傅里叶变换、数字滤波器设计、标准表插值算法
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。
/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
FFT算法及IIRFIR滤波器的设计
FFT算法及IIRFIR滤波器的设计FFT（快速傅里叶变换）算法是一种高效的离散傅里叶变换计算方法，能够快速地从时域信号转换到频域信号，常用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
1.如果信号长度为N，保证N为2的幂次，否则进行填充；2.将信号分为偶数下标和奇数下标的序列；3.对偶数下标序列进行递归FFT计算；4.对奇数下标序列进行递归FFT计算；5.通过蝶形运算将偶数下标部分和奇数下标部分合并；6.重复以上步骤，直到得到频域信号。
而IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和FIR（Finite Impulse Response）滤波器是两种常见的数字滤波器设计方法。
IIR滤波器是一种递归滤波器，其输出是输入序列与滤波器的前一次输出之间的线性组合。
IIR滤波器的特点是具有较小的存储要求和较高的效率，但可能会引入不稳定性和相位畸变。
IIR滤波器的设计通常采用模拟滤波器设计方法，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。
这些滤波器均由模拟滤波器的传递函数利用双线性变换或频率采样方法得到。
FIR滤波器是一种非递归滤波器，其输出仅与当前输入序列有关。
FIR滤波器的特点是具有线性相位和稳定性，但相对于IIR滤波器，需要更多的存储和计算开销。
FIR滤波器的设计通常采用频率采样法或窗函数法。
其中频率采样法是通过指定所需频率响应的幅度响应，通过反离散傅里叶变换得到滤波器系数；窗函数法是通过对理想滤波器的频率响应进行截断和加窗处理，再进行反离散傅里叶变换得到滤波器系数。
总结起来，FFT算法是一种高效的离散傅里叶变换计算方法，能够快速地将时域信号转换到频域信号；IIR滤波器和FIR滤波器是常见的数字滤波器设计方法，分别具有不同的特点和适用场景。
在实际应用中，需要根据需求选择合适的滤波器设计方法，并结合FFT算法进行信号处理和频谱分析。
信号处理实验报告总结
信号处理实验报告总结引言信号处理是一门研究如何对信号进行处理和分析的学科，它在许多领域中都有着广泛的应用，如通信、图像处理、音频处理等。
本实验旨在通过实际操作与理论结合的方式，帮助学生深入理解信号处理的原理和方法。
理论背景信号处理的理论基础包括信号与系统、傅里叶分析、滤波器设计等方面的知识。
在本次实验中，我们主要了解了离散傅里叶变换（DFT）和数字滤波器的原理和应用，以及常见的信号处理算法。
实验过程与结果本次实验分为两个部分：DFT算法实现和数字滤波器设计。
DFT算法实现我们首先实现了离散傅里叶变换的算法，并通过MATLAB软件进行了验证。
实验中，我们使用了一个正弦信号，并通过DFT算法将其转换为频域表示。
实验结果显示，离散傅里叶变换能够准确地将时域信号转换为频域信号，且图像频谱与理论结果一致。
数字滤波器设计在第二个实验中，我们学习了数字滤波器的设计方法和常见的滤波器类型。
我们采用了巴特沃斯滤波器设计方法，并使用MATLAB软件进行了参数设计。
实验结果表明，数字滤波器能够有效地滤除输入信号中不需要的频率成分，并保留我们感兴趣的信号。
实验总结通过本次实验，我们对信号处理的理论知识有了更深入的了解，并通过实际操作加深了对信号处理方法的理解和应用能力。
通过实验，我们对离散傅里叶变换和数字滤波器的原理和应用有了更深入的了解。
然而，在实验过程中也遇到了一些困难。
例如，在DFT算法实现中，我们需要对算法进行优化以提高运行效率。
在数字滤波器设计中，我们还需要更深入地学习滤波器设计的原理和方法，以便更好地应用在实际工程中。
总的来说，本次实验使我们更加深入地了解了信号处理的原理和方法，并对信号处理的应用有了更为清晰的认识。
在今后的学习和工作中，我们将进一步巩固这方面的知识，并不断探索更多的信号处理方法和算法。
参考文献[1] Oppenheim, A. V., & Schaffer, J. R. (1998). Discrete-time signal processing. Prentice Hall.[2] Proakis, J. G., & Manolakis, D. G. (1996). Digital signal processing: principles, algorithms, and applications. Prentice Hall.附录本次实验的MATLAB代码如下：matlab% DFT算法实现N = length(x);for k = 0:N-1X(k+1) = 0;for n = 0:N-1X(k+1) = X(k+1) + x(n+1)*exp(-1i*2*pi*k*n/N);endend% 数字滤波器设计fs = 100; % 采样频率fpass = 10; % 通带频率fstop = 20; % 阻带频率Rp = 1; % 通带最大衰减Rs = 60; % 阻带最小衰减wp = 2*pi*fpass/fs;ws = 2*pi*fstop/fs;[N, wn] = buttord(wp, ws, Rp, Rs);[b, a] = butter(N, wn);y = filter(b, a, x);以上是本次信号处理实验的总结，通过实验我们深入理解了信号处理的原理和方法，也发现了一些问题，期望在今后的学习和工作中能够进一步探索和应用信号处理技术。
