡振动Nohingk—Neppiras方程的解析解的存在性
流体黏性及表面张力对气泡运动特性的影响
流体黏性及表面张力对气泡运动特性的影响艾旭鹏;倪宝玉【摘要】基于气泡边界层理论,引入黏性修正,采用边界积分法,考虑黏性效应和表面张力在单气泡以及双气泡耦合作用过程中的影响.首先将建立的数值模型与Rayleigh-Plesset的解析解进行对比,发现二者符合良好,验证了数值模型的有效性;在此基础上,建立考虑流体弱黏性效应的双气泡耦合模型,研究流体黏性和表面张力作用下,气泡表面变形、射流速度、流场能量转换等物理量的变化规律;最后研究雷诺数和韦伯数对于气泡脉动特性的影响规律.结果表明,流体黏性会抑制气泡脉动和气泡射流发展,降低气泡半径和射流速度;表面张力不改变气泡脉动幅值,但缩短了脉动周期,提升气泡势能.%Boundary integral simulation has been conducted to study the motion and deformation of bubbles with weak viscous and surface tension effects in fluid. Both normal and tangential stress boundary conditions are satisfied and the weak viscous effects are confined to the thin boundary layers around bubble surfaces, which is also known as boundary layer theory of bubble. By using this method, the influence of viscosity and surface tension of fluid on the motion of bubbles has been studied. Both axisymmetric and three-dimensional numerical results are compared with analytical results of Rayleigh-Plesset equation. Good agreement between them is achieved, which validates the numerical model. On this basis, interaction model between two vertically placed bubbles is established, by taking the surface tension, gravity, and viscous effects into consideration. Variations of physical quantities including bubble deformation, jet velocity, and energy of fluid are studied. Last but not least,the influence of viscosity and surface tension on the motion of a spherical bubble is investigated. It is found that viscous effects of fluid depress the pulsation of bubble and part of fluid energy is transformed into viscous dissipation energy. As a result, the development of bubble jet, the radius of the bubble, and the jet velocity are reduced gradually. On the other hand, the surface tension of fluid does not change the range of the bubble pulsation but reduces the period of the bubble pulsation and enhances the potential energy of the bubble. This model and numerical results aim to provide some references for bubble dynamics in bioengineering, chemical engineering, naval architecture, and ocean engineering, etc.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2017(066)023【总页数】11页(P251-261)【关键词】气泡;边界层;黏性;表面张力【作者】艾旭鹏;倪宝玉【作者单位】哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001【正文语种】中文黏性流体中多气泡的运动和耦合作用在生物、化学、海洋工程中应用十分广泛,比如组织和细胞损伤[1]、水下爆炸气泡[2]、微气泡减阻[3]等.从数学模型和数值模拟角度而言,这一问题主要涉及两大有趣但又具有挑战性的难题,一是气泡与气泡间的强非线性耦合效应,二是流体黏性效应对于气泡耦合效应的影响.对于第一个问题,目前较常用的有效解决方法之一是采用完全非线性边界元(BEM)方法.文献[4—8]针对这一问题进行了大量的研究,取得了较大的进展.对于第二个问题,一方面可以采用计算流体力学(CFD)方法近似求解Navier-Stokes(N-S)方程[9,10],但是计算量和计算精度都有待进一步优化;另一方面,采用“边界层”理论,将黏性效应限制于很薄的流体层内,而层外则依然可以采用势流理论进行计算.边界层理论的思想最早源于普朗特的平板阻力,在船舶领域应用广泛.但是有关气泡边界层理论,发展和研究都相对较晚.Miksis等最早在气泡动力学中引入边界层理论的思想[11].Miksis等认为气泡周围存在一薄边界层,边界层外流体满足无黏不可压缩势流理论,边界层内考虑流体黏性效应,边界层两侧满足法向应力连续,但不满足切向应力连续.由于此边界层很薄,忽略边界层内外速度的变化,这样便可采用边界积分法数值模拟计及弱黏性效应的气泡动态变化.