线性方程组解的存在性
线性代数线性方程组基本概念
证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 ,, x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关， 故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示， 即 A X = b 的解是惟一的。
即得 念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
5
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
7
§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
Peano定理解的存在性定理的应用主讲范进军
第二讲 Peano 定理（解的存在性定理）的应用（主讲：范进军）例 利用 Peano 存在定理证明如下隐函数存在定理：设D 是空间 nR R ´ 内的一个区域，函数 :;(,)(,) nF D R t x F t x ®® 是连续可微的， 而且满足条件00 (,)0 F t x = 和 00 det{(,)}0,x F t x ¹ 其中初值 00 (,) t x D Î 。
则方程 (,)0 F t x = 确定一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数() x x t = 。
证明 由条件 00 det{(,)}0 x F t x ¹ （其中 00 (,) t x D Î ）知，存在充分小的矩形区域{ } 00 (,):||,||||(,0) n Q t x R R t t a x x b a b =δ-£-£> ,使得当(,) t x Q Î 时矩阵 00 (,) x F t x 是可逆的. 因此函数1 (,){(,)}(,)x t f t x F t x F t x - =- 在区域Q 上是连续的。
根据 Peano 定理知，初值问题00(,), () dxf t xdt x t x ì = ï í ï = î 存在一个局部解 00 (),[,](0) x t t t h t h h j =Î-+> 。
从而1 (){(,())}(,()) x t d t F t t F t t dtj j j - =- ， 0 || t t h -£ 。
它等价于()(,())(,())0 t x d t F t t F t t dtj j j += ， 0 || t t h -£ , 即(,())0 dF t t dtj = ， 0 || t t h -£ 。
线性方程组中的参数和解的存在性
线性方程组中的参数和解的存在性线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
在解线性方程组时，参数起着重要的作用。
本文将探讨线性方程组中参数的意义以及解的存在性。
一、参数的意义在线性方程组中，参数是未知数的系数，它们可以取任意实数值。
参数的存在使得方程组的解具有一定的灵活性。
通过改变参数的取值，我们可以得到不同的解，从而得到问题的多个解。
参数的存在也使得方程组的解具有一定的特殊性。
当参数取特定的值时，方程组可能具有特解或无解。
这使得我们可以通过调整参数的取值，来寻找特殊解或判断方程组是否有解。
二、解的存在性解的存在性是解决线性方程组问题的关键。
在研究解的存在性时，我们需要考虑方程组的系数矩阵和增广矩阵。
1. 系数矩阵系数矩阵是由方程组的系数组成的矩阵。
我们可以通过对系数矩阵进行行变换，来判断解的存在性。
当系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解。
这是因为系数矩阵的秩等于方程组的未知数个数意味着方程组的每个方程都是独立的，可以通过高斯消元法得到唯一解。
当系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解。
这是因为系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数意味着方程组的某些方程是线性相关的，可以通过高斯消元法得到自由变量，从而得到无穷多解。
2. 增广矩阵增广矩阵是由方程组的系数矩阵和常数项组成的矩阵。
我们可以通过对增广矩阵进行行变换，来判断解的存在性。
当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解。
这是因为增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于方程组的未知数个数意味着方程组的每个方程都是独立的，可以通过高斯消元法得到唯一解。
当增广矩阵的秩小于系数矩阵的秩时，方程组无解。
这是因为增广矩阵的秩小于系数矩阵的秩意味着方程组的常数项与系数矩阵的线性关系不一致，无法通过高斯消元法得到解。
三、应用举例为了更好地理解参数和解的存在性，我们举一个具体的例子。
考虑以下线性方程组：2x + ay = 53x - y = 2其中a为参数。
线性方程组解的结构(重要知识)
3x5
令自由变量为任意实数
x1 2k1 k2 3k3
x2 x3
k1 4k2 5k3
x2 k1, x4 k2 , x5 k3
x4
k2
x5
k3
2
1
3
说明:
1
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
1
2
3
2
3 2
,2,
5 2
,3
T
0
通解为：X 2,3,4,5T k3,4,5,6T ,k R
-13-
例6
x
1
x1
x2 x2
x3 x3
x4 0, 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解
A~
1 1
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 2,
2.如果当非齐次线性方程组Ax 有无穷多解时,
其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
非齐次方程组解的判别定理
对于非齐次方程组 Amn x b(b 0)
(1) 有解 r( A) r( A~) 无解 r( A) r( A~)
(2) 有惟一解 r( A) r( A~) n (3) 有无限多解 r( A) r( A~) n 齐次方程组解的判别定理
（A）AX 0仅有零解，则AX b有唯一解
（B）AX 0有非零解，则AX b有无穷多解 （C）AX b有无穷多解,则AX 0仅有零解
3-6.非齐次线性方程组
ïï í ï
x2 x3
= =
x2
2x4 + 1 2
ïîx4 =
x4
çæ x1 ÷ö çæ 1÷ö çæ 1÷ö çæ1 2÷ö
ç ç ççè
x2 x3 x4
÷ ÷ ÷÷ø
=
k1
ç ç
ççè
1÷ 00÷÷÷ø
+
k2
ç ç
ççè
0÷ 12÷÷÷ø
+
ççççè1002÷÷÷÷ø.