插值和数字滤波
插值和数字滤波插值和数字滤波是数字信号处理中常用的两种技术。
插值是通过已知的离散信号点来推测未知点的值，数字滤波则是对信号进行滤波处理以去除噪声或不需要的频率成分。
本文将分别介绍插值和数字滤波的原理和应用。
一、插值插值是一种通过已知的有限数据点来推测未知点的值的方法。
在数字信号处理中，插值常用于信号重构、图像处理、声音处理等领域。
常见的插值算法有线性插值、拉格朗日插值、样条插值等。
1. 线性插值线性插值是一种简单且常用的插值方法。
它假设在两个已知点之间的未知点的值与两个已知点的连线上的点的值之间成线性关系。
线性插值的计算公式为：插值点的值= 已知点1的值+ (已知点2的值- 已知点1的值) * (插值点的位置 - 已知点1的位置) / (已知点2的位置 - 已知点1的位置)线性插值适用于信号变化比较平缓的情况，对于信号变化较大的情况可能会引入较大的误差。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法。
它通过已知的离散数据点构造一个多项式函数，然后利用该多项式函数来计算未知点的值。
拉格朗日插值的计算公式为：插值点的值= Σ(已知点的值 * 插值点对应的拉格朗日基函数的值)拉格朗日插值的优点是可以精确地通过已知点重构出原始信号，但随着已知点数量的增加，计算复杂度也随之增加。
3. 样条插值样条插值是一种通过多个局部插值函数的拼接来构造整个插值函数的方法。
它将插值区间分成多个小区间，每个小区间内使用一个局部插值函数进行插值。
样条插值的优点是可以克服拉格朗日插值在计算复杂度和精度之间的矛盾。
常见的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。
二、数字滤波数字滤波是一种对信号进行滤波处理的方法，用于去除信号中的噪声或不需要的频率成分。
数字滤波分为时域滤波和频域滤波两种。
1. 时域滤波时域滤波是直接对信号的时间序列进行滤波处理。
常见的时域滤波方法有移动平均滤波、中值滤波和高斯滤波等。
- 移动平均滤波是一种简单的滤波方法，它通过计算邻近若干个采样点的平均值来平滑信号。
10种常见的数字信号处理算法解析
10种常见的数字信号处理算法解析数字信号处理算法是数字信号处理领域的核心技术，它能够将连续型信号转化为离散型信号，从而实现信号的数字化处理和传输。
本文将介绍10种常见的数字信号处理算法，并分别从理论原理、算法步骤和典型应用三个方面进行解析。
一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的算法。
其原理是分解信号中的不同频率分量，使得信号频域分析更方便。
傅里叶变换的算法步骤包括信号采样、离散化、加窗、FFT变换、频谱分析等。
傅里叶变换广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
二、小波变换小波变换是一种将时域信号分解为多个小波信号的算法。
其原理是利用小波基函数将信号分解成不同频率和时间范围的小波信号。
小波变换的算法步骤包括信号采样、小波变换、重构等。
小波变换广泛应用于信号压缩、图像处理、语音信号处理等领域。
三、滤波器设计滤波器设计是一种根据需要设计出不同类型的滤波器的算法。
其原理是利用滤波器对信号进行滤波处理，达到对信号不同频率分量的取舍。
滤波器设计的算法步骤包括滤波器类型选择、设计要求分析、滤波器设计、滤波器性能评估等。
滤波器设计广泛应用于信号处理和通信系统中。
四、自适应滤波自适应滤波是一种能够自主根据需要调整滤波器参数的算法。
其原理是通过采样原始信号，用自适应滤波器对信号进行滤波处理，以达到信号降噪的目的。
自适应滤波的算法步骤包括信号采样、自适应算法选择、滤波器参数估计、滤波器性能评估等。
自适应滤波广泛应用于信号处理和降噪领域。
五、功率谱密度估计功率谱密度估计是一种用于估计信号功率谱密度的算法。
其原理是利用信号的离散傅里叶变换，对信号功率谱密度进行估计。
功率谱密度估计的算法步骤包括信号采样、离散傅里叶变换、功率谱密度估计等。
功率谱密度估计广泛应用于信号处理、通信、声学等领域。
六、数字滤波数字滤波是一种对数字信号进行滤波处理的算法。
其原理是利用数字滤波器对信号进行滤波处理，以取舍信号中不同频率分量。