此后,研究人员从不同角度改进Miksis等的气泡边界层理论.Lundgren 和Mansour[12]进一步分析了边界层方程,获得了边界层两侧压力差和法向速度差的表达式.Boulton-Stone和Blake[1,13]又进一步扩展了Lundgren和Mansour 的方法,使得边界层两侧速度的切向分量也连续,在此基础上首次成功地数值模拟了单个轴对称气泡在自由面处的破裂现象.Georgescu等[14]也采用Miksis的气泡边界层理论模拟气泡在自由面处的破裂现象,在边界积分和时间步进上均采用二阶单元,以获得更好的精度.Klaseboer等[15]采用Joseph和Wang[16]的思想修正边界层理论,同时考虑了法向和切向应力的连续,应用边界积分法数值模拟了高雷诺数下轴对称气泡在流体中的脉动上浮现象.Lind和Phillips[17,18]分别研究了考虑法向应力连续的轴对称气泡在固壁面和自由液面附近的脉动.倪宝玉等[19]联合模型实验和数值模拟研究了常压小气泡在自由表面的破裂,数值模拟中考虑了法向应力连续的轴对称模型,主要分析了射流断裂后的水滴形态以及水滴撕裂现象.Zhang和Ni[20]研究了轴对称和三维气泡在法向和切向应力同时连续的情况下在无界重力场中的脉动,得到气泡射流速度随流体黏性增加而衰减的结论.Li和Ni[21]在此基础上又进一步研究了气泡与自由面相互作用过程中流体黏性效应的影响.以上所述的数值研究中对于黏性效应的处理大部分侧重于法向应力连续,对于切向应力连续的考虑较少;数值模型中以轴对称为主,三维模型则十分少见;而对于考虑黏性效应和表面张力下多气泡耦合作用的三维模型公开发表的文献还很少.鉴于此,本文在前人基础之上,首先将建立的数值模型与Rayleigh-Plesset的解析解进行对比,验证数值模型的有效性;其次研究不同雷诺数下双气泡耦合过程中出现的各类物理现象及变化规律;最后研究雷诺数和韦伯数对于单个球状脉动气泡的影响规律.图1给出了双气泡耦合作用的示意图,这里假定初始位置较低的气泡为“气泡1”,位置较高的为“气泡2”.定义笛卡尔坐标O-xyz,坐标系的原点处于气泡1的初始中心处,z轴竖直向上.气泡1与气泡2的初始中心距离为h.本文主要考虑不可压缩、动力黏性系数恒定的牛顿流体,根据亥姆霍兹速度分解定理[22],流场中任意一点速度U均可以分解为无旋的速度u=∇φ和有旋的速度v=∇×a.对于不可压缩流体的质量守恒方程则为式中∇是哈密尔顿算子,φ是速度势,a是一个非零矢量势.对于不可压缩流体的动量守恒方程为N-S方程:式中t是时间,g是重力加速度,P是压力,ρ是流体密度,ν是流体的运动黏性系数.将u=∇φ代入到方程(2)并考虑到无旋运动的特点,方程(2)可简化为式中P∞是无穷远处参考压力,模型中不考虑背景声压,气泡的背景压力只有静水压力.Pvc为黏性压力,满足用(4)式直接求解Pvc十分困难,本文采用间接求解方法.对于法向应力,在第i个气泡的界面处,根据杨氏-拉普拉斯方程,可知法向应力平衡条件为式中下标i表示第i个气泡,i可取1或者2;Pl是界面处液体压力,Pb是界面处气体压力,对于气泡有Pb=Pc+P0(V0/V)ι,其中Pc是饱和蒸汽压,P0和V0分别是气泡初始形成时的压力和体积,V是气泡体积,ι是气泡内气体的比热比;τn是法向黏性应力;σ是表面张力系数;κ是界面的局部曲率.当流场的无旋速度∇φ在总速度中占主导地位时,在气泡附近很薄的边界层内法向黏性应力可近似表达为满足对于切向应力,由于气泡内气体的动力黏性系数相对于流体十分小,故可认为在气泡表面切向黏性应力为0.但是,无旋速度∇φ在界面处诱导的切向应力却不为零,即τs=2ρυ(∂φτ/∂n)/=0. 如果直接采用切向应力为零的切向应力连续条件,则无旋速度诱导的切向应力在边界处的做功则被人为忽略了.为了弥补这一非零的切向应力的贡献,根据Joseph和Wang[16]的推导,假设在气泡附近很薄的边界层内,切向应力τs的切向做功与黏性压力的法向做功相等:式中t和n分别是边界的切向单位矢量和法向单位矢量,S是流域的所有边界,包含气泡1和气泡2的边界Sb1和Sb2.如前所述,采用(4)式直接求解黏性压力Pvc在数值上具有极大困难,这使得我们不得不寻找求解Pvc的其他方法.这里引用Joseph和Wang[16]的一个经验性假设条件,认为黏性压力与无旋速度诱导的法向应力成正比,即其中C是未知的比例系数,考虑到(6)式中的τs在三维问题中难以直接求解,这里采用能量守恒法进行求解.对于三维工况,首先需要将∂2φ/∂n2转化到笛卡尔坐标系中,有式中是单位法向量n在笛卡尔坐标系中的三个分量.根据Lamb[22]的公式,对于无旋流场,黏性能量耗散率D可表达为式中(u,v,w)是速度矢量u在笛卡尔坐标系中的三个分量.另一方面,通过功能关系,黏性能量耗散率D与单位时间黏性应力做功W相等:将方程(6),(7),(8)代入方程(10),再与方程(9)联立,最终可获得未知系数C的表达式为将方程(5)和(7)代入方程(3)中,并考虑到物质导数与局部导数间的关系∇,则可以获得在第i个气泡表面的全非线性动力学边界条件:式中和C的具体求解方法见2.2节.拉格朗日系统中第i个气泡的全非线性运动学边界条件为式中x=(x,y,z)是气泡上任一个质点的矢量坐标.最后,在无穷远处扰动为零,则无穷远边界条件为采用格林第三公式和格林函数G,方程(1)可转化为如下的边界积分方程:式中S是包含气泡表面Sb1和Sb2以及无穷远边界S∞在内的所有边界;p和q分别是场点和源点,ε(p)是在p点处观察流场的立体角;三维格林函数G(p,q)=1/|R−r|,其中R和r分别是p和q的位置矢量.为了求解方程(8)和(11)中的二阶偏导数根据Wu[23]的推导以及格林函数的性质,有对于y和z方向有类似的公式.对于偏微分方程(16)可以参照方程(15)的方法进行求解,将求解的结果代入方程(8)和(11),即可得到和C.采用分别作为长度、压力、时间和速度的特征量,定义强度参数、雷诺数、韦伯数、傅汝德数和距离参数分别如下:其中ς_i是第i个气泡的强度参数,不同气泡的强度参数可以一样也不可以不一样;Rmax为所有气泡在无界自由场中球状运动时能达到的最大半径,初始强度参数越大的气泡Rmax也越大.后文中无量纲量均用“一拔”表示.为了校核本文数值模型的有效性,这里采用单个球状气泡为对象,忽略重力的影响(Fr→∞),分别采用解析解和数值模型求解单个球状气泡在黏性流体中的脉动.当气泡是球状时,气泡半径的脉动方程可由Rayleigh-Plesset方程[24]求解:式中分别是气泡无量纲半径对无量纲时间的二阶和一阶导数.根据方程(18)经过进一步推导可以获得气泡无量纲初始半径¯R0与强度参数ς和韦伯数We的关系:另一方面,可采用本文建立的边界元模型进行求解,且考虑到球状气泡为轴对称模型,可分别采用轴对称边界元和三维边界元获得数值结果.