薄透镜系统初级像差理论

μ对薄透镜组来说近似为一与结构无关的常数，大约等于
0.7。由上式看到 数。
x 'p显然也应该是一个与结构无关的常
薄透镜组的色差特性
1.一个薄透镜组消除了轴向色差必然同时消除垂轴色差
薄透镜组的两种色差，由唯一的色差参数C 确定，当轴 向色差等于零，则C =0, 垂轴色差也同时等于零。
SIC n'u'2L'FC h2C
一个薄透镜组只能校正两种初级单色像差
五个单色像差方程中，每个薄透镜组只出现两个像差特
性参数P，W。不同结构的薄透镜组对应不同的P，W 值，
它们是方程组中的两个独立的自变量。利用这两个自变量， 最多只能满足两个方程式，因此一个薄透镜组最多只能校 正两种初级像差。
光瞳位置对像差的影响
（1）球差与光瞳位置无关
hz3 p 3J h2
hz2 W J 2 h2
hz (3 )] (2n'u ' )
h
L'FC [ h2C] (n'u'2 )
yF' C [ hzhC] (n'u' )
以上公式中 n,u为系统最后像空间的折射率和孔
径角，J是系统的拉格朗日不变量J= nuy ,它们 都是已知常数，每个透镜组的外部参数 , h, hz 也
厚透镜可以看作是由两个平凸或平凹的薄透镜加 一块平行玻璃板构成，如图3-1所示。因此任何一 个光学系统都可以看作是由一个薄透镜系统加若 干平行玻璃板构成。
2 薄透镜系统的初级像差方程组
第一辅助光线：
由轴上物点A发出，经过孔径边缘的光线AQ
第二辅助光线：
由视场边缘轴外点B发出经过孔径光阑中心O的光线BP
我们无法把P、W表示为(
ri
,n
)的函数，而用第一辅助光线
i
通过每个折射面的角度来表示。它们的具体公式是：
P
ui (1 ni
)
2
ui ni
;
式中
W
ui (1 ni
)
ui ni
ui ui' ui ;
1 n
1 ni'
1 ni
;
ui ni
ui' ni'
ui ni
式中的和式∑是对该薄透镜组中每个折射面 求和的结果
无关，因此只需要对透镜组的焦距进行归化。如果把 透镜组的焦距f’归化为1，只要把每个单透镜的焦距， f’都除以f’，光焦度φ则乘以 f’，因此有：
C C f'
把任意焦距、入射高和物距的透镜组的像差特性参数P，
W，C 归化成f’=h=1,u1 =0时的像差特性参数P ,W , C 。
只要解决了由 P ,W ,C 求透镜结构参数的问题，也就
SI 2n'u'2L' hp
（2）彗差与光瞳位置有关，但球差为零时， 彗差即与光瞳位置无关。
SII
2n'
u'
K
' S
hz p J
W
如果球差为零，则对应P=0，这时
项，因此与光瞳位置无关。
hz P
0 中与有关的
光瞳位置对像差的影响
（3）像散与光瞳位置有关，但是如球差、彗差都等 于零，则像散与光阑位置无关。
n 1
nF nC
它是光学玻璃的一个特性常数，n为指定波长光线的折
射率，(nF nC ) 为计算色差时所用的两种波长光线的折射率 差————色散。
C只与透镜组中各单透镜的光焦度和玻璃的色散有关，
而和各单透镜的弯曲形状无关。
单色像差参数：P、W
它们和透镜组中各个折射面的半径和介质的折射率有关。
数 S I SV SIC , SIIC ，把已知的外部参数 , h, hz ,代J 入，
列出只剩下各个透镜组的像差特性参数P、W、C的初级像
差方程组。
（2）求解初级像差方程组得到对每个薄透镜组要求的P、 W、C 值。
（3）由P、W、C 求各个透镜组的结构参数
3 薄透镜组像差的普遍性质
薄透镜组的单色像差特性
能解决由P,W,C求透镜组结构数的问题。这样无疑使问
题大为简化。
5 单透镜的 P , W , C 和结构参数的关系
薄透镜系统的求解过程： 设计一个薄透镜系统，在完成外形尺寸计算后，根据对 系统的像差要求，即可列出初级像差方程组，求解方程组
xt's [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
] (n'u '2 )
如果系统消除了像散，xt's 0 ：
[ hz2 p 2J hz W J 2 ] 0