傅里叶变换与滤波器设计
傅里叶变换与滤波器设计傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理和滤波器设计领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和原理，并探讨其在滤波器设计中的应用。
一、傅里叶变换的基本概念和原理傅里叶变换是将时域信号转换为频域信号的一种数学变换方法。
它能够将信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加，从而揭示信号的频谱信息。
傅里叶变换的数学表达式为：\[ F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt \]其中，\( F(j\omega) \)是信号的频域表示，\( j \)是虚数单位，\( \omega \)是频率，\( f(t) \)是信号的时域表示。
傅里叶变换具有线性性质，即对于两个信号的线性组合，其傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换的线性组合。
二、傅里叶变换的应用1. 频域滤波傅里叶变换将信号从时域转换到频域，使得我们可以直观地观察到信号不同频率成分的贡献程度。
在频域中可以对不同频率的成分进行滤波，以满足特定的需求。
例如，通过低通滤波器可以去除高频噪声，而通过高通滤波器可以剔除低频噪声。
2. 信号分析傅里叶变换可以将复杂的信号分解成一系列简单的正弦和余弦波的叠加。
这使得我们能够对信号的频谱特性进行分析，提取出信号中各个频率成分的幅度和相位信息。
从而可以揭示信号的周期性、频率分量以及频谱偏移等重要特征。
三、滤波器的设计滤波器是一个通过选择性传递或抑制特定频率的电路或系统。
根据滤波器的特性，可以将其分为低通、高通、带通和带阻滤波器等多种类型。
滤波器的设计主要包括两个方面：滤波器的频率响应和滤波器的实现。
频率响应决定了滤波器在不同频率下的增益或衰减特性，而实现方式决定了滤波器的结构和参数。
为了设计出满足特定需求的滤波器，可以使用傅里叶变换结合滤波器的设计方法。
具体步骤如下：1. 确定滤波器的类型和规格要求。
例如，确定是需要低通滤波器还是高通滤波器，以及所需的截止频率等。
数字信号处理中常见的算法和应用
数字信号处理中常见的算法和应用数字信号处理（DSP）是一门研究数字信号在处理上的方法和理论的学科。
它涉及到数字信号的获取、转换、分析和处理等过程。
在数字信号处理中，有一些常见的算法和应用，在本文中我将详细介绍它们的内容和步骤。
1. 快速傅里叶变换（FFT）算法快速傅里叶变换是一种高效的离散傅里叶变换（DFT）算法，它能够将离散时间序列的信号转换到频域中，得到信号的频谱信息。
FFT算法广泛应用于音频信号处理、图像处理、通信系统等领域。
其基本步骤如下：a. 将信号补零，使其长度为2的整数次幂；b. 利用蝶形运算的方法，迭代计算信号的DFT；c. 得到信号在频域中的表示结果。
2. 自适应滤波算法自适应滤波是一种能够根据输入信号的特点自动调整滤波参数的方法。
在实际应用中，自适应滤波经常用于降噪、回声消除和信号增强等方面。
以下是一种自适应滤波的算法步骤：a. 根据系统的特性和输入信号的统计特征，选择一个合适的滤波器结构和模型；b. 初始化滤波器参数；c. 利用最小均方（LMS）估计算法，不断迭代更新滤波器参数，使得滤波器的输出和期望输出之间的误差最小化。
3. 数字滤波器设计算法数字滤波器是数字信号处理中常用的工具，它能够通过改变信号的频谱来实现对信号的去噪、信号重构和频率选择等功能。
常见的数字滤波器设计算法有以下几种：a. Butterworth滤波器设计算法：将滤波器的频率响应设计为最平坦的，同时保持较低的滚降；b. Chebyshev滤波器设计算法：在频域中，较好地平衡了通带的校正和滤波器的滚降；c. FIR滤波器设计算法：利用有限长冲激响应的特性，通过改变滤波器的系数来调整滤波器的频率响应。
4. 数字信号压缩算法数字信号压缩是一种减少信号数据存储和传输所需的比特数的方法，常见的压缩算法有以下几种：a. 哈夫曼编码：通过对信号进行频率统计，将出现频率较高的符号用较少的比特表示；b. 等分连续衰减编码（PCM）：将连续的信号量化，用有限比特数来近似连续的信号值，从而减少数据的表示位数；c. 变换编码：通过变换信号的编码形式，将一组相关的信号值映射到一组或更少的比特上。
数字信号处理实训总结
数字信号处理实训总结一、实训目标本次数字信号处理实训的目标是掌握数字信号处理的基本原理，学会使用数字信号处理工具进行信号的分析、处理和优化。
我们希望通过实践操作，深入理解数字信号处理在通信、音频处理等领域的应用。
二、实训内容在这次实训中，我们主要学习了以下内容：1. 离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）：理解了信号在频域的表现形式，学习了如何利用FFT快速计算信号的频谱。