将数值结果与解析解进行对比分析,验证数值程序.选取初始无量纲参数为ς=100,We=通过初始条件(19)式可以计算得到无量纲初始半径¯R0=0.1485.对应的轴对称模型母线离散为33个节点,32个线性单元;三维模型表面离散为362个节点,720个三角形单元.图2给出了球状气泡半径随时间变化的轴对称、三维数值结果与精确解的对比曲线.图中图标Re(∞)表示雷诺数趋于无穷大,即不考虑黏性效应的工况;Re(102)表示采用Rayleigh-Plesset方程(18)直接求解的精确解;axi表示对应的轴对称边界元模型的结果;3d表示对应的三维边界元模型的结果.由图2可见,不考虑黏性效应的情况下,气泡在每次膨胀到最大时刻均可精确达到无量纲最大半径1,且无量纲运动周期维持在1.99不变.此时可将气泡视为一个无能量损耗的弹簧振子,在内外压力差和惯性作用下不断往复地在平衡位置振动.然而,在考虑了黏性效应之后,气泡每次膨胀到最大的半径将无法达到1,且随着脉动而逐渐减小,前三周期最大半径依次为0.966,0.914,0.873;相应地,收缩到最小的半径也大于初始半径¯R0=0.1485,且随脉动而逐渐增大.同时,气泡脉动的周期逐渐减小,首次和二次依次为1.95和1.89.对于轴对称边界元模型,在前三周期气泡半径最大时刻与精确解的相对误差分别为0.76%,1.01%和1.13%,对于三维边界元模型,在前两周期气泡最大半径时的相对误差分别为0.19%和0.36%.可见轴对称和三维模型的数值解与Rayleigh-Plesset方程精确解符合度很高,证明了本文建立的边界元模型是有效可行的.由于轴对称模型与三维模型的网格构造方法不同:对于轴对称模型,只需在母线上划分若干段线段网格;对于三维模型,需要在整个球面上划分若干个三角形网格.数值计算中网格划分方法会对计算结果有一定影响,所以在数值积分时,二者结果会有一定差异.从图中可见两种模型的差异十分微小,在数值计算中是可以理解和接受的.此时气泡可视为计入结构内黏性的弹簧振子模型,在往复振动中不断有黏性能量消耗.Zhang等[25]给出了考虑流场可压缩性后气泡半径脉动曲线,也观察到了类似的半径衰减的现象,然而二者产生的原因是截然不同的,计及黏性效应时初始气泡内能不断被黏性耗散,而可压缩性是将初始内能不断传递并储存到流场中.图3和图4分别给出了球状气泡径向速度即和气泡内气体压力随时间的变化规律,图标含义同上.从图3可见,无黏气泡无量纲最大膨胀和收缩速度均为4.631,保持不变,发生在内外气压平衡时刻.而黏性气泡的最大膨胀和坍塌速度逐渐降低.类似地,对于气泡内压也有一样的规律,考虑了黏性耗散能量之后,气泡的内压无法达到初始强度100,且衰减的速度很快,二次和三次峰值分别为55.93和36.34.同样地,无论对于轴对称模型还是三维模型,数值结果均于解析解符合度十分高.图5给出了球状气泡无量纲黏性耗散率的变化曲线.对于球状脉动气泡,可根据(9)或(10)式有结合图2半径和图3径向速度的变化曲线,就不难理解在一个周期内黏性耗散率分别在最大体积和最小体积时刻达到零点,在法向速度最大时刻出现两次峰值,且峰值逐渐衰减的现象了.图中轴对称和三维模型应用(9)式计算的¯D与Rayleigh-Plesset方程计算的精确解符合得很好,再次验证数值的有效性.在验证数值模型有效性的基础上,研究两个串列的气泡的相互作用.假定两个气泡初始均静止且二者内压相同,即强度参数一致.这里给定初始参数分别为ς_1=ς_2=100,We=1.37×106,Re=100,Fr=5和λ=2.5.零时刻气泡表面的初值条件为和图6给出了考虑流体黏性效应的两个气泡耦合作用的演化过程,其中云图表示速度势大小(红色表示高、蓝色表示低).图6(a)对应气泡初始状态,两个球状气泡在各自高压的作用下向外膨胀,由于气泡间的耦合作用,相互临近的表面的速度势和速度较低,而相互远离的表面的速度势和速度较高.图6(b)对应上气泡体积达到最大的时刻,此时下气泡的下表面在浮力的作用下已经开始进入收缩阶段.从图6(c)中可清晰地观察到下气泡的下表面已经变得平坦,而上气泡在下气泡的吸引作用下呈现“鸭蛋状”.图6(d)对应下气泡坍塌结束时刻,此时可见在浮力、流体黏性、气泡之间的吸引力(又称为Bjerknes力)等多种耦合作用的影响下,下气泡的下表面内卷形成典型的气泡射流,射流即将穿透下气泡而形成环状射流.同时上气泡在多种力的作用下,仍然以“鸭蛋状”较慢地收缩.由于缺乏可对比的实验数据,这里分别采用轴对称边界元模型和三维边界元模型计算图6的工况,并将计算得到的射流速度曲线进行对比,如图7所示,其中viscous axi和viscous 3d分别是考虑黏性作用的轴对称模型和三维模型.本文将射流速度定义为气泡下表面内凹最高点处流体质点的法向速度.从图7的对比可见二者计算的结果精确符合,再度验证了数值模型的有效性.此外,为了突出流体黏性效应的作用,再采用三维边界元模型计算不考虑黏性作用的图6工况,即令Re无穷大,而保持其他参数不变.不考虑黏性效应的计算结果与考虑黏性效应的计算结果对比显示,考虑黏性作用后,射流尖端的速度降低,射流砰击气泡表面的时间推迟.表明流体的黏性效应将抑制气泡射流的发展,降低气泡射流的速度和能量.在进一步讨论黏性效应对能量的影响之前,这里给出流场动能、势能和黏性耗散能及总能量的定义.首先,整个流场的无量纲动能如下:式中v为流场的体积,S为包含气泡表面在内的流域所有边界面.气泡的无量纲势能[26]定义如下:式中为第i个气泡中心的z方向坐标,其余变量含义同前.因考虑黏性效应而引入的黏性耗散能可通过对黏性耗散率积分得到:式中无量纲黏性耗散率¯D可通过(9)或(10)式数值求得.气泡在脉动过程中,守恒的总能量Etotal除了动能、势能相互转化的机械能Em外,还将存在一部分黏性耗散能Ed,即(23)式的最后一个等号是因为初始时刻流场动能和黏性耗散能均为0.图8给出了图6对应的工况中两个气泡相互作用过程中,流场中能量相互转换的曲线.从图中可见,随着两个气泡的运动,流场能量由最开始的气泡势能转换为两个气泡的动能以及流场的黏性耗散能.对于动能,明显地随着气泡的膨胀、坍塌等阶段呈现波峰波谷的特性;黏性耗散能则不同,它随着气泡的运动而不断上升,尤其在气泡射流坍塌即将发生阶段,上升得更快,说明黏性摩擦的作用在气泡射流速度高的时候表现得更明显.总体而言,总能量在整个变化过程中数值误差允许范围内是守恒的.可见黏性效应在气泡射流速度、流场能量的转化中是很重要的.本节分析雷诺数和韦伯数对于气泡运动过程的影响规律.