(k1, k2 Î R)
例2 求解非齐次线性方程组
ú ú
êë0 0 0 0 0 k -3úû
ìx1 = x3 + x4 + 5x5 - 2
得
ï ïï í
x2 x3
= =
-2 x3 x3
-
2x4
-
6 x5
+
3
ï ï
x4
=
x4
ïîx5 =
x5
通解 为
é 1 ù é 1 ù é 5 ù é- 2ù
êê- 2úú
êê- 2úú
êê- 6úú
ê ê
3
ú ú
x
x = k1x1 + L + kn-rxn-r + h * .
例1 求解非齐次方程组的通解
ì ï í
x1 x1
-
x2 x2
+
x3 x3
+ -
x4 = 0 3x4 = 1
注意书写格式
ïî x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = - 1 2
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
考研数学线性代数常用公式
考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。
希望对考生在暑期的复习中有所帮助。
本文内容为线性代数的常考公式汇总。
1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即A= a i1 A i1+ a i2 A i2+...+ a in A in( i =1, 2,..., n)= a1j A1j+ a 2j A2j+...+ a nj A nj( j =1, 2,..., n)推论：行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即n∑a ij A kj= a i1 A k1+ a i2 A k2+...+ a in A kn=0,(i≠k )j=1n∑a ji A jk= a1i A1k+ a2i A2k+...+ a ni A nk=0(i≠k )j=12、设 A =(a ij)m⨯n，B =(b ij)n⨯k（注意 A 的列数和 B 的行数相等），定义矩阵nC =(c ij)m⨯k，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+...+a in b nj=∑a ik b kj，称为矩阵 A 与矩阵 B 的k =1的乘积，记作 C = AB .如果矩阵A为方阵，则定义An=A⋅A...A为矩阵 A 的 n 次幂.n个A不成立的运算法则AB≠BAAB=O≠>A =O或B=O3、设 A 为n阶方阵，A*为它的伴随矩阵则有 AA *= A * A = A E .设 A 为n阶方阵，那么当 AB = E 或 BA = E 时，有 B -1 = A4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第 i 行和第 j 行得到的初等矩阵记作E ij，该矩阵也⎛ 0 0 1 ⎫ 可以看做交换单位矩阵的第 i 列和第 j 列得到的.如 E 1,3 0 1 0 ⎪= ⎪ .1 0 0 ⎪⎝ ⎭第二种：将一个非零数 k 乘到单位矩阵的第 i 行得到的初等矩阵记作 E i ( k ) ；该矩 阵 也 可 以 看 做 将 单 位 矩 阵 第 i 列 乘 以 非 零 数 k 得 到 的 . 如⎛ 1 0 0 ⎫E 2 (-5) 0 -5 0 ⎪ = ⎪ .0 0 1 ⎪⎝ ⎭第三种：将单位矩阵的第 i 行的 k 倍加到第 j 行上得到的初等矩阵记作 E ij ( k ) ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第 j 列的 k 倍加到第 i 列上得到的.如⎛ 1 0 0 ⎫ E 3,2 (-2) 0 1 -2 ⎪= ⎪ .0 0 1 ⎪⎝ ⎭注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵 E ij ( k ) 看做列变换是将单位矩阵第 j 列的k 倍加到第 i 列，这一点考生比较容易犯错.5、矩阵 A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵 A 的秩，记为 r ( A ) .1） r ( A ) = r ( A T ) = r ( k A ), k ≠ 0 ；2） A ≠ O ⇔ r (A ) ≥ 1；3） r ( A ) = 1 ⇔ A ≠ O 且 A 各行元素成比例；4）设 A 为 n 阶矩阵，则 r ( A ) = n ⇔ A ≠ 0 . 6、线性表出设 α1 , α 2 ,...,αm 是 m 个 n 维 向 量 ， k 1 , k 2 ,...k m 是 m 个 常 数 ， 则 称k 1α1 + k 2α 2 + ... + k m αm 为向量组α1 , α 2 ,...,αm 的一个线性组合.