2. 数字滤波器设计：掌握了IIR和FIR滤波器的设计方法，并在实践中应用了这些滤波器对信号进行滤波。
3. 信号调制与解调：学习了QAM、PSK等调制方式，并进行了模拟信号的调制与解调实验。
4. 频谱分析：利用工具对信号进行频谱分析，理解了信号在不同频率的分量。
5. 采样率转换：理解了采样定理，并学会了如何进行采样率转换。
三、实训过程在实训过程中，我们通过理论学习和实践操作相结合的方式，逐步深入理解数字信号处理的知识。
在掌握基本原理后，我们开始进行实验操作，利用MATLAB等工具对信号进行处理和分析。
我们通过观察和处理信号的频谱、滤波效果等，逐渐加深对数字信号处理的理解。
四、遇到的问题和解决方案在实训过程中，我们也遇到了一些问题。
例如，在进行FFT计算时，我们发现计算结果并不准确。
经过分析，我们发现是频率分辨率设置不当导致的。
通过调整频率分辨率，我们得到了准确的频谱分析结果。
另外，在进行数字滤波器设计时，我们也遇到了滤波器性能不佳的问题。
通过调整滤波器参数，我们成功地优化了滤波效果。
五、实训心得体会通过这次实训，我深刻体会到了数字信号处理在通信、音频处理等领域的重要应用。
我不仅掌握了数字信号处理的基本原理和工具使用方法，还学会了如何对信号进行分析、处理和优化。
这次实训提高了我的实践能力，也让我对数字信号处理产生了浓厚的兴趣。
我相信在未来的学习和工作中，数字信号处理将成为我的重要技能之一。
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傅里叶变换周期函数)(t f T 可表示为：∑+∞=++=10)sin cos (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω其中：⎰-=220)(2T T Tdt t fTa⎰-=22cos )(2T T Tn tdt n t fTa ω⎰-=22sin )(2T T Tn tdt n t fTb ω周期函数)(t f T 的周期为T 。
频率T f 1=，角频率Tπω2=，n 为正整数。
周期函数)(t f T 的直流分量⎰-==220)(12T T Tdt t fTa d 。
nf f n =为各次谐波的频率。
周期函数)(t f T 可化为：(三角函数公式：B A B A B A sin sin cos cos )cos(-=+)d t n A t f n n n T ++=∑+∞=1)cos()(ϕω其中：22n n n b a A +=)(nnn a b a r c t g -=ϕ 即周期函数)(t f T 可表示为不同频率成分的正弦函数的和。
其中频率f为基波的频率。
根据欧拉公式θθθsin cos i e i +=，有：2cos θθθi i e e -+=ie e i i 2sin θθθ--=所以周期函数)(t f T 可表示为：∑+∞=---+++=10)22(2)(n tin t in n t in t in n T ie e b e e a a tf ωωωω= )22(210tin n n t in n n n e ib a e ib a a ωω-+∞=++-+∑而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-⎰⎰--tdt n t f i tdt n t f T ib a TTT T T T n n ωωsin )(cos )(122222 =dt t n i t n t fTTT T)sin (cos )(122ωω-⎰-=dt e t f Tt in T T T ω--⎰22)(12n n ib a +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎰⎰--tdt n t f i tdt n t f T TTT T T T ωωsin )(cos )(12222 =dt t n i t n t fTTT T)sin (cos )(122ωω+⎰-=dt e t f Tt in T T T ω⎰-22)(1令⎰-=220)(1T T Tdt t fTcdt e t fTib a c t in TT Tn n n ω--⎰=-=22)(12dt e t f Tib a c t in T TT n n n ω⎰--=-=22)(12 n 为正整数则)()(10t in n t in n n T e c e c c t f ωω--+∞=++=∑当 n 取整数时，c 可以合写为一个式子dt e t f Tc t in T T T n ω--⎰=22)(1 （n = 0, ±1，±2，...）所以有tin n nT ec t f ω∑+∞-∞==)( n 为整数非周期函数)(t f ，当+∞→T 时，有)()(lim t f t f T T +∞→=所以t in n t in T T T T e dt e t f T t f ωω∑⎰∞+-∞=--+∞→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22)(1)(lim取ωωn n =，Tn n n πωωωω21=-=∆=-，当+∞→T 时，0→∆n ω。