为了清晰地观察二者的影响,忽略重力影响(Fr→∞),采用简单的球状气泡为例,计算不同雷诺数和韦伯数下气泡脉动特性,同时在考虑其中任一参数(称为主要参数)时,令另外一参数(称为次要参数)足够大,以降低次要参数对主要参数的影响,从而突出考察黏性效应和表面张力效应.保持不变,令雷诺数从107依次变为102,选取三维边界元模型计算气泡相关参数的变化.图9给出了不同雷诺数下气泡半径变化曲线,其中Re(∞)仍表示对应不考虑黏性效应的工况.从图中可见,气泡半径在高雷诺数下变化很不敏感,雷诺数Re在104时,气泡半径基本与不考虑黏性效应是重合的;Re在104—103之间变化时,气泡半径损失十分微弱,在前两个周期内,可以忽略黏性效应;仅当Re在102以下时,气泡半径损失明显,黏性效应必须考虑.图10给出了当雷诺数Re分别取102—103间某几个典型数值时黏性耗散率的变化曲线.从图中可见随着Re减小,黏性耗散率逐渐增大,且随着时间推进,峰值衰减更快.数值计算表明,当Re大于103之后,黏性耗散率的数值已经很小,故没有在图中绘制.其次,保持不变,令韦伯数We从1.37×106依次变为1.37×101,选取三维边界元模型计算气泡相关参数的变化.图11给出了不同韦伯数We下气泡半径变化曲线.从图中可见,无论We如何变化,气泡的无量纲最大半径一直是1,即韦伯数不会影响气泡脉动的幅值,但是会影响脉动的周期.而且当We在高于106量级时,气泡的半径几乎重合,可以忽略表面张力效应;当We处于106—102之间时,气泡半径和周期变化不敏感;当We取101量级及以下时,表面张力效应显著,气泡脉动周期显著减小,即气泡振动更快.图12给出了韦伯数分别取137和13.7两种工况下流场动能和势能以及总能量的变化曲线.由于此时雷诺数Re=1010,黏性耗散能已经十分微小,可忽略不计.从图中的对比曲线可见,韦伯数的增加对动能影响较小,对势能影响很大,这是因为势能中含有表面张力效应项总体而言,黏性效应会使得气泡振动幅值衰减,同时气泡周期缩短;而表面张力会使得气泡周期缩短但幅值不变,同时势能增加.然而,气泡半径对高雷诺数和高韦伯数变化均不敏感,此时基本可以忽略黏性效应和表面张力效应.基于气泡边界层理论,修正现有的势流理论,建立考虑流体弱黏性效应的三维边界元模型,研究考虑流体黏性效应和表面张力效应下气泡的脉动和气泡间的耦合作用.首先,采用Rayleigh-Plesset方程求解球状气泡,将边界元模型的计算结果与解析解进行对比,验证数值模型的有效性.在此基础上,选择两个气泡相互耦合作为典型算例,分析考虑黏性作用下气泡耦合、气泡射流和流场能量等的变化.最后研究雷诺数和韦伯数两个参数对气泡脉动的影响规律.得到以下主要结论:1)采用黏性压力法向做功与切向应力切向做功等效的方法,可巧妙地解决无旋速度∇φ在界面处诱导的切向应力不为零,但势流理论中选取切向应力为零作为边界条件的矛盾,从而弥补了经典势流理论中忽略了切向应力在边界处做功的缺失;2)就非球状气泡而言,当考虑气/液交界面处法向和切向黏性效应后,气泡射流在黏性流体中速度减慢,气泡射流能量降低,流场损失的动能和势能逐渐转化为黏性耗散能,且在射流速度较大的坍塌后期,黏性耗散能增长得越快;3)就球状气泡而言,黏性效应会使得气泡振动幅值衰减,同时气泡周期缩短,黏性耗散能不断增加;表面张力会使得气泡周期缩短但脉动幅值不变,同时气泡整体势能增加;当雷诺数和韦伯数较大后,可忽略黏性和表面张力的影响.PACS:47.55.db,47.55.dr,47.55.df,47.11.Hj DOI:10.7498/aps.66.234702*Supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.51639004,51579054,11472088),the Fundamental Research Funds for the Central Universities,China(GrantNos.HEUCFM170110,HEUCFP201701,HEUCFP201777),and the 111 Project of Harbin Engineering University,China.†Corresponding author.E-mail:*****************.cn【相关文献】[1]Boulton-Stone J M,Blake J R 1993 J.Fluid Mech.254 437[2]Cui P,Zhang A M,Wang S P 2016 Phys.Fluids 28 117103[3]Xue Y Z,Cui B,Ni B Y 2016 Ocean Eng.118 58[4]Sato K,Tomita Y,Shima A 1994 J.Acoust.Soc.Am.95 2416[5]Rungsiyaphornrat S,Klaseboer E,Khoo B C,Yeo K S 2003 Comput.Fluids 32 1049[6]Chew L W,Klaseboer E,Ohl S W,Khoo B C 2011 Phys.Rev.E 84 0663078[7]Han R,Li S,Zhang A M,Wang Q X 2016 Phys.Fluids 28 062104[8]Guo X,Cai C,Xu G,Yang Y,Tu J,Huang P,Zhang D 2017 Ultrason.Sonoche.39 863[9]Zhang Y,Zhang Y,Li S 2017 Ultrason.Sonoche.35 431[10]Liu L T,Yao X L,Zhang A M,Chen Y Y 2017 Phys.Fluids 29 012105[11]Miksis M J,Vanden-Broeck J M,Keller J B 1982 J.Fluid Mech.123 31[12]Lundgren S,Mansour N 1988 J.Fluid Mech.194 479[13]Boulton-Stone J M 1995 J.Fluid Mech.302 231[14]Georgescu S C,Achard J L,Canot E 2002 Euro.J.Mech.B-Fluids 21 265[15]Klaseboer E,Manica R,Chan D Y C,Khoo B C 2011 Eng.Anal.Bound.Elem.35 489[16]Joseph D D,Wang J 2004 J.Fluid Mech.505 365[17]Lind S J,Phillips T N 2012 p.Fluid Dyn.26 245[18]Lind S J,Phillips T N 2013 Phys.Fluids 25 022014[19]Ni B Y,Li S,Zhang A M 2013 Acta Phys.Sin.62 124704(in Chinese)[倪宝玉,李帅,张阿漫2013物理学报 62 124704][20]Zhang A M,Ni B Y 2014 Comput.Fluids 92 22[21]Li S,NI B Y 2016 Eng.Anal.Bound.Elem.68 63[22]Lamb H 1932 Hydrodynamics(sixth Ed.)