设 α1,α2 ,...,αm 是 m 个 n 维向量， β 是一个 n 维向量，如果 β 为向量组α1 , α2 ,...,αm的一个线性组合，则称向量β可以由向量组α1 , α2 ,...,αm线性表出.线性相关设α1 , α2 ,...,αm是m个n维向量，如果存在不全为零的实数k1 , k2 ,..., k m，使得k1α1+ k 2α2+...+ k mαm=0，则称向量组α1,α2,...,αm线性相关.如果向量组α1 , α2 ,...,αm不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组α1 , α2 ,...αm线性相关当且仅当α1 , α2 ,...αm中至少有一个是其余m-1 个向量的线性组合.定理2：若向量组α1 , α2 ,...αm线性相关，则向量组α1 , α2 ,..., αm ,αm+1也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关⇒整体相关”或等价地“整体无关⇒部分无关”.定理3：若向量组α1 , α2 ,...αm线性无关，则向量组α1 , α2 ,...αm的延伸组⎛α⎫ ⎛α⎫⎛α⎫也线性无关.1⎪ , 2⎪,..., m⎪⎝β1⎭ ⎝β2 ⎭⎝βm ⎭定理4：已知向量组α1 , α2 ,...αm线性无关，则向量组α1 , α2 ,...αm , β线性相关当且仅当β可以由向量组α1,α2 ,...αm线性表出.定理 5：阶梯型向量组线性无关.定理6：若向量组α1 , α2 ,...,αs可以由向量组β1 , β2 ,..., βt线性表出，且α1 , α2 ,...,αs线性无关，则有s≤t.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组α1 ,α2 ,...,αs可以由向量组β1 , β2 ,..., βt线性表出，且 s > t ，则α1,α2,...,αs线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理7：n +1个n维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设 A =(α1,α2,...,αn)，其中α1,α2,...,αn为 A 的列向量，则线性方程组 Ax = b 有解⇔向量 b 能由向量组α1,α2,...,αn线性表出；⇔r (α1,α2,...,αn)= r (α1,α2,...,αn,b )；⇔r ( A )= r ( A, b)线性方程组解的唯一性当线性方程组 Ax = b 有解时， Ax = b 的解不唯一（有无穷多解）⇔线性方程组的导出组 Ax =0有非零解；⇔向量组α1 , α2 ,...,αn线性相关；⇔r (α1,α2,...,αn)< n ；⇔r ( A )< n .注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知r (A )< n 是不能得到 Ax = b 有无穷多解的，也有可能无解.2）定理 2是按照 Ax = b 有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出 Ax = b 有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设 A 为 n 阶矩阵，λ是一个数，若存在一个 n 维的非零列向量α使得关系式 Aα = λα成立.则称λ是矩阵 A 的特征值，α是属于特征值λ的特征向量.称为矩阵 A 的特征多项式.设 E 为 n 阶单位矩阵，则行列式λE - A注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式 Aα = λα也可以写成(A - λE)α =0，因此α是齐次线性方程组( A - λE ) x =0的解，由于α ≠0，可知( A - λE ) x =0是有非零解的，故A - λE =0；反之，若 A - λE =0，那么齐次线性方程组( A - λE ) x =0有非零解，可知存在α ≠ 0 使得(A-λE)α = 0，也即Aα = λα.由上述讨论过程可知：λ是矩阵 A 的特征值的充要条件是 A - λE =0（或λE- A =0），而特征值λ的特征向量都是齐次线性方程组( A - λE ) x =0的非零 解.3）由于λE - A 是 n 次多项式，可知 A - λE =0有 n 个根（包括虚根），也即 n 阶矩阵有 n 个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量9、矩阵的相似对角化定理1： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是矩阵 A 存在 n 个线性无关的特征向量.