从而t i n ti T T T n n n n e dt e t f t f ωωωπω∑⎰∞+-∞=--→∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=220)(2)(lim 亦即n t i n t i n n n e dt e t f t f ωπωωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰+∞-∞=∞+∞--→∆)(21)(lim0 令⎰+∞∞--=dt e t f F t i n n ωω)()(则n ti n nn n e F t f ωωπωω∆=∑+∞-∞=→∆)(21)(lim=⎰+∞∞-n t i n d e F n ωωπω)(21 =⎰+∞∞-ωωπωd e F t i )(21因此有⎰+∞∞--=dt e t f F t i ωω)()( (1)⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t i )(21)( (2)称式(1)中函数)(ωF 为函数)(t f 的傅里叶变换，式(2)中函数)(t f 为函数)(ωF 的傅里叶逆变换。
函数)(ωF 即为函数)(t f 的频谱。
图1 是函数y1和y2的函数图。
其中 y1=sin(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。
y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。
图1 谐波分量图图2 是偶次谐波的函数图。
图2 偶次谐波图图3 是偶次谐波的频谱图。
图3 偶次谐波频谱图图4 是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。
图4 偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图傅里叶分析在电路上的应用函数)(t f 的傅里叶变换记为F[])(t f ，函数)(t g 的傅里叶变换记为F [])(t g ，即=)(ωF F [])(t f ，=)(ωG F [])(t g 。
则有傅里叶变换的线性性质F [])()(t g t f βα+ = α)(ωF +β)(ωG傅里叶变换的微分性质F⎥⎦⎤⎢⎣⎡dt t df )( = )(ωωF i傅里叶变换的积分性质F⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰∞-t dt t f )( =)(1ωωF i 电路上的一个例子。
有一段RLC 电路如图5所示图5 RLC 电路求电路的电流)(t i ，列方程有)()(1)()(t u dt t i C dt t di Lt Ri t=++⎰∞- 函数)(t i 的傅里叶变换为)(ωI ，函数)(t u 的傅里叶变换为)(ωU ，对方程两边做傅里叶变换，有)()(1)()(ωωωωωωU I Ci LI i RI =++ 求)(ωI 得Ci L i R U I ωωωω1)()(++=求)(ωI 的傅里叶逆变换得dt e I t i t i tωωπ⎰∞-=)(21)(代入具体的参数值，即可求得电路的电流)(t i 。
函数的卷积已知函数)(t f ，)(t g ，则积分τττd t g f t h )()()(-=⎰+∞∞-称为函数)(t f 和)(t g 的卷积，记为)(*)()(t g t f t h =按傅里叶变换的定义，有F )](*)([t g t f = dt e t g t f t i ω-+∞∞-⎰)](*)([= dt e d t g f t i ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰-])()([= dt d e t g e f t i i ττττωωτ)()()(--+∞∞-+∞∞--⎰⎰-=)()()()(τττττωωτ--⎰⎰+∞∞----+∞∞-t d e t g d e f t i i=F [])(t f ∙ F [])(t g=)()(ωωG F ∙即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。
数字低通滤波器的设计模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。
图6 模拟二阶低通滤波器电路用傅里叶变换分析电路，可以证明2121221211221211)1)1(11(1)()(C C R R s C R A C R C R s C C R R A s U s U i o +-+++=其中ωi s =，341R R A +=。