(Cambridge:Cambridge University Press)pp580–581[23]Wu G X 1991 Appl.Ocean Res.13 317[24]Rayleigh J W 1917 Philos.Mag.34 94[25]Zhang A M,Wang S P,Wu G X 2013 Eng.Anal.Bound.Elem.37 1179[26]Best J P 1993 J.Fluid Mech.251 79。
气泡动力学非线性分析
TL,rr
R2 , t
3 R2 TS,rr dr 3 TL,rr dr
r R1
r R2
两个界面上的约束条件由动力平衡给出：
PG
t
PS
R1 , t
TS ,rr
R1 , t
21
R1
1
R1
,
r
R1
由此得到： PS
R2
,
t
TS ,rr
R2 ,t
PL
R2 ,t
TL,rr
R2,t
2 2
R2
,
R23
4 VSGS R23
1
Re1 R1
可以看到新模型只用到一个变量，形式上简单许多。
修正
模型的出发点： Church模型：将包膜看作是一个连续的固体层，充分考
虑了固体层内的应力变化。在其模型中，系统被划分成泡 内气体、包膜、泡外液体三个区域，给出两个界面条件。 模型相对完备，但是比较复杂 很多实际问题中，包膜层非常薄；引入包膜层内的细化， 带来复杂的数学过程，不能有效提高气泡演化的精度。 保留Church模型思想中两个界面约束条件，将三个区域 转化为两个区域：气体区和液体区；并将两个界面条件接 合。从而使方程形式大大简化。
d Vs
4 R2
包膜本身是有质量的， 当两个界面条件结合 时要考虑考虑膜的质 量：
ms R&& F总
其中ms 0
包膜气泡模型示意图
考虑表面张力的变化
1
2
A A0
1
其中 3GS d 综合以上，得到我们的模型方程：
s
Vs
4 R2
L
R
R&&
L
3 2
气泡统一方程 诺贝尔奖
气泡统一方程诺贝尔奖诺贝尔奖是世界上最高荣誉的科学奖项，每年颁发给那些在物理学、化学、生理学或医学、文学和和平等领域做出杰出贡献的人。
本文将以气泡统一方程为主题，探讨与诺贝尔奖相关的领域中的一些突破性发现和重要研究。
气泡统一方程是指描述气泡在液体中的运动和形态演化的数学方程。
这个方程的研究对于理解气泡在自然界和工程中的行为具有重要意义。
在物理学领域，对气泡统一方程的研究对于解释气泡在液体中的生长、破裂和聚合等现象提供了理论基础。
而在工程领域，气泡统一方程的应用可以帮助设计更高效的气泡分离器和气泡冷却器等设备。
在化学领域，气泡统一方程的研究对于理解气泡在化学反应中的作用起到了重要作用。
气泡在液体中的存在可以提供更大的接触表面积，加速化学反应的进行。
研究人员通过对气泡统一方程的研究，可以更好地控制气泡的大小和分布，从而实现更高效的化学反应。
在生理学或医学领域，气泡统一方程的应用可以帮助研究人员更好地理解气泡在人体中的行为和影响。
例如，在深潜中，气泡可以在血液中形成，造成潜水员患上减压病。
通过对气泡统一方程的研究，医生可以预测患者可能遇到的问题，并采取相应的预防措施。
在文学领域，诺贝尔文学奖是对那些在文学创作方面做出杰出贡献的人的最高奖项。
文学作品中常常运用到气泡的隐喻，比如用气泡来比喻短暂的幸福或虚幻的梦想。
通过对气泡统一方程的研究，人们可以更好地理解和欣赏这些隐喻在文学作品中的意义和效果。
在和平领域，诺贝尔和平奖是对于那些为促进和平与解决国际冲突做出杰出贡献的人的奖项。
气泡统一方程的研究虽然与和平看起来没有直接关系，但它的应用却可以帮助解决一些环境和能源领域的问题。
例如，通过对气泡统一方程的研究，科学家可以更好地理解气泡在油田开采和地热能利用中的行为，从而实现更高效和可持续的能源开发。
总结来说，气泡统一方程在诺贝尔奖相关的领域中发挥着重要作用。
从物理学到化学、生理学或医学、文学和和平等领域，气泡统一方程的研究都为我们提供了更深入的理解和更广阔的应用。
垂直磁场作用下水平微电极表面气泡生长特性实验研究
第52卷第1期2021年1月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University (Science and Technology)V ol.52No.1Jan.2021垂直磁场作用下水平微电极表面气泡生长特性实验研究詹水清，黄雨捷，王军锋，江明镅，张伟，王贞涛(江苏大学能源与动力工程学院，江苏镇江，212013)摘要：为探究不同电磁场产生的微观磁对流对水平微电极表面单个气泡生长行为的影响，建立恒定电流的电解水制氢实验系统。
应用高速摄像可视化技术对电极表面气泡生长过程进行观察，结合OpenCV-Python 自定义程序对气泡生长行为特征参数进行提取和分析。
研究结果表明：在气泡生长周期内，气泡直径逐渐增大，气泡生长速率先增大后减小，外加磁场对气泡生长速率几乎没有影响，气泡生长速率随电解电流密度的增大而增大。
与低电解电流密度工况相比，高电解电流密度下的气泡脱离直径明显偏大，气泡生长时间明显延长，工作电极电势明显偏高。
随着磁感应强度增大，低电解电流密度和高电解电流密度条件下的气泡脱离直径、气泡生长时间和工作电极电势均呈现相反的变化趋势，高强度磁场或高电解电流密度作用使磁场的影响效果减弱。
不同电解电流密度和磁感应强度下工作电极电势与气泡接触直径的变化规律类似，揭示出工作电极电势变化与电极表面气泡生长行为密切相关。