同时，在等式 A = P ΛP-1中，对角矩阵Λ的元素为 A 的 n 个特征值，可逆矩阵 P 的列向量为矩阵 A 的 n 个线性无关的特征向量，并且 P 中特征向量的排列顺序与Λ中特征值的排列顺序一致.推论：设矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则矩阵 A 可相似对角化.定理2： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，λ线性无关的特征向量个数都等于λ的重数.推论： n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是对任意特征值λ，n - r (λE - A)=λ的重数.10、设 A 为实对称矩阵（ A T= A ），则关于 A 的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理1： A 的所有特征值均为实数，且 A 的的所有特征向量均为实数.定理2： A 属于不同特征值的特征向量必正交.定理3：A 一定有 n 个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化.且存在正交矩阵 Q ，使得 Q -1 AQ = Q T AQ = diag (λ1,λ2,...,λn)，其中λ1,λ2,...,λn为矩阵 A 的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.n n11、如果二次型∑∑a i j x i x j中，只含有平方项，所有混合项 x i x j(i ≠ j)的系i=1j =1数全为零，也即形如 d1 x12+ d 2 x22+...+ d n x n2，则称该二次型为标准形。
第5章-线性方程组
从而向量b能由A的列向量组线性表示为 b c1a1 cr a r 0a r 1 0a n ,
那么向量c c1,, cr ,0,,0 满足Ac b,因此方程组 Ax b有解。
T
(2). 设Ax b有唯一解c。由(1)结论，有 r ([ A, b]) r ( A) n. 假设r ( A) n, 那么由定理 1，齐次方程组 Ax 0有非零解u, 那么 A(u c) Au Ac Ac b,
1 0 3 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 5 2 1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 1 7 1 1 2 3 0 1 7 2 2 . 2 2 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 2 7 4 0 0 0 0 3 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 14 8 0 0 1 3 9 7
可知
n-r(A)=n-r(ATA) 这就证明了结论。
定理 2
非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为 Ax = b 的一个 特解与相应齐次线性方程组 Ax = 0 的通解之和.
即: Ax = b 的通解= Ax = b 的特解+ Ax = 0 的通解.
证 设 是 Ax = b 的一个解, r(A) = r, v1, v2, …, vnr 是 Ax = 0 的一个基础解系， 则有 A = b, Av i = 0, i =1, 2, …, nr,
x1 + k x2 + x3 = 1 ,
x1 + x2 - kx3 = k ,
线性方程组的解的性质
线性方程组的解的性质线性方程组是数学中的一个重要概念，它描述了一组关于未知数的线性关系。
线性方程组的解是指满足所有方程的未知数值组合。
在本文中，我们将讨论线性方程组解的性质。
一、解的存在性和唯一性解的存在性是指线性方程组是否有解。
对于一个线性方程组而言，解的存在性可以通过矩阵的行列式来判断。
若行列式的值为非零，则线性方程组有解；若行列式的值为零，则线性方程组无解。
解的唯一性是指线性方程组解的个数。
对于一个线性方程组，解的个数取决于方程的个数和未知数的个数。
如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值不为零，那么线性方程组存在唯一解。
如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值为零，那么线性方程组可能存在无穷多个解，也可能无解。
二、解的线性相关性在解的性质中，我们还需要讨论解的线性相关性。
解的线性相关性是指线性方程组的解之间是否存在线性关系。
如果线性方程组有解且解之间存在线性关系，那么解是线性相关的；如果线性方程组有解且解之间不存在线性关系，那么解是线性无关的。
线性相关性的判断可以通过矩阵的秩来进行。
对于一个n阶矩阵A，如果它的秩r等于未知数的个数n，那么线性方程组的解是线性无关的；如果秩r小于n，那么线性方程组的解是线性相关的。