h
h
将上式代入下式
xs' [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
(1 )] (2n'u '2 )
把
x
' p
作为薄透镜系统的初级像差方程式。
在式（3-8）～（3-14）和（3-20）右边的分母
上都有一个与透镜组内部结构无关的常数 n,u 组
成的常数项。为了简化，我们把它们都移到等式 左边，等式右边只留下与透镜组内部结构有关的 部分，并用一组新的符号代表，得到下列方程组：
SI 2n'u'2L' hp
n 玻璃的折射率 i 变化不大，一般在1.5～1.7左右，因
此近似为一个和薄透镜组结构无关的常数。 通常取的
平均值为0.7。
这样，每个薄透镜组的内部参数实际上只剩下P，W，
C三个。其中C只和两种色差有关称为“色差参数”。它
的公式为 C i
i
以上∑和式中 i 为该透镜组中每个单透镜的光焦度，
为该单透镜玻璃的阿贝数 i
根据P，W的公式,它们的值显然不会改变
再把入射高 h 放大到1，则光线的所有角度将增加
1 h 倍
P，W 将分别增加 1 (h)3 和 1 (h)2 倍
f’=h=1时的像差特性参数和入射角用 P ,W ,u1 表示
P P ;
(h )3
W W ;
(h )2
u1
u1
h
如果我们能由 P , W 求出了透镜组的结构参数，只
L' [ hp] (2n'u'2 )
K
' S
[
hz p J
W]
(2n'u ' )
K
' T
3
xt's [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
] (n'u '2 )
x
' s
[
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
(1 )] (2n'u '2 )
y
' z
[
SII
2n'u'
K
' S
hz p J
W
SIII n'u '2 xt's
hz2 p 2J h
hz W J 2
h
SIV 2n'u'2 x'p J 2
SV
2n'u'y
' z
hz3 h2
p 3J
hz2 h2
W
J
2
hz (3 )
h
SIC n'u'2L'FC h2C
在像差理论的研究中，有实际价值的是初级像差理论
1.初级球差 2.初级彗差
初级像差
L' a1h2
K
' S
a2h2 y
3.初级子午场曲 4.初级弧矢场曲
xt' a3 y 2 xs' a4 y 2
初级像差
5.初级畸变
y
' z
a5 y3
6.初级轴向色差
l
Байду номын сангаас
' FC
C1
7.初级垂轴色差
y
' FC
3.薄透镜组的消色差条件与物体位置无关
消色差条件
i 0
i
中不出现与物体位置有关
的参数，因此一个薄透镜组对某一物平面消了色
差，对任意物平面都没有色差。
4 像差特性参数P，W，C 的归化
归化就是把对任意物距、焦距、入射高时的 像差特性参数，在保持透镜组几何形状相似的 条件下，转变成焦距等于1，入射高等于1，物 平面位在无限远时的像差特性参数。
SIIC n'u'yF' C hz hC
S I SV 称为第一至第五像差和数 S IC , S IIC 称为第一和第二色差和数
今后我们在讨论像差和结构参数的关系时，直接 应用这些像差和数的公式，它们和像差之间只相 差一个常数因子。
由初级像差直接求解薄透系统的结构参数，大体 步骤是：
（1）根据对整个系统的像差要求，求出相应的像差和
得
xs' J 2 (2n'u'2 )
由于
xt's 0
,因此子午和弧矢场曲相等
xt'
x
' s
时的场曲称为Petzval场曲，用符号
x
' p
表示：
x
' p
J2
(2n'u'2 )
，这
如果
x
' ts
不等于零，则可以得到
xs'
x
' p
1 2
xt's ;
xt'
x
' p
3 2
xt's
其因他此两个x也t' ,就xs'是, x确'p定, x的t's 了四。者由中于只具要有确某定了些其特中殊任性意质两，个我，们