关键词：垂直磁场；气泡生长；脱离直径；生长时间；电极电势中图分类号：TK91文献标志码：A开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7207（2021）01-0249-10Experimental study on bubble growth characteristics onhorizontal microelectrode surface in vertical magnetic fieldZHAN Shuiqing,HUANG Yujie,WANG Junfeng,JIANG Mingmei,ZHANG Wei,WANG Zhentao(School of Energy and Power Engineering,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)Abstract:To investigate the effects of micro magnetohydrodynamics convection produced by electric and magnetic fields on the growth characteristics of a single bubble on horizontal microelectrode surface,a constant-current chronopotentiometry water electrolysis experiment system was built.The bubble growth process was captured by adopting the high-speed image technology,and the characteristic parameters of bubble growth were extracted and analyzed in conjunction with a specially OpenCV-Python program.The results show that the bubbleDOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2021.01.025收稿日期：2020−09−28；修回日期：2020−11−06基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51704126)；江苏省自然科学基金资助项目(BK20170551)；江苏省博士后科研资助计划项目(2019K046)(Project(51704126)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project (BK20170551)supported by the Natural Science Foundation of Jiangsu Province;Project(2019K046)supported by the Postdoctoral Research Funds of Jiangsu Province)通信作者：詹水清，博士，副教授，从事多相流与传热传质基础理论与数值模拟研究；E-mail:********************.cn引用格式：詹水清,黄雨捷,王军锋，等.垂直磁场作用下水平微电极表面气泡生长特性实验研究[J].中南大学学报(自然科学版),2021,52(1):249−258.Citation:ZHAN Shuiqing,HUANG Yujie,WANG Junfeng,et al.Experimental study on bubble growth characteristics on horizontal microelectrode surface in vertical magnetic field[J].Journal of Central South University(Science and Technology),2021,52(1):249−258.第52卷中南大学学报(自然科学版)diameter increases during the bubble growth cycle.The bubble growth rate first increases and then decreases andthe external magnetic field has little effect on it.The bubble growth rate increases with the increase of the applied electrolysis current density.The bubble departure diameter is greatly increased,and the bubble growth time is obviously long and the potential of working electrode is obviously high at high electrolysis current densities, compared to those under conditions of low electrolysis current densities.With increasing magnetic induction, bubble departure diameter,the bubble growth time and the potential of working electrode show the reverse change trend between the low and high electrolysis current densities,and the effects of magnetic field are decreased significantly with high-intensity magnetic field or high electrolysis current density.The potential of working electrode and the bubble contact diameter perform similar variations at different electrolysis current densities and magnetic inductions,which reveals that the transient potential of working electrode is closely associated with the bubble growth characteristics on the horizontal microelectrode surface.Key words:vertical magnetic field;bubble growth;departure diameter;growth time;potential of working electrode氢能是一种理想的清洁能源，在能源、石油、化工、冶金、航空航天等领域应用广泛。