三、解空间和基础解系解空间是指线性方程组所有解构成的集合。
解空间的维数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。
解空间的维数也可以理解为线性方程组解的自由变量的个数。
基础解系是指线性方程组解空间中的一组向量，它们可以通过线性组合得到解空间中所有解。
基础解系的个数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。
四、解的特殊情况除了一般情况下的解的性质，线性方程组还存在一些特殊情况。
1. 无解情况：当线性方程组中出现矛盾的方程时，线性方程组无解。
2. 无穷多解情况：当线性方程组的方程个数小于未知数个数时，线性方程组可能存在无穷多个解。
此时解空间的维数大于0，存在自由变量。
通过以上讨论，我们可以看出，线性方程组的解的性质有：存在性和唯一性、线性相关性、解空间和基础解系以及特殊情况。
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对线性方程组
a11 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L a2n xn LLLLLLLLLL
b2 L
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
a11
A
a21
M
a12 L a22 L MO
am1 am2 L
a1n
a2n
M
amn
方程组的 系数矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22 L
M M O
am1 am2 L
a1n Mb1
a2n M
Mb2
MM
A
Mb
amn Mbm
方程组的 增广矩阵
其中 b
b1
b2
为 m 维列向量，
M
记
X
x1
x2
为未知元向量
M
bm
xn
则方程组可写成矩阵形式：AX b
A
2
1
1 3
4 6
M1
M0
2 5
1 1
4 2
M1 Ma
0 0
7 14
16
M1
32 Ma
1 3 6 M 0
0
7
16 M 1
0 0 0 Ma 2
r( A) 2
当 a 2 时 r( A) r( A) 2 ，此时方程组有解
定理： 若线性方程组 AX b 有解，记 r( A) r( A) r n 为未知元的个数，则当 r n 时，线性方程组有唯一解；
由于A与 A 的关系：A AMb ，故对A 施行初等行变换，
在求出 A 的秩的同时，也就求出了 A 的秩，从而可判定方程
组是否有解。
例1 判定下面方程组当 a 为何值时有解？
52xx11
x2 x2
2 x3 4 x3
a 1
x1 3 x2 6 x3 0
解： 5 1 2 Ma 1 3 6 M0 1 3 6 M0
当 b 0时，称 AX 0 为齐次线性方程组。 关于线性方程组 AX b 是否有解，我们有下面的定理。
定理：线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是增广矩 阵的秩与系数矩阵的秩相等，即：r( A) r( A)
推论 任何齐次线性方程组都有解。
因为，对齐次线性方程组 AX 0，增广矩阵为 A ( AM0) 显然有 r( A) r( A)
1
0
0
2 1 2
3 2 4
4
0
0
1 2 3 4
ru3uuuu(uu2uu)uuurur2
0
1
2
0
0 0 0 0
r( A) r( A) 2 而 n 3
所以方程组有无穷多解，并且有一个自由未知数
例3、 (1)设 A为3 4 矩阵，则结论（ ）必成立。
A AX 0有非零解 C AX b有无穷多解
1 1
1 2
2
1
x1 x2 2 x4 0
1 1 0 2
Q r( A) 3 4
所以该方程组必有非零解
例2、判断线性方程组
xx112xx2253xx33
4 4
解的情况？
解：
2x1 6x2 2x3 8
1
A
1
2
2 1 6
3 5 2
4
4
8
r2 r1
ru3uuuuuuu2uuuurur1
B AX 0只有零解 D AX b有唯一解
解：未知数个数n 4
对AX 0，r( A)可能为1，2，3，总小于n
故结论A成立，B不成立。
对AX b ，r( A)的情况不确定，
故结论C、D不成立。
答案： A
(2)设 A为5 3 矩阵，则AX （0 ）。
A. 有非零解 C. 无解
B. 只有零解
D. 非零解的情况不确定
解：对AX 0，r( A)可能为1，2，3，而未知数个数n 3
故结论A，B，C不成立。
答案： D
当 r n 时，线性方程组有无穷多个解，且解中包含 n r
个自 由未知数
推论 对齐次线性方程组 AX 0 ，当r( A) n时，只有
零解；当 r( A) n 时，有无穷多个解，因此必有非零解。
如
x1 x2 x3 x1 x2 2 x3
2x4 0 x4 0
1
系数矩阵
A
1