设 )()()(s U s U s G i o =21211C C R R c =ω212121C C R R f c π=221112211122)1(1C R CR A C R C R C R C R Q -++=则有222)(c cc s Qs A s G ωωω++=函数)(s G 为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。
A 为放大系数，c ω为滤波器的截止角频率，Q 为滤波器的品质因数。
取Ω==k R R 159.15521，F C C μ01.021==，Ω==k R R 1043，则2=A ，Hz f c 100=，s rad c /200πω=，1=Q 。
函数)(s G 的频谱图如图7所示。
图7 函数)(s G 的频谱图(1=Q )特别的，取∞=3R ，04=R ，则1=A , 5.0=Q ，函数)(s G 的频谱图如图8所 示。
图8 函数)(s G 的频谱图(5.0=Q )取1=A , 5.0=Q 的参数，当21)(=s G ， 求得64.3594Hz =f 。
即为函数 )(s G 的半功率点。
函数)(s G 的零极点图如图9所示。
0>Q 时极点位于左半平面。
图9 函数)(s G 的零极点图(1=A )特别的，当21R R =，21C C =时，AQ -=31。
当3≥A 时，0≤Q ，函数)(s G 的零极点位于右半平面。
取3=A ，函数)(s G 的零极点图如图10所示。
函数)(s G 极点位于右半平面。
图10 函数)(sG的零极点图(3A)函数)(sG的相频图如图11所示。
图11函数)(sG的相频图-1F 将函数)(sG 级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。
图12 2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(5.0=Q )由)()()(s G s U s U i o ∙=，根据卷积定理得)()()(t g t u t u i o *=。
在频域上对函数)(s G 采样，并对函数)(s G 做傅里叶逆变换得=)(t g )]([s G 。
二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数)(t g 的图形如图13所示。
对函数)(t u i 和函数)(t g 做卷积运算，求得函数)(t u o ，即通过数字滤波器滤波后的结果。
函数)(t u i 和函数)(t u o 的图形如图15所示。
图14是函数)(t u i 的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。
图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。
函数)(t u o 和图6中模拟电路给出的结果是一致的。
图13时域上的传递函数)(t g图14 滤波器的相位延时图15 函数)(t u i 和函数)(t u o图16 模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果标准表的计算公式电压表达式： ∑∞=+=1)s i n ()(k k k t k v t v ϕω电流表达式： ∑∞=+=1)s i n ()(k k k t k i t i γω 电压有效值∑==Nn rms n v NV 12][1电流有效值∑==Nn rms n i NI 12][1瞬时有功功率)()()(t i t v t p ⨯=平均有功功率∑==Nn n p NP 1][1瞬时无功功率)4()()()()('Tt i t v t i t v t q -⨯=⨯= (注)平均无功功率∑==Nn n q NQ 1][1视在功率rms rms I V S ⨯=功率因数S P =θcos (注SQ ≠θsin )有功电能⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆⨯==∞=→∆tn t t n p dt t p Energy 010][)(lim无功电能⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆⨯==∞=→∆tn t t n q dt t q gy activeEner 010][)(Re lim视在电能⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆⨯==∞=→∆tn t t n s dt t s ergy ApparentEn 010][)(lim脉冲频率表常数、、度电、、)S Q (1s P f q p =离散傅里叶变换(DFT)∑-=-=102][][N n nk Ni en x k X π离散傅里叶变换的逆变换(IDFT)∑-==102][1][N k nk Ni ek X Nn x π奈奎斯特采样定理f f 2Nyquist ≥标准表的插值算法定频采样的同步问题需要插值算法。