高级氧化技术超声
wu
氮气存在的解离
Ｎ2 → 2Ｎ· ＨＯ· Ｎ· ＮＯ+Ｈ· + → ＨＯ· ＮＯ → ＨＮＯ2 + ＨＯ· ＮＯ → ＮＯ2 + Ｈ· + 2ＨＯ2 + Ｈ2Ｏ2 → ＨＮＯ2 + ＨＮＯ3 Ｈ· Ｎ· ＮＨ + → ＮＨ + ＮＨ → Ｎ2 + Ｈ2 Ｏ2 + Ｎ· ＮＯ + Ｏ· →
23
wu
25
wu
3.超临界氧化
当温度和压力分别超过水分子的临界温度374℃和临 界压力20×107Pa时，水分子处于超临界状态，称为 超临界水。 水的物理化性质的粘度、电导、离子活度积、溶解度、 密度和热容在超临界区发生突变，因此具有低的价电 常数、高的扩散性和快的传输能力，具有良好的溶剂 化特性。 此时，超临界水能与非极性物质，如烃类，互溶，也 能与空气、二氧化碳和氮气等气体完全互溶。超临界 水的这些特殊性质使它成为一种理想的反应介质，有 利于大多数化学反应速率的提高。
Pｍａｘ——空化泡内最大压力； Pｇ ——起始半径时泡内的压力； Pｍ ——空化泡在崩溃过程中受到的总压力； r ——气体的比热比γ值。
17
wu
(2)瞬态空化泡崩溃时泡内最高温度Ｔmin
Tmax
Pm r 1 Tmin Pg
Ｔmax——瞬态空化泡崩溃时泡内最高温度； Ｔmin ——环境温度； Pg ——起始半径时泡内的压力。 18
wu
1.空化气体
聚 苯 乙 烯 氩气 聚 苯 乙 烯 脱气
空气
空气
用空气和氩气饱和的聚苯乙 烯的超声降解曲线 38
用空气和脱气的聚苯乙烯的 超声降解曲线
水中球形微气泡演化的动力学行为分析与控制
（． 安交 通大学能源与动力工程学 院 ， １０ ９ 西安 ； ． １西 ７０４ ， ２ 昆明钢铁集团动力能源分公 司，６ ００ ， ５ ３ ２ 云南安宁）
摘 要 ：从动 力 学观 点分析 了水 中球 形微 气泡 无外部 激励 时平衡 态的稳 定性及 受到 声波激励 时受迫
ＲＥ ｈ ｎ ＨＡＮＧ Ｊａｈ ｎ Ｎ Ｓ ｅ ｇ ，Ｚ ｉｚ ｏ ｇ ，ＫＡＮＧ Ｗ ｅ ， Ｑ Ｙｕ ｈ ｉ ｉ ｕ ｎ ａ 。
（ ．Ｓ ｈ ｏ ｆ ｎ ｒ ｙ ａ ｄ Ｐ ｗ ｒＥ ｇｎ ｅ ｉｇ Ｘｉ ｎ Ｊ ｏ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒ ｉ ， ｎ ７ ０ ４ ， ｈ ｎ ；２ ｏ ｒ ｎ ｎ ｒ ｙ Ｓ ｕ ｃ ｓＢ ａ ｃ １ ｃ ｏ ｌ ｅ ｇ ｎ ｏ ｅ ｎ ｉ ｅｒｎ 。 ｉ ｔ ｎ ｉｅ ｓ ｙ Ｘｉ １ ０ ９ Ｃ ｉａ ．Ｐ ｗｅ ｄ Ｅ ｅｇ ｏ ｒ ｅ ｒｎ ｈ ｏＥ ａ ａ ｔ ａ ａ
ｓａｅ ｉ ａ ｓａ ｌ ｏ ｕ ｏ ｐ ｅ ｉａ ｉｒ － ｕ ｂ ｅｅ ｏ ｕ ｉｎ ｉ ｔ ｒｗｉｈ ｕ ｘ ｅ ｎ ｌ ｘ ｉａｉ ｎ ｔ ｔ Ｓ ｔ ｂｅｆ ｃ ｓｆ ｒａｓ ｈ ｒｃ ｌ ｃ ｏ ｂ ｂ ｌ ｖ ｌ ｔ ｗａｅ ｔ ｏ ｔｅ ｔｒ ａ ｃｔ ｔ ． ｍ ｏ ｎ ｅ ｏ
振 荡的复 杂动 力 学行 为 ； 分析 了无 声 波激励 时 平衡 态的稳 定性 和 奇点 类型 ， 并对其 相应 的物 理现 象
进行 了解释 ； 于 受到声 波激 励 的微 气 泡 受迫振 荡 ， 对 结合 Ｐ ｉｃｒ ｏｎａ６映射 法 确 定 了 Ｐ ｉｃｒ ｏｎａ６映射 的
不动点 ， 并根据 Ｆｏ ｕｔ ｌ ｅ 理论分析了周期 解的稳定性及分岔． ｑ 分析表 明： 无声波激励 时水 中球形微 气泡的平衡 态是一稳定焦点 ， 而受到声波激励时， 随着激励频率的升高， 气泡的周期振 荡从失稳 微
带有Neumann边界的类p-Laplace方程无穷多解存在性
进 而 结合 （ ８）式有
詈 ０ ＋古 一ｏ ｌ Ｌ １） ＋ ＋ ） Ｊ
Ｉ ｌ Ｉ＋ ｃｌ Ｉ Ｉ ｏｌ ｎ ｎ ｑ
－
（ ３ 存在 （ ） （ 使得极 限 ｍ ｓｐ ＋ （ ，） 一 Ｆ （） Ｆ） ∈ Ｑ） 。 Ｆ ｘ号 ｏ 关 ｕＥ
ｉｘ∈Ｑ一致 成立 。 ：
ｉ （＝ （ ， ）ｒ（ｖｒ （ 标准的 。。Ｖ ｇ ， ｎ） Ｆ（“ 厂 ， ． 是 Ａ ） ｒｒ ，＝ ｘ） ｄ ｓｂｌ 空 Ｃ
间 其 价 数 取 ＝ （ Ｉ ｘ ． ， 等 范 可 为 ＬＶ （ １ ＋ ） “ ） “
程 （） １ 的弱解是指 ：对于任意的ｖ Ｗ （ 郧 有 ∈ Ｑ
关键 词 类Ｐ Ｌ ａｅ — 印ｌ 算子 ；Ｎ ｕ ａｎ ｃ ｅｍ ｎ边界 ；局部 极小值 ；无穷 多解 中 图分 类号 ０ ７ ． 文献 标识 码 Ａ １５ ５ ２ 文 章编 号 １７—６ １（ １） １ ｝５－０ ６ ３９７一２ ０ ６ ￣ １８０ ２ ０ ０
本文讨论 如下带有Ｎ ｕ ｎ 边界的类Ｐ Ｌ ｐａｅ 程的无穷多解问 ｅ ｍａ ｎ — ａ ｌｃ方
题：
定理１设条件 （ １ Ａ ）， （ ２）， （ １ Ａ Ｆ ）， （ ２）和 （ ３） Ｆ Ｆ 成立 ，且
， （） ６
Ｉ ｉ ｑ ＩＶＩＶ） （“ ＝（ ） ｘｆ —ｖ Ｖ “ “ ｘＩ“ ，，， ｅｌ ｄ（ “ ＋ ）一 口 一 ｌ “
１
Ｌ
： ０ ，
地 ’
（ １ ，（， ：０ Ｆ ） ０ 。且Ｖ ） ｘ∈Ｑ， ｆ ｏ ｘｔ ≥０ ｈ ｆ Ｆ（， ） 。
ｎ ｎ一 ）Ｉ 一 瓦 ＋ ｆ１。 ｌ Ｕ （ｃ 出叫
简述ENSO现象
1.简述ENSO现象赤道太平洋海面水温的变化与全球大气环流尤其是热带大气环流紧密相关。
其中最直接的联系就是日界线以东的东南太平洋与日界线以西的西太平洋—印度洋之间海平面气压的反相关关系，即南方涛动现象（SO）。
在拉尼娜期间，东南太平洋气压明显升高，印度尼西亚和澳大利亚的气压减弱。
厄尔尼诺期间的情况正好相反。
鉴于厄尔尼诺与南方涛动之间的密切关系，气象上把两者合称为ENSO（音“恩索”）。
这种全球尺度的气候振荡被称为ENSO循环。
厄尔尼诺和拉尼娜则是ENSO循环过程中冷暖两种不同位相的异常状态。
因此厄尔尼诺也称ENSO暖事件，拉尼娜也称ENSO冷事件。
2. 气候动力学的任务、特点和方法气候动力学是以地球流体力学和大气环流动力学为基础，是大气科学与海洋学等地球科学和物理学、数学以及计算机科学相互交叉的一个前沿学科。
它和当代大气环流以及大尺度、长期动力过程理论的发展越来越紧密，在很多方面都已很难严格定义气候动力学、大气环流和大尺度动力学之间的区分和差异，实际上它们是相互联系、相互渗透的大气科学动力学理论中极为重要的部分。
了解异常气候的变化规律和形成机制，并对异常气候作出较为可靠的预测，己成为各国政府做出决策和社会发展所必要的重要条件。
