测量误差和测量结果处理

随机误差的特点： 有界性：多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限； 对称性：测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同。 抵偿性：随机误差的算术平均值趋于零。 绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的出现的概率小。 19
例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量 得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V， 1.235V，1.237V。 单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体 却服从统计规律。 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
一、系统误差

定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测
量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时 按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度 误差和零位误差，或值随温度变化的误差。 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确， 环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用 近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。 系差越小，测量就越准确。 系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量 进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 即 xA 18
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（4）影响误差：由于各种环境因素（温度、
湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要 求的条件不一致而引起的误差。
（5）理论误差或方法误差：由于测量原理
不严谨、公式简化不当、测量方法不合理而造 成的误差。
P28 例1
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§2.3 误差的分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、 粗大误差三类。
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随机误差的概率密度函数为：
p( )
2 e xp( ) 2 2 2
1 1 2 e xp[ ( x )2 2
2
测量数据X的概率密度函数为： p( x )
]
随机误差的数学期望和方差为：
E ( )



p( )d
2 e xp( )d 0 2 2 2
系差和随差之间在一定条件下可以相互转化
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§2.4 随机误差分析
一、测量值的数学期望和标准差
1、数学期望 设对被测量进行n次等精密度测量，得到n个测量值： x1 , x2 , x3 , , xn , 也称为随机变量。 N个测量值的算术平均值为
1 n x xi n i 1
数学期望为当测量次数无穷大时样本平均值的极限
1 n E x lim xi n n i 1
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2、剩余误差（残差） 当进行有限次测量时，各次测量值与算术 平均值之差称为剩余误差或残差。
i xi x
当n足够大时，残差的代数和等于零；
n 时，x Ex
此时，残差等于随机误差。
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3、方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。 方差定义为当测量次数n无穷大时，测量值与期 望值之差的平方的统计平均值：

相对误差：绝对误差与被测量的真值之比

x 100% A0 相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小 和符号，没有单位。
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x A 100% A 实际相对误差： 用实际值A代替真值A0
x x 100% x 示值相对误差： 用测量值X
代替实际值A
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（2）满度相对误差（引用相对误差）
二、测量误差的正态分布 1、正态分布
为什么测量数据和随机 误差大多接近正态分布？
测量中的随机误差通常是多种相互独立的 因素造成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可 以表示为大量独立的随机变量的和，其中 每一个随机变量对于总和只起微小作用， 则可认为这个随机变量服从正态分布。
C x A x
测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给 出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式 等形式。 被测量的实际值
A x C
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2.相对误差
一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小， 而且与这个量本身的大小有关。
例：测量足球场的长度和北京市到上海市的距离， 若绝对误差都为1米，测量的准确程度是否相同？ （1）相对误差、实际相对误差、示值相对误差
0



二、随机误差
定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、 测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测 量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对 值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机 误差或偶然误差，简称随差。 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关 的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电 磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰 动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。
第二章 测量误差和测量结果处理
误差理论是专门从事研究有关测量误差的科 学理论，数据处理则是应用数学方法和计算工 具对测量数据进行科学的分析、研究和处理的 准则和手段。 随着科学技术的飞速发展，误差理论与数 据处理在理论上和实际应用上都得到极大的提 高和发展，已成为一门独立的学科。
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主要内容：
§ 误差 § 测量误差的来源 § 误差的分类 § 随机误差分析 § 系统误差分析 § 系统误差的合成 § 测量数据的处理
含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据 处理时，应剔除掉。
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四、系差和随差的表达式 在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误 差
i x A xi x xi A xi

各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代 数和。 在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同 时存在的。
用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差 与该量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误 差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）
m
xm 100% xm
x
| xm |
xm
仪表各量程内绝对误差 的最大值
xm m xm
| xm | xA
0
Am 11
A

我国电工仪表的准确度等级s就是按引用误差 进行分级的。共分为七级：0.1，0.2，0.5， 1.0，1.5，2.5及5.0。
§2.1 误差
（1）测量误差是不可避免的。 （2）寻找误差的来源，尽可能防止误差和减 小误差。 （3）测量结果进行正确的处理，使测量结果 接近被测量对象的实际情况。
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一、误差
1、真值Ao： 一个物理量在一定条件下所呈现的客观大 小或真实数值称作它的真值。 要得到真值必须利用理想的量具或测量仪器进行 无误差的测量。因此，物理量的真值在实际上是无法测 得的。 2、指定值As： 由于绝对真值是不可知的，所以一般由 国家设立各种尽可能维持不变的实物标准，以法令的形 式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。 国际间通过互相比对保持一定程度的一致。指定 值也叫约定真值，一般就用来代替真值。
7、单次测量和多次测量： 单次测量是用测量仪器对待
测量进行一次测量的过程；多次测量是用测量仪器对同一被测 量进行多次重复测试的过程。 在测量精度要求不高的情况下，可只进行单次测量。 依靠多次测量可以观察测量结果一致性的好坏即精密性。
8、等精度测量和非等精度测量： 在保持测量条件不
变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称作等精度测量； 如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有测量条件都维 持不变，或更换了测量器具或环境变化等，这样的测量称为非 等精度测量或不等精度测量。
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§2.2 测量误差的来源
（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、
制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、 磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。
（2）使用误差：又称为操作误差，是由于对测
量设备操作使用不当而造成的误差。
（3）人身误差：由于测量人员感官的分辨
能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏 责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现 象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。
如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误 差不超过S% 。测量点的最大相对误差

xm x S% x
在使用正向刻度的仪表测量时，应选择适当的量
程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转 在不小于满度值2/3以上的区域。
对欧姆表这样非线性反向刻度的仪表时，示值与
中值接近时，测量的准确度最高。 12 分析P22例1,2,3
（3）分贝误差——相对误差的对数表示
分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种误差， 单位为分贝（dB）。 V 电压增益的测得值为 Ax o 误差为 A Ax A
Vi
用对数表示为增益测得值的分贝值
Gx 20lg Ax (dB)
分贝误差
A dB 20lg(1 ) A 若测量的是功率增益，分贝误差定义为 10lg（…）
2、固有误差
固有误差是当仪器的各种影响量和影响特性处 在基准条件下时，仪器所具有的误差。
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3、影响误差
影响误差是当一个影响量在其额定使用范 围内取任一值，而其它影响量和影响特性均处 于基准条件时所测得的误差。
4、稳定误差
稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和 影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产 生的误差极限。 分析 P26例5
测量时用分贝作单位，则分贝误差为 x-A 即可。
分析P24例4
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三、容许误差
容许误差是指测量仪器在规定使用条件下可 能产生的最大误差范围。 容许误差有时就称为仪器误差。它是衡量电子 测量仪器质量的最重要的指标。
1、工作误差
工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限 值，即来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的 影响特性为任意可能的组合时，仪器误差的最大 极限值。
具的示值，也称为测量器具的测得值或测量值，它包 括数值和单位。 示值和测量仪表的读数有区别，读数为仪器刻度 盘上直接读到的数字。