对这些问题的研究和解决是气候动力学的重要任务和目标。
当代气候的主要特点：1) 经典气候把气候当作静态来研究，因此常用多年“统计平均”来描述气候状态；而当代气候认为气候是不断变化的，因此，研究某个地区或全球范围的各种时间尺度的气候变化是当代气候的主要任务之一。
2) 在当代气候中引进了“气候系统”的概念，气候系统的子系统包括大气、海样、冰雪圈、陆地表面(岩石圈)和生物圈。
因此，气候的形成和变化不仅是大气内部的状态和行为的反映，而且也是气候系统各子系统相互作用的结果。
3) 在研究方法上经典气候主要采用统汁方法和定性描述方法；而当代气候则要求对气候系统进行定量观测和综合分析，并对气候形成和变化的动态过程进行理论研究和数值模拟。
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榆 林 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＹＵＵ Ｎ ＣＯＬ ＧＥ ＬＥ
第ｌ卷 ８
第 ６期
ＮＯ ． ０ ８ Ｖ２ｏ Ｖ０ ． ８ Ｎ ． １１ ｏ ６
气泡振动 Ｎ ｈｎｋ— ｅｐｒ 方程 的解析解的存在性 ｏｉ ｇ Ｎ ｐｉ ｓ ａ
魏美丽
（ 榆林学院 数学与应用数 学系， 陕西 榆林 ７ ９０ ） １００ 摘 要 ： Ｎ ｌ ｇ — ｅｐ ａ 方程 出发， 从 ｏｉ ｋ Ｎ ｐ ｉ ｓ ｔ ｎ ｒ 考察 了存在外加声场情况下的单气泡非线性振动方程。从理
・
３ ・ ６
榆
林 学 院 学 报
２０ ０ ８年第 ６期（ 总第 ７ ６期 ）
Ｃｌ
ｐ ：， ｃｃ”＋ＣＣｔ＋Ｃｅ ３／ （ 。２ ３ １ ２０ ｔ ｌ ＋ ３ｃ ｌ ｌ ＋３ ０ｃ＇ ｃ＇２）＝
Ｃｏ －３ ７－２ｃ１２
＿
将其代人所设解， 可得 ＿＝ ｏ Ａ ｃｓ＋ ２ｏ ｔ Ａ － Ａ ＋ １ ｔ Ａ ｃｓ ＋ ｒ ｏ ２ 其中： Ａ ＝１＋［ ３ ＋１ ／６ ｐ ０ （ 一ｐ ）３ ￣ （ 一１ Ｐ ／ ）］ ＋０
可写 为 Ｒ ｄ Ｒ ２
＋
３ Ｌ Ｒ） ， ＝Ｐ ｄ ｏ
ｐ
［ １一（ ｎ ］＋Ｐ ） Ｐ ’ ｐ ｍ ＿
３ｄ （ ｒ Ｐｓ０（ ．．÷１ 。 ｔ ５ ｒ － ｃ＝ ） ｏ
ｃ （ ｏｓ ｏｔ
将 （ ） 与 定理相 对 照 ， ５式 易知 （ ） ３ 式满 足定 理 中 的条件 （ｉ ）一（ ， 而 至少 存 在 一个 以 ２ｒ ｖ） 从 ７ 为周 期 的周期解 。
气 中体力 ｐ（＋） ） １ 泡气压为 ｐ （ （ 一０ 鲁 ）
假设在振动过程中液体和它的蒸气总是处于相 平 衡状 态 ， 根据 Ｒ ｙ ｉ 再 ａｌ ｇ ｅ ｈ理论 可 得 Ｎ ｌｎ ｋ—Ｎ ｐ ｏ ｉｇ ｔ ｅ—
（ｉ ｆＸｙ 满 足 ｉ）（ ，）
ｆｘ Ｙ ｎ＞ ， Ｉ Ｉ ａ Ｉ Ｉ ａ （ ＞ ） （ ， ）＞Ｉ ０ 当 ｘ ＞ ，ｙ ＞ ， ａ ０ ，
ｆｘＹ （ ，）＞ 一 Ｍ ＞ ） 当 ｌＩ ，Ｙ ＜＋∞ ； Ｍ（ ０ ， ｘ ｓａ ＩＩ
（ｉ ｇ Ｘ 满足 ｘ （ ）＞ 当 Ｉ ｌ ， ｉ） （ ） ｉ ｇ ｘ Ｏ， ｘ ＞ａ
．
ｐａ 方程［ ｐ ＲｄＲ＋ ３ ｄ ］＝ （ ０＋ ） ｉｓ ｒ １ ［ ２ Ｒ） Ｐ
叭
ｉ ｌ （ ） ＝＋∞ ｍ ｘｌ ｇ
．
（） Ｐ２ ＰＰｎ 鲁ａ Ｏ ０ｍ ｖ 一＂ ＋ｓ ＋百 一 ｉ
（ ２ ）
（ｖ 令 Ｇ（ ）＝』ｇ ｓ ｄ ， 设 ｉ） ｘ ｏ （ ） ｓ并
（ ）＝ ； ｘ ０
ｉ ｇ ）Ｇ ｍ ｘ ／ （
．
式 （ ） （ ） Ｐ 代 表气 泡周 围液体 中 的静 压力 ； １ 和 ２ 中：。
Ｐ代表平衡 时液体 的密度 ； Ｒ 代表 气泡的平衡半
径； ∞代表外加声场的角频率 ； Ｐ 代表声压 的振幅； 代表气泡 中气体定压 比热与定容比热之比， ４ ＝ ／
３。
（ Ｐ ｔ连续且 以 （＞ 为周期。 ｖ） （） １ ０ ） 在这 些假 定下 ， ４ 式 至 少 有 一 个 以 （ 为 周期 （） Ｉ ）
ｏ 一 ＝ ￣ Ｃ ＂＋ ） １ ３１ ｏ ÷ｃ ／ Ｃ ３ ｏ
Ｐ ： ｃｃ１ ｌｔ ＋ ｃＯ ）＝ 一 ｏｔ ３ ｃ 一 ３ （ ｏ” ＋ＣＣ０ ３ ｔ １ Ｂ ｔ ｃ ｃｓ 一 ｙ ０ 一
作 者简介 ： 魏美丽（ ９ １ ， ， １７ 一） 女 陕西渭南人 ， 实验师 ， 硕士 ， 研究方 向模糊逻辑 。Ｅ— ａ ： ｏ ｌ０ ＠１３ ｃｍ ｍ ｒ ｗ ｒ ０ ０ ６ ．０ ｌ ｍ
论上 证 明 了该 气泡振动 方程 周期 解的存在 性 ， 并给 出 了方程 的解析 解 。 关键 词 ：ｏｉｇ Ｎ ｈｎｋ—Ｎ ｐｉ ｓ 程 ； ｅｐｒ 方 ａ 非线性振 动方 程 ； 解析 解 中 图分类 号 ：２ １６ 文献标 识 码 ： 文章编 号 ：０８—３７ （０ ８ ０ ０３ ０ Ｏ ４． Ａ １０ ８ １２０ ）６— ０５— ２
Ｉ 气 泡非 线性 振动 方程
假 如下列 条件 满 足 ： （ｉ） Ｉ ＜ ＋∞ ， ＹＩ 对 Ｉ ｘ Ｉ ＜
若气泡内充 以气体和蒸气 ， 根据气体物态方程，
＋Ｏ ｆｘ ｙ 和 ｇ ｘ 连续 ， （ ） 微 而 ｆｘ Ｙ 有 一 ０， ，） （ （） ｇｘ可 （，）
阶偏 导数 ；
的周期 解 ． （ ） 中 ， ｒ为微 小扰 动 ， ｒ ０ 在 ３式 设 即 ＝ｒ ＋ ，其 中 Ｔ与 ｒ 比为 高 阶微 量 ． 设 ｃ＝３ Ｉｒ， ｒ ， 相 并 ，３ ０则 ｙ
此 时（ ） 可写 为 ３式
＋
为 简化 ， 在上式 中忽略表 面 张力及蒸 气压 力 ， 并
将 Ｐ ｓ （ 在时间轴上作一个 固定 的平移于是上 式 ｉｏ ｎｔ
Ｐ ｃ 。：
（ ｒ ］ － － ＋ ｃｓ＝ ） ＋１ ｒ３ ｐ。 ０ ｄ ｒ ｔ
。
（） ３
２ 气 泡 非线 性振 动方程 周期解 的存 在性 定理 １ 给定 方程 】（ ， ） ＋ｇ Ｘ Ｐ ｔ ： ｆ ｘ ｊ ｊ （ ）＝ （） 【【
（ ４）
收稿 日期 ：０８— ７— ４ ２ ０ ０ ２ 基金项 目：０ ８ ２ ０ 年榆林学院科研基金资助项 目（ ８ Ｋ ９ ０Ｙ １）
３ 气 泡非 线性 振动 方程 的解析 解
将上式无量 纲化 ， ｒ ／ Ｐ＝ Ｐ ， ＝ 令 ＝Ｒ Ｒ ， Ｐ ／ 。 ｔ
（ ｐ ＝Ｏ ｔ ， ） ｙ ０ 可 得 ３ ｐ ［ ２ ＋ ３ １ ） ）Ｏ ０ ／ ， ２ ３Ｐ ｒ＝ ｒ ｒ ｄ
，
２
对 （） ３ 式而言， ｒ ｃ ＋ １ ＋ ２ ＋ 令 ＝ ０ ＣＰ ｃｐ Ａ 其 中 Ｃ，。Ｃ， 。Ｃ，：Ａ为 ｔ 的函数． 将其代入方程计 算并比较 Ｐ的幂所对应的系数得 ：